1、第二章 计算机控制系统的数学描述 21计算机控制系统的数学描述方法分类 n 一般来说，将模拟控制系统中的控制器的功能用计算机或数字控制装置来实现，就构成了计算机控制系统。但用计算机代替自动控制系统中的模拟控制器必须加上必要的附加装置才能构成计算机控制系统。计算机参与控制的形式是多种多样的。它取决于控制规律的选择，以及受控对象的特性。尽管如此，任何形式的计算机控制系统(包括过程控制系统、随动控制系统等)都存在共性之处，即计算机只是系统的一个组成部分。图2-2所示的系统若从A-B两端向下看，(包括AD，计算机，DA)可以看成一个连续部分。而从A-B两端向上看，则可将AD、被控对象、DA等效为一个离
2、散系统。由于这两种不同理解，因此在设计方法上就可以分为：模拟化设计方法和离散化设计方法。计算机控制系统的数学描述方法分为：计算机控制系统的数学描述方法分为：从严格意义上讲，离散控制、采样控制、数字控制的含从严格意义上讲，离散控制、采样控制、数字控制的含义并不完全相同。离散控制处理的离散信号，采样控制处理义并不完全相同。离散控制处理的离散信号，采样控制处理的是采样信号，数字控制处理的是数字信号。而所谓离散控的是采样信号，数字控制处理的是数字信号。而所谓离散控制是指系统中有一处或几处信号是一串脉冲信号或数码，这制是指系统中有一处或几处信号是一串脉冲信号或数码，这些信号仅在离散瞬时上有值，这样的系统
3、你为离散系统。而些信号仅在离散瞬时上有值，这样的系统你为离散系统。而控制系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称谓采控制系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称谓采样控制系统或脉冲控制系统。而把那些幅值被整量化的离散样控制系统或脉冲控制系统。而把那些幅值被整量化的离散信号或数字序列形式的离散系统称为数字控制系统或计算机信号或数字序列形式的离散系统称为数字控制系统或计算机控制系统。控制系统。一是将连续的被控对象离散化等效的离散系统数学模型，一是将连续的被控对象离散化等效的离散系统数学模型，然后在离散系统的范畴内分析整个闭环系统；然后在离散系统的范畴内分析整个闭环系统；二是将数字控制器等效
4、为一个连续环节，然后采用连续系统二是将数字控制器等效为一个连续环节，然后采用连续系统的方法来分析与设计整个控制系统。的方法来分析与设计整个控制系统。22 信号的采样与采样定理信号的采样与采样定理 计算机系统要把连续变化的量变成离散量后再进行处理。计算机系统要把连续变化的量变成离散量后再进行处理。因此，计算机系统被称为离散系统，亦称采样数据系统。这种因此，计算机系统被称为离散系统，亦称采样数据系统。这种离散系统与连续系统的区别仅仅在于离散系统的信号是以采样离散系统与连续系统的区别仅仅在于离散系统的信号是以采样数据为主要形式，而连续系统则是连续信号。数据为主要形式，而连续系统则是连续信号。221信
5、号的分类信号的分类 tf(t)(a)tf(t)(b)tf(kT)(c)tf(k)(d)123450000T 2T123456有些信号尽管它们实际上是连续的，但是知道满足抽样定理的要求，仅对有些信号尽管它们实际上是连续的，但是知道满足抽样定理的要求，仅对它们的抽样值感兴趣，或者由于无法或没有必要了解它们整个过程的连续它们的抽样值感兴趣，或者由于无法或没有必要了解它们整个过程的连续变化情况，而只能或只需测得其抽样值，也可以把它们当作离散事件信号变化情况，而只能或只需测得其抽样值，也可以把它们当作离散事件信号来看待。所以离散时间信号可以看成是连续时间信号经过离散化（即抽样）来看待。所以离散时间信号可
6、以看成是连续时间信号经过离散化（即抽样）的结果。的结果。模拟信号模拟信号 量化信号量化信号 离散信号离散信号 数字信号数字信号 电报信号电报信号 222 2连续信号的采样连续信号的采样 基于信号的采样理论，一个连续时间信号基于信号的采样理论，一个连续时间信号x(t)x(t)在满在满足一定的条件下用它的采样信号足一定的条件下用它的采样信号x x*(t)(t)来表示。来表示。1 1采样器采样器 采样器就是可以将连续时间信号采样器就是可以将连续时间信号x(t)x(t)转换为离散转换为离散时间信号的物理器件。采样器的符号表示一般表示为时间信号的物理器件。采样器的符号表示一般表示为采样开关采样开关。X(
