1、第六章第六章 正弦稳态稳电路分析正弦稳态稳电路分析6.1 6.1 正弦稳态分析基础正弦稳态分析基础重点：重点：1.1.正弦量的相量表示正弦量的相量表示2.2.电路定理的相量形式电路定理的相量形式3.3.阻抗和导纳阻抗和导纳4.4.正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析5.5.正弦稳态电路的功率分析正弦稳态电路的功率分析6.6.串、并联谐振的概念串、并联谐振的概念6.1.1 6.1.1 正弦量及其三要素正弦量及其三要素 正弦交流电路中，正弦交流电动势、正弦交流电压正弦交流电路中，正弦交流电动势、正弦交流电压和正弦交流电流都按正弦规律变化。和正弦交流电流都按正弦规律变化。1.1.正弦信号正弦信号ti
2、O/T)sin()(tItim2.2.正弦量及其三要素正弦量及其三要素(1)角频率(angular frequency)(频率、周期)(2)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(3)初相位(initial phase angle)Tf 22 tiOTIm2 t频率f：每秒重复变化的次数周期T：重复变化一次所需的时间单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒周期与频率周期与频率 有效值有效值 当当某一交流电流某一交流电流i(t)通过一个电阻通过一个电阻R在一个周在一个周期内所产生的热量和某一直流电流期内所产生的热量和某一直流电流 I 通过同一电通过同一电阻在相同的时间内产生的热量相等时，则这一直
3、阻在相同的时间内产生的热量相等时，则这一直流电流流电流 I的数值就称为该交流电流的有效值。的数值就称为该交流电流的有效值。TdtRtiI022)(T02(t)dtiT1I对于正弦波电流的有效值对于正弦波电流的有效值:m2022mI21dt)t(sinI21I所以正弦波电流也可以写成所以正弦波电流也可以写成:)tsin(I2i(t)例例6.1.16.1.1求图所示的矩形波电流的有效值求图所示的矩形波电流的有效值 根根据周期量的有效值定据周期量的有效值定义义,得得T02(t)dtiT1I解解:mAdtIdtIT10.5T0T0.5T2m2m10使用有效值的相关概念时要注意以下几点使用有效值的相关概
4、念时要注意以下几点 （1 1）最大值等于有效值的）最大值等于有效值的 倍的关系仅仅适用于正弦倍的关系仅仅适用于正弦 量量,其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；（2 2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；（3 3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的；）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的；（4 4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有 效值如效值如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电的白炽灯，是指它的额定电 压的
5、有效值是压的有效值是220V。2初相位和相位差初相位和相位差 在正弦电流在正弦电流 的解析式中的解析式中 称为正弦量的称为正弦量的相位角（简称相位）相位角（简称相位），它，它 的大小反映了该正弦量的变化进程。的大小反映了该正弦量的变化进程。)(it)sin(imtIi t=0时的相位称为时的相位称为初相位初相位，如该正弦量的电流，如该正弦量的电流初相角为初相角为i初相位概念初相位概念同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同ti0一般规定：一般规定：|。=0 =/2 =/2mi(t)I cos(t)如如果电压和电流的正弦量的解析式分别为：果电压和电流的正弦量的
6、解析式分别为：)sin(2)(1utUtu)sin(2)(2itIti相位差概念相位差概念)()(21iutt则电压则电压 和电流和电流 的相位差为：的相位差为：)(tu)(ti当电压和电流的频率相等时，相位差即为初相差：当电压和电流的频率相等时，相位差即为初相差：iu电压与电流反相 角电压滞后电流电压与电流同相角电压超前电流180000 0，u超前超前i 角，或角，或i 落后落后u 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值)；0为感性阻抗为感性阻抗 0z此时X0,电路吸收功率；电路吸收功率；p0,j 0,感性感性X0,j 0（感性电路），表示网络吸收无功功率；（感性电路），表示网络吸收无功功
