1、人教B版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何2021年单元测试卷（2）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）+2+2+；2+2+3+3+；+；+ABCD2（5分）若（2，2，0），（1，3，z），60，则z等于（）ABCD3（5分）已知（2，1，3），（1，2，1），若（+），则实数的值为（）A2BCD24（5分）已知正四面体ABCD的棱长为1，且2，2，则（）ABCD5（5分）已知（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若、三向量共面，
2、则实数等于（）ABCD6（5分）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则+等于（）ABCD7（5分）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（）ABCD8（5分）在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，则点C到平面PAB的距离是（）ABCD二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）（多选）11（5分）已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），分别为平面，的法向
3、量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）Al1l2Bl1l2CD（多选）12（5分）在以下命题中，不正确的命题有（）A|+|是，共线的充要条件B若，则存在唯一的实数，使C对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D若，为空间的一个基底，则+，+，+构成空间的另一个基底三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线处）9（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的个数是（）A1B2C3D410（5分）将正方形ABCD沿对
4、角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60其中错误的结论是（）ABCD13（5分）（理科）已知向量（2，4，5），（3，x，y），若，则xy 14（5分）已知A（2，5，1），B（2，4，2），C（1，4，1），则与的夹角为 15（5分）已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为 16（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为 ，平面ACD与ABC所成二面
5、角的余弦值为 四、解答题（共大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60，N是CM的中点，设，A，试以，为基向量表示出向量，并求BN的长18（12分）已知向量（1，3，2），（2，1，1），点A（3，1，4），B（2，2，2）（1）求|2+|；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得？（O为原点）19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC的中点，且ABBCBB12（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求异面直线AB1与
6、BC1所成的角20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，AA1ABAC2（1）证明：DFAE；（2）当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值21（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值22（12分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，A1BAC1，ACAA14，BC2（1）求证：面A1ACC1面ABC；（2）若A1AC60
7、，在线段AC上是否存在一点P，使二面角BA1PC的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由，参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）+2+2+；2+2+3+3+；+；+ABCD【分析】利用空间向量加法和减法的运算法则，对四个选项逐一化简判断即可【解答】解：对于，原式，故选项错误；对于，原式，故选项正确；对于，原式，故选项错误；对于，原式，故选项正确故选：C2（5分）若（2，2，0），（1，3，z），60，则z等于（）ABCD【
8、分析】根据向量的夹角公式，先求得两向量的数量积和两向量的模，用夹角公式建立关于z的方程求解【解答】解析：8，|2，cos，z故选：C3（5分）已知（2，1，3），（1，2，1），若（+），则实数的值为（）A2BCD2【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：（+），（+）（）2+（2+2+3）0，解得2故选：A4（5分）已知正四面体ABCD的棱长为1，且2，2，则（）ABCD【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值【解答】解：正四面体ABCD的棱长为1，且2，2，则11cos120，故选：D5（5分）已知（2，1，3），（1，4，
9、2），（7，5，），若、三向量共面，则实数等于（）ABCD【分析】由已知中（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于的方程，解方程即可求出实数的值【解答】解：（2，1，3），（1，4，2）与不平行，又、三向量共面，则存在实数X，Y使X+Y即解得故选：D6（5分）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则+等于（）ABCD【分析】取BD中点O，连结BG、OG、MG，利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可【解答】解：取BD中点O，连结BG、OG、MG，空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，
10、G分别是BC，CD的中点，如图示：+（+）+（+）+，故选：C7（5分）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（）ABCD【分析】取OC中点E，连结DE，则DEAC，从而BDE是异面直线BD与AC所成角，由此能求出异面直线BD与AC所成角的余弦值【解答】解：四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，取OC中点E，连结DE，DEAC，BDE是异面直线BD与AC所成角，BDBE，DE，cosBDE故选：C8（5分）在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，则点C到平面PAB的距离是（）ABCD【分析】以A为原点，AB为x轴
