北京市2022届高三数学模拟试卷（18份打包）.zip

高三数学模拟测试试卷 高三数学模拟测试试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABC或D或2已知，则 a，b，c 的大小关系为（）ABCD3在的展开式中，第 4 项的系数为（）A-80B80C-10D104将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（）ABCD5周牌算经中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后 20 位数字分别为14159 26535 89793 23846若从这 20 个数字的前 10 个数字和后 10 个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）ABCD6已知双曲线的左、右焦点分别为，P 为 C 右支上一点若的一条渐近线方程为，则（）ABCD7已知，则“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知点在直线上则当变化时，实数 a 的范围为（）ABCD9已知等差数列与等比数列的首项均为3，且，则数列（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项10如图，已知正方体的棱长为 1，则线段上的动点 P 到直线的距离的最小值为（）A1BCD二、填空题二、填空题11已知复数满足，则 ，12已知奇函数的定义域为 R，且，则的单调递减区间为 ；满足以上条件的一个函数是 13已知向量，满足，且，则 14已知抛物线，为 C 上一点，轴，垂足为 Q，F 为 C 的焦点，O 为原点若，则 15某公司通过统计分析发现，工人工作效率 E 与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短则甲比乙劳累程度弱其中所有正确结论的序号是 三、解答题三、解答题16在中，（1）求；（2）从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求 c 和的值条件：，边上中线的长为；条件：，的面积为 6；条件：，边上的高的长为 217某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了 100 名男生和 100 名女生的视力数据分别计算出男生和女生从小学一年级（2010 年）到高中三年级（2021 年）每年的视力平均值，如图所示（1）从 2011 年到 2021 年中随机选取 1 年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从 2010 年到 2021 年这 12 年中随机选取 2 年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值求的分布列和数学期望：（3）由图判断，这 200 名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）18如图，平面平面，、分别为、的中点，（1）设平面平面，判断直线 l 与的位置关系，并证明；（2）求直线与平面所成角的正弦值19已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，曲线在轴的上方，求实数 a 的取值范围20已知椭圆的右顶点为，离心率为过点与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线，分别交直线于点 M，N（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 O 为原点求证：21对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，对于数列，与，定义若数列，满足，则称数列为数列（1）若，写出，并求；（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：（3）若数列满足，求数列 A 的个数答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】A3【答案】A4【答案】B5【答案】D6【答案】C7【答案】B8【答案】B9【答案】A10【答案】D11【答案】1+2i；12【答案】（-1，1）；（答案不唯一）13【答案】-114【答案】15【答案】16【答案】（1）解：，即，又，故，；（2）解：选，设的中点为，在中，由余弦定理可得，即，解得或，故有两组解，不合题意；选，由，的面积为 6，故，由，可得，由，可得；选，又边上的高的长为 2，由，可得.17【答案】（1）解：由折线图可知：从 2011 年到 2021 年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有 3 个；所求概率.（2）解：从 2010 年到 2021 年这 12 年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有 4 个；所有可能的取值为，；则的分布列为：012的数学期望.