1、第九章第九章解解)(xyy 设设所所求求曲曲线线为为，xxy2dd xxyd22,1 yx时时其中其中,2Cx ,1 C得得.12 xy所所求求曲曲线线方方程程为为第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念，代代入入将将2,1 yx凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例,xyy ,0dd)(2 xxtxt,e32xyyy ,yxxz 若未知函数是一元函数，称若未知函数是一元函数，称常微分方程常微分方程，否，否则称则称偏微分方程偏微分方程.本章只讨论前者本章只讨论前者.方程中所含未知函数的导数的最高阶方程中所含未知函数的导数的最高阶,称
2、为微称为微分方程的分方程的阶阶.,0),(yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶(n阶阶)微分方程微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy使方程成立的函数称微分方程的使方程成立的函数称微分方程的解解.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.,yy 例例;excy 通通解解,0 yy;cossin21xcxcy 通解通解初
3、始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.例：例：以下函数以下函数,（）可以看作某个二阶微分方程的通解：）可以看作某个二阶微分方程的通解：(A)y=c1 x2 +c 2 x+c 3 （B）x2 +y2 =c (C)y=ln(c1 x)+ln(c 2 sinx)（D）y =c1 sin2
4、x+c 2 cos2 x (E)y=c1 e c2+x 解解：（B）x2 +y2 =c 中只有一个任意常数中只有一个任意常数，不能是二阶微，不能是二阶微 分方程的通解分方程的通解；(A)y=c1 x2 +c 2 x+c 3 中有三个任意常数，也不能是二阶微中有三个任意常数，也不能是二阶微 分方程的通解分方程的通解；(C)y=ln(c1 x)+ln(c 2 sinx)=lnc1+lnc 2+ln x+ln sinx =ln(c1 c 2)+ln x+ln sinx ,实质上只有一个任意常数实质上只有一个任意常数，不能，不能 是二阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解；（D）y =c1 sin2 x
5、+c 2 cos2 x =(c1-c 2)sin2 x+c 2 中中 sin2 x 与与 1 线性无关，线性无关，（E）y=c1 e c2+x =（c1 e c2）e x ，实质上也只有一个任意常，实质上也只有一个任意常 数数，不能是二阶微分方程的通解，不能是二阶微分方程的通解；有两个独立的任意常数，均是二阶微分方程的通解有两个独立的任意常数，均是二阶微分方程的通解；第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程xxfyygd)(d)(xxfyygd)(d)(设函数设函数)(yG和和)(xF是依次为是依次为)(yg和和)(xf的某个原函数的某个原函数,CxFyG )()(为微分方程的通
6、解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程.称称则则一一 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程求求方方程程22ddxyxy 的的通通解解.解解分分离离变变量量,xxyyd2d2,积积分分 Cxy 21,所所以以通通解解为为 Cxy 21.例例1 1求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解.解解分分离离变变量量,xxyyd2d,积积分分 Cxy 2ln,或或写写为为 2eexCy ,记记 CCe1 ,则则通通解解为为 2e1xCy.或解或解分分离离变变量量,xxyyd2d,积积分分 Cxylnln2 ,则则通通解解为为 2exCy .例例2 2求求方方程程0d
7、)ee(d)ee(yxyyxxyx的的通通解解.解解分分离离变变量量:1edee1de xxyyxy,两两边边积积分分:Cxyln)1eln()1eln(,即即所所求求通通解解为为 Cyx )1e)(1e(.例例3 3求解实例求解实例 .91:.12xyy求通解例229191xydxdyxyy解：cxarctgcxxdy331)3(1)3(31ln2.0)1(01:.22ydyxdxxey，求特解例21xxdxdyey解：分离变量212010cceyx代入，得：，令.2112xey.11)(22cxecxxdxdyeyy.919122cxdxydyxdxydy分离变量.3311xarctgec
8、y.0:.332dxeydyxy求通解例dxedyyedxeeydyxyxy3322,0分离变量解：.1)0(1:.4yeyy，求特解例,1,1yyedxdyedxdy解：cxedeecxeedyeyyyyyy)(111)1(代入，得：令1,0.1yxecexy).()1(11隐函数形式特解为：xyeeeec.321)(3322（隐函数形式）通解为：ceecdxedyyexyxycdxedydxedyyy11分离变量cxeeyyln)1ln(cxeeyy1ln二二 齐次方程齐次方程)(ddxyxy形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,
