1、北京大学金融数学系第1章 1金融数学引论金融数学引论吴岚吴岚黄海黄海北京大学出版社北京大学出版社北京大学金融数学系第1章 2第一章第一章 利息基本计算利息基本计算1.1 1.1 利息基本函数利息基本函数利息利息 是借贷关系中借款人（是借贷关系中借款人（borrower）为取）为取得资金使用权而支付给贷款人（得资金使用权而支付给贷款人（lender）的报酬）的报酬从投资的角度看，利息是一定量的资本经从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值过一段时间的投资后产生的价值增值北京大学金融数学系第1章 3例：例：在银行开立储蓄帐户，把钱存入银行，可视为在银行开立储蓄帐户，把钱
2、存入银行，可视为投资一定数量的钱款以产生投资收益利息投资一定数量的钱款以产生投资收益利息 购买国债得到息票收入也是投资收益购买国债得到息票收入也是投资收益注注随着人们投资意识的逐渐增强，随着人们投资意识的逐渐增强，利率利率已成已成为一个广为关注的话题为一个广为关注的话题 北京大学金融数学系第1章 4基本概念基本概念累积函数累积函数(accumulationfunction)本金本金(principal)初始投资的资本金额初始投资的资本金额累积值累积值(accumulatedvalue)过一定时期后收到的总金额过一定时期后收到的总金额利息利息(interest)累积值与本金之间的金额差值累积值与
3、本金之间的金额差值 北京大学金融数学系第1章 5注注时间时间t为从投资之日算起的时间，可以用不同为从投资之日算起的时间，可以用不同的单位来度量的单位来度量北京大学金融数学系第1章 6离散模型离散模型假设利息是跳跃产生的假设利息是跳跃产生的连续模型连续模型假设利息是连续产生的假设利息是连续产生的北京大学金融数学系第1章 71）常常数数(系系列列 1)a(t)=12）线线性性(系系列列 2)a(t)=1+2.5%t3）指指数数(系系列列 3)a(t)=(1+2.5%)t例例考虑以下考虑以下3类特殊的累积函数类特殊的累积函数a(t)注注学习使用学习使用Excel进行简单的金融计算进行简单的金融计算注
4、注上面定义的上面定义的a(t)都满足累积函数的要求都满足累积函数的要求北京大学金融数学系第1章 8北京大学金融数学系第1章 9北京大学金融数学系第1章 10总量函数（总量函数（amountfunction）当原始投资不是当原始投资不是 1 个单位的本金，而是个单位的本金，而是 P 个单位金额个单位金额的本金时，则把的本金时，则把 P 个单位金额本金的原始投资在时刻个单位金额本金的原始投资在时刻t 的累积值记为的累积值记为 A(t)，称为，称为总量函数总量函数注注总量函数总量函数A(t)的计算可借助累积函数的计算可借助累积函数a(t)的计算的计算总总量量函函数数 A(t)具具有有如如下下的的性性
5、质质：1)A(0)=P2)A(t)=Pa(t)，P0，t 0注注从总量函数可得累积函数为从总量函数可得累积函数为a(t)=A(t)/A(0)，t0北京大学金融数学系第1章 11利息（利息（interest）将从投资之日算起的第将从投资之日算起的第 n 个时期内所获得的利息金个时期内所获得的利息金额记为额记为 In，则有，则有()(1)nIA nA n，对于整数对于整数 n 1注注利息金额利息金额In看作是在整个时期内所产生的，在看作是在整个时期内所产生的，在最后时刻得到的（支付的）最后时刻得到的（支付的）注注 更更一一般般的的，记记总总量量函函数数 A(t)在在时时间间段段t1,t2内内所所获
6、获得得的的利利息息金金额额为为12,t tI，则则有有12,21()()0t tIA tA t,其其中中 t2 t1 0北京大学金融数学系第1章 12假设所有的在期初投资的假设所有的在期初投资的1个单位的本金都具有着个单位的本金都具有着同样的产生利息的能力，则上述现象不合理。同样的产生利息的能力，则上述现象不合理。为了表示单位货币价值的相对变化幅度，度量为了表示单位货币价值的相对变化幅度，度量利息的常用方法是计算所谓的利率利息的常用方法是计算所谓的利率，定义为：，定义为：利率利率 等于一定的货币量在一段时间（计息期等于一定的货币量在一段时间（计息期/measurementperiod）内的变化