（3）解：由折线图知：自 2010 年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，自 2010 年开始的连续三年，200 名学生的视力平均值波动幅度最小，则自 2010 年开始的连续三年，200 名学生的视力平均值方差最小.18【答案】（1）证明：、分别为、的中点，在APC 中，DOPC，DO平面 BOD，PC平面 BOD，PC平面 BOD，PC平面 PBC，平面 PBC平面 BOD=l，根据线面平行的性质定理可知 PCl；（2）解：AB=BC，O 是 AC 中点，BOAC，平面平面，平面平面=AC，BO平面 ABC，BO平面 APC，同理AP=PC，POAC，PO 垂直平面 ABC，故 OB、OC、OP 三线两两垂直，故可以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系由题可知 AC=8，AB=BC=，OA=OC=OB=4，OP=3，则，则，设平面 BOD 的法向量为，则，取，则，则，直线与平面所成角的正弦值19【答案】（1）解：当时，曲线在点处的切线方程为；（2）解：函数，当时，由有，故曲线在轴的上方，当时，由可得或（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，当即时，所以在上单调递增，则，即曲线在轴的上方，当即时，在上单调递减，在上单调递增，则，由时，曲线在轴的上方，解得，所以；综上，实数 a 的取值范围为.20【答案】（1）解：由题得所以椭圆 E 的方程为.（2）证明：要证，只需证，只需证明只需证明只需证明设，只需证明只需证明.设直线 l 的方程为，联立椭圆方程得，设，所以，又三点共线，所以，同理，所以，所以所以.所以.21【答案】（1）解：由，可得，；（2）解：，由数列 A 为数列，所以，对于数列，中相邻的两项，令，若，则，若，则，记中有 个-1，有个 1，则，因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，故不存在适合题意的数列；（3）解：首先证明，对于数列，有，故，其次，由数列为数列可知，解得，这说明数列中任意相邻两项不同的情况有 2 次，若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个. 高三数学模拟测试试卷 高三数学模拟测试试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则（）ABC或D或【答案】C【知识点】补集及其运算【解析】【解答】因为集合，所以或.故答案为：C.【分析】根据补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.2已知，则 a，b，c 的大小关系为（）ABCD【答案】A【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调区间【解析】【解答】，所以故答案为：A【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性可得结论3在的展开式中，第 4 项的系数为（）A-80B80C-10D10【答案】A【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为的展开式的通项公式为，令，则展开式中第 4 项的系数为，故答案为：A.【分析】先写出的展开式的通项公式，再令，即得.4将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（）ABCD【答案】B【知识点】诱导公式【解析】【解答】由函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数为.故答案为：B.【分析】由三角函数图象平移求解即可.5周牌算经中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后 20 位数字分别为 14159 26535 89793 23846若从这 20 个数字的前 10 个数字和后 10 个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）ABCD【答案】D【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】因为从这 20 个数字的前 10 个数字中有 7 个奇数，后 10 个数字中有 5 个奇数，所以从这 20 个数字的前 10 个数字和后 10 个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.故答案为：D.【分析】利用古典概型概率公式即得.6已知双曲线的左、右焦点分别为，P 为 C 右支上一点若的一条渐近线方程为，则（）ABCD【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题可知，因为的一条渐近线方程为，所以，所以.故答案为：C.【分析】利用双曲线的定义可得，结合条件可得，进而可得，即得.7已知，则“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由，可得或，即或，所以由“”推不出“”，由“”可推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件故答案为：B【分析】利用正弦函数性质得出，的关系，然后根据充分必要条件的定义判断8已知点在直线上则当变化时，实数 a 的范围为（）ABCD【答案】B【知识点】两角和与差的正弦公式【解析】【解答】点在直线上，其中，即，解得或.故答案为：B.