7、率；Q0（容性电路），表示网络发出无功功率（容性电路），表示网络发出无功功率;Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小的大小反映网络与外电路交换功率的大小,是由储能元是由储能元件件L、C的性质决定的的性质决定的纯电感纯电感 纯电容纯电容 090090sin0UIIUQL0900)90sin(0UIIUQC电感和电容的储存能量与其无功功率的关系。由于电感和电感和电容的储存能量与其无功功率的关系。由于电感和电容的储存磁场能量和电场能量的平均值可以分别表示为：电容的储存磁场能量和电场能量的平均值可以分别表示为：221UCWC221ILWL所以所以22CUCIQC22LILUQL对一般单口网络而言，无
8、功功率可以写成对一般单口网络而言，无功功率可以写成:CLCLQQWWQ)(2 电感的无功功率为正值，其大小等于电感磁场平均储存电感的无功功率为正值，其大小等于电感磁场平均储存能量的能量的2倍，电容的无功功率为负值，其大小等于电容电倍，电容的无功功率为负值，其大小等于电容电场平均储存能量的场平均储存能量的2倍倍:无无功功率也可以用电压相量和电流相量以及复阻抗（复功功率也可以用电压相量和电流相量以及复阻抗（复导纳）来计算导纳）来计算ImIm22YUZIQ该网络吸收的无功功率之和为：该网络吸收的无功功率之和为：mkkQQ1实际上也提供了求解电场能量和磁场能量的方法，即：实际上也提供了求解电场能量和磁
9、场能量的方法，即：2LLQW 2CCQW6.5.4 6.5.4 二端网络的功率因数和视在功率二端网络的功率因数和视在功率(伏伏安安):单单位位 VA UI=S视在功率：二端网络的端口电压的有效值和端口电流视在功率：二端网络的端口电压的有效值和端口电流 的有效值的乘积，用符号的有效值的乘积，用符号S S来表示，即来表示，即功率因数：网络的平均功率和视在功率的比值，用符功率因数：网络的平均功率和视在功率的比值，用符 号号 表示：表示：cosSP有功，无功，视在功率的关系：有功，无功，视在功率的关系：有功功率有功功率:P=UIcos 单位：单位：W无功功率无功功率:Q=UIsin 单位：单位：var
10、视在功率视在功率:S=UI 单位：单位：VA22+=QPS SPQ功率三角形功率三角形PQarctanR、L、C元件的有功功率和无功功率元件的有功功率和无功功率u iR+-PR=UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/RQR=UIsin =UIsin0 =0iuL+-PL=UIcos =UIcos90 =0QL=UIsin =UIsin90 =UI=I2XLiuC+-PC=UIcos =UIcos(-90)=0QC=UIsin =UIsin(-90)=-UI=I2XC任意阻抗的功率计算：任意阻抗的功率计算：PZ=UIcos =I2|Z|cos =I2RQZ=UIsin =I2|Z|s
11、in =I2X =I2(XLXC)=QLQC吸收无功为负吸收无功为负吸收无功为正吸收无功为正 0 022 CCLLXIQXIQZIXRIQPS222222 (发出无功发出无功)u iZ+-相似三角形相似三角形 SPQ ZRX电感、电容的无功补偿作用电感、电容的无功补偿作用LCRuuLuC i+-+-+-t i0uL当当L发出功率时，发出功率时，C刚好刚好吸收功率，则与外电路交换功吸收功率，则与外电路交换功率为率为pL+pC,因此，因此，L、C的无的无功具有互相补偿的作用。功具有互相补偿的作用。t i0uCpLpC6.5.5 6.5.5 二端网络的复功率二端网络的复功率 功功率率”来来计计算算功
12、功率率，引引入入“复复和和为为了了用用相相量量IUVA IU=S*单位单位定义：定义：jsinjcos )(QPUIUISUIUISiu 复功率也可表示为：复功率也可表示为：*2*2222*YU=YUU=Y)U(U=*IU=Sor jXI+RI=jX)I+(R=ZI=IIZ=*IU=S 负负载载+uI_（3 3）复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所）复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所 有支路吸收的复功率之和为零。即有支路吸收的复功率之和为零。即 00 11bkkbkkQP特点特点 0)j(11 bkkbkkkSQP2121SSSUUU（1 1）复功率是复数，而不是相量，它