7、量（利息）与期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值。初货币量的比值。北京大学金融数学系第1章 13利利率率的的计计算算公公式式 利利率率=利利息息/期期初初本本金金注注利率通常以百分数来表示，即：利率通常以百分数来表示，即：利率利率=利息利息/期初本金期初本金100%若若利利率率已已知知，则则可可反反求求利利息息 利利息息=利利率率期期初初本本金金北京大学金融数学系第1章 14注注这里定义的利率被称为这里定义的利率被称为实利率实利率(effectiverateofinterest)，注意与后面定义的注意与后面定义的名义利率名义利率 (nominalrateofinterest)相区别。相区别
8、。注注通常计息期为标准时间单位，如：年、季、通常计息期为标准时间单位，如：年、季、月等。若无特别说明，实利率一般指年实利率。月等。若无特别说明，实利率一般指年实利率。北京大学金融数学系第1章 1512,t t上上的的实实利利率率=12,t t内内总总量量函函数数()A t的的变变化化量量与与期期初初货货币币量量的的比比值值，记记为为12,t ti，即即：1212,21,11()()()()t tt tIA tA tiA tA t 特别地，当特别地，当1211,1tntt时，记时，记 in 为第为第 n 个时段个时段的实利率，即：的实利率，即：()(1)(1)(1)nnA nA nIiA nA
9、n n1北京大学金融数学系第1章 16推推论论 由由利利率率的的定定义义，有有 ()(1)(1)na na nia n 证证明明：设设初初始始投投资资为为A（0），则则()()A nAa n（0）从从而而有有()(1)()(1)(1)(1)nA nA na na niA na n注注 利率计算的根本是累积函数的计算利率计算的根本是累积函数的计算 北京大学金融数学系第1章 17单利（单利（simpleinterest）假设在期初投资假设在期初投资 1 个单位的本金，在每一个时期中个单位的本金，在每一个时期中都得到完全相同的利息金额，即利息为常数，从而相都得到完全相同的利息金额，即利息为常数，从而
10、相应的累积函数满足应的累积函数满足a(0)=1，a(1)=1+i，a(2)=1+2i 等等，即：等等，即：a(t)=1+i t，对整数对整数 t 0这种类型的利息产生方式被称为这种类型的利息产生方式被称为单利单利，i 被称为是被称为是单单利率利率 在实际金融活动中，通常用到的两种计息方式分在实际金融活动中，通常用到的两种计息方式分别为别为 单利单利 和和 复利复利 北京大学金融数学系第1章 18注注相应单利的累积函数（相应单利的累积函数（a(t)=1+i t）为时间的）为时间的线性函数线性函数 思考思考常数的单利率是否意味着常数的实利率常数的单利率是否意味着常数的实利率？北京大学金融数学系第1
11、章 19思考思考 为什么在每一个时期中所获的利息金额相等，为什么在每一个时期中所获的利息金额相等，可实利率却越来越小呢？可实利率却越来越小呢？当计算实利率当计算实利率时，是把第时，是把第n期开始时的资本总额期开始时的资本总额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额之比。之比。随着资本总额的不断增加，常数的利息必将导致随着资本总额的不断增加，常数的利息必将导致单调递减的实利率。单调递减的实利率。北京大学金融数学系第1章 20注注上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察，但由于利息的产生被认为是在该期间的各察，但由于
12、利息的产生被认为是在该期间的各个小区间上按比例产生的，从而上面给出的关个小区间上按比例产生的，从而上面给出的关于整数于整数 t 的单利的生成方式可以认为是对于所的单利的生成方式可以认为是对于所有的有的 t0都成立的利息产生方式。都成立的利息产生方式。北京大学金融数学系第1章 21单利是由满足如下条件的连续函数单利是由满足如下条件的连续函数 a(t)所相应的所相应的累积函数所给出的：累积函数所给出的：()()()1,0,0a sta sa tts或等价的或等价的()()()1,0,0a sta sa tts 单利的性质：单利的性质：不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时不同的时期所获利息金额