9、xuy 即即代入原式得代入原式得,ddddxuxuxy ),(dduxuxu1.1.定义定义分分离离变变量量得得 xxuuud)(d ,两边积分即得通解两边积分即得通解.注意：须将注意：须将u代回代回.求求方方程程 0)()(yxyyx 的的通通解解.解解此此题题不不能能分分离离变变量量,原原方方程程变变形形为为 xyxyxy dd 11 xyxy,是是齐齐次次方方程程,作作变变量量代代换换 xyu,xuy ,xuxuxydddd ,代代入入原原方方程程得得 11dd uuxuxu,分离变量得分离变量得 xxuuudd112 ,例例1 1积积分分得得：Cxuu ln)1ln(21arctan2
10、,或写成或写成 uCuxarctan12e1 ,再再将将xyu 代代入入,得得通通解解为为 xyCyxarctan122e .分离变量得分离变量得 xxuuudd112 ,1)1(y的的特特解解.解解原原方方程程变变形形为为 22ddxxyyxy 作作变变量量代代换换 xyu,xuy ,xuxuxydddd ,代代入入原原方方程程得得 1dd2 uuxuxu,求求方方程程xyxyxyxydddd22 满满足足初初始始条条件件 1)/(2 xyxy,即即 11dd2 uuuuuxux,例例2 2积积分分得得：Cxuu lnln,或或写写成成 Cxuu ln,再再将将xyu 代代入入,得得通通解解
11、为为 Cyxy ln；分分离离变变量量得得 xxuudd)11(,再再由由初初始始条条件件1)1(y,得得1 C,于于是是得得所所求求特特解解为为1ln yxy.即即 11dd2 uuuuuxux,.1)0(0)(:.322ydyyxxydx，求特解例2222)(:yxxyydyyxxydx解21uuxuucxdxduuu)11(3xyu 故令231uuxuuuuxu21xdxuduu32)1（分离变量cxuulnln212cxeuuln212cxeuu2211cyeyxy222代回cxueu221111,00cceyx代入，得：令.222yxey三三 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程
12、)cybxacbyax(fxy111 dd形如形如的微分方程称为的微分方程称为可化为齐可化为齐次方程的方程次方程的方程.当当c=cc=c1 1=0=0时，为时，为齐次方程。我们看齐次方程。我们看c c，c c1 1 不全为零时。不全为零时。),cybxac)ybxa(fxybbaa0baba,1111111111 dd时时，即即当当),(dd11111czczfbaxzybxaz，则令),(dd,(,0,21111111cbabacbabafybaba为待定系数），时，令当这是齐次方程。则),(dd11babaf,0cba0cba,111 满满足足.511的通解求方程例xyxyy.xyz 解解
13、：令令.5z1z1dxdz 得得：5z4dxdz 得得12cx4z52z 得得cx2y10)xy(2 故故通通解解为为：.12222）（求方程例yxyy.0102 解解：由由.23 得得：z.2dd2再再令令）（原原方方程程化化为为22)1()1(zzzddz得 ddz)z1(z)z1(22zarctan2zarctan2cecez 即即得得3x2yarctan2ce2y 第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(
14、xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.一、线性方程一、线性方程.0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)(xxPCy1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数.2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函
15、数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换 xxPxuyd)(e)(,e)()(e)(d)(d)(xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy),(e)(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)(对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解,e)()(d)(xxPxQxu代代入入原原方方
16、程程得得和和将将yy),(e)(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e)(.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cxxxyxxxxdesined1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1 Cxxx.)cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 1求求方方程程2e22ddxxxyxy 满满足足1)0(y的的特特解解.解解通通解解为为 dee2ed2d22Cxxyxxxxx d2e2Cxxx )(e22Cxx ,由初始条件由初始条件1)0(y,1 C,即即所所求求特特解解为为 )1(e22 xyx.例例2
17、2求求方方程程0d)(d3 yyxxy的的通通解解.解解方方程程含含有有3y,故故不不是是关关于于未未知知函函数数y线线性性方方程程,2ddyyxyx ,可可把把y视视为为自自变变量量,把把方方程程改改写写为为 此此即即一一阶阶线线性性方方程程,解解得得通通解解为为 deed12d1Cxyxyyyy d12Cxyyy 43yyC .例例3 3).(,)3()()(230 xfedttfxfxfxx求为连续函数并满足：已知xxedttfxf302)()3()(可得：由已知条件，解：;2)(3)(2xexfxf)2(2)(3)3(2)3(ceecdxeeexfxxdxxdxcedttff211)3