13、不对应任意正弦量；）复功率是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；（2 2）复功率把）复功率把P、Q、S联联系在一起系在一起,它的实部是平均功率它的实部是平均功率 虚部是无功功率，模是视在功率；虚部是无功功率，模是视在功率；注：注：复功率守恒，不等于视在功率守恒复功率守恒，不等于视在功率守恒例例6.5.1 6.5.1 解解电路如图，求各支路的复功率电路如图，求各支路的复功率;并验证复功率并验证复功率守恒已知守恒已知:srad/103V085=SU1521RRmH25LF40C从从a、b端口向右看进去的等效阻抗为端口向右看进去的等效阻抗为 33.28)1()()1()(2121CjRLjRCjR
14、LjRZ端口电流相量端口电流相量AZUIS03=支路支路1 1、2 2的电流相量分别为的电流相量分别为A04.59915.2=1-=022CjRUISA04.59-915.2=+=11LjRUIS支路支路1 1、2 2的的复功率分别为：的的复功率分别为：VA4.2125.127211211jXI jRISLVA4.2125.127222222jXI jRISC电源的复功率电源的复功率W255*IUS可以验证复功率守恒，即可以验证复功率守恒，即21SSS 实际上，本例题中电感和电容组成了一个并联谐振实际上，本例题中电感和电容组成了一个并联谐振回路，电感和电容之间进行能量交换，它们并不和电回路，电
15、感和电容之间进行能量交换，它们并不和电源之间发生能量交换。源之间发生能量交换。解解例例6.5.2 6.5.2 一个负载在频率为一个负载在频率为 ,额定工作电压为额定工作电压为 交流电源激励下工作，功率为交流电源激励下工作，功率为 功率因数功率因数 (感性感性)，为了将功率因数提，为了将功率因数提高到高到 ，求所需要并联的电容值。，求所需要并联的电容值。V220Hz509.0kW207.0设并联电容前的电路的阻抗角为设并联电容前的电路的阻抗角为 并联电容后的电路的阻抗角为并联电容后的电路的阻抗角为 根据无功功率守恒，则有根据无功功率守恒，则有 2tantantanUCPQPPC根据已知条件可以得
16、根据已知条件可以得F704C所以可以得到所需并联的电容值为：所以可以得到所需并联的电容值为：2tantanUPPC根据功率三角形并联电容前的无功功率为根据功率三角形并联电容前的无功功率为tanPQ CQ并联电容的无功功率为并联电容的无功功率为6.5.6 6.5.6 正弦稳态电路中的二端网络的正弦稳态电路中的二端网络的 最大功率传输最大功率传输 设某正弦稳态电路如图所示，图中的电压源相量设某正弦稳态电路如图所示，图中的电压源相量 是戴维南等效电路中的电压源，它的内阻抗设为是戴维南等效电路中的电压源，它的内阻抗设为:ocU00000ZjXRZLLLLLZjXRZ负载阻抗设为负载阻抗设为回路电流的有
17、效值回路电流的有效值2020)()(LLocXXRRUI所以负载上获得的平均功率（有功功率）为：所以负载上获得的平均功率（有功功率）为：202022)()(LLLocLLXXRRRURIP电流相量电流相量 )()(000LLocLocXXjRRUZZUI讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件的条件(1)(1)共轭匹配共轭匹配 ZL=RL+jXL可任意改变可任意改变(a)(a)先设先设RL不变，不变，XL改变改变显然，当显然，当Xo+XL=0，即即XL=-Xo时时，P获得最大值获得最大值o2ocmax4RUP202022)()(LLLocLLXXRRR
18、URIP(b)(b)再讨论再讨论RL改变时，改变时，P的最大的最大值值当当 RL=Ro 时，时，P获得最大值获得最大值综合综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL=Zi*RL=RoXL=-Xo最佳匹配最佳匹配(2)(2)模匹配模匹配 当负载的阻抗角固定而模可以发生变化当负载的阻抗角固定而模可以发生变化 利用相关的三角函数利用相关的三角函数 000cosZR 000sinZX LLLZRcosLLLZXsin202022)()(LLLocLLXXRRRURIP)cos(2cos002202LLLLLocZZZZZU0LLZddP对对 的导数的导数
