1、积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分 曲面积分 数量场与向量场ABis1iMiM),(ii第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分定义定义 设线曲形固件在平面线质求曲型固引件的例量.1(,)iiiiMM，01,nAMMMB划分01limniM做法：所占弧段(,)x y为线为AB，密度.12max,nsss(,)iiis 第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分L
2、设 L 是xOy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在 L上有界,(,)kkkfs 都存在,(,)f x yL上对弧长的曲线积分,记作(,)dLf x ys若通过对 L 的任意分割局部的任意取点,下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.(,)f x y称为被积函数，L 称为积分弧段.注：注：nk 10limks1kMkM(,)kk 和对d0s 第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分(2)(,)dLk f x ys（k 为常数)(3)(,)dLf x ys(L由 组成)12,LL(4)dLs(l 为曲线弧 L 的长度)(1)(,)dLf x ys(,)g x y(,)dLf
3、 x ys(,)dLg x ys(,)dLkf x ysl12(,)d(,)dLLf x ysf x ystttttfsdyxfLd)()()(,)(),(22基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理 ),(yxf设且)()(tty上的连续函数,解释解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分弧微分：22d()()dsttt又(x,y)在L上 22(,)d(),()()()dLf x ysfttttt第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则syxfLd),()sin)(
4、,cos)(rrf推广推广:设空间曲线弧的参数方程为:(),(),()()xtytztt 则(,)df x y zsttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf)(,()(),(,)(tttf计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B(1,1)之间的一段弧.解解 )10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd41102132201(14)12x)155(121上点 O(0,0)1Lxy2xy o)1,1(B第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分化为定积分时上限一定大于下限计算曲线积分222()d,xyzs其中为螺旋的一段弧.解解 222()d
5、xyzs22220(cos)(sin)()atatkt2222220dakak tt222222(34)3akaktktatad)cos()sin(222cos,sin,(02)xat yat zk tt 线第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分计算2d,xs 其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周.0zyx解解 由对称性可知2dxs 22221d()d3xsxyzs21d3as 2123aa323a2dys 2dzs 第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分也有类似于重积分的对称性221,34xya设的周长为例例第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分2243)
6、d2dLLxysxy s=解原式（12d12Lsa 22423)d.Lxxyys 求（:定积分、二重积分、三重积分的积分域注注第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分方程不能代入到被积函数中.而曲线、曲面的积分，积分域方程可代入到被积函数中.2d:(1);(2):;(3):.xy sOABOB yxOMB yxL求例例解解(1,1)B(1,0)AoM12021 1d3xx(2)101ddd2OAABxy sxy sy y(1)113222200114d14d2xxxxxx(3)第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分122201(141)14d8xxx311222220011(14)d14
7、d88xxxx5524(,)dABMx ys质量质心(,)d/(,)d/LLxxx ysMyyx ysM转动惯量2222(,)d(,)d()(,)dxLyLoLIyx ysIxx ysIxyx ys第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分1221212222()(),()()()d()()(,()1()d()(),)1()dbabaxtftttttytyy xfx y xyxxxx yfx yxxyy质心坐标定义及性质质量,转动惯量轮换对称对称性奇偶对称第一类曲线积分计算第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分 引例引例 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点 A 沿光滑曲线弧 L
8、 移动到点 B,ABLxycosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:变力所作的功W.ABF ABF(,)(,)(,)F x yP x y iQ x y j第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分1kMkx第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分kMABxy2)“常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替,),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在ky4)“取极限取极限”nkW1kk