11、，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离【解答】解：在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，4，0），P（0，4，4），A（0，0，0），B（4，0，0），（0，4，0），（4，0，0），（0，4，4），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取z1，得（0，1），点C到平面PAB的距离d故选：B二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分
12、，有选错的得0分，部分选对的得3分）（多选）11（5分）已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）Al1l2Bl1l2CD【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案【解答】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确；若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直），故选项C，D正确故选：ABCD（多选）12（5分）在以下命题中，不正确的命题有（）A|+|是，共线的充要条件B若，则存
13、在唯一的实数，使C对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D若，为空间的一个基底，则+，+，+构成空间的另一个基底【分析】A|+|，可得，共线；反之不成立，即可判断出正误；B若，时不成立，即可判断出正误；C对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若x+y+z，x+y+z1P，A，B，C四点共面，即可判断出正误；D利用空间向量基底的定义，即可判断出正误【解答】解：A|+|，共线；反之不成立，若，同向共线，可能是|+|+|成立，因此|+|是，共线的充分不必要条件，因此A不正确；B若，则存在唯一的实数，使，不正确，因为，时不成立，因此B不正确；C对空间任意一点O和
14、不共线的三点A，B，C，若x+y+z，x+y+z1P，A，B，C四点共面，因此C不正确；D若，为空间的一个基底，则+，+，+构成空间的另一个基底，否则其中任意一个向量必然能用另外两个向量线性表示，不妨设+x（+）+y（+），化为+x+（x+y）+y，则y1，x1，且x+y0，矛盾，假设不成立，因此D成立故选：ABC三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线处）9（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用向量垂
15、直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出【解答】解：（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）22+40，正确；4+4+00，正确；由可知：是平面ABCD的法向量，因此正确；（2，3，4），假设存在使得，则，无解，不正确；综上可得：正确故选：C10（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60其中错误的结论是（）ABCD【分析】取BD的中点E，则AEBD，CEBD根据线面垂直的判定及性质可判断的真假；求出AC长后，可以判断的真假；求出AB与平面BCD所成的角
16、可判断的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断的真假；进而得到答案【解答】解：取BD的中点E，则AEBD，CEBDBD面AECBDAC，故正确设正方形边长为a，则ADDCa，AEaECACaACD为等边三角形，故正确ABD为AB与面BCD所成的角为45，故不正确以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（0，0，a），B（0，a，0），D（0，a，0），C（ a，0，0）（0，a，a），（ a，a，0）cos，60，故正确故选：C13（5分）（理科）已知向量（2，4，5），（3，x，y），若，则xy45【分析】，可得存在实数k使得k解出即
17、可得出【解答】解：，存在实数k使得k，则xy45故答案为：4514（5分）已知A（2，5，1），B（2，4，2），C（1，4，1），则与的夹角为 【分析】根据题意，设与的夹角为，求出、的坐标，进而可得、的模以及的值，由空间向量夹角公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设与的夹角为，又由A（2，5，1），B（2，4，2），C（1，4，1），则（0，1，1），（1，1，0），则|，|，0+1+01，则有cos，又由0，则；故答案为：15（5分）已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为 【分析】作BOAC，则BO平面ACD，
18、求出BO，DO，即可求出BD【解答】解：如图所示，作BOAC，则BO平面ACD，AB1，BC，AC2，BO，AO，DO，BD故答案为：16（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为 ，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AA1C1C的法向量，向量AD，利用空间向量的数量积即可求解AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值；求出平面ACD与平面ABC的法向量，利用空间向量数量积即可求解平面ACD与ABC所成二面角的余弦值【解答】解：取AC的中点E，以B为原点，BE为x轴，BE的垂线为
19、y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，D在棱BB1上，且BD1，则E（，0，0），A（，0），C（，0），D（0，0，1），平面AA1C1C的法向量可以为：（，0，0），（，1），则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为|cos，|设平面ACD的法向量为（x，y，z），（，1），则，即，取x2，可得（2，0，），平面ABC的一个法向量为（0，0，1），则cos，即平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为故答案为：；四、解答题（共大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在四棱锥MABCD中，底面