19、 LZ0220LZZ20200XRZZL最大有功功率最大有功功率 )cos(1 2cos)cos(2cos002002202maxLLocLLLLLocLZUZZZZZUP(3)(3)纯电阻纯电阻 当负载是纯电阻当负载是纯电阻 负载获得最大有功功率的条件是负载获得最大有功功率的条件是2020XRRL而不是而不是0RRL解解例例6.5.36.5.3 正弦稳态电路如图所示，如果负载阻抗正弦稳态电路如图所示，如果负载阻抗 可以可以变化请问当负载阻抗变化请问当负载阻抗 为何值时可以获得最大为何值时可以获得最大功率？最大功率等于多少？功率？最大功率等于多少？LZLZ （1 1）当负载开路时，应用分压公）
20、当负载开路时，应用分压公 式和分流公式得到式和分流公式得到a a、b b端口的开端口的开 路电压为：路电压为：（3 3）根据负载获得最大功率的第一种条件（阻抗匹配）即有：）根据负载获得最大功率的第一种条件（阻抗匹配）即有：负载负载上可以获得最大的功率：上可以获得最大的功率：（2 2）求等效阻抗）求等效阻抗:将内部独立源置零，即电流源开路，从将内部独立源置零，即电流源开路，从a a、b b 端口向左看进去的等效阻抗端口向左看进去的等效阻抗V044+442=jjUoc22)22/(40jjZ22*0jZZLW4402maxRUPocL6.6 6.6 非正弦周期信号激励下的稳态电路的分析非正弦周期信
21、号激励下的稳态电路的分析 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面电压和电流往往都是周期性的非正弦波形电技术等方面电压和电流往往都是周期性的非正弦波形非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1)(1)不是正弦波不是正弦波 (2)(2)按周期规律变化按周期规律变化)()(kTtftf6.6.1 6.6.1 常见的非正弦周期性信号的常见的非正弦周期性信号的 傅里叶级数的表示傅里叶级数的表示 基波（和原函数同频）基波（和原函数同频）二次
22、谐波（二次谐波（2 2倍频）倍频）直流分量直流分量高次谐波高次谐波周期函数展开成傅里叶级数：周期函数展开成傅里叶级数：)cos()(110tCCtfm)2cos(22tCm)cos(nnmtnC10)sincos()(kkktkBtkAAtf10)(cos)(kkktkCCtf系数系数 00AC 22kkkBACkkkABarctan其中傅里叶系数由下列式子决定：其中傅里叶系数由下列式子决定：TdttfTA00)(1TkdttktfTA0)cos()(2TkdttktfTB0)sin()(21.1.矩形波矩形波 tkktttAtfmsin15sin513sin31sin4)(2.2.三角波三角
23、波tkktttAtfkmsin)1(25sin2513sin91sin8)(221其中其中k为奇数为奇数其中其中k为奇数为奇数矩形波矩形波三角波三角波3.3.锯齿波锯齿波 tkktttAAtfmmsin13sin312sin21sin42)(4.4.正弦整流全波正弦整流全波 12)cos(14142)(kmmtkkAAtf其中其中k为奇数为奇数5.5.正弦整流半波正弦整流半波 12)2cos(1412)sin(2)(kmmmtkkAtAAtf6.6.2 6.6.2 非正弦周期性信号的有效值和平均功率非正弦周期性信号的有效值和平均功率 20200)(cos 0)(sinttdkttdk1.三角函
24、数的性质三角函数的性质 （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为正弦、余弦信号一个周期内的积分为0 0K为整数为整数（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为 )(cos )(sin202202ttdkttdk（3 3）三角函数的正交性三角函数的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk 2.2.非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(kkkmtkIIti 10若若则有效值则有效值:)(cos)(tdtkIITtdtiTITkkkmT20100211 12202kkmIII周期
