1、第6章平均指标与标志变异指标u6.1 平均指标的概念和作用u6.2 数值平均数u6.3 位置平均数u6.4 标志变异指标u用Excel进行数据分析：描述统计分析【引导案例引导案例】20122012年国民经济发展稳中有进年国民经济发展稳中有进城乡居民收入稳定增长，全年城镇居民人均总收入26959元。其中，城镇居民人均可支配收入24565元，比上年名义增长12.6%；扣除价格因素实际增长9.6%，增速比上年加快1.2个百分点。在城镇居民人均总收入中，工资性收入比上年名义增长12.5%，经营净收入增长15.3%，财产性收入增长8.9%，转移性收入增长11.6%。全年城镇居民人均可支配收入中位数219
2、86元，同比名义增长15.0%。按城镇居民五等份收入分组，低收入组人均可支配收入10354元，中等偏下收入组人均可支配收入16761元，中等收入组人均可支配收入22419元，中等偏上收入组人均可支配收入29814元，高收入组人均可支配收入51456元。全年农村居民人均纯收入7917元，比上年名义增长13.5%；扣除价格因素实际增长10.7%，比上年回落0.7个百分点。其中，工资性收入比上年名义增长16.3%，家庭经营纯收入增长9.7%，财产性收入增长9.0%，转移性收入增长21.9%。农村居民人均纯收入中位数7019元，名义增长13.3%。按农村居民五等份收入分组，低收入组人均纯收入2316元
3、，中等偏下收入组人均纯收入4807元，中等收入组人均纯收入7041元，中等偏上收入组人均纯收入10142元，高收入组人均纯收入19009元。全年农民工总量26261万人，比上年增加983万人，增长3.9%；其中本地农民工9925万人，增长5.4%；外出农民工16336万人，增长3.0%。年末外出农民工人均月收入水平2290元，比上年增长11.8%。（资料来源：根据中华人民共和国统计局网站资料整理【引导案例引导案例】2013年国民经济发展稳中向好年国民经济发展稳中向好居民收入继续增加，2013年全年城镇居民人均总收入29547元。其中，城镇居民人均可支配收入26955元，比上年名义增长9.7%，
4、扣除价格因素实际增长7.0%。在城镇居民人均总收入中，工资性收入比上年名义增长9.2%，经营净收入增长9.8%，财产性收入增长14.6%，转移性收入增长10.1%。全年城镇居民人均可支配收入中位数24200元，比上年名义增长10.1%。按城镇居民五等份收入分组，低收入组人均可支配收入11434元，中等偏下收入组人均可支配收入18483元，中等收入组人均可支配收入24518元，中等偏上收入组人均可支配收入32415元，高收入组人均可支配收入56389元。全年农村居民人均纯收入8896元，比上年名义增长12.4%，扣除价格因素实际增长9.3%。其中，工资性收入比上年名义增长16.8%，家庭经营纯收
5、入增长7.4%，财产性收入增长17.7%，转移性收入增长14.2%。农村居民人均纯收入中位数7907元，比上年名义增长12.7%。按农村居民五等份收入分组，低收入组人均纯收入2583 元，中等偏下收入组人均纯收入5516 元，中等收入组人均纯收入7942 元，中等偏上收入组人均纯收入11373 元，高收入组人均纯收入21273 元。2013年全国居民收入基尼系数为0.473。全年农民工总量26894万人，比上年增加633万人，增长2.4%，其中，本地农民工10284万人，增长3.6%，外出农民工16610万人，增长1.7%。外出农民工月均收入水平2609元，比上年增长13.9%。【引导案例引导
6、案例】2014年国民经济在新常态下平稳运行年国民经济在新常态下平稳运行2014年国民经济在新常态下平稳运行居民收入继续增加。根据城乡一体化住户调查，全年全国居民人均可支配收入20167元，比上年名义增长10.1%，扣除价格因素实际增长8.0%。按常住地分，城镇居民人均可支配收入28844元，比上年增长9.0%，扣除价格因素实际增长6.8%；农村居民人均可支配收入10489元，比上年增长11.2%，扣除价格因素实际增长9.2%。全国居民人均可支配收入中位数17570元，比上年名义增长12.4%。按全国居民五等份收入分组，低收入组人均可支配收入4747元，中等偏下收入组人均可支配收入10887元，
7、中等收入组人均可支配收入17631元，中等偏上收入组人均可支配收入26937元，高收入组人均可支配收入50968元。2014年全国居民收入基尼系数为0.469。全年农村居民人均纯收入为9892元，扣除价格因素实际增长9.2%。全年农民工总量27395 万人，比上年增加501万人，增长1.9%，其中，本地农民工10574万人，增长2.8%，外出农民工16821万人，增长1.3%。农民工月均收入水平2864元，比上年增长9.8%。从资料可以看出，20122014年居民人均可支配收入中位数是平均数的一种，那么平均数都包括哪些？以及如何计算？这三年居民人均可支配收入呈现怎样的趋势？【本章学习目标本章学