【分析】由题可得，然后利用三角函数的性质可得，即得.9已知等差数列与等比数列的首项均为3，且，则数列（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】A【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【解析】【解答】，则，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，设，则，即时，时，即数列，从到递增，从往后递减，由于中奇数项都是负数，偶数项都是正数，所以中，最大，又，所以是最小项故答案为：A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中奇数项都是负数，偶数项都是正数，然后设，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值10如图，已知正方体的棱长为 1，则线段上的动点 P 到直线的距离的最小值为（）A1BCD【答案】D【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，动点 P 到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点 P 到直线的距离的最小值为.故答案为：D.【分析】利用坐标法，设，可得动点 P 到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.二、填空题二、填空题11已知复数满足，则 ，【答案】1+2i；【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】，.故答案为：1+2i；.【分析】利用复数的除法化简得到，利用复数的模长公式即得.12已知奇函数的定义域为 R，且，则的单调递减区间为 ；满足以上条件的一个函数是 【答案】（-1，1）；（答案不唯一）【知识点】函数单调性的性质【解析】【解答】由可得，所以或，所以当或时，当时，所以的单调递减区间为（-1，1），所以满足条件的一个函数可以为（答案不唯一）故答案为：（-1，1），（答案不唯一）【分析】由可得，从而可得或，进而可求出的单调递减区间，由导函数的单调区间可求得满足条件的一个函数.13已知向量，满足，且，则 【答案】-1【知识点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】因为，所以.所以.故答案为：-1.【分析】利用数量积的定义和运算律直接计算.14已知抛物线，为 C 上一点，轴，垂足为 Q，F 为 C 的焦点，O 为原点若，则 【答案】【知识点】直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】不妨设在轴上方，由，可设直线，由，可得，又，.故答案为：.【分析】由题可设直线，进而可得，即得.15某公司通过统计分析发现，工人工作效率 E 与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短则甲比乙劳累程度弱其中所有正确结论的序号是 【答案】【知识点】指数函数的图象与性质；幂函数的性质【解析】【解答】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，对于，则，即甲比乙工作效率高，故正确；对于，则，即甲比乙工作效率高，故正确；对于，所以，即甲比乙劳累程度弱，故错误；对于，所以，即甲比乙劳累程度弱，故正确.故答案为：.【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.三、解答题三、解答题16在中，（1）求；（2）从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求 c 和的值条件：，边上中线的长为；条件：，的面积为 6；条件：，边上的高的长为 2【答案】（1）解：，即，又，故，；（2）解：选，设的中点为，在中，由余弦定理可得，即，解得或，故有两组解，不合题意；选，由，的面积为 6，故，由，可得，由，可得；选，又边上的高的长为 2，由，可得.【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）利用正弦定理及特殊角三角函数值即得；（2）选利用余弦定理可得不合题意，选利用正弦定理，余弦定理及面积公式即求，选利用和角公式及正弦定理即得.17某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了 100 名男生和 100 名女生的视力数据分别计算出男生和女生从小学一年级（2010 年）到高中三年级（2021 年）每年的视力平均值，如图所示（1）从 2011 年到 2021 年中随机选取 1 年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从 2010 年到 2021 年这 12 年中随机选取 2 年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值求的分布列和数学期望：（3）由图判断，这 200 名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）解：由折线图可知：从 2011 年到 2021 年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有 3 个；所求概率.（2）解：从 2010 年到 2021 年这 12 年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有 4 个；所有可能的取值为，；则的分布列为：012的数学期望.（3）解：由折线图知：自 2010 年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，自 2010 年开始的连续三年，200 名学生的视力平均值波动幅度最小，则自 2010 年开始的连续三年，200 名学生的视力平均值方差最小.