7、t)X (t)*t=nT 开关闭合t=nT+t 开关断开图图2.4 采样开关采样开关 连续系统的采样形式连续系统的采样形式:周期采样：以相同的时间间隔进周期采样：以相同的时间间隔进行采样，即行采样，即 ，T T为采样周期。为采样周期。多阶采样：在这种形式下，（）多阶采样：在这种形式下，（）是周期性的重复，即是周期性的重复，即 常量，常量，r1r1。随机采样：顾名思义，这种采样随机采样：顾名思义，这种采样形式没有固定的采样周期，是根据需要形式没有固定的采样周期，是根据需要来选择采样时刻的。来选择采样时刻的。2实际采样信号实际采样信号 3理想采样信号理想采样信号 理想采样器可形象地视做理想采样器可
8、形象地视做个调制器，被调制信个调制器，被调制信号为模拟量输入信号，以采样开关的单位脉冲串作为号为模拟量输入信号，以采样开关的单位脉冲串作为调制频率，称为单位脉冲函数。调制频率，称为单位脉冲函数。4采样信号的物理意义采样信号的物理意义 对连续时间信号采样的物理意义可以有两种解释。对连续时间信号采样的物理意义可以有两种解释。一：为连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制；一：为连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制；二：为单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加权。二：为单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加权。222 采样定理采样定理 香农（香农（ShannonShannon）提出了采样信号提出
9、了采样信号x(t)与连续时间与连续时间信号信号x(t)之间关于信息量的等价条件，得到了可以从之间关于信息量的等价条件，得到了可以从采样信号采样信号x(t)中将原连续时间信号中将原连续时间信号x(t)恢复的条件。恢复的条件。香农（香农（Shannon）定理的证明定理的证明对于周期函数可以表示为傅里叶级数为对于周期函数可以表示为傅里叶级数为:223 信号复现与零阶保持器 3零阶保持器零阶保持器 零阶保持器可以将第零阶保持器可以将第n个采样点的幅值保持至下一个个采样点的幅值保持至下一个采样点时刻，从而使得两个采样点之间不为零值。采样点时刻，从而使得两个采样点之间不为零值。4零阶保持器的数学模型零阶保
10、持器的数学模型由于零阶保持器可以实现采样点值的常由于零阶保持器可以实现采样点值的常值外推值外推。由图示的信号分解关系，写出零阶保持器的时间函数为：零阶保持器可以近似实现理想低通滤波器的功能。5零阶保持器的工程实现零阶保持器的工程实现 在工程上，零阶保持器可以采用不同的方法实在工程上，零阶保持器可以采用不同的方法实现。由于拉氏变换的延迟因子展开成泰勒级数可以现。由于拉氏变换的延迟因子展开成泰勒级数可以表示为：表示为：23 计算机控制系统的等效离散系统数学描述计算机控制系统的等效离散系统数学描述 对于连续时间系统，采用拉氏变换，定义了对于连续时间系统，采用拉氏变换，定义了S变换域传递函数，传递函数
11、模型是系统的最重要的变换域传递函数，传递函数模型是系统的最重要的一类数学描述。与其相似，对于计算机（采样）控一类数学描述。与其相似，对于计算机（采样）控制系统可以定义制系统可以定义z变换域的脉冲传递函数。对计算变换域的脉冲传递函数。对计算机控制系统来说，脉冲传递函数也起着类似的作用。机控制系统来说，脉冲传递函数也起着类似的作用。231 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 由离散系统的数学分析知识我们知道，差分方程确定了由离散系统的数学分析知识我们知道，差分方程确定了一类动力学系统，该动力学系统的输入信号为离散时间序列一类动力学系统，该动力学系统的输入信号为离散时间序列rk，输出信号也是离散时