9、kkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的最大长度)LyyxQxyxPd),(d),(记作第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向弧 L 上LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数第二类曲线积分第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限),(,),(),(yxQyxPyx
10、F记作),(yxF第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ对 x 的曲线积分;对 y 的曲线积分.若 为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs d(,)d(,)dLLFsP x yxQ x yy ),(,),(,),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFd(,)d(,)d(,)dFsP x y zxQ x y zyR x y zz )d,d,(ddzyxs 类似地,第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分性质性质 1212(1)dddddd()LLLP xQ yP
11、xQ yP xQ yLLL(3)(,)d(,)d(,)d(,)dLLP x y x Q x y yP x y x Q x y y(2)(dd)ddLLk P xQ ykP xQ y 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向.第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分定理定理 ),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证证 下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在,且有对应参数设根据定义i
12、x,it),(ii点,i1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(,)(limiit)(niiiP10)(,)(limiit)()(t对应参数同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分若 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧:类似有(,)d(,)d(,)dP x y zxQ x y zyR x y zz)(t
13、)(t)(t)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd)(,)(),(tttP,:)()()(ttztytx第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分1132003(3)d2 d4xxxx x原式dd,:(1);(2);(3);(4);(5).Lxy xy yLOABOBOMBONBOCB求例例解解(1)ddddOAABxy xy yxy xy y原式2yx2xyxyO(1,0)A(1,1)B(0,1)CMN110010dd2xy y1120052dd6xxx x()原式第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分(5)ddddOCCBxy xy yxy xy y原式113009(4)
14、2 dd10yy yy y原式2yx2xyxyo(1,0)A(1,1)B(0,1)CMN1100dd1y yx x第二类曲线积分计算的步骤：.(1)画图,求交点(2),确定积分弧段方程的形式,找到与之形式相一致的变量,求出该变量的始点与终点的值将积分弧段方程代入被积函数中得一定积分ozyx()d()d()d,Izyxxzyxyz其中221:,2xyxyz从 z 轴正向看为顺时针方向.解解 取 的参数方程,sin,costytx2cossin(:20)zttt20I tttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(cos220(1 4cos)dtt)sin)(cos2(tt
15、 2 第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系设有向光滑弧 L 参数方程为(),():xtytt ab则L上(x,y)处的切向量为(),()Ttt则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(),()()(),()()dbaPtttQtttt22()(),()()()batPtttt2222()(),()()()d()()tQttttttt22()cos()()ttt22()cos()()ttt第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分dddP xQ yR zcoscoscosdPQRs令tAd
16、tAs,),(RQPA)d,d,(ddzyxs)cos,cos,(costdAs dA t s 记 A 在 t 上的投影为则LsyxQyxPdcos),(cos),(dAs 第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分12(,)d(,)ddddddd(),(),()d:(),(),()()d:()ddcoscosdLLLLLLbaLLP x yxQ x yyP xQ yP xQ yP xQ yxtPtQttLytP xxQ xxtxL yxPxQyPQs 定义：定义及性质性质：，计算，关系：D设单连区线 围通域 由分段光滑正向曲格林公式L：成，复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD(,),
17、(,)P x y Q x yD数阶连续导数函在 上有一,dd()d dLDQPP x Q yx yxy则有12(,)()(),Dx yxyx axb设证证yxOab1()yx2()yxDABnmdddLAmBBnAP xP xP x12(,()d(,()dbaabP xxxP xxx21(,()(,()dbaP xxP xxx21()2()1()d ddd(,)d()bxbaxaDxPPx yxyP x yxxyy 21(,()(,()dbaP xxP xxx dd dLDPP xx yy 即dd dLDQQyxyx 同 理()d dddLDQPx yP xQ yxy 两 式相加得D设复连通区