8、习目标】1.掌握算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数的计算方法，掌握全距、平均差、标准差和变异系数的计算方法；2.理解平均指标和标志变异指标的概念、作用和种类；3.了解应用平均数对社会经济现象的数量特征进行描述，分析现象的一般水平；4.了解利用全距、平均差、标准差和变异系数研究现象离散程度。机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用6.1 平均指标的概念和作用平均指标的概念和作用平均指标是在同质总体内，将各单位的数量差异抽象化，用以反映同类社会经济现象总体各单位某一数量标志值在一定时间、地点、条件下的一般水平的指标。平均指标可以有量纲，一般与标志总量计量单位相同，也可以没有量纲，一般
9、是相对指标的平均。6.1.1平均指标的概平均指标的概念念6.1.2平均指标的特点平均指标的特点 第一，抽象性。第二，同质性。第三，反映总体变量值的集中趋势。6.1 平均指标的概念和作用平均指标的概念和作用机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用6.1.3平均指标作用平均指标作用6.1.4平均指标的种类平均指标的种类 平均指标分为静态平均数和动态平均数。静态平均数也称一般平均数，按计算和确定的方法不同分为数值平均数和位置平均数，数值平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等形式。位置平均数有众数、中位数、四分位数等形式。第一，平均指标可以反映同类现象在不同时间的比。第二，平均指标可以比较同类现
10、象在不同空间发展的一般水平。第三，平均指标可以分析现象之间的依存关系。第四，利用平均指标估计、推断其他有关指标。6.2 数值平均数数值平均数 机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 6.2.1算术平均数算术平均数 算术平均数特点：算术平均数特点：总体单位总量总体标志总量算术平均数第一，计量单位应当和标志总量的计量单位一致。第二，分子分母为同一总体，分母是分子的承担者。第一，平均指标中各变量值必须是同质的，分子与分母必须属于同一总体，而强度相对数是由两个不同质但有联系的总体的指标数值对比求得。第二，平均指标中分子是分母具有的标志值，分母是分子的承担者，分子与分母是一一对应关系。而强度相对数中分
11、子与分母不存在一一对应关系。第三，使用单位不同。第四，平均数反映一般水平或集中趋势。而强度相对数是反映两个有联系的总体之间的数量联系。平均数与强度相对数不同点：平均数与强度相对数不同点：6.2 数值平均数数值平均数 机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 1.1.简单算术平均数简单算术平均数【例6-1】某商场在过去10天的洗衣机销售量（台）资料如下：9、7、6、11、8、7、4、5、8、5，计算平均每天洗衣机销售量。2.加权算术平均数加权算术平均数 nxnxxxxn21)(710585478116791台平均每天销售量nxniiffxfxfx6.2 数值平均数数值平均数 机械工业出版社统计学
12、原理与EXCEL应用【例6-2】某工厂某小组50名工人生产甲产品，日产量分组资料如表6-1前两列所示，计算工人的日产量。（1）单项式数列计算加权算术平均数）单项式数列计算加权算术平均数ffx日产量（件）x工人人数（人）绝对数f标志总量xf工人人数（人）相对数f/f251435028%7302163042%12.6351552530%10.5合计501505100%30.1（件）或者件1.30%3035%4230%2825)(1.30501505152114153521301425ffxxfxfx表6-1 某小组生产情况计算表6.2 数值平均数数值平均数 机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用
13、【例6-3】某企业工人按日产量分组如表6-2所示，计算八、九月份平均每人日产量，并简要说明九月份比八月份平均每人日产量变化的原因。日产量（件）工人数（人）八月份九月份120以下3018120130783013014010872140150901201501604290160以上1230合计360360表6-2 某企业工人生产情况6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 表6-3 某企业平均每人日产量计算表ffxfffxf日产量（件）组中值（件）x八月份九月份工人数（人）f比重（%）工人数（人）f比重（%）120以下115308.33 3450185.00207012
14、01301257821.67 9750308.33375013014013510830.00145807220.0097201401501459025.001305012033.34174001501601554211.6765109025.0013950160以上165123.331980308.334950合计360100.0049320360100.0051840（件）八月份平均每人日产量13736049320fxfx（件）九月份平均日产量14436051840fxfx6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 3.算术平均数数学性质算术平均数数学性质（1）各变