20、ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60，N是CM的中点，设，A，试以，为基向量表示出向量，并求BN的长【分析】由已知条件推导出+由已知条件知|2，|3，0，3，由此利用（+）2能求出BN的长【解答】解：N是CM的中点，设，A，底面ABCD是边长为2的正方形，+在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60，|2，|3，0，23cos603，23cos603，（+）21+1+，|，即BN的长为18（12分）已知向量（1，3，2），（2，1，1），点A（3，1，4），B（2，2，2）（1）求|2+|；
21、（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得？（O为原点）【分析】（1）由题意可得2+的坐标，代入模长公式可得答案；（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，由，和0可得x、y、z的方程组，解方程组可得【解答】解：（1）2+（2，6，4）+（2，1，1）（0，5，5），|2+|5；（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，则，且得0，又（x+3，y+1，z4），（1，1，2），解得，在直线AB上，存在一点E（，），使得19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC的中点，且ABBCBB12（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求异面直线AB1与BC1所成的角【分析】（1）连
22、接B1C交BC1于点O，连接OD推出ODAB1然后证明AB1平面BC1D（2）建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz求出相关点的坐标，利用空间向量的数量积求解异面直线所成角【解答】解：（1）如图，连接B1C交BC1于点O，连接ODO为B1C的中点，D为AC的中点，ODAB1AB1平面BC1D，OD平面BC1D，AB1平面BC1D（2）建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz则B（0，0，0）、A（0，2，0）、C1（2，0，2）、B1（0，0，2）（0，2，2）、（2，0，2）cos，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos，（0，），20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D在棱
23、A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，AA1ABAC2（1）证明：DFAE；（2）当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，利用向量的数量积为0，即可证明；（2）利用待定系数法求出平面DEF的法向量，取平面ABC的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可【解答】（1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AA1A1B1，又因为AEA1B1，AA1AEA，AA1，AE平面AA1C1C，所以A1B1平面AA1C1C，又A1C1平面AA1C1C，则A1B1A1C1，故
24、ABAC，ABAA1，ACAA1，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（2，0，0），B（0，0，2），A（0，0，0），A1（0，2，0），F（1，0，1），E（2，1，0），设D（0，2，t），则，因为，故DFAE；（2）解：当D为A1B1的中点时，D（0，2，1），又，设平面DEF的法向量为，则，即，令y1，则x2，z3，故，取平面ABC的一个法向量为，则，故平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为21（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）
25、求DP与平面ABFD所成角的正弦值【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，由于四边形ABCD为正方形，所以EFBC由于PFBF，EFPFF，则BF平面PEF又因为BF平面ABFD，所以：平面PEF平面ABFD（2）在平面PEF中，过P作PHEF于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PHEF，则PH面ABFD，故PHDH在三棱锥PDEF中，可以利用等体积法求PH，因为DEBF且PFBF，所以PFDE，
26、又因为PDFCDF，所以FPDFCD90，所以PFPD，由于DEPDD，则PF平面PDE，故VFPDE，因为BFDA且BF面PEF，所以DA面PEF，所以DEEP设正方形边长为2a，则PD2a，DEa在PDE中，所以，故VFPDE，又因为，所以PH，所以在PHD中，sinPDH，即PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：22（12分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，A1BAC1，ACAA14，BC2（1）求证：面A1ACC1面ABC；（2）若A1AC60，在线段AC上是否存在一点P，使二面角BA1PC的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由，【分析】（1）
27、由ACAA1，可得四边形AA1C1C为菱形，则A1CAC1，又A1BAC1，利用线面垂直的判定可得AC1平面A1CB，得到AC1BC，结合ACB90，即可证明BC平面A1ACC1，从而得到面A1ACC1面ABC；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角BA1PC的平面角的余弦值为，利用二面角BA1PC的平面角的余弦值为求得值得答案【解答】（1）证明：如图，ACAA1，四边形AA1C1C为菱形，连接A1C，则A1CAC1，又A1BAC1，且A1CA1BA1，AC1平面A1CB，则AC1BC，又ACB90，即BCAC，BC平面A1ACC1，而BC平面ABC，面A1ACC1面ABC；（2）解：以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，ACAA14，BC2，A1AC60，C（0，0，0），B（0，2，0），A（4，0，0），A1 （2，0，）设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角BA1PC的平面角的余弦值为则（4，2，0）+（4，0，0）（44，2，0），设平面BA1P的一个法向量为，由，取x11，得；平面A1PC的一个法向量为由|cos|，解得：（舍），或故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角BA1PC的平面角的余弦值为25 / 25