【知识点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）根据折线图可确定该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个，由此可计算得到概率；（2）由折线图知女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个，根据超几何分布概率公式可确定每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；（3）根据折线图可确定自 2017 年开始的连续三年，学生视力波动程度最小，由此可得结论.18如图，平面平面，、分别为、的中点，（1）设平面平面，判断直线 l 与的位置关系，并证明；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明：、分别为、的中点，在APC 中，DOPC，DO平面 BOD，PC平面 BOD，PC平面 BOD，PC平面 PBC，平面 PBC平面 BOD=l，根据线面平行的性质定理可知 PCl；（2）解：AB=BC，O 是 AC 中点，BOAC，平面平面，平面平面=AC，BO平面 ABC，BO平面 APC，同理AP=PC，POAC，PO 垂直平面 ABC，故 OB、OC、OP 三线两两垂直，故可以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系由题可知 AC=8，AB=BC=，OA=OC=OB=4，OP=3，则，则，设平面 BOD 的法向量为，则，取，则，则，直线与平面所成角的正弦值【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】(1)根据线面平行的判断定理和性质定理即可判断；(2)以 O 为原点，OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量法即可求出直线 与平面 所成角的余弦值和正弦值19已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，曲线在轴的上方，求实数 a 的取值范围【答案】（1）解：当时，曲线在点处的切线方程为；（2）解：函数，当时，由有，故曲线在轴的上方，当时，由可得或（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，当即时，所以在上单调递增，则，即曲线在轴的上方，当即时，在上单调递减，在上单调递增，则，由时，曲线在轴的上方，解得，所以；综上，实数 a 的取值范围为.【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即得；（2）由题可知，当时适合题意，当时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得.20已知椭圆的右顶点为，离心率为过点与 x 轴不重合的直线 l交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线，分别交直线于点 M，N（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 O 为原点求证：【答案】（1）解：由题得所以椭圆 E 的方程为.（2）证明：要证，只需证，只需证明只需证明只需证明设，只需证明只需证明.设直线 l 的方程为，联立椭圆方程得，设，所以，又三点共线，所以，同理，所以，所以所以.所以.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）由题意得到关于的方程组，解方程组即得解；（2）设，只需证明.设直线 l 的方程为，联立椭圆方程得韦达定理，根据三点共线得到，求出即得证.21对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，对于数列，与，定义若数列，满足，则称数列为数列（1）若，写出，并求；（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：（3）若数列满足，求数列 A 的个数【答案】（1）解：由，可得，；（2）解：，由数列 A 为数列，所以，对于数列，中相邻的两项，令，若，则，若，则，记中有 个-1，有个 1，则，因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同，故不存在适合题意的数列；（3）解：首先证明，对于数列，有，故，其次，由数列为数列可知，解得，这说明数列中任意相邻两项不同的情况有 2 次，若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个.【知识点】数列的函数特性；数列的应用【解析】【分析】（1）利用变换的定义即可；（2）利用数列的定义，记中有 个-1，有个 1，则，进而得证.（3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 高三数学高考二模试卷 高三数学高考二模试卷一、单选题一、单选题1在复平面内，复数对应的点的坐标是(2，1)，则复数=（）A2B12C2+D1+22“1”是“2 1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数=2cos21是（）A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 2 的奇函数D最小正周期为 2 的偶函数4在(22)6的展开式中，常数项为A-240B-60C60D2405已知两条不同的直线 l，m 与两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 6小王每天在 6：30 至 6：50 出发去上班，其中在 6：30 至 6：40 出发的概率为 0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为 0.1；在 6：40 至 6：50 出发的概率为 