18、()0(000;2)33(3)(2xexfxf：有根据求解公式，这是一个一阶线性方程xexQxP22)(,3)(.23)(323xxeexfcnyxQyxPxy)()(dd )1,0(n解法解法:二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程得得两两端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1(dd ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后求出通解后,将将 代入即得代入即得原方程的通解原方程的通解.nyz 1代入上式代入上式.4dd2的通解的通解求方程求方程yxyxxy ,4dd12xyxxyy ,yz 令令,4dd
19、22xzxxz 得得de2ed22d2Cxxzxxxx .224 Cxxy解解得得两两端端除除以以，y,22 Cxx,22dd2xzxxz 得原方程的通解为得原方程的通解为 例例4 4求求方方程程04)(2 xyyxy )0(y的的通通解解.解解把把y作作为为自自变变量量,原原方方程程改改写写为为 xxyyx4141dd ,这这是是伯伯努努利利方方程程,两两边边乘乘以以x,化化为为线线性性方方程程 2121dd22 xyyx,得得通通解解)(Cyy yCy .例例5 5de21e2d2d2Cyxyyyy )(.)(,316.,),(,)0,1(),1,0()(3考研试题的表达式求的面积之和为的
20、面积与曲边三角形若梯形为坐标原点轴上的投影在为点为该曲线上任意一点一段连续曲线的是第一象限内连接点设xfxCBMOCMAOxMCyxMBAxfy,1)(2xfxSOCMA解：,)(1dttfSxCBM,316)(1)(231xdttfxfxxAB),(yxM0C 两边关于两边关于 x 求导求导，得，得 .21)()(21)(1 212xxfxf xxf.1)(1)(2xxxfxxf1)(121Cdxexxexfdxxdxx1ln2lnCdxexxexx)1(22Cdxxxx.12Cxx 由于由于 x=1 时时，f(1)=0 ,故有故有 2+C=0，从而从而 C=-2 .)1(21)(22xxx
21、xfxxxfxxf1)(1)(2为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为).2001()(,)1()()()(.611年考研试题之和求函数项级数且满足已知例nnnxnnnnxfnefexxfxfxf的一阶线性微分方程，是一个关于解：)()()(1xfexxfxfnxnnn)()()()1(1)1()()(cdxeexecdxexQexfdxxndxdxxPdxxPn)(1cdxeexexxnx)(cnxenx0)1(cnefn,)(111nnnxxnnnnxenexxf,11)()(0111xxxnxxSnnnnnn则1)(nnnxxS令,)(nexxf
22、xnn),1ln(1)(0)0(0 xxdxxSSx），它的收敛域为11),1,1,)1ln()()(1xxexSexfxxnn)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn (1)形如形如的方程称为的方程称为n阶线性微分方程阶线性微分方程,特别特别,0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn(2)称为称为n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程.补充补充 高阶线性微分方程高阶线性微分方程0)()(yxQyxPy(3)线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构先讨论先讨论二阶二阶齐次线性方程齐次线性方程如如果果)(),(21xyxy是是方方程程(3 3)的的两两个
23、个解解,则则它它们们的的任任意意线线性性组组合合 也是也是(3)的解的解.)x(yC)x(yCy2211 定理定理1 1(4)进一步，进一步，如如果果)(),(21xyxy线线性性无无关关,则则(4)就是就是就是就是(3)的的通解通解.1.1.齐次线性方程解的结构齐次线性方程解的结构0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn(2)推论推论(齐次线性方程的叠加原理齐次线性方程的叠加原理)如如果果)(),(),(21xyxyxyn是是n阶阶齐齐次次方方程程 的的n个线性无关的解个线性无关的解,则它们的任意线性组合则它们的任意线性组合，)()()(2211xyCxyCxyCynn 即为
24、方程即为方程(2)的通解的通解.2.2.非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构回顾：回顾：)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)(对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解2.2.非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构.yYy定理定理2 2设设)(xy 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程(5)的一个特解的一个特解,)(xY是是与与(5)对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程 0)()(yxQyxPy(3)()()(xfyxQyxPy 的
25、通解的通解,那么那么(5)的通解为的通解为定理定理3(3(非齐次线性方程的叠加原理非齐次线性方程的叠加原理)设设)(),(21xyxy 分别是非齐次方程分别是非齐次方程 则则)()(21xyxy 为为非非齐齐次次方方程程 的的一一个个特特解解.)()()(1xfyxQyxPy 和和)()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解,)()()()(21xfxfyxQyxPy 33223113212211)()()1(yyycyycyccycyc :,)()()(,21321解解是是意意常常数数，则则该该方方程程的的通通是是任任的的解解，均均是是方方程程设设线线性性无无关关的的函函数数ccxfyxq
26、yxpyyyy 32122113212211321221132211)1()()1()()()()(yccycycdyccycyccyccycycbyycyca 线性无关线性无关是对应齐次方程的两个是对应齐次方程的两个、)()(3231yyyy 例例1 1解解是非齐次方程的特解，是非齐次方程的特解，的解，而的解，而3y是方程的通解。是方程的通解。)(d某某个个领领域域内内单单调调减减少少。（某某个个领领域域内内单单调调增增加加（取取得得极极小小值值（）取取得得极极大大值值（处处在在点点则则函函数数，且且若若一一个个解解，是是方方程程的的设设)(,0)(0)(042)(000dcbaxxfxfx
27、fyyyxfy ,0)(00为驻点为驻点xxxf 例例2 2解解,0)(,0)(4)(2)(0000 xfxfxfxf又又,0)(4)(00 xfxf的的极极大大值值点点。是是故故)(0 xfxx (1)为二阶为二阶常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程,第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 0 qyypy由由定定理理 1 1 知知,若若求求得得齐齐次次方方程程(1)的的两两个个特特解解)()(21xyxy，,且且)(/)(21xyxy常常数数,则则(1)的的通通解解为为 )x(yC)x(yCy2211 ,其其中中21,CC为为任任意意常常数数.例例如如,0 yy,
28、有有两两个个特特解解 xyxycos,sin21 ,它它们们显显然然线线性性无无关关,于是方程通解为于是方程通解为 .cossin21xCxCy 其中其中p,q是常数是常数.称称一一.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程(1)0 qyypy下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解.将将rxye 代代入入方方程程(1),得得 0e)(2 rxqprr,而而0e rx,于于是是有有 02 qprr(2)代数方程代数方程(2)称为微分方程称为微分方程(1)的的特征方程特征方程,它的根称为它的根称为特征根特征根.02 qprr(3)情形情形 1 1 若若0
29、 ,则则特特征征方方程程(2)有有两两个个相相异异的的实实根根 22,1 pr,得得到到方方程程(1)的的两两个个特特解解xry1e1,xry2e2,而而Cxyxyxrr )(2121e)(/)(,故故它它们们线线性性无无关关,因因此此(1)的的通通解解为为 xrxrCCy21ee21 .记记 qp42 ,下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解.情情形形 2 2 若若 0 ,则则特特征征方方程程(2)有有两两个个相相等等的的实实根根 2/2,1pr ,只只得得到到方方程程(1)的的一一个个特特解解 xry1e1,需需要要求求另另一一个个特特解解 2y,使使 12
30、/yy常常数数.设设)(/12xuyy,即即xrxuy1e)(2,代代入入方方程程(1),并并约约去去 xr1e,得得 0)()2(1211 uqprrupru,因因为为1r是是方方程程02 qprr的的二二重重根根,故故有有021 pr,0121 qprr,0 u,取取特特解解 xu,即即得得xrxy1e2,于于是是(1)的的通通解解为为 xrxCCy1e)(21 .情情形形 3 3 若若 0 ,则则特特征征方方程程(2)有有一一对对共共轭轭复复根根 ir 2,1,方方程程(1)有有两两个个特特解解 xiy)(1e ,xiy)(2e ,)sincos(e21xCxCyx .由由欧欧拉拉公公式
31、式知知 由由叠叠加加原原理理,xiyyyxyyyxx sine2/)(cose2/)(212211 仍仍然然是是(1)的的解解,且且线线性性无无关关,所所以以方方程程(1)的的通通解解为为 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 02 qprr0 qyypy小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2,1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为求求微微分分方方程程032 yyy的的通通解解.0322 rr,特
32、特征征根根为为 3,121 rr,xxCCy321ee .例例1 1例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(e21xCxCyx 解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs满满足足初初始始条条件件 0122 rr,特特征征根根为为 121 rr,ttCCs e)(21.2)0(,4)0(ss的的特特解解.4)0(1 Cs,ttCCCs e)(212,2)0(12 CCs,22 C,所所以以所所求求特特解解为为 tts e)24(.