15、量值与其算术平均数的离差之和等于零（2）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小6.2.2调和平均数调和平均数 1.简单调和平均数简单调和平均数121111Hnnnxxxxx【例6-4】市场上某种商品，不同等级的单价分别为：一等品每千克80元，二等品每千克60元，三等品每千克50元.现在各花10元买每个等级的商品，求平均每千克的价格。10 10 1061()101010806050/Hx元 千克6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 2.加权调和平均数加权调和平均数【例6-5】某地A、B两个企业使用三种同样的原材料甲、乙、丙的价格及销售额（量）资料如表64所示，计算
16、比较该地区哪个企业原材料平均价格高？并说明原因。121212Hnnnmmmmxmmmmxxxx品种价格（元/吨）A企业成本（万元）B企业需求量（万吨）甲30075000125乙37055500100丙46046000175合计176500400表64 某企业原材料资料6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 表65 某企业原材料平均价格品种价格x（元/吨）A企业B企业成本m（万元）需求量（万吨）m/x 比重（%）成本m（万元）需求量（万吨）m/x比重（%）甲30075000250503750012531.25乙37055500150303700010025丙4604
17、6000100208050017543.75合计176500500100155000400100176500353()7500055500460003003704/60HAmxmx元 吨300 125370 100460 175387.5/400Bxfxf元 吨A企业原材料平均价格 B企业原材料平均价格 6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 3.调和平均数特点调和平均数特点第一，调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。且只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。第二，当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了，假定性也很大，这
18、时，调和平均数的代表性就很不可靠。第三，调和平均数应用的范围较小。6.2.3几何平均数几何平均数1.简单几何平均数简单几何平均数nniinnGxxxxxxxn1321【例6-6】某流水生产线有前后衔接的六道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、97、92、95、91%、90，求整个流水生产线产品的平均合格率。%3.93%90%91%95%92%97%956Gx6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 2.加权几何平均数加权几何平均数 年限年利率（%）本利率（%）xi年数（个）fi第1年至第2年81082第3年至第5年101103第6年至第9年151154第10年1
19、91191合计10%44.11219.115.110.108.110432GxfnififfffnfffGinnxxxxxx1.32122321表66 投资年利率分组表【例6-7】某商业银行某项投资年利率是按复利计算的。10年的利率分别如表66所示，计算10年的平均年利率。6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 3.几何平均数特点几何平均数特点第一，几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。第二，如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。第三，几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。6.2.4常用的数值平均数的一般数量关系：常用的数值平均数的一般数
20、量关系：kffxxkk是调和平均数时，fxfffxffxHk111111是几何平均数时，有ffkkkxffxGk0lim0是算术平均数时，ffxkx1是平方平均数时，ffxxkQ22（平方平均数）（算术平均数）（几何平均数）（调和平均数）QGHxxxx6.2 数值平均数数值平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-8】有一组变量值20，24，25，24，27，29，27，计算其算术平均数、调和平均数、几何平均数、平方平均数。28692491.25729227252242099126776.2429272524208323668.24291272251242201714285714.