12、间序列，输出信号也是离散时间序列yk，这样的动力学系统称为，这样的动力学系统称为离散动力学系统离散动力学系统。参见参见“自动自动控制原理控制原理”教材第八章，教材第八章，采样控制系采样控制系统分析基础统分析基础脉冲传递函数定义为，在初始条件为零的前提脉冲传递函数定义为，在初始条件为零的前提下，系统输出信号的下，系统输出信号的z变换与系统输入信号的变换与系统输入信号的z变换变换之比。之比。232 开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数(1)脉冲传递函数的物理意义脉冲传递函数的物理意义)()()(*0nTtnTrtrn)()()()()()0()(kTtgkTrTtgTrtgrtynkkTnTg
13、kTrkTnTgkTrTnTgTrnTgrnTy0)()()()()()()()0()()()()(0kTnTgkTrnTyk)()()()()()()(000)(0zRzGzkTrzmTgzmTgkTrzYkkmmmkmkmmzmTgzRzYzG0)()()()(000)()()()(nnknnzkTnTgkTrznTyzY系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经过采样后经过采样后g*(t)的的Z变换，即是在零初始条件变换，即是在零初始条件下输出的下输出的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比。变换之比。232 开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数
14、(2)开环系统脉冲传递函数的计算开环系统脉冲传递函数的计算 1.1.先用部分分式法将先用部分分式法将G(s)展开成每一项都能从展开成每一项都能从z变换表中变换表中查到的部分分式，得到各分项的查到的部分分式，得到各分项的z变换，再求和。变换，再求和。求求G(z)ZG(s)的方法：的方法：2.2.先求出先求出 ，然后由，然后由z变换的定义得变换的定义得G(z)=Zg(t)。参见参见“自动控制原理自动控制原理”教材第八章，采样控教材第八章，采样控制系统分析基础制系统分析基础例例:2.1注意注意:第一，第一，G(s)是连续系统的传递函数，而是连续系统的传递函数，而G(z)则是表则是表示示G(s)与采样
15、开关两者组合体的脉冲传递函数。与采样开关两者组合体的脉冲传递函数。第二，第二，G(z)与与G(s)虽然都使用同一字母虽然都使用同一字母G，但，但G(z)决不是把决不是把G(s)中的中的s换成换成z得来的，它们之间满足得来的，它们之间满足关系式关系式:第三，在图第三，在图2.18所示系统中系统的输入端有采样开所示系统中系统的输入端有采样开关。而在系统的输出端有没有采样开关都不影响关。而在系统的输出端有没有采样开关都不影响系统的脉冲传递函数系统的脉冲传递函数G(z)。(3)开环系统脉冲传递函数的各种情况开环系统脉冲传递函数的各种情况)()()()(2121zGGsGsGZzG中间不带采样开关的两个
16、连续环节串联中间不带采样开关的两个连续环节串联：)()()(21sGsGsG串联环节之间有一个同步周期采样开关串联环节之间有一个同步周期采样开关：)()()(11zRzGzC)()()(12zCzGzG)()()()()()(12zRzGzRzGzGzC例例:2.2例例:2.3上述两种情况说明：在串联环节之间有无同步上述两种情况说明：在串联环节之间有无同步采样器，其脉冲传递函数是不同的。采样器，其脉冲传递函数是不同的。串联环节的输入端无采样器：串联环节的输入端无采样器：)()()(11sRsGsC)()()()(111zRGsRsGZzC)()()()()(12122zRGzGzCzGzC例例