18、域 由分段光滑正向曲线格林公式：LDl(,),(,)LlP x yQ x yD 围成，函数在上有阶连续一偏导数,则有dd()d dL lDQPP xQ yx yxy e cosd(e sin)dxxLyxyxy 例例LDO(2,0)Am22:(1)1Lxy (,)e cos,xP x yy设解解(,)e sinxQ x yyx e sin1,e sinxxQPyyxy ()d dd d2DDQPx yx yxy 原式LL llL lllD e cosd(e sin)dxxLy xyxy 例例LAmO（如图）e sin1,e sinxxQPyyxy 解解DO(2,0)Ame cosd(e sin
19、)dxxLOAyxyxy 原 式e cosd(e sin)dxxOAyxyxy 10d de de12xDx yx 2222dd,:1Ly xx yL xyxy .正向例例dd2d d2LDy xx yx y 原式解解cos:02sinxtLtyt 解解220sin(sin)dcosd21tttt t 原式L2222dd,:14Ly xx yL xyxy .正向例例2224,xy 令解解cos,2sinxtyt则Dl2222,44yxPQxyxy222222222244,(4)(4)PxyQxyyxyxxy2222dddd44Llly xx yy xx yIxyxy22202211sin(si
20、n)dcosd220d dDtttt tx y2222dd:,:(1)24Ly xx yLxyxy 练习 021()d2t LDl22dd,Ly xx yxy 特特例例2222,yxPQxyxy解解LlD:i)ii)L不含原点(连续)包含原点 Di)()d d0QPxyxy 原式222ii):()l xy 顺时针ddddLllP xQ yP xQ y()ddDQPxyxy2222022 sincosd2ttt 22=0,=e,eyyQPPQxxy解解令D(1,1)AO(0,1)B2ed d.yDx y 例例22ed dedyyLDx yxy 2edyOAABBOxy21101ed(1e)2xx
21、x11=dd(11)d d22LDSx yy xx y12:,()()Daxbxyx闭 区 域21()()()dbaS Dxxx则 GyxO1L2LBA1ddLP xQ y则称曲线积分则称曲线积分定义定义 如果在区域如果在区域 G 内有内有ddLP xQ y在在 G内与路径无关内与路径无关,否则称为与路径有关否则称为与路径有关.2ddLP xQ y定理定理 设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)yQxPdd),(yxud(,)dd.u x yPxQy(4)在
22、D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 设21,LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(dd
23、yxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 设存在函数 u(x,y)使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP,Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式格林公式,得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕yx根据定理,若在某区域内,xQyP则2)可用积分法求d u=P dx+Q
24、dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu.)0,0(.),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd02222
25、1yx(,)PQP Qyx设()(,)f u 设在连续可导,则曲线积分例例2222()d()1d.Ly fxyxxy fxyyyy21+与路径无关20,3123LyL在内分段光滑 并计算(,)(,)的值.2222()()1,xy fxyPy fxyQyy21+证0,PQyyx连 续,ddLPxQy与 路 径 无 关21()2()()PQfxyxyf xy fxyyyx 2(1,2)2(3,)3ddP xQy原 式122332(,)d(1,)d3P xxQyy122222331222233222232233221()d()d233322(2)()d()()d12334()d()d4fxxfyyy
26、fxxfyyfyyfyy dd.,.LP xQ ya b与路径无关求参数 或222222()()dd,:(1,1)(0,2)cx xyxxyIxyyycAB例例222222()(),x xyxxyPQyy 解解设=2212222()2()Pxyyxyxyy222221212()()2 Qx xyxxyxxy PQyx2232212()2()x xyxxy221222()2()x xyyx xy1 222222dd()()cxxIxyy xyyxy02211d0d(1)xxyx201ln(1)12x1ln 22 DLDLl单连通类 一阶偏导连续格封闭正向林公复连通式类 一阶偏导连续封闭正向1.(
27、)d d2.,dd3.,4.DLQPx yxyPQLyxP x Q yPQyx三条件满足连续 不封闭不连续(三种方法)求面积5.求二重积分21221,()d,dddd,.ddd,DL llLLLQPxyQPLQPxyxyQPLP xQ yxyQPP xQ yQQQP xQ yQ yxyQPxy与路径无关封闭:连续格林公式不封闭:代入法:积分域方程同被积函数方程形式一致 将积分域方程代入被积函数不连续 直接法:设参数方程挖去不连续的点(,),x y z引引例例是空间光滑曲面，面密度为求其质量.12:,:,n 分方法划oxyz),(kkkmax,.iiis的直径为 的面积(,)iiii 01lim
28、(,)niiiiiMs (,)dMx y zS设 为光滑曲面,“乘积和式极限”kkkkSf),(nk 10lim都存在,曲面积分(,)df x y zS其中 叫做积分曲面.据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为dSSf(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作若对 做任意分割和局部区域则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上第一类任意取点,12i)(,)d(,)d(,)df x y zsf x y zsf x y zs1212ii)(,)(,)d(,)d(,)dk fx y zk g x y zskfx y zsk g x y zsiii).:,(,)d(,)d(,)dabxyzx
