1、多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用第八章第八章习题课习题课一、关于多元函数极限的题类一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类类四、关于多元函数极四、关于多元函数极(最最)值的题类值的题类一、关于多元函数极限的题类一、关于多元函数极限的题类【例【例1】【解【解】2200limxyxyxy 求求故所求故所求极限不存在极限不存在.220limxy kxxyxy 21kk 极限与极限与k有关有关,22220limxkxxk x
2、 2201lim(1)1 xxxyxyaex【例【例2】求下列极限求下列极限2221(2)lim(1)xxyxyax 2244(3)limxyxyxy 2210ln()limyxyxexy (1)(1)2222223 200sinlim()xyxyxyxy(4)(4)连续性连续性代入法代入法22224422221 110022xyxyxyx yxy 坐标变换或放缩坐标变换或放缩根式换元或坐标变换，化为一根式换元或坐标变换，化为一元函数的极限，用洛必达法则元函数的极限，用洛必达法则ln2 【说明】【说明】自变量分先后次序变自变量分先后次序变，称，称二次极限二次极限,这种极限是这种极限是两个极限过
3、程；而二重极限是一个极限过程两个极限过程；而二重极限是一个极限过程.两者不同两者不同.例如例如两个二次极限两个二次极限0limlimlimlim22002200 yxxyyxxyxyyx存在存在而二重极限不存在而二重极限不存在.又如又如 0,00,1sin1sin),(yyxyyxyxf则重极限则重极限0),(lim00 yxfyx而两个二次极限均不存在而两个二次极限均不存在.【强调【强调】本课程讨论的极限均为本课程讨论的极限均为重极限重极限.二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类分段函数在分段函数在分界点分界点的上述的上述“性态性态”就是要用
4、各自的就是要用各自的定义定义判断判断.连连 续续),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏导可偏导hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),(0000000 yyxfxyxfzyxyx可微可微点点220000)()(,),(),(yxyxfyyxxfz 其中其中内含三条，缺一不可内含三条，缺一不可【例【例3】【解【解】,0,00,),(2222222 yxyxyxyxyxf设设 )0,0(),(？处是否连续处是否连续在点在点问问yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx )0,0(0),(lim00fyxfy
5、x .)0,0(),(处是连续的处是连续的在点在点所以所以yxf3220cossinlim 0 cossinxy 【例【例4】设】设【解【解】,0,00,1sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf )()0,0(),(处处在点在点函数函数yxfA.偏导不存在偏导不存在B.偏导存在但偏导存在但 f 不连续不连续 C.可微可微 D.不可微不可微)0,0(0),(lim00fyxfyx 所以所以f 在在(0,0)点连续点连续,故否故否B.0)1sin(lim)0,0()0,(lim)0,0(2200 xxxxfxffxxx0)1sin(lim)0,0()0,(lim)0,0(2200
6、 yyyyfyffyyy偏导数存在偏导数存在,否否A.220000)0,0(),(limyxyxfyxfyx 01sin)(lim22222200 yxyxyxyx所以所以f(x,y)在在(0,0)点点可微可微.综上所述，综上所述，应选应选C.【例【例5】设函数设函数【解】【解】(,)|(,),f x yxyx y )0,0(),(的邻域内连续，问的邻域内连续，问在点在点其中其中yx(0,0),(0,0)xyff若若均均存存在在，(0,0)=()xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0 由由0|0|(,0)0lim xxxx 存存在在0|(,0)lim(0,0)xxxx 有有0|(,
7、0)lim(0,0)xxxx )0,0()0,0(0)0,0(同理同理,由由fy(0,0)存在也可推出存在也可推出 0)0,0(作业思考题作业思考题【例【例6】【解【解】.,0,0,求一阶偏导求一阶偏导设设 yxxuzy;1 zyzxyxu);)(ln1 zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuzyz 【注意】【注意】)(zyyzzyxxx 具体复合函数求导具体复合函数求导三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类()zzyyxx【例【例7】【解【解】，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)(),(3fxyxyfxz )1(213
8、xfxfxyz ,2214fxfx xyzyxz 22 2)(4221211413 xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 2,.zzyx y 求求)(222212xyfyfx 抽象复合函数求导抽象复合函数求导34114 fx fxx 2222fxfxx 【例【例8】【解【解】公式法公式法.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中设设),(),(22yzyfzxzyxF 令令),()(yzfyzyzfFy ),(2yzfzFz 则则.)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfFFyzzy 抽象函数隐函数求导抽象函数隐函数求导【
9、例【例8】.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中设设抽象函数隐函数求导抽象函数隐函数求导,)()(22yzyyzyzf yyzfyzz .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得【解【解】（求导直接法）（求导直接法）z是是x,y的函数的函数两边同时对两边同时对y求导求导,sin,0),(),(2xyzexzyxfuy 设设【例【例9】【解【解】,dxdzzfdxdyyfxfdxdu cos,dyxdx 2(,)0sinyxezyx ,02321 dxdzdxdyexy 可得可得),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13
10、zfxexyfxxfdxdux 故故.,0),(dxduzf求求且且，具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数 x两两边边对对求求导导 0),(),(0),(ytxftyxGtyxF )()(xttxyy .xttxttyf Ff FdydxFf F 解解得得方程组确定隐函数方程组确定隐函数推导法推导法【解】【解】两边同时对两边同时对x求导求导 00dxdydxdtffdxdtFdxdyFFtxtyx【例【例10】.,0),(),(dxdyFfyxtyxFttxfy试试求求具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，、函函数数，其其中中的的所所确确定定的的是是由由而而设设 之间的最短距离之间的最短距离与
11、平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz【例【例11】【解【解】.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设【分析【分析】最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP四、关于多元函数极四、关于多元函数极(最最)值值),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(