17、:2.4普遍结论：普遍结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样器，总的脉冲传递函数等于各个串联环节同步采样器，总的脉冲传递函数等于各个串联环节脉冲传递函数之积，即脉冲传递函数之积，即)()()()(21zGzGzGzGn如果在串联环节之间没有采样器，需要将这些如果在串联环节之间没有采样器，需要将这些串联环节看成一个整体，即先求出这些串联环节的串联环节看成一个整体，即先求出这些串联环节的传递函数，然后再根据传递函数，然后再根据G(s)求求G(z)。)()()()()(2121sGsGsGZzGGGzGnn如果串联环节的输入端无采样器，不能写
18、出系如果串联环节的输入端无采样器，不能写出系统的脉冲传递函数，只能写出系统输出信号的统的脉冲传递函数，只能写出系统输出信号的z变换。变换。233 闭环系统的脉冲传递函数 G(s)(z)E(s)C(s)C(s)*C(z)B(s)R(z)R(s)*E(s)*E(z)R(s)-H(s)图220 采样开关在误差通道的闭环系统)(1)()()(zGHzGzRzC图220所示闭环系统的脉冲传递函数为:计算机控制系统的各环节脉冲传递函数和整个系计算机控制系统的各环节脉冲传递函数和整个系统的闭环脉冲传递函数。统的闭环脉冲传递函数。D(z)(z)c(t)C(z)R(z)e(t)*E(z)r(t)-s1-e-Ts
19、G(s)p*u(t)G(z)图图2.21 计算机控制系统计算机控制系统 1控制算法控制算法D(z)控制算法通常是由计算机或控制算法通常是由计算机或PLC等部件完成的，等部件完成的，它是计算机控制系统的核心部分。它根据系统的误差，它是计算机控制系统的核心部分。它根据系统的误差，算出控制量算出控制量u*(t)，以使系统沿着减少误差的方向运动。，以使系统沿着减少误差的方向运动。2广义对象的脉冲传递函数广义对象的脉冲传递函数 所谓广义对象通常是指保持器环节和被控对象所谓广义对象通常是指保持器环节和被控对象环节串联后所构成的连续时间系统。环节串联后所构成的连续时间系统。例例:2.4 3整个系统的闭环脉冲
20、传递函数整个系统的闭环脉冲传递函数 24 采样控制系统的动态分析采样控制系统的动态分析 采样控制系统的脉冲传递函数的一般形式为：采样控制系统的脉冲传递函数的一般形式为：01110111)(azazazbzbzbzbzGnnnmmmm 对上式的分子和分母多项式进行因式分解可得：对上式的分子和分母多项式进行因式分解可得：)()()()()(211nmPzPzPzZzZzKzG 其中，其中，Z1，Zm称为系统的零点，称为系统的零点，P1，P2，Pn称为系统的极点。称为系统的极点。利用部分分式法，可将利用部分分式法，可将G(z)展开展开：nnPzzAPzzAPzzAzG 2211)(由此可见，采样系统
21、的时间响应是它各个极点时由此可见，采样系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加。如果了解了位于任意位置的一个间响应的线性叠加。如果了解了位于任意位置的一个极点所对应的时间响应，则整个系统的时间响应也就极点所对应的时间响应，则整个系统的时间响应也就容易获得了。容易获得了。与连续系统类似，采样系统的零点和极点在与连续系统类似，采样系统的零点和极点在z平平面上的分布对系统的瞬态响应起着决定性的作用。面上的分布对系统的瞬态响应起着决定性的作用。特别是系统的极点不但决定了系统的稳定性还决定特别是系统的极点不但决定了系统的稳定性还决定了系统响应速度。了系统响应速度。0001)(kkk)(k)(k 显然
22、，对于单位脉冲序列显然，对于单位脉冲序列 它的它的z变换变换Z =1在单位脉冲序列的作用下，系统的动态过程，称为系统的在单位脉冲序列的作用下，系统的动态过程，称为系统的单位脉冲响应。设系统输入为单位脉冲响应。设系统输入为R(z)，输出为，输出为C(z)，系统脉冲传递函数，系统脉冲传递函数为为G(z)。由于在单位脉冲作为输入时，有。由于在单位脉冲作为输入时，有R(z)=1。这时系统输出。这时系统输出C(z)=G(z)R(z)G(z)（2.66）因此，若记系统单位脉冲响应序列为因此，若记系统单位脉冲响应序列为h(k)，则有，则有h(k)=Z-1G(z)（2.67）即系统脉冲传递函数即系统脉冲传递函
