1、)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.(叠加原理叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理5.1 )(11yCxP )(11yCxQ0证证)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC 例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线
2、性相关与 线性无关概念.例如例如,方程0 yy有特解,cos1xy,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21xytan21y基本思路基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化二阶常系数齐次线性微分方程),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r 为待定常数),x
3、rer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(u(x)待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru当042qp时,特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理,
4、得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx小结小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.例例5.145.14032 yyy求方程的通解.解解 特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例5.155.15 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C例例5.165.16052)4(yyy求方程的通解.解解 特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex
