1、第七章第七章 二次型二次型第一节第一节 二次型的基本概念二次型的基本概念一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵(4)定义定义 将以将以 为变量的为变量的 n 元二次齐次多元二次齐次多12,nx xx项式项式 21211 1121213 1311(,)222nnnf x xxa xa x xa x xa x x222223232222nna xa x xa x x2nnna x称为一个称为一个 n 元二次型元二次型，在不发生混淆时，简称为在不发生混淆时，简称为二二次型次型由于在多项式中由于在多项式中 ，ijjix xx x当当 时，时，ij令令 ，jiijaa则则2,ijijijijjijia x
2、 xa x xa x x.ij那么（）式中的二次型可以写成那么（）式中的二次型可以写成 21211 11212131311(,)nnnf x xxa xa x xa x xa x x22121222232322nna x xa xa x xa x x2112233nnnnnnnnna x xa x xa x xa x11nnijijija x x(5)利用矩阵的运算，（）式中的二次型也可以利用矩阵的运算，（）式中的二次型也可以表示为表示为 111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxaaax令令111212122212,nnnnnnaa
3、aaaaaaaA12,nxxxX则二次型则二次型 可以简记成可以简记成 12(,)nf x xxT12(,),nf x xxX AX(6)并且，并且，将矩阵将矩阵 A 称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵12(,)nf x xx由于我们约定由于我们约定,jiijaa.ij因此，因此，矩阵是一个对称矩阵，矩阵是一个对称矩阵，即二次型的矩阵为一即二次型的矩阵为一个对称矩阵个对称矩阵于是，于是，在二次型与其矩阵的对应关系下，在二次型与其矩阵的对应关系下，n 元元二次型与二次型与 n 阶对称矩阵是一一对应的阶对称矩阵是一一对应的 当二次型的系数均为复数，当二次型的系数均为复数，矩阵时，矩阵时，即对应的矩
4、阵为复即对应的矩阵为复称其为称其为复二次型复二次型；当其系数均为实数时，当其系数均为实数时，称此二次型为称此二次型为实二次型实二次型如果不特别声明，本章讨论的二次型均指实二次型如果不特别声明，本章讨论的二次型均指实二次型 例例1设设 2221231122233(,)2432.f x xxxx xxx xx显然，显然，是一个实二次型是一个实二次型 123(,)f x xx如果将这个二如果将这个二次型用矩阵写出来为次型用矩阵写出来为 112312323220(,)(,)231.011xf x x xx x xxx另外，另外，二次型二次型 可以看作可以看作 n 维向量维向量12(,)nf x xx空
5、间空间 上的一个函数，上的一个函数，nR R定义为定义为 T:(),nnff AR RR R其中，其中，T12(,),nna aa R R A 是是12(,)nf x xx的矩阵的矩阵这样，这样，二次型就是向量二次型就是向量 的的 n 个分量的二次齐次个分量的二次齐次 函数函数二、合同矩阵二、合同矩阵 定义定义设设 ；是两组变量，是两组变量，12,nx xx12,ny yy实系数的一组关系式实系数的一组关系式 11111221221122221122,nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y称为由称为由 到到 的一个的一个线性替换线性替换 12,nx x
6、x12,ny yy(7)如果（）式中的线性替换的系数矩阵如果（）式中的线性替换的系数矩阵 111212122212nnnnnnpppppppppP的行列式的行列式 ，|0P则称这个线性替换是则称这个线性替换是非退化的非退化的 例如例如 cossinsincosxxyy就是变量就是变量 到到 的非退化线性替换的非退化线性替换,x y,x y将变量将变量 和和 用用 n 维向量的维向量的12,nx xx12,ny yy形式表达，形式表达，即令即令12,nxxxX12,nyyyY则（）式的线性替换可以写成则（）式的线性替换可以写成 1111211221222212nnnnnnnnxpppyxpppy
7、xpppy或者或者 X=PY定义定义3 设设 A 和和 B 是两个是两个 n 阶方阵阶方阵如果存在一个如果存在一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使得使得T,BP AP则称则称 A 和和 B 是是合同的合同的，简记为简记为 AB线性替换将一个二次型仍然变成二次型线性替换将一个二次型仍然变成二次型 通常，通常，我们只考虑非退化的线性替换我们只考虑非退化的线性替换 可以可以借助新二次型的性质，借助新二次型的性质，研究原二次型的性质研究原二次型的性质对一个二次型进行一系列的非退化线性替换，对一个二次型进行一系列的非退化线性替换，也可以由一个非退化的线性替换描述也可以由一个非退化的线性替换描述 定理定
8、理1 设设 A 和和 B 是两个是两个 n 阶对称矩阵那么阶对称矩阵那么 A 与与 B是合同的当且仅当是合同的当且仅当 A 与与 B 是一个是一个 n 元二次型经过一元二次型经过一个非退化线性替换前后分别对应的矩阵个非退化线性替换前后分别对应的矩阵 容易验证，方阵之间的合同关系满足如下规律：容易验证，方阵之间的合同关系满足如下规律：2）对称性：如果）对称性：如果 ，那么，那么 ；ABBA3）传递性：如果）传递性：如果 ，那么，那么 ，ABBCAC1）自反性：）自反性：；AA其中其中 A,B,C 均为均为 n 阶方阵阶方阵第二节第二节 二次型的标准形二次型的标准形一、二次型的标准形一、二次型的标
9、准形 定义定义4将只含有平方项的二次型将只含有平方项的二次型 2221122nnd yd yd y称为称为标准的二次型标准的二次型 如果经过一次非退化的线性如果经过一次非退化的线性将将 化成形如（化成形如（8）式的标准）式的标准12(,)nf x xx替换，替换，的二次型，的二次型，的一个的一个标准形标准形 则称（则称（8）式为二次型）式为二次型12(,)nf x xx对于二次型对于二次型 ，12(,)nf x xx我们要研究的我们要研究的主要问题是：主要问题是：（8）寻求一个可逆的线性替换寻求一个可逆的线性替换 PYX 使得使得 变成标准的二次型，变成标准的二次型，12(,)nf x xx即
10、成为即成为（8）式的形式）式的形式显然，显然，（8）式中标准的二次型）式中标准的二次型2221122nnd yd yd y的矩阵为的矩阵为12.ndddD如果二次型如果二次型 的矩阵为的矩阵为 A 12(,)nf x xx根据根据上一节的讨论，上一节的讨论，将将 化成标准形这一化成标准形这一12(,)nf x xx问题，问题，就成为了寻求一个可逆矩阵就成为了寻求一个可逆矩阵 P，使得使得 TDP AP.如果由如果由 到到 的一个线性替换的一个线性替换 12,nx xx12,ny yy二、正交变换法化二次型为标准形二、正交变换法化二次型为标准形定义定义5 设设 ；是两组变量，是两组变量，12,n
11、x xx12,ny yy11111221221122221122,nnnnnnnnnnxq yq yq yxq yq yq yxq yq yq y的系数矩阵的系数矩阵111212122212nnnnnnqqqqqqqqqQ是一个正交矩阵，是一个正交矩阵，即满足即满足 ，T1QQ则称这个线性则称这个线性替换为替换为正交变换正交变换设设 是一个实二次型，是一个实二次型，12(,)nf x xx且这个二且这个二次型的矩阵是次型的矩阵是 A于是，于是，A 是一个实对称矩阵是一个实对称矩阵 根据第六章第三节的定理根据第六章第三节的定理19，存在一个正交矩阵存在一个正交矩阵 Q，使得使得 12T,nQ A
