1、九江市20182019学年度下学期期末考试试卷高一数学一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，若与同向，则实数的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过同向向量的性质即可得到答案.【详解】与同向，解得或(舍去)，故选D.【点睛】本题主要考查平行向量的坐标运算，但注意同向，难度较小.2.( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先通过诱导公式化简，然后再通过和差公式即可得到答案.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式及和差公式，难度不大,3.总体由编号为01，02
2、，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为( )50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 2391 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05A. 42B. 36C. 22D. 14【答案】C【解析】【分析】通过随机数表的相关运算即可得到答案.【详解】随机数表第1行的第8列和第9列数字为42，由左至右选取两个数字依次为42，36，03，14，22，选出的第
3、5个个体的编号为22，故选C.【点睛】本题主要考查随机数法，按照规则进行即可，难度较小.4.已知，且，则在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过数量积计算出夹角，然后可得到投影.【详解】，即，在方向上的投影为，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大.5.执行如图所示的程序语句，输出的结果为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过解读算法框图功能发现是为了求数列的和，采用裂项相消法即可得到答案.【详解】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是求的值，输出的结果为，故选B.【点睛】本题主要考查算法框图基
4、本功能，裂项相消法求和，意在考查学生的分析能力和计算能力.6.如图，正方形的边长为，以为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率.【详解】如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形则阴影部分面积：正方形面积：所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题.7.已知函数(,)的部分图像如图所示，则的值分别是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过函数图像可计算出三角函数的周期，从而求
5、得w，再代入一个最低点即可得到答案.【详解】, ，又，又，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图像，通过周期求得w是解决此类问题的关键.8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出( )A. 5B. 8C. 13D. 21【答案】C【解析】【分析】通过程序一步步分析得到结果，从而得到输出结果.【详解】开始：，执行程序：；，执行“否”，输出的值为13，故选C.【点睛】本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.9.从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过向量垂直的条件即可判
6、断基本事件的个数，从而求得概率.【详解】基本事件总数为，当时，满足的基本事件有，共3个，故所求概率为，故选B.【点睛】本题主要考查古典概型，计算满足条件的基本事件个数是解题的关键，意在考查学生的分析能力.10.某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示，执行如图程序框图，若输入的()分别为这20名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】A【解析】【分析】首先判断程序框图的功能，然后从茎叶图数出相应人数，从而得到答案.【详解】由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于120的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于120的人数为11，故选A.【点睛】本题主要考查
7、算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.11.若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】通过和差公式展开三角函数表达式，从而求得正切值，然后得到答案.【详解】由得，即，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式，和差公式的运用，难度不大.12.若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】展开三角函数表达式，然后从问题中提炼出相应式子，从而得到答案.详解】，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式及和差公式的运用，难度不大.13.如图，在矩形中，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是( )A. B. C. D. 【答
8、案】A【解析】【分析】把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【详解】设，的最大值是.故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.14.如图，在矩形中，点满足，记，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可建立合适坐标系，表示出a,b,c的大小，运用作差法比较大小.【详解】以为圆心，以所在直线为轴、轴建立坐标系，则，设，则，故选C.【点睛】本题主要考查学生的建模能力，意在考查学生的理解能力及分析能力，难度中等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.15.已知
9、点，若向量，则向量_.【答案】【解析】【分析】通过向量的加减运算即可得到答案.【详解】，.【点睛】本题主要考查向量的基本运算，难度很小.16.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.【详解】，.【点睛】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.17.某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_.【答案】50【
10、解析】【分析】先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.【详解】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，则招聘后，该县高中数学教师总人数为，招聘后研究生的比例保持不变，该县今年计划招聘研究生人数为.【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.18.如图，在中，则_.【答案】【解析】【分析】先将转化为和为基底两组向量，然后通过数量积即可得到答案.【详解】，.【点睛】本题主要考查向量的基本运算，数量积运算，意在考查学生的分析能力和计算能力.19.如图，以为直径的圆中，在圆上，于，于，记，的面
