1、电磁感应电磁感应 电磁场电磁场习题课习题课一、本章重要内容回顾一、本章重要内容回顾1、电磁感、电磁感应应电磁感应定律电磁感应定律dtdmi楞次定律楞次定律感应电流的方向总是反抗引感应电流的方向总是反抗引起感应电流的原因起感应电流的原因2、动生电动势、动生电动势l dBvi3、感生电动势、感生电动势SdtBl dEsli涡4.自感自感自感系数自感系数ILm自感电动势自感电动势dtdILl5.互感互感互感系数互感系数12121IM21212IMMMM1221互感电动势互感电动势dtdIM121dtdIM2126.磁场能量磁场能量自感磁能自感磁能221LIW 自互感磁能互感磁能21IMIW互磁能密度
2、磁能密度BHHBwm21212122磁场能量磁场能量dvBWvm2217.位移电流位移电流位移电流密度位移电流密度dtDdjd位移电流位移电流SdtDdtdISed8.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电磁场的普遍规律电磁场的普遍规律,它预言了电磁的存在它预言了电磁的存在.SVdVSdDSdtBl dElSSSdB0SdtDjl dHlS介质方程介质方程EDr0HBr09.电磁波电磁波平面电磁波平面电磁波vrtEEcos0vrtHHcos01vHE能量密度能量密度2221HEw能流密度能流密度HES例例1 一单匝圆形线圈位于一单匝圆形线圈位于xoy平面内平面内,其中心位于原其中心位于原点点O,半径为
3、半径为a,电阻为电阻为R.平平行与行与z轴有一匀强电场轴有一匀强电场,假假设设R极大极大,求求:当磁场依照当磁场依照B=B0e-t的关系降为零时的关系降为零时,通过该线圈的电流和电量通过该线圈的电流和电量.BzxyOiia二、典型例题二、典型例题解解:电路中维持电流的条件电路中维持电流的条件是必须有电动势是必须有电动势,求感应电求感应电流应首先求出感应电动势流应首先求出感应电动势.题中线圈不动亦不变形题中线圈不动亦不变形,故故线圈内只存在感应电动势线圈内只存在感应电动势.B变化时变化时,伴有自感应现象伴有自感应现象,但题中假设但题中假设R很很大大,自感应电流就极小自感应电流就极小,可以忽略可以
4、忽略.BzxyOiia根据法拉第电磁感应定律根据法拉第电磁感应定律,线圈中的感应电动势线圈中的感应电动势dtdmiBSdtdteBdtdS0teSB0teBa02电动势为正电动势为正,说明它的方向与说明它的方向与B构成右手螺旋关系构成右手螺旋关系.根据欧姆定律根据欧姆定律,线圈中的感应电流为线圈中的感应电流为tieRBaRi02感应电流的方向亦与感应电流的方向亦与B构成右手螺旋关系构成右手螺旋关系在在0 t时间内时间内,通过线圈某一截面的电量通过线圈某一截面的电量为为dteRBaidtqttt0002teRBa102 tRmm01mR1当当B降为零时降为零时,通过线圈截面的总电量为通过线圈截面
5、的总电量为RRBaidtqm0002可见可见,q仅与磁通量的变化值仅与磁通量的变化值m有关有关,而而与变化过程无关与变化过程无关,即与即与B(t)无关无关.例例2 在截面半径为在截面半径为R的圆的圆柱形空间充满磁感应强度柱形空间充满磁感应强度为为B的均匀磁场的均匀磁场,B的方向的方向沿圆柱形轴线沿圆柱形轴线,B的大小随的大小随时间按时间按dB/dt=k的规律的规律均匀增加均匀增加,有一长有一长L=2R的的金属棒金属棒abc位于图示位置位于图示位置,求金属棒中的感生电动势求金属棒中的感生电动势.ROBdcbaRR解解:作辅助线作辅助线oa、oc构成闭合回路构成闭合回路oabco.由于涡旋电场的电
6、力线由于涡旋电场的电力线是以是以O为圆心的半径不为圆心的半径不等的同心圆等的同心圆,E涡涡的方向沿的方向沿圆周切线方向圆周切线方向,从而与半从而与半径垂直径垂直.RBdOcbaRR因此因此,oa、oc段上感生电动势为零段上感生电动势为零,则闭合则闭合回路的感生电动势就等于金属棒回路的感生电动势就等于金属棒ac上的感上的感生电动势生电动势.穿过穿过 abc的磁通量实际上只是的磁通量实际上只是oabdo的面的面积部分积部分,所以所以BSoabdomBSSobdooaboBR21243dtdmidtdBR334123342Rk负号表示负号表示 i的方向与的方向与B构成左旋关系构成左旋关系,即感生即感
