1、 选修选修4 44 4坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一讲第一讲 坐标系坐标系三三.简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程问题提出问题提出1.1.在极坐标系中，点在极坐标系中，点M M的极坐标是怎样构成的？的极坐标是怎样构成的？点点M M的极坐标是极径的极坐标是极径和极角和极角组成的有序数对组成的有序数对(，).).M Mx xO O 2.2.以直角坐标系原点以直角坐标系原点O O为极点，为极点，x x轴正半轴为极轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点轴建立极坐标系，则点M M的直角坐标的直角坐标(x(x，y)y)与极坐与极坐标标(，)的互化公式是什么？的互化公式是什么？x xcoscos，y
2、 ysinsin.22,tan(0)yxyxx 3.3.在平面直角坐标系中，方程在平面直角坐标系中，方程f f(x x，y y)0 0是曲是曲线线C C的方程应具备的条件是什么？的方程应具备的条件是什么？（1 1）曲线）曲线C C上任意一点的坐标都是方程上任意一点的坐标都是方程f f(x x，y y)0 0的解；的解；（2 2）以方程）以方程f f(x x，y y)0 0的解为坐标的点的解为坐标的点 都在曲线都在曲线C C上上.4.4.在极坐标系中，对一条曲线在极坐标系中，对一条曲线C C，它也有相应，它也有相应的极坐标方程的极坐标方程.因此，如何建立曲线的极坐标方程，因此，如何建立曲线的极坐
3、标方程，如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质，如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质，也就成为一个需要研究的课题也就成为一个需要研究的课题.探究:圆的极坐标方程 思考：思考：在极坐标系中，若半径为在极坐标系中，若半径为a a的圆的圆心坐标的圆的圆心坐标为为C(C(a a，0)(0)(a a0)0)，则该圆与极坐标系的相对位置，则该圆与极坐标系的相对位置关系怎样？试画图表示关系怎样？试画图表示.x xO OC C思考：思考：设该圆与极轴的另一个交点为设该圆与极轴的另一个交点为A A，点，点M(M(，)为圆上除点为圆上除点O O，A A以外的任意一点，那么极径以外的任意一点，那么极径和极
4、角和极角之间满足什么关系？之间满足什么关系？M Mx xO OC CA A2 2acoscos思考思考3 3：点点O O，A A的极坐标可以分别是什么？它们都的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式满足等式2 2a acoscos吗？吗？点点 ，A(2A(2a a，0)0)都满足等式都满足等式.(0,)2O思考：思考：由此可知，圆上任意一点的极坐标由此可知，圆上任意一点的极坐标(，)中至少有一个满足等式中至少有一个满足等式2 2a acoscos；反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？都在这个圆都在这个圆上上M Mx xO OC CA A思考：思考：
5、等式等式2 2a acoscos叫做圆叫做圆C C的极坐标方程的极坐标方程.一一般地，在极坐标系中，对于平面曲线般地，在极坐标系中，对于平面曲线C C和方程和方程f f(，)0 0，在什么条件下，方程，在什么条件下，方程f f(，)0 0是曲是曲线线C C的极坐标方程？的极坐标方程？（1 1）曲线）曲线C C上任意一点的极坐标中至少有一个满上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程足方程f f(，)0 0；（2 2）坐标适合方程）坐标适合方程f f(，)0 0的点都在曲线的点都在曲线C C上上.思考：思考：在极坐标系中，圆心坐标为在极坐标系中，圆心坐标为C(C(a a，)()(a a0)0)，半径
6、为，半径为a a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标为为C(C(a a，)()(a a0)0)，半径为，半径为a a的圆的极坐标方程是的圆的极坐标方程是什么？什么？2 2 2acoscos 2 2asinsinM Mx xO OC CA AM Mx xO OC CA A思考：思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C(C(a a，)()(a a0)0)，半径为，半径为r r的圆的极坐标方程是什么？的圆的极坐标方程是什么？特别地，以极点为圆心，半径为特别地，以极点为圆心，半径为r r的圆的极坐标方的圆的极坐标方程是什么？程是什么？M Mx
7、 xO OC C2222cos()aarM Mx xO Or 思考：思考：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么？是什么？（1 1）建立极坐标系，设动点坐标；）建立极坐标系，设动点坐标；（2 2）找出曲线上的点满足的几何条件；）找出曲线上的点满足的几何条件；（3 3）将几何条件用极坐标表示；）将几何条件用极坐标表示；（4 4）化简小结）化简小结.下结论下结论建立极坐标系建立极坐标系设点（设点（,）找找,的的关系关系化简化简 F(,)=0sin(4)练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线（）cos(-)4(2)cos(-)3(3)3 练练 习习求下列圆的极坐
8、标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2 2；()中心在中心在(a a,0),0)，半径为，半径为a a；()中心在中心在(a,a,/2)2)，半径为，半径为a a；()中心在中心在(0,0,)，半径为，半径为r r。2 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2 极坐标方程分别是极坐标方程分别是coscos和和sinsin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少 22练练 习习练习3以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)(1,1)为圆心，为圆心，1 1为半径的圆为半径的圆的方程是的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1
9、ABCDC14sin练习：、曲线的极坐标方程 化为直角坐标方程2.曲线极坐标方程 cos(-)=1化为直角坐6标方程4)2(22 yx20 xy3 3极坐标方程极坐标方程4cosA A双曲线双曲线 B B椭圆椭圆 C C抛物线抛物线 D D圆圆表示的曲线是（表示的曲线是（）)sin(cos24,14,214,24,24 4圆圆的圆心坐标是（）A.B.C.D.A.B.C.D.小小 结结 a.a.在极坐标系中，点的极坐标是多值的，若点在极坐标系中，点的极坐标是多值的，若点M M在曲线在曲线C C上，则点上，则点M M的有些极坐标可能不适合曲线的有些极坐标可能不适合曲线C C的方程的方程.b.b.圆
10、的极坐标方程有多种形式，极坐标方程圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程 可认为是圆的可认为是圆的一般式方程一般式方程.2222cos()aar（）曲线的极坐标方程概念（）曲线的极坐标方程概念（）怎样求曲线的极坐标方程（）怎样求曲线的极坐标方程（3 3）圆的极坐标方程）圆的极坐标方程 3.3.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化，极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化，当研究对象与角和距离有关时，用极坐标方程解当研究对象与角和距离有关时，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题技巧决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时，系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时，可转化为直角坐标方程求解可转化为直角坐标方程求解.