11、积和为，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】可设，表示出S关于的函数，从而转化为三角函数的最大值问题.【详解】设，则，当时，.【点睛】本题主要考查函数的实际运用，三角函数最值问题，意在考查学生的划归能力，分析能力和数学建模能力.三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.已知函数.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)将)化简为，代入从而求得结果.(2) 由, 得,从而确定的范围.【详解】(1) (2)由，得解得，即的取值范围是【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，不等式的求解，意在考查学生的运算能力和分析
12、能力，难度不大.21.如图，在平面四边形中，已知，为线段上一点.(1)求的值；(2)试确定点的位置，使得最小.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)通过，可得，从而通过可以求出，再确定的值.(2)法一：设()，可以利用基底法将表示为t的函数，然后求得最小值；法二：建立平面直角坐标系，设()，然后表示出相关点的坐标，从而求得最小值.【详解】(1)，即，(2)法一:设()，则， 当时，即时，最小法二:建立如图平面直角坐标系，则，设()，则，当时，即时，最小【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，数形结合思想及函数思想，意在考查学生的划归能力和分析能力，难度较大.22.某校全体教师年龄的频
13、率分布表如表1所示，其中男教师年龄的频率分布直方图如图2所示.已知该校年龄在岁以下的教师中，男女教师的人数相等.表1：(1)求图2中的值；(2)若按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，求男女教师抽取的人数；(3)若从年龄在的教师中随机抽取2人，参加重阳节活动，求至少有1名女教师的概率.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】由男教师年龄的频率分布直方图总面积为1求得答案；由男教师年龄在的频率可计算出男教师人数，从而女教师人数也可求得，于是通过分层抽样的比例关系即可得到答案;年龄在的教师中，男教师为(人)，则女教师为1人,从而可计算出基本事件的概率.【详解】(1)由男教师年
14、龄的频率分布直方图得解得(2)该校年龄在岁以下的男女教师人数相等，且共14人，年龄在岁以下的男教师共7人由(1)知，男教师年龄在的频率为男教师共有(人)，女教师共有(人) 按性别分层抽样，随机抽取16人参加技能比赛活动，则男教师抽取的人数为(人)，女教师抽取的人数为人(3)年龄在的教师中，男教师为(人)，则女教师为1人从年龄在的教师中随机抽取2人，共有10种可能情形其中至少有1名女教师的有4种情形故所求概率为【点睛】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样，古典概率的计算，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度不大.23.将函数的图像向右平移1个单位，得到函数的图像.(1)求的单调递增区间；(3)
15、设为坐标原点，直线与函数的图像自左至右相交于点，求的值.【答案】（1）()；（2）【解析】【分析】（1）通过“左加右减”可得到函数解析式，从而求得的单调递增区间;（2）先求得直线与轴的交点为，则，又，关于点对称，所以，从而.【详解】(1) 令，的单调递增区间是()(2)直线与轴的交点为，即为函数的对称中心，且，关于点对称， 【点睛】本题主要考查三角函数平移，增减区间的求解，对称中心的性质及向量的基本运算，意在考查学生的分析能力和计算能力.24.使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式，某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润(万元)与每天使用支付宝和微信支付的人数(千人)具有
16、线性相关关系，并得到最近一周的7组数据如下表，并依此作为决策依据.(1)作出散点图，并求出回归方程(，精确到)；(2)超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总奖金7万元.根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加7千人，试决策超市是否有必要开展抽奖活动？(3)超市管理层决定:从周一到周日，若第二天的净利润比前一天增长超过两成，则对全体员工进行奖励，在()的决策下，求全体员工连续两天获得奖励的概率.参考数据: ，.参考公式：，.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】(1)通过表格描点即可，先计算和，然后通过公式计算出线性回归方程；（2）
17、先计算活动开展后使用支付宝和微信支付的人数为(千人)，代入（1）问得到结果；（3）先判断周一到周日全体员工只有周二、周三、周四、周日获得奖励，从而确定基本事件，再找出连续两天获得奖励的基本事件，故可计算出全体员工连续两天获得奖励的概率.【详解】(1)散点图如图所示， 关于的回归方程为 (2)活动开展后使用支付宝和微信支付的人数为(千人) 由(1)得，当时， 此时超市的净利润约为，故超市有必要开展抽奖活动(3)由于，故从周一到周日全体员工只有周二、周三、周四、周日获得奖励从周一到周日中连续两天，基本事件为(周一、周二)，(周二、周三)，(周三、周四)，(周四、周五)，(周五、周六)，(周六、周日
18、)，共6个基本事件连续两天获得奖励的基本事件为(周二、周三)，(周三、周四)，共2个基本事件故全体员工连续两天获得奖励的概率为【点睛】本题主要考查线性回归方程，古典概率的计算，意在考查学生的阅读理解能力和分析能力，难度不大.25.2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应
19、在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩(分)与班级平均分(分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: ，.参考公式：，(计算时精确到).【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算和，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案.【详解】(1)记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，由题意可
20、知考生选择的情形有，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种甲同学选到物理、地理两门功课的概率为 (2)物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)(3)，, 关于的回归方程为 当时，,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.26.某算法框图如图所示.(1)求函数的解析式及的值；(2)若在区间内随机
21、输入一个值，求输出的值小于0的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式，从而计算得到的值;(2)此题为几何概型，分类讨论得到满足条件下的函数x值，从而求得结果.【详解】(1)由算法框图得：当时，当时，当时， ， (2)当时，当时，由得故所求概率为【点睛】本题主要考查分段函数的应用，算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力.27.如图，单位圆与轴正半轴相交于点，圆上的动点从点出发沿逆时针旋转一周回到点，设()，的面积为(当三点共线时，)，与的函数关系如图所示的程序框图.(1)写出程序框图中处的函数关系式；(2)若输出的值为，求点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)通过实际问题得到与的函数关系为分段函数，从而判断出程序框填的结果.(2)分类讨论时和时两种情形下的点Q坐标，从而得到答案.【详解】(1)当时，当时， 函数的解析式为，故程序框图中处的函数关系式分别是， (2)时，令，即，或，点的坐标为或 时，令，即，或，点的坐标为或 故点的坐标为【点睛】本题主要考查算法框图，三角函数的运用，意在考查学生的数形结合思想，分析实际问题的能力.