12、Q其中其中 是实对称矩阵是实对称矩阵 A 的特征值，的特征值，12,n Q 的的 n特征向量，特征向量，个列向量个列向量 是是 A 分别对应于分别对应于 的的12,n 12,n 并且并且 是一个标准正交组是一个标准正交组 12,n 定理定理2对于任意一个实二次型对于任意一个实二次型T12(,)nf x xx,X AX存在一个正交变换存在一个正交变换 X=QY，使得使得TT222121122(,)()nnnf x xxyyyYQ AQ Y而且而且 是实对称矩阵是实对称矩阵 A 的特征值，的特征值，12,n Q 的的 n特征向量，特征向量，个列向量个列向量 是是 A 分别对应于分别对应于 的的12
13、,n 12,n 并且并且 是一个标准正交组是一个标准正交组 12,n 在第六章，在第六章，对于一个实对称矩阵，对于一个实对称矩阵，我们给出了我们给出了具体计算正交矩阵的方法具体计算正交矩阵的方法 因此，因此，我们可以利用求我们可以利用求得的得的 Q，构造正交变换构造正交变换 X=QY，将二次型将二次型 T12(,)nf x xxX AX化成标准形，化成标准形，我们将这种方法称为我们将这种方法称为正交变换法正交变换法例例2利用正交变换法，利用正交变换法，将二次型将二次型 222123112132233(,)44282f x xxxx xx xxx xx化成标准形化成标准形三、配方法化二次型为标准
14、形三、配方法化二次型为标准形 这里再介绍一种比较简单实用的方法这里再介绍一种比较简单实用的方法拉格拉格朗日配方法朗日配方法，或简称为或简称为配方法配方法定理定理3任意一个二次型任意一个二次型 T1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX都可以经过配方运算化成标准形都可以经过配方运算化成标准形 例例3利用配方法，将例利用配方法，将例2中的二次型中的二次型222123112132233(,)44282f x xxxx xx xxx xx化成标准形化成标准形 例例4用配方法将二次型用配方法将二次型 123121323(,)244f x x xx xx xx x 化成标准形化成标准
15、形 四、二次型的规范标准形四、二次型的规范标准形 通过前面的例通过前面的例2和例和例3，我们发现，我们发现，标准形不是唯一的，标准形不是唯一的，二次型的二次型的是与所作的线性替换有关的是与所作的线性替换有关的 二次型的矩阵与其标准形的矩阵的秩相等，二次型的矩阵与其标准形的矩阵的秩相等，是，是，于于二次型的矩阵的秩，二次型的矩阵的秩，也称为也称为二次型的秩二次型的秩二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，是唯一确定的，是与线性替换的选取是无关的是与线性替换的选取是无关的根据定理根据定理 2 以及前面的讨论，以及前面的讨论，经过一次非退化经过一
16、次非退化我们可我们可的线性替换，的线性替换，并适当调整变量的前后顺序，并适当调整变量的前后顺序，以将二次型以将二次型T1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX化成如下的标准形化成如下的标准形 22221111ssssrrd yd ydyd y其中其中 ，0id 1,2,ir均为实数，均为实数，().rRA那么再经过一次线性替换那么再经过一次线性替换 111111,1,rrrrrnnyzdyzdyzyz原二次型化成原二次型化成 222211ssrzzzz（11）将（将（11）式中的二次型称为原二次型的）式中的二次型称为原二次型的规范标准形规范标准形 显然，显然，（11）式中
17、的规范标准形完全由和决定，）式中的规范标准形完全由和决定，并且其对应的矩阵为并且其对应的矩阵为111100srsr也就是说，也就是说，规范标准形完全由（规范标准形完全由（12）式矩阵中）式矩阵中 1 和和-1的个数决定的个数决定定理定理4（实二次型的惯性定律）（实二次型的惯性定律）是一个实二次型是一个实二次型12(,)nf x xx设设那么，那么，经过一个非退化线性替换，经过一个非退化线性替换，12(,)nf x xx可以化成规范标准形，可以化成规范标准形，并且规范标并且规范标准形是唯一的，准形是唯一的，即（即（11）式中的）式中的 r 和和 s 是唯一的是唯一的 定义定义6设设 为一个实二次