23、数G(z)的的z反变换即为系统的单位脉冲响反变换即为系统的单位脉冲响应函数。应函数。1实轴上单极点所对应的脉冲响应实轴上单极点所对应的脉冲响应 1230456kkkkkkReiImiz平面单位圆图图222 不同位置的实数极点与脉冲响应的关系不同位置的实数极点与脉冲响应的关系 iiPzzAkiiPAkh)(2一对共轭复数极点对应的脉冲响应一对共轭复数极点对应的脉冲响应 图图2.23 不同位置的共轭复数极点与脉冲响应的关系不同位置的共轭复数极点与脉冲响应的关系 0kkReiImiz平面单位圆kk11223344jbaPPii1,22212)(baazzYzBzPzzAPzzAiiiiiinnPzz
24、APzzAPzzAzG 2211)(虽然以上我们只分析了单个实极点和复共轭极点的情况，由式(265)知，整个系统的单位脉冲响应实际是这些项脉冲响应之和，因此，采样系统脉冲传递函数的极点在采样系统脉冲传递函数的极点在z平面上的位置，平面上的位置，决定了系统动态响应的速度。决定了系统动态响应的速度。其中极点的模，即极点与原点的极点与原点的距离，决定了系统脉冲响应序列是发散的还是衰减的。也就是距离，决定了系统脉冲响应序列是发散的还是衰减的。也就是说，决定了系统的稳定性。说，决定了系统的稳定性。如果系统所有的极点的模都小于1，或者说系统所有的极点都位于z平面上的以原点为圆心，以1为半径的单位圆内，则式
25、(265)中各项都对应着衰减的脉冲响应序列，随着k，各项都趋向于零。因此，系统是渐近稳定的。反之，若系统中有模大于1的极点，则当k时，即使式(2.64)中的其它项都趋向于零，但是由于相应于模大于1的极点的那项的时间响应趋向于无穷大，造成系统单位脉冲响应也趋向于无穷大，因此系统为不稳定。(265)25 采样系统的稳定性采样系统的稳定性 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数：01110111)(azazazbzbzbzbzGnnnmmmm )(0111zAazazaznnn 系统的特征多项式：系统的特征多项式：方程方程A(z)0称为特征方程，特征方程的称为特征方程，特征方程的n个根称为个根称为
26、系统的极点或称为系统的特征根。系统的极点或称为系统的特征根。系统为渐近稳定的充要条件是系统特征方程的所有系统为渐近稳定的充要条件是系统特征方程的所有根根(系统脉冲传递函数的所有极点系统脉冲传递函数的所有极点)都位于都位于z平面的单位圆平面的单位圆内。内。判定离散系统的稳定性问题就变成了判定特征方判定离散系统的稳定性问题就变成了判定特征方程根的分布问题。程根的分布问题。ImZ平面(1,0)ReImRe平面00图图2.24 z平面和平面的对应关系平面和平面的对应关系 利用变换和劳斯判据来判定系统的稳定性利用变换和劳斯判据来判定系统的稳定性 例2.5 r(t)T=11-es-sKs(s+1)c(t)
27、-图图2.25 闭环采样控制系统闭环采样控制系统 采样系统的稳定性通常与系统采样周期采样系统的稳定性通常与系统采样周期T有关，有关，一般说来一般说来T越大，系统的稳定性就越差。越大，系统的稳定性就越差。例例2.6 2.6 采样控制系统的稳态分析采样控制系统的稳态分析 r(t)TG(s)c(t)-e(t)e(t)*图图2.26 单位反馈系统单位反馈系统 利用利用z变换的终值定理，可求得系统稳态误差为变换的终值定理，可求得系统稳态误差为：)(1)()1(lim)(lim)(1zGzRzzkeezz 根据根据G(z)中包含有中包含有z=1的极点个数，可以将系统分成的极点个数，可以将系统分成0型型(没
28、没有有z1的极点的极点)，1型型(1个个z1的极点的极点)，2型型(2个个z1的极点的极点)等。等。1.1.单位阶跃输入单位阶跃输入 1)(zzzRpzKGzzzGzze1)1(111.)(11.1lim)(12单位斜坡输入单位斜坡输入 2)1()(zTzzR)1()(11)1(lim)(21zTzzGzzezvzKTzGzT)()1(1lim1 综上所述，采样控制系统的稳态误差与广义对象所对应综上所述，采样控制系统的稳态误差与广义对象所对应的脉冲传递函数的脉冲传递函数G(z)中所含中所含z=1的极点个数密切相关。在非阶的极点个数密切相关。在非阶跃输入时还和采样周期有关。跃输入时还和采样周期有关。
