1、1复习复习 )(xf),(ba,ba，),(ba )(fabafbf )()().)()()(abfafbf 或或2xyoxyoabAB0)(xf0)(xfabBA增函数增函数切线的倾角为锐角切线的倾角为锐角0 k，0)(xf，0)(xf 减函数减函数切线的倾角为钝角切线的倾角为钝角0 k)(xfy )(xfy 3若若),(bax 有有，0)(xf 若若),(bax 有有，0)(xf，),(,21baxx 由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得，)()()(1212xxfxfxf ，)(21xx ,012 xx若若),(bax 有有,0)(f则则，)()(12xfxf 则则)(xf在在),
2、(ba上单调增加上单调增加.若若),(bax 有有，)()(12xfxf 则则)(xf在在),(ba上单调减少上单调减少.,21xx 且且，0)(xf ,0)(f则则，0)(xf 设函数设函数)(xfy 在在,ba上上连续连续，),(ba内内可导可导，在在则则)(xf在在上上单调增加单调增加.,ba则则)(xf在在上上单调减少单调减少.,ba4判定函数判定函数3xy 的单调性的单调性.23xy 0 且等号仅在且等号仅在0 x处成立处成立.则由单调性的判定法可知，则由单调性的判定法可知，),(3xy 的定义域为的定义域为在在内，内，),(函数函数3xy 在在内内单调增加单调增加.),(5讨论函数
3、讨论函数)1ln(xxy 的单调性的单调性.在定义域内连续、可导，在定义域内连续、可导，且且xy 111令令，0 y得得0 xx)0,1(),0(y y0)(xfx)(xf则单调增加区间是：则单调增加区间是：，),0(单调递减区间是：单调递减区间是：).0,1(函数函数的定义区间为的定义区间为，),1()1ln(xxy ，xx 1631292)(23 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx.2,121 xxy xy )1,()2,1(),2(确定函数确定函数的单调区间的单调区间.0)(xf解方程解方程得，得，则单调增加区间是：则单调增加区间是：).,2()1,(
4、，单调递减区间是：单调递减区间是：)2,1(732)(xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf32xy xy y )0,(),0(确定函数确定函数的单调区间的单调区间.0 x当当时，时，导数不存在导数不存在.则单调增加区间是：则单调增加区间是：，),0(单调递减区间是：单调递减区间是：).0,(8例如例如,3xy,00 xy)(xf，)(xf)(xf但在区间但在区间),(上单调增加上单调增加.9当当1 x时，时，.exex 令令，exexx )(则则eexx )(，0 且当且当1 x时，时，)(x 在在 ,1上单调增加上单调增加.又又，0)1(ee 所以当所以当1 x时时,，0)1()(
5、x即即证明证明.0 exex则得到则得到.exex)(x 在在 ,1上可导，上可导，显然显然100 x当当时，时，.1xex 试证：试证：,0)0(f,01 xex)0()(fxf,1)(xexfx 设设.1)(xexf则则有有,0)(xf)(xf),0 在在单调增加，单调增加，0 x当当时，时，0 x即即.1 xex 练习：练习：).1ln(;sin;10 xxxxxexx 时时，当当)(xf在在 ,0上可导，上可导，显然显然11)(xf，)(xf)(xf12二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法1、函数极值的定义、函数极值的定义oxy1x3xoxyoxy0 x0 xab2x5x4x1
6、3，)()(0 xfxf 0 x设函数设函数)(xf在点在点的某个邻域内有定的某个邻域内有定对于该邻域内异于对于该邻域内异于0 x的点的点，x如果对适合不等式如果对适合不等式则称函数在点则称函数在点0 x有有),(0 xf如果对适合不等式如果对适合不等式，)()(0 xfxf 函数在点函数在点0 x有有),(0 xf0 x将点将点则称则称0 x点点义，义，14极值与最值的区别：极值与最值的区别：是对整个区间而言，是对整个区间而言，绝对的、绝对的、是对某个点的邻域而言、是对某个点的邻域而言、相对的、可以不是唯一的相对的、可以不是唯一的.如何求极值？如何求极值？观察图形知：观察图形知：是整体的、是