25、函数的有效值为直流分量及各次谐波分量周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。有效值平方和的方根。利用三角函数的正交性得：利用三角函数的正交性得：222120 IIII结论结论：同理同理+U+U+U=U2k21203.3.非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值00)(1IdttiTITAV 则其平均值为：则其平均值为：)cos()(kkktkIIti 10若若正弦量的平均值为正弦量的平均值为04.4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikk
26、kmtkIItiTdtiuTP01.)(cos210100PPPIUIUPikukkkkkk coscos 22211100 IUIUIUP平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率结论结论5.5.非视在功率、无功功率和功率因数非视在功率、无功功率和功率因数视在功率视在功率无功功率无功功率功率因数功率因数0202kkkkIUIUS0sinkkkkIUQIUIUSPkkkk0sincos6.6.3 6.6.3 非正弦周期性信号激励下的电路非正弦周期性信号激励下的电路 的稳态响应的稳态响应 计计算步骤算步骤（2 2）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信利用正
27、弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分号分别应别应用相量法计用相量法计算；（算；（注意注意:交流各谐波的交流各谐波的 XL、XC不同，对直流不同，对直流C 相当相当于开于开路、路、L相于短路。）相于短路。）（1 1）利用付里叶级数，将非正弦周期函数展利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成开成若干种频若干种频率的谐波信号；率的谐波信号；（3 3）将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。例例6.6.1 6.6.1 解解V)5012cos(351)508cos(151)504cos(312160)(ttttuS 如图所示电路是典型的如图所示电路是典型的LC 滤波电路，其中的滤波
28、电路，其中的输入电压源输入电压源us(t)是经过全波整流以后的信号是经过全波整流以后的信号,us(t)的振幅为的振幅为15V,频率为频率为50HZ,设负载设负载RL=1K,电容电容 C=470F电感电感L=5H,求稳态条件下的输出电压求稳态条件下的输出电压u0(t)（1 1）根据前面的分析，全波整流后电压）根据前面的分析，全波整流后电压 可以表示成可以表示成 傅里叶级数为：傅里叶级数为：)(tuS（3 3）对于二、四、六次谐波而言，电路的阻抗分别为：）对于二、四、六次谐波而言，电路的阻抗分别为：（2 2）对直流分量而言，电感相当于短路，电容相当于开路）对直流分量而言，电感相当于短路，电容相当于
29、开路 所以负载上的直流分量为所以负载上的直流分量为 V55.90ULkjjZLK)(CRk jRjZLLkCR1)()/(负载上的谐波电压负载上的谐波电压 SkLCRCRkUjZjZjZU)()()(/0（4 4）激励的二次谐波）激励的二次谐波 单独作用时，在负载两端产生的二次谐波电压最大单独作用时，在负载两端产生的二次谐波电压最大 值相量为：值相量为：V)628cos(37.6)(2ttuV2.0007.0=002U激励的四次谐波单独作用时，在负载两端产生的四次激励的四次谐波单独作用时，在负载两端产生的四次谐波电压最大值相量为：谐波电压最大值相量为：V1.0002.0=04U 由于四次谐波以后的幅值已经很小所以更高次的谐波由于四次谐波以后的幅值已经很小所以更高次的谐波分量就可以不考虑了。分量就可以不考虑了。（5 5）在时域里应用叠加定理得到负载电压的瞬时值表达式为：）在时域里应用叠加定理得到负载电压的瞬时值表达式为：)()()(420tutuUtuV)1.01256(002.0)2.0628(cos007.055.900tt