33、例例3 3)11()(1xnxxsnn2111111)1(1)()()()(xxxxxxxxxxxxxnxxsnnnnnnnn2)1(1aaas0a)321(lim32nnanaaa设，计算极限的值。ax1则原问题转化为求和函数在处的值故所求值为解：设也收敛。也收敛。收敛，收敛，试证：试证：均收敛均收敛与与设正项级数设正项级数 1111,nnnnnnnnnnuvuvu例例3 3证明证明收敛收敛均收，均收，与与)(111nnnnnnnvuvu 收收令令 12121,1nnnnnvnv收敛收敛又又 1,2nnnnnnnvuvuvu收收敛敛。由由上上述述推推导导可可知知 1nnnu)sin1121原
34、级数发散原级数发散收收散，散，（nnnnan 1111131131121121)12(nn)212)1111(322 nnnnnnn散散)1sin(,).11(12nnnaan 为常数为常数设设)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,yYyf(x)常见类型常见类型),(xPm,e)(xmxP,cose)(xxPxm ,sine)(xxPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二二 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 其其中中 是是常常数数,)(xPm是是m次次多多
35、项项式式.设设xxQy e)(,其中其中)(xQ是多项式是多项式,xxxQxQy e)(e)()(,xxxxQxQxQy e)(e)(2e)()(2 ,代代入入方方程程)(xfqyypy ,整整理理并并约约去去x e,得得)()()2(2xPQqpQpQm (*)情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根,即即02 qp ,则则可可设设)(xQ为为次次数数与与)(xPm次次数数相相同同的的多多项项式式:)()(xQxQm,xmxQy e)(.即即 型型一、一、)(e)(xPxfmx 则则)()()2(2xPQqpQpQm (*)情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的单单根根,即即02
36、qp ,)()(xxQxQm,xmxxQy e)(.即即 而而02 p,则则令令 情情形形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根,即即02 qp ,)()(2xQxxQm,xmxQxy e)(2 .即即 且且02 p,则则令令 然然后后根根据据恒恒等等式式(*)来来确确定定)(xQ,从从而而得得到到特特解解 y.综上讨论综上讨论)(xQ不是特征根不是特征根)(exPqyypymx 设特解为设特解为，)(xQm是单特征根是单特征根，)(xxQm是二重特征根是二重特征根，xxQy e)(其中其中，)(2xQxm)()()2(2xPQqpQpQm 代入原方程代入原方程,或利用下式或利用下
37、式来确定来确定Q(x).解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0322 rr特征根特征根，1321 rr,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解.因因为为0 不不是是特特征征根根,故故设设特特解解baxy ,代代入入原原方方程程,得得 13)(32 xbaxa,31,1 ba,所所以以特特解解 xy 31,即即原原方方程程的的通通解解为为 31ee321 xCCyxx.例例1 1.e232的通解的通解求方程求方程xxyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr.ee221xxCCY 是
38、是单单根根，2 ),()(BAxxxQ 其中其中代入代入xBAxA 22，121 BA，于是于是xxxy2e)121(原方程通解为原方程通解为.e)121(ee2221xxxxxCCy 例例2 2,e)(2xxQy 设设得得，)()()2(2xPQqpQpQm 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0962 rr特征根特征根，32,1 r.e)(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解.因因为为3 是是二二重重特特征征根根,故故设设特特解解为为xxQy3e)(,其其中中232)()(bxaxbaxxxQ ,xbax 26,解解得得 0,61 ba,