0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为 0.2，则小王某天在 6：30 至 6：50 出发上班迟到的概率为（）A0.13B0.17C0.21D0.37已知=30.5，=log32，=tan23，则（）A B C D 8设等差数列的前 n 项和为若2 3 0，则下列结论中正确的是（）A3 0B21 0C2+3 3 59已知偶函数()在区间0，+)上单调递减若(lg)(1)，则 x 的取值范围是（）A(110，1)B(0，110)(1，+)C(110，10)D(0，110)(10，+)10已知双曲线 C：2222=1（0，0）的左、右顶点分别为1，2，左、右焦点分别为1，2以线段12为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 M，且点 M 在第一象限，2与另一条渐近线平行若|1|=21，则 22的面积是（）A3 32B7 32C3 34D7 34二、填空题二、填空题11已知向量=(2，3)，=(6，)若 ，则=12已知抛物线 C：2=8，则抛物线 C 的准线方程为 13在 中，=2，=3，=2，则cos=14如图，某荷塘里浮萍的面积 y（单位：2）与时间 t（单位：月）满足关系式：=ln（a 为常数），记=()（0）给出下列四个结论：设=()()，则数列是等比数列；存在唯一的实数0(1，2)，使得(2)(1)=(0)成立，其中()是()的导函数；常数 (1，2)；记浮萍蔓延到22，32，62所经过的时间分别为1，2，3，则1+2 3其中所有正确结论的序号是 15在平面直角坐标系中，已知点(2，2)，动点 N 满足|=1，记 d 为点 N 到直线 l：+12=0的距离当 m 变化时，直线 l 所过定点的坐标为 ；d 的最大值为 三、解答题三、解答题16如图，在正三棱柱111中，1=，D 为 BC 的中点，平面11 平面=（1）求证：11；（2）求平面11与平面1夹角的余弦值17已知数列的前 n 项和为，在条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件：1=1且21=0(2)；条件：=21；条件：2=1注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（1）求数列的通项公式；（2）设数列1的前 n 项和为若对任意 ，不等式 0)经过点(2，1)，P 到椭圆 C 的两个焦点的距离和为4 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）设(4，0)，R 为 PQ 的中点，作 PQ 的平行线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，直线 AQ与椭圆 C 交于另一点 M，直线 BQ 与椭圆 C 交于另一点 N，求证：M，N，R 三点共线21设1=1，1，2=2，2，=，+1=+1，+1，是+1()个互不相同的闭区间，若存在实数0使得0(=1，2，+1)，则称这+1个闭区间为聚合区间，0为该聚合区间的聚合点（1）已知1=1，3，2=2，sin(0 )为聚合区间，求 t 的值；（2）已知1=1，1，1=2，2，=，+1=+1，+1为聚合区间（）设0，0是该聚合区间的两个不同的聚合点求证：存在 k，1，2，+1，使得，(=1，2，+1)；（）若对任意 p，q（且 p，1，2，+1），都有，互不包含求证：存在不同的 i，1，2，+1，使得1()答案解析部分答案解析部分1【答案】A2【答案】A3【答案】B4【答案】D5【答案】B6【答案】B7【答案】A8【答案】D9【答案】C10【答案】C11【答案】412【答案】y=-213【答案】3314【答案】15【答案】（-1，2）；616【答案】（1）证明：连接1，平面平面111，平面 平面11=，平面111 平面11=11，11（2）解：设1=2m以 D 为坐标原点，AD 为 x 轴，CD 为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0，0，0)，(3，0，0)，1(3，0，2)，1(0，2)设平面11的法向量为=(1，)1=(3，0，2)，1=(0，2)联立方程 1=3+2=0 1=+2=0解得：=3，=32=(1，3，32)同理求得平面1的法向量=(0，1，0)cos=|=3192=2 5719平面11与平面1夹角的余弦值的余弦值为2 571917【答案】（1）解：选条件：因为1=1，且21=0(2)，即=21所以数列是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以=21.选条件：当=1时，1=1=1当 2时，=1=21(211)=221=21因为当=1时，上式也成立，所以=21.选条件：因为2=1，得=21当=1时，211=1，得1=1当 2时，=1=21(211)=221整理得=21所以数列是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以=21.