13、的大小只与所历经的时期的长短有关系，而与该时期的具体位置无关。期的长短有关系，而与该时期的具体位置无关。即：经过时间即：经过时间ts所产生的利息等于经过时间所产生的利息等于经过时间 t产生的利息与经过时间产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和。产生的利息之和。北京大学金融数学系第1章 22注注 单单利利的的累累积积函函数数 a(t)满满足足(0)1a及及()(0)(1)1)a taat北京大学金融数学系第1章 23解：按照单利的计算公式累积值为解：按照单利的计算公式累积值为 A(4)=2000a(4)=2000(1+8%4)=2640（元）（元）其中所获得的利息金额为其中所获得的利息金额为
14、I=20008%4=640（元）（元）例例已知年单利率为已知年单利率为8%，初始投资金额为，初始投资金额为2000元，元，求投资四年后的累积值以及利息金额。求投资四年后的累积值以及利息金额。注注利息金额利息金额=本金金额本金金额利率利率时期时期注注每年所获得的利息金额都是每年所获得的利息金额都是160元元 北京大学金融数学系第1章 24如在上面的例子中，投资者每年都获得了如在上面的例子中，投资者每年都获得了 160 元元的的利息。利息。但投资者在第一年末的时候实际上有但投资者在第一年末的时候实际上有 2160 元元可以用来投资，如果按照可以用来投资，如果按照 2160 元元来计算，投资者在来计
15、算，投资者在第二年末的时候则应获得利息为第二年末的时候则应获得利息为 21608%=172.8元元，比只按照，比只按照 2000 计算要多获得利息计算要多获得利息 12.8 元元。复利（复利（compoundinterest）思考思考在单利情形下，在前面的各个时期所获在单利情形下，在前面的各个时期所获得的利息并没有在后面的时期用来再获取额外得的利息并没有在后面的时期用来再获取额外的利息。的利息。如果所获利息可继续投资，情形会如如果所获利息可继续投资，情形会如何？何？北京大学金融数学系第1章 25后面的各期也可以采取这种方法去投资，最终获得后面的各期也可以采取这种方法去投资，最终获得的利息总额应
16、为的利息总额应为 20001+1+8%4-2000=720.98 元，元，比原先多获得利息比原先多获得利息 80.98 元。元。复利的关键思想复利的关键思想利息收入被再次记入下一期的本金，利息收入被再次记入下一期的本金，即通常即通常所说的所说的“利滚利利滚利”北京大学金融数学系第1章 26解：假设在一个计息期中的实利率为解：假设在一个计息期中的实利率为 i，则在第一时，则在第一时期末累积值为期末累积值为 1+i；例例假定期初投资的本金不再增加或减少，并且在假定期初投资的本金不再增加或减少，并且在每一个时期中实利率都是相同的，考察相应的复利每一个时期中实利率都是相同的，考察相应的复利的累积函数。
17、的累积函数。接接下下来来用用这这 1+i 金金额额作作投投资资，在在第第二二时时期期末末累累积积值值将将达达到到(1+i)+i(1+i)=(1+i)2；在在第第三三时时期期末末累累积积值值将将达达到到(1+i)2+i(1+i)2=(1+i)3；此此过过程程可可以以一一直直继继续续下下去去思考思考 哪些是由哪些是由“利滚利利滚利”所带来的利息所带来的利息？北京大学金融数学系第1章 27对对于于一一般般的的整整数数时时刻刻 t0 有有()(1),0ta tit为为整整数数，i 为为复复利利率率北京大学金融数学系第1章 28注注 复复利利是是由由满满足足如如下下条条件件的的（非非零零）连连续续函函数
18、数()a t所所相相应应的的累累积积函函数数所所给给出出的的()()(),0,0a sta sa tts注注()a t满足满足(0)1a 及及()(1)ta ta北京大学金融数学系第1章 29若若 单利率单利率=复利率复利率=i，则，则当当 t=0 时，时，单利单利=复利复利=0当当 0t复利复利当当 t=1 时，时，单利单利=复利复利=i当当 t1 时，时，单利单利复利复利单利计算与复利计算的区别单利计算与复利计算的区别 注注短期两者差异不大，长期两者有显著差距；短期两者差异不大，长期两者有显著差距；利率小则差异不大，利率大则差异显著。利率小则差异不大，利率大则差异显著。北京大学金融数学系第
19、1章 30复利几乎用于所有的金融业务复利几乎用于所有的金融业务单利只是用于短期计算或复利的不足期近似单利只是用于短期计算或复利的不足期近似计算计算除特别声明，一般使用复利计算方式除特别声明，一般使用复利计算方式北京大学金融数学系第1章 31解解：A(4)=2000a(4)=2000(1+8%)4=2721（元元）例例已知年复利率为已知年复利率为8%，初始投资金额为，初始投资金额为2000元，元，求投资四年后的累积值以及利息金额。求投资四年后的累积值以及利息金额。注注 单利情况下是单利情况下是2640元元，多出，多出81元利息的利息元利息的利息 北京大学金融数学系第1章 32解：解：1）在第一年
