1、第第5 5章章 定积分及其应用定积分及其应用5.3 5.3 定积分的应用定积分的应用5.3.1 5.3.1 定积分的微元法定积分的微元法5.3.2 5.3.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用5.3.25.3.2 定积分的几何应用定积分的几何应用1平面图形面积的计算平面图形面积的计算1、直角坐标系下的面积公式直角坐标系下的面积公式 babaydxdxxf)(A（1）00 ybxaxxfy ,)(所界图形的面积所界图形的面积:（2）0 ybxaxxfy ,)(所界图形的面积所界图形的面积:babadxydxxf)(Aab f(x)yAxyoab xf)(y xoy（3）)()(,)(,)
2、(xgxfxgyxfy 21所界图形的面积所界图形的面积:bxax ,xyoab)(xfy 1A所界图形的面积所界图形的面积:（4 4）,)(,)(xgyxfy 21bxax ,ab)(1xfy )(xgy 2 badxxgxf)()(A badxxgxf)()(Axoy)(xgy 2xyocd221xy xyo4 xy解解（5）)()(),(),(yyyxyx 21所界图形的面积所界图形的面积:)(dcdc,yy )y(x )y(x A dcdyyy)()(A (1)(1)作草图选取积分变量作草图选取积分变量从图形可知选取从图形可知选取 x 为积分变量为积分变量例例 计算由曲线计算由曲线 所
3、界图形所界图形 ,212xy 4 xy的面积的面积 )y(x A2 4xyo221yx 4y x 422214dxxxA)(18614214232 )(xxx联立方程组联立方程组 解得两曲线的交点解得两曲线的交点,),(,),(8422 4212 xyxy(3)计算积分计算积分(2)求两曲线的交点求两曲线的交点,确定积分区间确定积分区间从而确定积分区间从而确定积分区间:-2,4 例例 计算由曲线计算由曲线 x=2y2 和和 x=1+y2 所围成的图形面积所围成的图形面积xyo 1 1x=2y2x=1+y2解解 112221dyyyA)(1121dyy)(34(1)作作草图草图,选取选取 y 为
4、积分变量为积分变量(2)求两曲线的交点求两曲线的交点,确定积分区间确定积分区间得得 y=1,y=1,积分区间积分区间-1,1 2212yxyx 解联立方组解联立方组：根据图形选取合适的积分变量有助根据图形选取合适的积分变量有助 于简化问题于简化问题 说明说明:xyo1 51 53 3当当 y0=3 时时 ,x0=2两边对两边对 x 求导得求导得122 )()(xyy令令 x=2,y=3 得得212 )(y切线方程切线方程 )(2213 xy即即 42yx 选取选取 y 为积分变量为积分变量 3024212dyyyA)(）（）996302 dyyy)(求由抛物线求由抛物线 和它在纵坐标为和它在纵
5、坐标为 y0=3 的的 122 xy)(点处的切线以及点处的切线以及x x轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积 例例解解2 2解解 ndxxfA20)(nxdxx20sine nxdxx20sine 10121210122nkkkxnkkkxxdxxdx )()()(sinesine计算曲线计算曲线 与与 x x 轴在区间轴在区间 0,2n xeyxsin 所围成所围成区域的面积区域的面积 例例 10121221nkkkxxxe )()()cos(sin 1012221nkkkxxxe )()cos(sin 10222121nkkeee)(102221nkkee )()()(neee21121
6、 102221021121nkkknkeeeee)()(2 旋转体的体积计算旋转体的体积计算旋转体旋转体:abxyo xfy)(x x+x空间体空间体 平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的 计算此曲边梯形绕计算此曲边梯形绕 x x 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积（f(x)在在 a,b 上连续上连续）设曲边梯形由设曲边梯形由 y=f(x),x=a,x=b 及及 x 轴所界轴所界，babadxydxxfV22)(7)dxxf dVV)(2 设子区间设子区间 x,x+x 上小曲边上小曲边梯形绕梯形绕 x x 轴旋转的体积为轴旋转的体积为 V xyodc)
7、(ygx 同理可得同理可得:dcdcdyxdyygV22)(8)(8)ab)(xfy x x+x下面考虑曲边梯形下面考虑曲边梯形:00 axfybxayxD),(,),(绕绕y 轴旋转所得立体的体积轴旋转所得立体的体积y=d 及及y 轴轴 ,曲边梯形曲边梯形x=g(y),y=c,=c,设子区间设子区间 x,x+x 上小曲边上小曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转的体积为轴旋转的体积为 V V xoy的体积的体积:绕绕y 轴旋转所得轴旋转所得绕绕 x 轴旋转所得的立体的体积轴旋转所得的立体的体积:同理可得同理可得:曲边梯形曲边梯形 )(,),(ygxdycyxD 00(10)dcdcyxdydyyygV
8、 22)(xyodc)(ygx dxxxfdVV)(2 bababaxydxdxxxfdVV 22)(9)11解解222 xy 2xy 解解2xy 22xy 1 x例例 求由抛物线求由抛物线222xyxy ,所围图形的面积所围图形的面积 ,并将此图形绕并将此图形绕 x x 轴旋转一周所成立体的体积轴旋转一周所成立体的体积 画出草图画出草图,选取选取 x 为积分变量为积分变量 ,xy0 积分区间为积分区间为 -1,1 .所以所以 ,所围图形的面积所围图形的面积 11222dxxxS)(38312113 xx所围图形所围图形绕绕 x x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 :1122222dxx
9、xV)()(11244dxx)(316 222 xy 2xy xy0110 xyCxgy 22 解解 RxydxV02 RdxCxgx02222 Cxgy 22 当容器以匀角速度当容器以匀角速度 绕绕 y y 轴旋转时轴旋转时,容器液面的容器液面的轴截面截线方程为轴截面截线方程为:设容器是底半径为设容器是底半径为 R,R,高为高为 H H 的圆柱形容器的圆柱形容器,里面盛里面盛例例 有水的体积为有水的体积为 V,V,试求常数试求常数 C(C(假定假定V V足够大足够大),),又问又问 当以多大的角速度旋转时当以多大的角速度旋转时,容器的底面会露出来容器的底面会露出来?RBA2424cRRg 2224RgRVc 要使容器底面露出来要使容器底面露出来 ,至少使至少使 c=0c=0 gVR22 gVR22 当当 时时,容器的底面会露出来容器的底面会露出来 RdxCxxg03222