21、25729227252242022222722QGHxxxxGHGxxxx9871297.248323668.2414285714.25根据两个正数值计算的结果：HGxxx6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 6.3.1众数众数1.根据未分组资料确定众数根据未分组资料确定众数【例6-9】确定下列数据的众数（1）161，166，178，170，178，178，180（2）38，37，38，41，39，42，41，37，38，42，44，42，43，38，44，42，40，45，45，36（3）357，359，365，367，370，377，381（1）众数M0=1
22、78；（2）众数M0=38、42；（3）无众数2.根据分组资料确定众数根据分组资料确定众数（1）单项式数列确定众数6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例例6-10】某工厂按日加工零件个数分组情况如表6-7所示，确定日加工零件个数的众数。日加工零件个数人数（人）2011213522652310524542530合计300上面数列中日加工零件个数为23件人数最多，即出现次数最多，故众数M023表6-7某工厂按日加工零件个数分组情况6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用（2）组距式数列确定众数）组距式数列确定众数【例例6-11】某市某年
23、居民月人均可支配收入的抽样资料如表68所示，计算居民月人均可支配收入的众数。dLM2110dUM2120月人均可支配收入（元）x居民户数（户）f居民户数比重（%）1000以下8 1.6%1000200012525.0%2000300020140.2%3000400014028.0%40005000153.0%5000以上112.2%合计500100%表6-8 某市居民月人均可支配收入的抽样资料6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 3.众数特点众数特点第一，众数不受分布数列的极端值和开口组数列的影响，从而增强了众数对变量数列一般水平的代表性。第二，当分布数列没有任
24、何一组的次数占多数，即分布数列中没有明显的集中趋势，而是近似于均匀分布时，则该次数分布数列无众数。第三，缺乏敏感性。)(25551000)140201()125201(12520120000元M)(25550010)401201()125201(40120130000元M)(25551000%)28%2.40(%)25%2.40(%25%2.4020000元M)(25550010%)28%2.40(%)25%2.40(%28%2.4030000元M6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 6.3.26.3.2中位数中位数1.中位数的含义中位数的含义中位数是将总体各单
25、位的标志值按大小顺序排列，形成一个数列，处于数列中点位置的标志值为中位数，一般用Me表示。在数列中出现了极端变量值的情况下，用中位数作为代表值要比用算术平均数更好，因为中位数不受极端变量值的影响。2.中位数的计算中位数的计算（1）由未分组资料确定中位数nxxxx321为偶数）（为奇数）（nxxnxnnneM2122216.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 则中位数位次=(n+1)/2=(9+1)/2=5第五个位次对应的数值81为中位数，即中位数e81。若数据去掉87，即n=8，中位数的位次是(8+1)/24.5，中位数是位次所对应的两个标志值的平均数来确定，即为
26、(80+81)/2=80.5。（2）单项式分组资料确定中位数）单项式分组资料确定中位数首先计算向上累计次数或向下累计次数；然后可直接用确定中位数的位次，将累计次数刚超过中位数位次的组确定为中位数组，该组标志值即为中位数。（3）组距分组资料确定中位数）组距分组资料确定中位数dfSfLMmme1)2/(：下限公式dfSfUMmme1)2/(：上限公式【例例6-12】某小组英语考试成绩分别为：77，78，79，80，81，83，85，86，87，n=96.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例例6-13】某年级女生身高资料如表6-9所示，计算200名女生身高的中位数。身
27、高（cm）人数（人）向上累计（人）向下累计（人）150155992001551603645191160165871321551651705718968170以上1120011合计200)(16.163587682200165)2/()(16.163587452200160)2/(11cmdfSfUMcmdfSfLMmmemme 表6-9 某年级女生身高资料6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 4.中位数特点中位数特点第一，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表
28、性。第二，有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。第三，缺乏敏感性。6.3.3其他分位数其他分位数k分位数是能够将全部总体单位按标志值大小等分为k个部分的k-1个数值。四分位数是能够将全部总体单位按标志值大小等分为四部分的三个数值，分别记为Q1、Q2和Q3。6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 1.对于总体未分组和单项式变量数列对于总体未分组和单项式变量数列411nQ的位次214)1(22nnQ 的位次4)1(33nQ的位次【例6-14】当给定总体单位数n=190时75.474191411nQ的位次5.952191212nQ 的位