20、内，复利累积小于单利累积；在第一）在第一年内，复利累积小于单利累积；在第一年底，两者相同；年底，两者相同；从第二年开始，复利累积超过单利累积，而且从第二年开始，复利累积超过单利累积，而且前者的上升速度远远超过后者前者的上升速度远远超过后者例例以年利率以年利率5%为例，比较单利与复利计算方法为例，比较单利与复利计算方法的异同效果的异同效果。2）在单利情形下，实利率水平逐年递减；而在）在单利情形下，实利率水平逐年递减；而在复利情形下，实利率水平始终保持为复利情形下，实利率水平始终保持为 5%北京大学金融数学系第1章 33北京大学金融数学系第1章 34北京大学金融数学系第1章 35北京大学金融数学系
21、第1章 36解解：由由 A(5)=A(0)a(5)可可得得A(0)=A(5)/a(5)例例试试分别分别确定按单利或复利计算，年息确定按单利或复利计算，年息11%，问开始时应投资多少元使得在第问开始时应投资多少元使得在第5年末本金和利年末本金和利息总和能积累至息总和能积累至1000元？元？单单利利：a(5)=1+11%5=1.55A(0)=1000/1.55=645.16(元元)复复利利：a(5)=(1+11%)5=1.685A(0)=1000/1.685=593.47(元元)北京大学金融数学系第1章 37贴现（贴现（discount）累积因子（累积因子（accumulationfactor）若
22、实利率为若实利率为 i，则在期初投资的，则在期初投资的 1 个单位的本金在个单位的本金在期末将累积到期末将累积到 1+i1+i 被称为是被称为是累积因子累积因子，即，即 期末累积值期末累积值=期初本金期初本金累积因子累积因子北京大学金融数学系第1章 38如如果果在在期期初初投投资资(1+i)-1，则则期期末末时时恰恰好好累累积积至至 1=(1+i)-1被被称称为为是是贴贴现现因因子子，即即 期期初初本本金金=期期末末累累积积值值贴贴现现因因子子北京大学金融数学系第1章 39时刻时刻 t 的的 1 个货币单位在时刻个货币单位在时刻 0 的价值称为的价值称为贴现函数贴现函数（discountfun
23、ction），用），用1()at表示。表示。单利情形单利情形11()(1)atit其中其中 i 为单利率为单利率注注贴现函数为累积函数的倒函数贴现函数为累积函数的倒函数 复利情形复利情形1()(1)tati其中其中 i 为复利率为复利率北京大学金融数学系第1章 40累累积积与与贴贴现现是是一一对对相相反反的的过过程程：相相应应于于期期初初个个单单位位本本金金的的时时期期期期末末值值为为()a t相相应应于于时时期期期期末末个个单单位位金金额额的的期期初初值值为为1()at1,nntt时间段内的实贴现率时间段内的实贴现率nd的计算公式：的计算公式：()(1)()(1)()()()nnA nA n
24、Ia na ndA nA na n一个计息期内的利息收入与期末货币量的比一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为值称为实贴现率实贴现率（effectiverateofdiscount）注注 实贴现率与实利率的对比：期末实贴现率与实利率的对比：期末vsvs期初期初 北京大学金融数学系第1章 41 设设 i 为单利率，计算相应单利各期的实贴现率为单利率，计算相应单利各期的实贴现率()(1)()(1)(1(1)11na na nda ni nini nii n 相应相应单利单利的的各期实贴现率大小发生变化各期实贴现率大小发生变化例例相应单利的各期实贴现率是否变化？相应单利的各期实贴现率是否变化？
25、北京大学金融数学系第1章 42 设设 i 为复利率，计算相应复利各期的实贴现率为复利率，计算相应复利各期的实贴现率1()(1)()(1)(1)(1)1nnnna na nda niiiii相应相应复利复利的的各期各期实实贴现贴现率率大小不发生变化大小不发生变化例例相应复利的各期实贴现率是否变化？相应复利的各期实贴现率是否变化？北京大学金融数学系第1章 43北京大学金融数学系第1章 44北京大学金融数学系第1章 45解：累积因子解：累积因子 1+i=1.09贴现因子贴现因子10.91741 i从而可得初始投资应为从而可得初始投资应为33(0)(3)1000772AA（元）（元）例例已知年复利率为