39、所所以以特特解解 xxy33e61 ,即即原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321e61e)(.代入代入得得例例3 3，)()()2(2xPQqpQpQm 由由欧欧拉拉公公式式,其其中中 ixPxPxPnl2)(2)()(ixPxPnl2)(2)(,ixPxPxPnl2)(2)()(ixPxPnl2)(2)(互互为为共共轭轭的的m次次多多项项式式,maxnlm .型型二、二、xxPxxPxfnlx sin)(cos)(e)(2ee)(2ee)(e)(ixPxPxfxixinxixilx xixixPxP)()(e)(e)(由由第第一一种种情情况况可可知知,可可求求m次次多多项项式
40、式)(xQm,使使ximkxQxy)(1e)(为为方方程程 xixPqyypy)(e)(的的特特解解,其其中中 是是特特征征方方程程的的单单根根不不是是特特征征方方程程的的根根 iik ,1 ,0 ,)(),(xPxP互互为为共共轭轭的的m次次多多项项式式 由由于于xixP)(e)(与与xixP)(e)(共共轭轭,故故ximkxQxy)(2e)(必必为为方方程程 xixPqyypy)(e)(的的特特解解,由由叠叠加加原原理理,xixixPxPxf)()(e)(e)()(由由叠叠加加原原理理,ximkximkxQxxQxyy)()(21e)(e)(是是原原方方程程的的一一个个特特解解.化化简简:
41、e)(e)(eximximxkxQxQxy 共轭共轭其其中中)(),()2()1(xRxRmm是是(实实系系数数)m次次多多项项式式.)sin(cos)(exixxQxmxk )sin(cos)(xixxQm sin)(cos)(e)2()1(xxRxxRxmmxk 解解求求微微分分方方程程xxyy2cos 的的通通解解.特特征征方方程程 012 r,ir ,所所以以对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为 xCxCYsincos21 .ii2 不不是是特特征征根根,所所以以应应设设特特解解为为 xdcxxbaxy2sin)(2cos)(,xbaxcxdcxay2sin)22(2cos)22(
42、)(,于是于是xdcxaxbaxcy2sin)444(2cos)444()(,代代入入原原方方程程,得得，xxxdcxaxbaxc2cos2sin)334(2cos)334(例例4 4，xxxdcxaxbaxc2cos2sin)334(2cos)334(所所以以 0303413034cdaabc,解解得得 9/4003/1dcba.所所以以特特解解为为xxxy2sin942cos31 .所所以以原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCxCy2sin942cos31sincos21 .解解求求微微分分方方程程xyy4cos22 的的通通解解.特特征征方方程程 02 rr,特特征征根根 1,0 r
43、,所所以以对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为 xCCxYe)(21 .原原方方程程转转化化为为xyy8cos1 .先先求求1 yy的的特特解解：0 ,单单根根,设设axy 1,代代入入,得得 1 a,所所以以xy 1；再再求求xyy8cos 的的特特解解：因因为为 8,0 ,i 不不是是特特征征根根,故故设设特特解解为为 xbxay8sin8cos2 ,代代入入原原方方程程,得得 xxabxba8cos8sin)864(8cos)864(,例例5 5xxabxba8cos8sin)864(8cos)864(,08641864abba ,解解得得 520/165/1ba,即即 xxy8si
44、n52018cos6512 ,由由叠叠加加原原理理,原原方方程程有有特特解解 xxxyyy8sin52018cos65121 ,所所以以原原方方程程的的通通解解为为)8sin8cos8(5201e21xxxCCyx .注注:本本题题也也可可如如此此解解:令令py ,方方程程化化为为 xpp4cos22 ,这这是是一一阶阶线线性性方方程程.xyy4cos22 解解求求微微分分方方程程)cos1(e542xyyyx 的的通通解解.特特征征方方程程 0542 rr,特特征征根根 ir 2,所所以以对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为)sincos(e)(212xCxCxYx .设设xyyy2e5