（2）解：由（1）知，1=121，记=1=121因为1=121122=12，1=120=1所以是以 1 为首项，12为公比的等比数列所以=1(12)112=2121 2所以 m 的最小值为 218【答案】（1）解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的 4 张卡片上都印有“幸”字”为事件，则()=148=170，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的 4 张卡片上都印有“幸”字的概率为170（2）解：依题意随机变量的所有可能取值为 0、5、10；则(=0)=24 2448=1835，(=5)=34 14+34 1448=1635，(=10)=44 04+04 4448=135，所以的分布列为：051018351635135所以()=10 135+5 1635+0 1835=187（3）解：记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则=3，所以()=(3)=()3=1873=37 0，所以我不愿意再次参加该项抽奖活动19【答案】（1）解：当=1时，()=+1，则()=(+1)()2=，令()=0，即=0，所以当 0，()单调递增；当 0时，()0；当 (0，+)时，()0；当 (0，+)时，()0；所以()在 (，0)上单调递增，在 (0，+)上单调递减，所以()在=0处取得极大值也是最大值，且(0)=101=0，故+1(1)1 0（3）解：当 0时，（）2+(1)+1恒成立20【答案】（1）解：根据椭圆的定义可得2=4 2，解得=2 2，又过点(2，1)，所以42+12=1，解得2=2，所以椭圆 C 的方程为28+22=1（2）证明：因为(2，1)，(4，0)，所以(3，12)，=1024=12，设直线 l 的方程为=12+，(1，1)，(2，2)，(，)，(，)，所以=114，=224，所以直线 AQ 的方程为=114(4)，直线 BQ 的方程为=224(4)，联立直线 AQ 与椭圆=114(4)28+22=1，消去 x 可得(141)2+42+8(14)1+8=0，所以1+=8(14)1(141)2+4，又128+122=1代入，整理可得=8(14)124811=131，代入直线 AQ，可得=83131同理可得=232，=83232，所以=2321318323283131=3(12)+122121=32+1(122+)2(121+)21=32又=123=13112831313=(121+)12(31)8313(31)=32=，所以 M，N，R 三点共线21【答案】（1）解：由 0t 可得0 sin 1，又1，2为聚合区间，由定义可得1 2，故当且仅当sin=1时成立，故=2（2）证明：（）由0，0是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设0 0，因为0(=1，2，+1)，故1，2.+1 0，又0(=1，2，+1)，故0 1，2.+1，不妨设1，2.+1中的最大值为，1，2.+1中最小值为，则1，2.+1 0 0 1，2.+1，即1，2.+1 1，2.+1，故存在区间，(=1，2，+1)（）若存在=()，则 或，与已知条件矛盾不妨设 1 2.+1，则+1，所以+11 0，所以(1)+(+1)，即+1，所以+1=(+1)1()，此时取=，=+1，则1()，当+1=时，同理可取=+1，=，使得1()，综上，存在不同的 i，1，2，+1，使得1() 高三数学高考二模试卷 高三数学高考二模试卷一、单选题一、单选题1在复平面内，复数对应的点的坐标是(2，1)，则复数=（）A2B12C2+D1+2【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由复数对应的点的坐标是(2，1)，可得=2+，故=2，故答案为：A.【分析】根据复数对应的点的坐标是(2，1)，可直接求得复数，再利用共轭复数的概念求解.2“1”是“2 1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】因为由 12 1，由 2 1 推不出 1，有可能 1”是“2 1”的充分不必要条件，故答案为：A.【分析】判断充分必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，显然 1 能推出 2 1，但是 2 1 不一定能推出 1，有可能 B C D 【答案】A【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由题意得=30.5 30=1，0=log31 log32 log33=1，所以0 .故答案为：A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将 a，b，c 与 0 或 1 比较，分析即可得答案.8设等差数列的前 n 项和为若2 3 0，则下列结论中正确的是（）A3 0B21 0C2+3 3 5【答案】D【知识点】基本不等式；等差数列；等差数列的性质【解析】【解答】解：因为2 3 0，A 不符合题意；3=32 0，所以2 0，B 不符合题意；所以等差数列为递增数列，则4 0，5 0，3 5，则3+5 2 3 5，所以24=3+5 2 3 5，所以4 3 5，D 符合题意；对于 C，当1=3，=2时，2=1，3=1，2=4 3=3 0。此时2+3=0，C 不符合题意.故答案为：D.【分析】根据2 3 0，可得2 0，从而可判断 AB，举出反例即可判断 C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断 D.9已知偶函数()在区间0，+)上单调递减若(lg)(1)，则 x 的取值范围是（）A(110，1)B(0，110)(1，+)C(110，10)D(0，110)(10，+)【答案】C【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：偶函数()在区间0，+)上单调递减，所以()在区间(，0上单调递增；则(lg)(1)等价于|lg|1，即1 lg 1，即lg110 lg lg10，解得110 0，0）的左、右顶点分别为1，2，左、右焦点分别为1，2以线段12为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 M，且点 M 在第一象限，2与另一条渐近线平行若|1|=21，则 22的面积是（）A3 32B7 32C3 34D7 34【答案】C【知识点】圆的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】解：由题意1(，0)，2(，0)，1(，0)，2(，0)，则以线段12为直径的圆的方程为2+2=2，联立2+2=2=，解得=2=或=2=，又因点 M 在第一象限，所以(2，)，因为2与直线=平行，所以2=，即=，所以=2，则2=22=32，因为|1|=(2+)2+()2=21，所以(522)2+(2)2=21，即2524+24=2524+324=21，所以2=3，则2=12，2=9，所以(32，32)，2(3，0)，2(2 3，0)，所以22=12(2 3 3)32=3 34.