26、已知年复利率为9%，求初始投资多少元可以，求初始投资多少元可以使得三年后累积到使得三年后累积到1000元？元？北京大学金融数学系第1章 46单贴现单贴现（simplediscount）贴现函数为贴现函数为11()1,0atdttd 其中其中d为单贴现率为单贴现率复复贴贴现现（compounddiscount）贴贴现现函函数数为为1()(1),0tatdt其其中中d为为复复贴贴现现率率北京大学金融数学系第1章 47北京大学金融数学系第1章 48北京大学金融数学系第1章 49复贴现模式对应复利的贴现模式复贴现模式对应复利的贴现模式1(1)()(1)11tttdddd北京大学金融数学系第1章 50（
27、实实）利利率率 i 和和（实实）贴贴现现率率 d 被被称称为为等等价价的的（equivalent），如如果果相相同同的的原原始始本本金金（初初值值）经经过过相相同同的的计计息息期期产产生生相相同同的的终终值值。北京大学金融数学系第1章 51北京大学金融数学系第1章 524）1vd5）idid证证明明 因因为为(1)idi（or(1)did）注注从利息产生的角度多想想从利息产生的角度多想想北京大学金融数学系第1章 53例例 假设期初借款人从贷款人处借入假设期初借款人从贷款人处借入 10000 元，并元，并约定一年到期时还约定一年到期时还 10500 元（即元（即年年利率利率 i=5%）。）。如果
28、借款人希望期初时即付给贷款人利息，如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到年到期时偿还本金期时偿还本金 10000 元，问：期初借款人实际可得元，问：期初借款人实际可得金额是多少？金额是多少？北京大学金融数学系第1章 54解：解：贴现率贴现率0.04761idi，贴现因子贴现因子10.9524d 从而借款人在期初实际可得从而借款人在期初实际可得10000(1)100009524()dv元注注期初所付利息为期初所付利息为476元，如果是期末付则元，如果是期末付则应为应为500元元北京大学金融数学系第1章 55例例 若现有面额为若现有面额为 100 元的零息债券，在到期前元的零息债券，在到期
29、前一年的时刻价格为一年的时刻价格为 95 元；同时，一年期储蓄利元；同时，一年期储蓄利率为率为 5.25%。进行哪种投资收益较高？。进行哪种投资收益较高？注注零息债券到期时只偿还本金，不付额外的零息债券到期时只偿还本金，不付额外的利息，利息相当于是期初付给的利息，利息相当于是期初付给的北京大学金融数学系第1章 56解：解：从贴现的角度看：零息债券的贴现率为从贴现的角度看：零息债券的贴现率为 d=5%，而储蓄的贴现率而储蓄的贴现率4.988%5%1idi，投资债券，投资债券优于储蓄。优于储蓄。从年利率的角度看：零息债券从年利率的角度看：零息债券1did，注意到，注意到若若1dn，则有，则有11i
30、n，从而可知，从而可知115%5.26%2019di，而储蓄利率，而储蓄利率5.25%5.26%i，投资债券优于储蓄。，投资债券优于储蓄。北京大学金融数学系第1章 57注注 若若1i与与1d等等价价，2i与与2d等等价价，则则12ii 当当且且仅仅当当12dd北京大学金融数学系第1章 58名利率名利率(nominalrateofinterest)问题问题 储蓄、保险、债券投资等金融业务通常会涉储蓄、保险、债券投资等金融业务通常会涉及许多不同的期限，比如，目前银行开设的人民币及许多不同的期限，比如，目前银行开设的人民币整存整取定期储蓄业务包括整存整取定期储蓄业务包括 3 个月、个月、6 个月、个
31、月、1 年、年、2 年、年、3 年和年和 5 年六个档期，银行挂牌的利率到底年六个档期，银行挂牌的利率到底是什么意思？不同是什么意思？不同期期限限的利率相互之间如何比的利率相互之间如何比较？较？北京大学金融数学系第1章 59北京大学金融数学系第1章 60思考思考三个月的利率为三个月的利率为1.71%，一年的利率为，一年的利率为2.25%，是否可以通过存四次三个月期获得超过，是否可以通过存四次三个月期获得超过一年期的利息？一年期的利息？北京大学金融数学系第1章 61注注 这样理解银行所给出的不同期限的利率这样理解银行所给出的不同期限的利率是不对的是不对的！北京大学金融数学系第1章 62实利率实利