29、次25.143419134)1(33nQ的位次四分位数分别为：4748474847175.075.025.0 xxxxxQ959695969525.05.05.0 xxxxxQ143144143144143325.025.075.0 xxxxxQ6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 2.对于组距式变量数列对于组距式变量数列6.3.46.3.4算术平均数、中位数和众数的关系算术平均数、中位数和众数的关系第一，当总体次数分配为对称的钟形分布时，则算术平均数、中位数和众数三者相等。第二，当总体分布呈偏态分布的情况下，次数分布非对称时，中位数必居中，算术平均数和众数分列
30、两侧。111111)4/(QQQQdfSfLQ22221)2/(2QQQQdfSfLQ333313)4/3(QQQQdfSfLQ)(3xMxMeooxMMxMMMMxeee2332230006.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例例6-15】根据某公司职工的收入抽样调查资料，工人年收入少于57700元的占总工人人数的一半，而工人数最多的年收入为55100元，估计该公司工人年收入的算术平均数是多少？并说明工人收入的分布形态。2.众数、中位数和算术平均数的应用众数、中位数和算术平均数的应用 6.3.5 运用平均指标的原则运用平均指标的原则因为MoMe ，所以工人收入
31、分布为右偏分布。（元）59000255100577003230MMxex第一，平均指标只能应用于同质总体第二，用分配数列补充说明总平均数第三，用组平均数补充说明总平均数第四，要与总量指标、相对指标结合运用第五，要与变异指标相结合运用6.3 位置平均数位置平均数机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例例6-16】某企业新老职工的人数及工资资料如表6-10所示，从总水平看2012年总平均工资3220元，2013年总平均工资3170元，总平均工资水平下降了，而实际上新老工人的工资都有一定程度的增加，新工人由2100元/月上升为2300元/月，老工人由3500元/月上升为3750元/月，出现这种现
32、象是由于工资偏低的新工人在总体中所占的比重由2012年的20%上升为2013年的40%，从而造成工资总水平有所下降。2012年2013年工人数比重（%）平均工资（元）工人数比重（%）平均工资（元）新工人100202100240402300老工人400803500360603750合计50010032206001003170表6-10 某企业新老职工的人数及工资资料6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 6.4.1标志变异指标概念标志变异指标概念平均指标说明总体各单位标志值的集中趋势，而标志变异指标则说明各变量值远离其中心值的程度，也称为离中趋势。6.4.2标志
33、变异指标的作用标志变异指标的作用首先，标志变异指标是评价平均数代表性的依据。其次，标志变异指标反映社会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定性。6.4.3测定标志变异指标测定标志变异指标1.全距与分位差全距与分位差（1）全距全距（R）最大标志值最小标志值 6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-17】某车间有甲乙两个生产小组，每组各五名工人，每人日产零件数：甲组：170，175，180，185，190乙组：178，179，180，181，182两个小组的平均日产零件数都是180件，哪一组的日产零件数比较集中呢？x（2）分位差）分位差内四分位间距
34、 四分位差 2.平均差平均差在资料未分组 在资料已分组 31Q RQQ312QQQ DnxxDA|.ffxxDA|.R甲19017020（件）R乙1821784（件）6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-18】某校某专业统计学成绩如表6-11中前两列所示，计算平均差。xfxx x成绩（分）学生人数（人）f组中值（分）xxf60以下355165-23.871.46070865520-13.8110.470801375975-3.849.48090198516156.2117.89010079566516.2113.4合计503940462.43 55 8
35、 65 13 75 19 857 9578.8()50 xfxf 分（分）248.9504.462.ffxxDA表6-11 某校某专业统计学成绩资料平均差计算表 6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 3.标准差标准差对于未分组的原始数据：对于总体数据对于样本数据对于分组数据：对于总体数据对于样本数据 nxx212nxxSffxx212ffxxS 222xx 22nxnx22fxfffx6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-19】某车间100名工人日产量分组资料如表6-12前两列所示，计算工人日产量的标准差。xfxx2
36、（x日产量（件）工人数（人）f组中值（件）xxf ）130140181352430-13.63329.28140150391455655-3.6505.441501603215549606.41310.7216017011165181516.42958.56合计1001486081046.14810011165321553914518135fxfx910081042ffxx表6-12 某车间工人日产量资料标准差计算表6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-20】根据例【6-19】的资料，用简捷法计算工人日产量的标准差。日产量（件）工人数（人）f组中值（件