故答案为：C.【分析】求得以线段12为直径的圆的方程为2+2=2，与渐近线=联立求出点 M 的坐标，根据2与另一条渐近线=平行可求出 a，b，c 的关系，然后根据|1|=21，即可求出 a，b，c 的值，从而求解 22的面积.二、填空题二、填空题11已知向量=(2，3)，=(6，)若 ，则=【答案】4【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：因为=(2，3)，=(6，)且 ，所以 =2 6+3 =0，解得=4；故答案为：4【分析】依题意可得 =2 6+3 =0，根据向量数量积的坐标表示得到方程，求解即可.12已知抛物线 C：2=8，则抛物线 C 的准线方程为 【答案】y=-2【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】因为抛物线：2=8，所以2=8，=4所以的准线方程为 y=-2.故答案为：y=-2【分析】根据抛物线的方程求出=4，从而求准线方程.13在 中，=2，=3，=2，则cos=【答案】33【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理【解析】【解答】解：在 中，由正弦定理可得sin=sin，即2sin2=3sin，即22sincos=3sin，所以cos=33.故答案为：33.【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.14如图，某荷塘里浮萍的面积 y（单位：2）与时间 t（单位：月）满足关系式：=ln（a 为常数），记=()（0）给出下列四个结论：设=()()，则数列是等比数列；存在唯一的实数0(1，2)，使得(2)(1)=(0)成立，其中()是()的导函数；常数 (1，2)；记浮萍蔓延到22，32，62所经过的时间分别为1，2，3，则1+2 3其中所有正确结论的序号是 【答案】【知识点】对数函数的图象与性质；指数函数与对数函数的关系；利用导数研究函数的单调性；等比数列；函数零点的判定定理【解析】【解答】解：依题意()=ln，因为(0)=0ln 1，所以0 0，所以1 0，则()=3ln在 (1，)上单调递增，又(2)=23ln2 0，即(0)=0(ln)22ln+ln，在0(1，2)上单调递增，因为 (2，)，所以ln 0，ln1 0，令()=ln+1，(2，)，则()=11=1 0，所以()=ln+1，在 (2，)上单调递减，且(2)=ln22+1=ln21 0，即()=ln+1 0，所以()=ln+1在 (2，)上单调递增，又(2)=2ln22+1=2ln21 0，所以()=ln+1 0，所以(1)=(ln)22ln+ln=ln(ln)+ln=ln(ln+1)0，故存在0(1，2)上，(0)=0，故正确；依题意2=1ln、3=2ln、6=3ln，所以2 3=1ln 2ln=1+2(ln)2，所以1+2(ln)2=6，则1+2(ln)23ln=1，即1+23ln=1，所以1+23=ln(1ln)ln，因为 (2，)，所以ln2 ln 1，所以1 1ln1ln2 2 ，所以0 ln(1ln)ln 0，即1+2 3，故正确；故答案为：【分析】根据(0)=0ln 1、(3)=3ln=6求出 a 的取值范围，即可判断，再根据等比数列的定义判断，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断.15在平面直角坐标系中，已知点(2，2)，动点 N 满足|=1，记 d 为点 N 到直线 l：+12=0的距离当 m 变化时，直线 l 所过定点的坐标为 ；d 的最大值为 【答案】（-1，2）；6【知识点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式；轨迹方程【解析】【解答】由+12=0，得+1+(2)=0，则+1=02=0，得=1=2，所以直线 l 所过定点(1，2)，因为点(2，2)，动点 N 满足|=1，所以动点 N 在以(2，2)为圆心，1 为半径为圆上，所以当 时，点 N 到直线 l 的距离最大，所以 d 的最大值为|+1=(2+1)2+(22)2+1=6，故答案为：（-1，2），6【分析】对直线方程变形可求出直线 l 所过定 P 的坐标，由题意可得动点 N 在以(2，2)为圆心，1 为半径为圆上，所以当 时，点 N 到直线 l 的距离最大，最大值为|+1=(2+1)2+(22)2+1=6.三、解答题三、解答题16如图，在正三棱柱111中，1=，D 为 BC 的中点，平面11 平面=（1）求证：11；（2）求平面11与平面1夹角的余弦值【答案】（1）证明：连接1，平面平面111，平面 平面11=，平面111 平面11=11，11（2）解：设1=2m以 D 为坐标原点，AD 为 x 轴，CD 为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0，0，0)，(3，0，0)，1(3，0，2)，1(0，2)设平面11的法向量为=(1，)1=(3，0，2)，1=(0，2)联立方程 1=3+2=0 1=+2=0解得：=3，=32=(1，3，32)同理求得平面1的法向量=(0，1，0)cos=|=3192=2 571