32、率 考虑的是在一个计息期内所真实获考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部利息与期初本金金额之比；而得的全部利息与期初本金金额之比；而名利率名利率考虑的是在一个计息期内，当支付利息的次数不考虑的是在一个计息期内，当支付利息的次数不止一次或不足一次时，如何计利率（利息）。止一次或不足一次时，如何计利率（利息）。银行给出的挂牌利率实际上银行给出的挂牌利率实际上不是实利率不是实利率而而是是名利率名利率。北京大学金融数学系第1章 63基本基本词汇词汇：利息换算期利息换算期(interestconversionperiod)月换算月换算(convertiblemonthly)季换算季换算(payableq
33、uarterly)半年换算半年换算(compoundedsemiannually)北京大学金融数学系第1章 64()mi(1m 的整数的整数)称为称为 m m 换算名利率换算名利率，即在标准的利息计算，即在标准的利息计算时间单位内时间单位内(默认为一年期默认为一年期)依利率依利率 ()mi换算换算m m次，每个换算期内的实利率为次，每个换算期内的实利率为 ()mim 北京大学金融数学系第1章 65北京大学金融数学系第1章 66注注计算均未考虑利息税计算均未考虑利息税注注一年期的挂牌利率即为一年期的实利率一年期的挂牌利率即为一年期的实利率北京大学金融数学系第1章 67注注三个月期比半年期的所得要
34、少，由此推知，三个月期比半年期的所得要少，由此推知，存存2个三个月期不如存一个半年期所得的利息。个三个月期不如存一个半年期所得的利息。北京大学金融数学系第1章 68(1/)mi(1m 的整数的整数)表示每表示每 m 个标准计息期支付一次利息，且支付个标准计息期支付一次利息，且支付利息是按照利率利息是按照利率(1/)mim进行的，即相应每进行的，即相应每 m 个个标准计息期的实利率为标准计息期的实利率为(1/)mim。北京大学金融数学系第1章 69北京大学金融数学系第1章 70北京大学金融数学系第1章 71例例 已已知知年年利利率率为为 8%，每每季季度度结结算算一一次次，求求初初始始投投入入
35、10000 元元，5 年年后后累累积积值值为为多多少少？解：解：4 52010000(1+8%/4)=10000(1+2%)=14859.47北京大学金融数学系第1章 72在在实实际际应应用用中中，通通常常需需要要计计算算与与名名利利率率()mi（(1/)mi）等等价价的的（年年）实实利利率率 i 的的大大小小。名利率名利率()mi 与等价的实利率与等价的实利率 i 有如下关系：有如下关系：()1(1)mmiim 即即()(1)1mmiim 由由实利率实利率 i 也可以计算出名利率也可以计算出名利率()mi，即即 1()(1)1mmimi 北京大学金融数学系第1章 73可可以以证证明明：()m
36、ii由二项式展开可以证明由二项式展开可以证明()mii，因为，因为()()()()()()(1)11()()1()mmmmmmmmmiiiimmmmiiim 北京大学金融数学系第1章 74名名利利率率(1/)mi与与等等价价的的(年年)实实利利率率 i 有有如如下下关关系系(1/)1/(1)1mmiim 以以及及(1/)(1)1)/mmiim 可可以以证证明明：(1/)mii北京大学金融数学系第1章 75北京大学金融数学系第1章 76北京大学金融数学系第1章 77北京大学金融数学系第1章 78北京大学金融数学系第1章 79北京大学金融数学系第1章 80北京大学金融数学系第1章 81北京大学金融
37、数学系第1章 82北京大学金融数学系第1章 83名贴现率名贴现率（nominalrateofdiscount）名贴现率名贴现率()pd（p1 整数）是指在一个标准整数）是指在一个标准计息期内依计息期内依()pd 换算换算 p 次，每个换算期内的实际次，每个换算期内的实际贴现率为贴现率为()pdp北京大学金融数学系第1章 84名贴现率名贴现率()pd与等价的实贴现率与等价的实贴现率 d 有如下关系有如下关系 ()1(1)ppddp 即即()1(1)ppddp 以及以及 1()1(1)ppdpd 北京大学金融数学系第1章 85相同计息期内等价的名利率与名贴现率有如下的相同计息期内等价的名利率与名贴