18、型，为一个实二次型，12(,)nf x xx范标准形如（范标准形如（11）所示）所示 其规其规将（将（11）中正平方项的）中正平方项的个数个数 s 称为称为 的的正惯性指数正惯性指数；12(,)nf x xx将负平将负平方项的个数方项的个数 r-s 称为称为 的的负惯性指数负惯性指数；12(,)nf x xx将正惯性指数与负惯性指数的差将正惯性指数与负惯性指数的差()2srssr称为称为 的的符号差符号差12(,)nf x xx第三节第三节 正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵一、正定二次型一、正定二次型 定义定义7设设 为一个实二次型，为一个实二次型，12(,)nf x xx如果对如果对
19、于任意一个非零实向量于任意一个非零实向量 ,T12(,)na aa 均有均有 T12(,)0nf a aa A则称则称 是一个是一个正定二次型正定二次型 12(,)nf x xx定理定理5二次型二次型 222121 122(,)nnnf x xxd xd xd x是正定的当且仅当是正定的当且仅当 0,1,2,idin定理定理6 非退化线性替换保持二次型的正定性，非退化线性替换保持二次型的正定性，过一次非退化线性替换前后的二次型具有相同的正过一次非退化线性替换前后的二次型具有相同的正即经即经定性定性定理定理7 二次型二次型 是正定的当且仅当其是正定的当且仅当其12(,)nf x xx正惯性指数是
20、正惯性指数是 n 例例5判别下列二次型的正定性：判别下列二次型的正定性：2221231231223(,)23544;f x xxxxxx xx x222123123121323(,)22448.g x xxxxxx xx xx x二、正定矩阵二、正定矩阵 定义定义8设设 A 是一个是一个 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵如果二次型如果二次型 T12(,)nf x xxX AX是正定二次型，是正定二次型，具体地说，具体地说，对于任意非零对于任意非零 n 维向量维向量 ，T12(,)na aa 均有均有 T0,A 则称则称 A 是一个是一个正定矩阵正定矩阵 定理定理8n 阶对角矩阵阶对角矩阵 是正定矩
21、阵是正定矩阵12diag(,)nd dd当且仅当当且仅当 0,1,2,idin定理定理9合同的两个矩阵具有相同的正定性合同的两个矩阵具有相同的正定性 定理定理10设设 A 是一个是一个 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，则下列命则下列命题是等价的：题是等价的：1）A 是正定的；是正定的；2）二次型）二次型 是正定的；是正定的；TX AX3）A 合同于单位矩阵合同于单位矩阵 E，即即 ；AE4）存在可逆矩阵）存在可逆矩阵 P，使得使得 T;AP P5）A 的特征值的特征值 全大于零全大于零 12,n 推论推论正定矩阵正定矩阵 A 的行列式的行列式|0A定义定义9设设 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵
22、()ijaA将将 A 的子式的子式 111212122212,iiiiiiiaaaaaaPaaa1,2,in称为称为 A 的的顺序主子式顺序主子式 定理定理11设设 A 是一个是一个 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，则二次型则二次型 T12(,)nf x xxX AX是正定二次型（或者说，是正定二次型（或者说，A 是正定矩阵）当且仅当是正定矩阵）当且仅当 A 的顺序主子式均大于零的顺序主子式均大于零 例例6判别例判别例5中两个二次型的正定性中两个二次型的正定性2221231231223(,)23544;f x xxxxxx xx x222123123121323(,)22448.g x xxxxxx xx xx x矩阵矩阵2110103A例例7当当 为何值时，为何值时，是一个正定矩阵？是一个正定矩阵？三、其他类型的二次型及矩阵三、其他类型的二次型及矩阵