37、）xxfx2f130140181352430328050140150391455655819975150160321554960768800160170111651815299475合计1001486022163009100148601002216300222fxfffx表6-13 某车间工人日产量资料用简捷法计算标准差计算表6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 4.是非标志的标准差是非标志的标准差是非标志的平均数是非标志的标准差当 时，有最大值 pNNNNNfxfxp10101pqpqpqqppqNNNpNpffxxp22010212201q0.5p 2p
38、max0.25%94500470p%650030q%94 pxp%75.23%6%94pqp【例6-21】抽查某批电子产品500件，经检验有470件合格，30件不合格。求其合格率的平均值和标准差。不合格产品成数合格率的平均值合格率的标准差合格产品的成数6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 5.标准差和方差的数学性质标准差和方差的数学性质（1）（2）（3）（4）在总体分组的情况下，总方差=组间方差+组内方差的算术平均数22,xaxxax222,xbxxbxbb222,xabxxabxbb22222yxyxyxyx，222组内组间总),3,2,1(22inxxi
39、ii组内nni22组内组内iiinnx22X组间nxi22X总6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-22】某班10名同学统计学考试成绩如下：49，55，69，78，82，86，88，89，91，93。按学习成绩分组，第一组：49，55；第二组：69，78，82，86，88，89，91，93。求组内方差的算术平均数、组间方差、总方差。（分）781093918988868278695549X）（分总222226.21410789378557849（分）52255491x 925255524922221）（分总平均学习成绩学习成绩总方差第一组平均学习成绩 第
40、一组组内方差6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 第二组平均学习成绩第二组组内方差组内方差的算术平均数组间方差：（分）5.84893918988868278692x）（分22222254.7585.84935.847884.5-69）（分组内组内22245.610854.7529nni）（分组间22222169108785.8427852Xiiinnx222组内组间总214.6=169+45.6 6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 6.离散系数离散系数xVxDAVxRVDAR,品种平均亩产（斤/亩）标准差（斤）标准差系数
41、V甲稻种128892.87.20%乙稻种122090.67.43%从标准差来看，甲稻种的标准差大于乙稻种，从离散系数可以看出，甲稻种的实际产量差距相对于它的平均亩产来说，比乙稻种要低。所以，甲稻种不仅亩产高，而且稳定性也比乙稻种好，是值得推广的优良品种。表6-14 某乡两种水稻品种生产情况【例6-23】某乡两种水稻品种生产情况的计算结果如表6-14所示，比较哪种水稻的稳定性较好，值得推广。6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 7.标准化数值标准化数值标准化数值性质：（1）标准化数值的均值为零。（2）标准化数值的标准差为1。根据经验法则，对于正态分布，几乎所有
42、的数据都在偏离平均数3个标准差范围之内。因此，标准化数值低于-3或高于3的数据值就是异常值，也称为离群点，可以作为离群值处理。xxZi315100145xxZi【例6-24】国外一项研究表明，智商IQ值呈正态分布，其平均数为100，标准差为15，凡IQ值高于145的人都被视为天才，经验法则是否支持这种说法？标准化数值高于3的数据值是异常值，所以支持这种说法。6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用6.4.4偏态与峰度的测度偏态与峰度的测度1.矩：矩：变量x对常数a的“k阶矩”令 =0，“k阶原点矩”。当k=1时，即一阶的原点矩就是算术平均数。令 =，“k阶中心矩
43、”。当k=1时，一阶的中心矩永远等于零。当k=2时，二阶的中心矩就是方差。ffaxnaxkkkk)(或aaffxnxkkkk或ffxxnxxkkkk)(或x2.偏度及其测定偏度及其测定偏度是反映变量数列偏斜程度的指标，用于衡量次数分布的不对称程度或偏斜程度的指标，对于只有一个众数的情形 SK=0正态分布或对称；SK0正偏或右偏；SK0负偏或左偏。0MxSK6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 3.峰度及其测定峰度及其测定峰度是描述数据分布曲线的尖峭程度的指标，可以度量数据分布集中程度。3333ffxx偏态系数4444ffxxK峰度系数对于正态分布 33444
44、4K334444ffxx峰度指标将各种分布峰度程度与正态分布相比，当0时，表示尖态峰，说明频数分布集中趋势显著，离散度低；当0时，表示平坦峰，说明频数分布离散程度高。6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用【例6-25】某地区企业按利润额分组情况如表6-15所示，计算分布的偏态系数和峰度系数，并说明数据的分布形式。利润额（万元）组中值企业数（个）700以下6502670080075050800900850829001000950271000以上105015合计200（万元）5.82720015105027950828505075026650fxfx表6-15 某地区企业利润额资料6.4 标志变异指标标志变异指标机械工业出版社统计学原理与EXCEL应用 由于 0，呈低峰分布，即平坦分布。（元）44.107200155.8271050505.827750265.8276502222ffxx0.19107.4420015827.5105050827.575026827.5650333333ffxx4444443650827.526750827.5501050827.5152003107.440.36xxff 由于 0，所以数据呈右偏分布