29、f x y zsf z x ysfy z xs奇偶对称性与三重积分相同轮换对称 若不变.则 例例判断222222111)()d8dxyzxyzxy sz s222222222111dd00dxyzxyzxyzx sy sz s左边=22222222222221111142)d()dd333xyzxyzxyzx sxyzss 对面积的曲面积分可将积分域方程代入到被积函数中22222222211100,0,00,0,03)d4d4dxyzxyzxyzzxyzxyzz sz sx s22222211()145)dd()()()33()0,()0,()0)xyzxyzf xssf xf yf zf x
30、f xf x222222114)d()d0 xyzxyzxyz sxyzsoxyz定理定理 设有光滑曲面:(,),(,)xyzz x yx yDf(x,y,z)在 上连续,存在,且有(,)df x y zS(,)x yDf x y(,)df x y zS),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122则曲面积分证证 由定义知(,)df x y zS kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(kS22()1(,)(,)d dkx yxyzx yzx yx y221(,)(,)()xkkykkkxyzz 0limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(12222(,
31、)1(,)(,)d dx yxyDf x yzx yzx yx y),(yxz),(,(kkkkzf(,)df x y zS而(,)df x y zs求的步骤：1(,)zz x y)观察积分域方程的形式,转化为2:(,)xy zz x yxOyD)将在上投影得到,(,)(,)yy x zxx y z或或22d1d d(,)xyszzx yzz x y将与代入(,)df x y zs 中,得到二重积分22,(,)1d dxyxyDf x y z x yzzx y22(,),(,),1d dxzxzDyy x zf x y x z zyyx z同理:222()d.xyzs例例22:1,:1,:2z
32、xyz123分为解解22(,),(,),1d dyzyzDxx y zf x y z y zxxy z22:11,2 xyzz与围成的表面.xyzo2 2:yOz2将 向面投影有123222()d Ixyzs2:11,12,1yzDyzxy xyzo2 222221(1)d dxyxyx y22111212(1)d d1yzzy zy 22221(4)d dxyxyx y12i).n:注注222ii):.xyRxOzyOz将投影到或上iii),在没投影前 将积分域方程代入被积函数中;投影后,被积函数的变量与积分域的变量相同.d,xyz S其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111
33、解解 设上的部分,则1234,dxyzS4:1,zxy 1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0zyx10d3xx1zyx1234Szyxd 原式=分别表示 在平面 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型)其方向用法向量指向表示:方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当
34、=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.n流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为d d dPQRx y zxyzn方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,M在上式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M(记作 则有),MlimMV1limd ddMPQRxyzVxyz(,)limMPQRxyz MzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.(,)设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一
35、阶偏导数,是场内的一片有向 曲面,其单位法向量 n,则称dA n S 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是无源场.说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解 3ryy3rzz 35
36、22rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(r qEdiv斯托克斯公式()d d()d d()d dQQRPRPyzzxxyy zz xx ydddPxQyRz 设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 coscoscosdQQRPRPyzzxxyS(coscoscos)dPQRs)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos令,引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义 ddd
37、dPxQyRzAs沿有向闭曲线 的环流量环流量.rotddA n SAs 或(rot)ddnASAs 于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为,r),0,0(点 M 的线速度为rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2,0,0(2(此即“旋度”一词的来源)向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系!(rot)ddnASAs 为向量场 A 沿 的环流量例例 求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度.解解 )0,0,0(除原点外)3rxq3ryq3
38、rzq德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之 为纳维 斯托克斯方程),1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分 五卷 出版.