7、整体的、唯一的唯一的.是局部的、是局部的、15，0 0 x)(xf在点在点处处.0)(0 xf且在点且在点0 x，0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx00)()(xxxfxfxy 设设)(0 xf为极大值为极大值.则在则在)(0 xUx 时，时，)()(0 xfxf 于是当于是当0 xx 时，时，当当0 xx 时，时，00)()(xxxfxfxy ，0 0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx).()(00 xfxf .0)(0 xf只有只有)(0 xf 存在，存在，16,3xy,00 xy0 x)(xf0 x0 x0 x,xy 0 x,31xy 0 x17设设函数
8、函数)(xf的极值的极值的一个邻域内的一个邻域内在在0 x0(x可除外可除外)可导可导.到大到大经过点经过点0 x时，时，若若(1)(1)在在0 x的两侧，的两侧，)(xf，)(0 xf则则是是(2)(2)在在0 x的两侧，的两侧，)(xf)(0 xf则则是是)(xf 在在0 x的两侧，的两侧，(3)(3)则则0 xxyoxyo0 x0 x xyo0 x 当当x由小由小，0 x为为xyo0 x 18);(xf(1)(1)求求定义域，定义域，求求导数导数(2)(2)求求0)(xf即方程即方程的根，的根，以及以及(3)(3)检查检查)(xf 在在，判断出极值点；判断出极值点；(4)(4)1.1.定
9、理中的条件定理中的条件“”很重要，很重要，)(xf若不连续，若不连续，即使即使)(xf 变号，变号，但但0 x未必是极值点未必是极值点.2.2.该定理适用于该定理适用于0 x0 x19963)(2 xxxf.3,121 xx列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf)(xf 00，)3)(1(3 xx593)(23 xxxxf求出函数求出函数的极值的极值.，0)(xf令令得驻点：得驻点：)1(f,10)3(f.22 该函数的定义域为该函数的定义域为),(20593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下21).,(:D,134)1(34)(32312 xxxxxfxy y，3)
10、0(f.2)1(f 322)1(2)(xxf求函数求函数的极值的极值.，0)(xf令令得得，0 x1 x当当时，时，导数不存在导数不存在.故故为：为：为：为：)1,(1)0,1(0)1,0(),1(10 22,0)()()(0)1(00 xfxfxfk)()(xfk,0)(0)(xfk0)(0)(xfk0)(0)(xfk0)(0)(xfk)()(xfk0)(0)(xfk23,0)(0)(xfk)()(xfk,)(!)()()(0)(0kkxxkfxfxf )(0之之间间与与介介于于xx,)(!)()()(0)(0kkxxkfxfxf ,)()()(00同同号号，与与xxxfxf ，0)()(0
11、 xfxf0)(0)(xfk24解解)1()4(4)44()4()4(3)4()(2223 xxxxxxxxf1)4()(3 xxxf求函数求函数的极值的极值.),1()4(4)(2 xxxf,0)(xf,4,121 xx),2)(4(12)(xxxf,36)1(f26)1(f;0)4(f),3(24)(xxf24)4(f,0 4 x)(xf4 x25)5(4204)(23 xxxxxf，0)(xf.5,0,5321 xxx,2012)(2 xxf )5(f40)5(f,20 )0(f20)0(f.5,040)5(f510)(24 xxxf求出函数求出函数的极值的极值.)5(f.20 ,0,0
12、26，),(，22)1(6)(xxxf定义域为定义域为令令0)(xf得得,11 x,02 x,13 x)15)(1(6)(22 xxxf求函数求函数1)1()(32 xxf的极值的极值.6)0(f，0，0)1()1(ff，0)0(f),110(10)(2 xxxf,0)1(f,0)1(f.0)0(f27观察：观察：)(max xfbxa )(minxfbxa 端点的函数值；端点的函数值；极值点的函数值；极值点的函数值；不可导点不可导点的函数值的函数值.来自于来自于 比较比较端点端点驻点驻点不可导点不可导点函数值函数值的的大小大小,oxy1x4xab2x6x5x28)1)(3(6 xxy.3 x)3(y;61 )4(y;47;29 )1(y，29)1(y.61)3(y)(xf ba,),(minafy)(maxbfy)(xf ba,),(minbfy)(maxafy)(xf ba,),(ba7186223 xxxy求函数求函数4,1在在上的最大值上的最大值与最小值与最小值.，0 y29xyoab0 xxyabo0 x注意：注意：30,)2()(2xxaxV ).2,0(ax.0)(xV)6)(2()(xaxaxV )2,0(a，6ax 6ax )(xVxa2 31值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.极大值可能小于极小极大值可能小于极小