38、现率有如下的关系：（关系：（m,p可以不相同）可以不相同）1)()()(1)(1)mpmpidmp ()()1(1)1(1)(1)mpmpididmp 北京大学金融数学系第1章 862)若若mp，则有，则有()()1(1)(1)mmidmm以及以及()()()()mmmmididmmmm ()mim 与与()mdm 为为1m 计计息息期期内内等等价价的的实实利利率率与与实实贴贴现现率率 北京大学金融数学系第1章 87例例 有以下两种有以下两种 5 年期的投资选择：年期的投资选择：A：年利率：年利率 7%，每半年计息一次，每半年计息一次,B：年利率：年利率 7.05%，每年计息一次，每年计息一次
39、,比较两种选择的收益比较两种选择的收益大小大小。北京大学金融数学系第1章 88方法一方法一：比较：比较 5 年年下来下来的的实际收益实际收益107%(5)(1)1.41062Aa5(5)(17.05%)1.4058Ba(5)(5)ABaa结论：结论：A 收益高收益高 北京大学金融数学系第1章 89方法二：比较等价的年实利率方法二：比较等价的年实利率(2)7%Ai，27%(1)17.1225%7.05%2ABii 结论：结论：A 收益高收益高 北京大学金融数学系第1章 90例例 已已知知每每月月转转换换一一次次的的名名贴贴现现率率(12)6%d，求求与与之之等等价价的的每每季季度度转转换换一一次
40、次的的名名利利率率(4)i。解：解：由由(4)4(12)12(1/4)(1/12)id可得可得(4)(12)34(1/12)1id34(0.995)10.06066.06%北京大学金融数学系第1章 91连续利息计算连续利息计算考虑考虑“理想理想”的情形：利息的产生是连续地依的情形：利息的产生是连续地依赖于时间的，每个瞬间都可以进行利息的换算。赖于时间的，每个瞬间都可以进行利息的换算。思考思考 如何来度量利息在每一个“小瞬间”的变如何来度量利息在每一个“小瞬间”的变化的强度？化的强度？注注金融研究中经常会使用这种利息模式金融研究中经常会使用这种利息模式北京大学金融数学系第1章 92定义：设累积函
41、数定义：设累积函数 a(t)为为 t 的连续可微函数，时刻的连续可微函数，时刻t 的的利息力利息力(forceofinterest)定义为定义为()()ta ta t 北京大学金融数学系第1章 93累累积积函函数数可可以以表表示示为为0()exp(ds)tsa t0()(ln()dsln()ln(0)ln()()ttsa ta ta taa ta t 贴贴现现函函数数可可以以表表示示为为10()exp(ds)tsat 北京大学金融数学系第1章 94定义：时刻定义：时刻 t 的的贴现力贴现力(forceofdiscount)t为为11()()tatat 注注 负号使得贴现力取正值负号使得贴现力取
42、正值北京大学金融数学系第1章 95贴贴现现力力与与利利息息力力数数值值相相等等，即即tt，因因为为有有 1211()()()()()()()atat a ta tatata t 注注 通常使用的是利息力通常使用的是利息力北京大学金融数学系第1章 96例例 求求单单利利在在时时刻刻 t 的的利利息息力力解：解：()1,()a tita ti，从而在时刻，从而在时刻 t 的利息的利息力为力为()()1ta tia tit注注 单单利利的的利利息息力力关关于于时时间间为为递递减减函函数数北京大学金融数学系第1章 97例例 求求复复利利在在时时刻刻 t 的的利利息息力力解：解：()(1),()ln(1
43、)(1)tta tia tii从而在时刻从而在时刻 t 的利息力为的利息力为()ln(1)()ta tia t 注注 复复利利的的利利息息力力关关于于时时间间为为常常值值函函数数 北京大学金融数学系第1章 98当当利利息息力力为为常常数数时时，即即t，则则有有累积函数累积函数 0()exp()tta tdse贴现函数贴现函数 10()exp(ds)ttsate 注注 此此即即为为复复利利情情形形()(1)ta ti 1）()ta te，1()tate北京大学金融数学系第1章 992）常数利息力）常数利息力与相应的利率与相应的利率 i 的关系式为：的关系式为：1ie ln(1)ln()ln(1)
44、ivd 由由(1)1aei 可可得得1ie由由,i v d的的关关系系可可得得 ln(1)ln()ln(1)ivd 北京大学金融数学系第1章 1003）di 由由 2)的结论可知的结论可知2312!3!ie 23ln(1)23ddddd 北京大学金融数学系第1章 1011）()1mmim e2）()1ppdpe1ei 1ed 北京大学金融数学系第1章 1023）()mii，且，且()lim mmi 利用展开式利用展开式()2321 11 112!3!mmim emm可得可得21()()12,mmiiimm以及以及()0miim北京大学金融数学系第1章 1034）()pdd，且且()limppd