45、4 的的特特解解为为 再再求求xyyyxcose542 的的特特解解.因因为为 ii 2 是是特特征征根根,所所以以设设特特解解为为)sincos(e22xBxAxyx ,代代入入原原方方程程,消消去去x2e,得得 xxBxAcoscos2sin2 ,xAy21e ,代代入入得得 1 A,即即xy21e .2/1,0 BA,所以所以 xxyxsine2122 .例例6 6xy21e ,xxyxsine2122 由由叠叠加加原原理理,原原方方程程有有特特解解 xxyyyxxsine21e2221 .所所以以原原方方程程的的通通解解为为 xxxCxCyxxxsine21e)sincos(e2221
46、2 .例例7 7 某商品的需求量某商品的需求量Q对对P的弹性为的弹性为E(P)=-Pln4，又知该商品的最大需求量为又知该商品的最大需求量为1600，求需求量，求需求量Q对对价格价格P的函数关系。的函数关系。解解E(P)=-Pln4 PQQ即 dP4lnQdQ 1C4lnPQln P4lnp4CCeQ p41600Q 解解例例8 8 过点过点A()的曲线的曲线C位于平面位于平面XOY的第一的第一象限内，已知象限内，已知C上任意一点上任意一点P处的切线与处的切线与Y轴的交轴的交点为点为B，在，在Y轴上的截距等于点轴上的截距等于点P与与B间的距离，间的距离，求曲线求曲线C的方程。的方程。23,23
47、)xX)(x(f)x(fY),x(fy 则则任任意意点点的的切切线线为为为为根根据据题题意意可可设设曲曲线线方方程程2222)x(fx)x(fx(x)x(fPB)x(f),x(fx)x(f,0(B 在在轴轴上上的的截截距距为为点点3.二阶常系数线性微分方程的求通（特）解方法二阶常系数线性微分方程的求通（特）解方法（1）二阶常系数线性齐次微分方程）二阶常系数线性齐次微分方程 a y +b y +c y=0 情况情况 根据求解理论，为了求出该类方程的通解根据求解理论，为了求出该类方程的通解,只要设法只要设法 求出它的两求出它的两个线性无关的特解个线性无关的特解 就可以了就可以了。令令 y=Ax =
48、e rx (A 或者说或者说 r=ln A 为待定常数为待定常数)，代入方程整代入方程整理后理后,得得:(ar2+br+c)e rx=0 =ar2+br+c =0，当当 =b2-4ac 0 时时,求解求解一元二次方程一元二次方程 a r2+b r+c=0，可找到两个不等的实根可找到两个不等的实根 r1 与与 r2 .这样这样,我们实际上得到了原微分方程两个线性无关的特解我们实际上得到了原微分方程两个线性无关的特解:y1(x)=e r1 x 与与 y2(x)=e r2 x .因此因此,当当 =b2-4ac 0 时时,原微分方程的通解为原微分方程的通解为:y=c1 y1(x)+c2 y2(x)=c
49、1 e r1 x+c2 e r2 x (c1,c2 是任意常数是任意常数 ).经观察，经观察，y 、y 、y 应是同类型函数！应是同类型函数！只有指数函数只有指数函数 A x 才有此特性！才有此特性！当当=b2-4ac 0 时时,因为因为 r1=r2=-b/2a,求解求解一元二次方程一元二次方程 a r2+b r+c=0，我们此时只，我们此时只能得到一个特解能得到一个特解:y1(x)=e r1 x=e r2 x xabe2 为了找到另一个线性无关的特解为了找到另一个线性无关的特解,我们令我们令:=y2(x)=u(x)e r1 x+r1 u(x)e r1 x ,=y2(x)=u(x)e r1 x
50、 +2r1 u(x)e r1 x+r12 u(x)e r1 x 将它代入原微分方程将它代入原微分方程,经整理后可得经整理后可得:au(x)+(2ar1+b)u(x)+(ar12+br1+c)u(x)e r1 x=0.因为因为 =b2-4ac0 且且 r1=-b/2a,故有故有(2ar1+b)=0 和和 ar12+br1+c=0,这样这样,上面的等式简化成上面的等式简化成:au(x)=0,或或 u(x)=0 !显然显然,可取可取 u(x)=x !y2(x)=u(x)y1(x)=u(x)e r1 x,其中其中 u(x)为待定的新未知函数为待定的新未知函数 。于是于是,y2(x)=u(x)e r1