45、 北京大学金融数学系第1章 104解解：5%10(10)(0)(10)10001649AAae北京大学金融数学系第1章 105例例（变利息力）（变利息力）已知某基金已知某基金 F 以利息力函数以利息力函数11tt（0t）累计；）累计；另有基金另有基金 G 以利息力函数以利息力函数2412ttt（0t）累计。）累计。分别令分别令()Fat和和()Gat表示两个基金在时刻表示两个基金在时刻(0)t t 的的累计函数，累计函数，且且()()()FGh tatat。求：使求：使 h(t)达到最大的时刻达到最大的时刻 T。北京大学金融数学系第1章 106解：由题设条件有解：由题设条件有01()exp()
46、11tFatdsts 2204()exp()1212tGsatdsts 根据根据()h t定义得定义得2()2h ttt 以及以及()14h tt，由此可以求出使由此可以求出使()h t 达到最大的时刻达到最大的时刻14T，最大值为最大值为1()8h T 北京大学金融数学系第1章 107基金F与基金G的累积函数0.000.501.001.502.002.503.003.5000.20.40.60.811.2时间累积值基金F基金G北京大学金融数学系第1章 108 函数h(t)-1.20-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.2000.20.40.60.811.2时间北京大学
47、金融数学系第1章 1091 1.2 2 利利息息基基本本计计算算 有有关关利利息息计计算算的的基基本本要要点点（1）投资开始时的）投资开始时的现值现值（货币）（货币）（2）投资经过的）投资经过的时间时间（时间）（时间）（3）利率利率（货币的时间价值度量）（货币的时间价值度量）（4）投资结束时的）投资结束时的终值终值（货币）（货币）关关键键 任任何何三三个个的的值值都都可可以以决决定定第第四四个个的的值值 北京大学金融数学系第1章 110投资时间的度量投资时间的度量精确利息计算精确利息计算(exactsimpleorcompoundinterest)“实际天数“实际天数/实际天数”实际天数”(a
48、ctual/actual)按实际的投资天数计算，一年为按实际的投资天数计算，一年为 365 天天普通利息计算普通利息计算(ordinarysimpleorcompoundinterest)“30/360”假设每月有假设每月有 30 天，一年为天，一年为 360 天天北京大学金融数学系第1章 111银行家利息银行家利息法则法则计算计算(BankersRule)“实际天数“实际天数/360”按实际的投资天数计算，但一年设为按实际的投资天数计算，但一年设为 360 天天 北京大学金融数学系第1章 112价值方程价值方程关关键键 在在考考虑虑利利息息问问题题时时，货货币币将将具具有有时时间间性性，即即
49、“货货币币的的时时间间价价值值”（timevalueofmoney）思考思考 多笔金融业务发生在不同时刻，如果需要多笔金融业务发生在不同时刻，如果需要统一统一处理，怎么办？处理，怎么办？北京大学金融数学系第1章 113不不同同时时刻刻的的货货币币量量是是无无法法直直接接比比较较大大小小的的，必必须须将将这这些些量量调调整整（累累积积/贴贴现现）到到某某一一个个共共同同日日期期比比较较日日（comparisondate）来来进进行行比比较较调整到比较日的计算方程被称为“调整到比较日的计算方程被称为“价值方程价值方程”（equationofvalue）北京大学金融数学系第1章 114 期初和期末是
50、两个特殊的比较日，中间其它时刻期初和期末是两个特殊的比较日，中间其它时刻也都可以被选作为比较日。也都可以被选作为比较日。现值方程（或终值方程）是将比较日选为期初（或现值方程（或终值方程）是将比较日选为期初（或期末）的价值方程。期末）的价值方程。北京大学金融数学系第1章 115时时间间流流程程图图（timediagram）的的做做法法1）用一条直线表示时间（从左到右），上面的）用一条直线表示时间（从左到右），上面的刻度为事先给定的时间单位（如年、季、月等）刻度为事先给定的时间单位（如年、季、月等）2）发生的现金流量写在对应时间的上方或下方）发生的现金流量写在对应时间的上方或下方（取决于资金的流向