7、生电动势的指向为电动势的指向为ab c.例例3 一长直导线载有交变一长直导线载有交变电流电流I=I0sin t,旁边有一旁边有一矩矩形线圈形线圈ABCD(于长直导线于长直导线共面共面),长为长为l1,宽宽l2,长边与长边与长直导线平行长直导线平行,AD边与导边与导线相距为线相距为a,线圈共线圈共N匝匝,全全线圈以速度线圈以速度v垂直与长直导垂直与长直导线方向向右运动线方向向右运动,求此时线求此时线圈中的感应电动势大小圈中的感应电动势大小.ABCDI2l1lav解解:由于电流改变的同时由于电流改变的同时,线线圈也在向右运动圈也在向右运动,故线圈中继有感生电动故线圈中继有感生电动势势,又有动生电动
8、势又有动生电动势.在在ABCD内取一内取一dS=l1dx的的面元面元,传过该面元的磁通量传过该面元的磁通量为为SdBdmABCDI2l1lavSdBdmmxdx故故dtdmidtdaalaIldtdIalal112ln2210210dxlxI1022210laaxdxIlalaIl210ln2tIdtdIcos0vdtdatalavIltalaIlisin112cosln220102010例例3 OM、ON及MN为金属导线，为金属导线，MN以速度以速度v 运动，运动，并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：导体导体MN在在时，时，0t=0 x=x
9、y0MNvBtkxB cos求：求：)(t dxxtgds sdBd dxxtgtkx costdxxktg cos)(2 SSdBtxktgdxtxktgx cos)(31cos)(302Bdxx xyottvktgttvktg cossin312333动生动生感生感生)sincos3(3132txtdtdxxktgdtd 动生动生感生感生ttvktgttvktg cossin312333ttvktgBlv cos23动动ttvktgt sin3133感感例例4 (1)质量为质量为M,长度为长度为L的金属棒的金属棒ab从静止开始从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑沿倾斜的绝缘框架下滑,设设磁场磁场
10、B竖直向上竖直向上,求棒内的求棒内的动生电动势与时间的函数动生电动势与时间的函数关系关系,假定摩擦可忽略不计假定摩擦可忽略不计.(2)如果金属棒是沿光滑的金属框架下如果金属棒是沿光滑的金属框架下滑滑,结果有何不同结果有何不同.(设回路的电阻为设回路的电阻为R)ADBCBgmabvl解解:(1)当当ab沿斜面下滑沿斜面下滑时时,沿斜面方向加速度沿斜面方向加速度ADBCBgmabvlsinga tgvsinl dBvlvBcostBglcossin(2)当当ab沿光滑金属框架下滑时沿光滑金属框架下滑时,ab中有中有感应电流流过感应电流流过,根据楞次定律根据楞次定律,ab中感应电中感应电流的方向由流
11、的方向由ba.沿斜面方向的运动方程为沿斜面方向的运动方程为dtdvMIBlMgcossinRvBlIcosdtdvMvRlBMg222cossin由由t=0、v=0，可求出，可求出v与与t的关的关系。系。代入代入l dBv可得可得cosvBl计算可得计算可得MRtlBeBlMgR222cos1sin例例5 一电子在电子感应加速器中沿半一电子在电子感应加速器中沿半径为径为1m的轨道作圆周运动，如果电子的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能增加每转一周动能增加700ev，时计算轨道，时计算轨道内磁通量的变化率。内磁通量的变化率。解：电子每转一周，电场力做功等于动能增量解：电子每转一周，电场力做功等
12、于动能增量则则eVl dEel700Vl dEl700而而Vdtdl dEml700例例6 两根足够长的平行直导线，横截两根足够长的平行直导线，横截面的半径都是面的半径都是 a=10mm，中心相距为，中心相距为d=20cm，载有大小相等方向相反的电，载有大小相等方向相反的电流流I=20A，设两导线内部磁通量可忽略，设两导线内部磁通量可忽略不计。不计。1）计算每单位长度的自感系数，）计算每单位长度的自感系数，2）若将直导线分开到相距）若将直导线分开到相距40cm，求，求磁场对单位长度直导线所做的功；磁场对单位长度直导线所做的功；3）位移后，单位长度的磁能改变了多少？位移后，单位长度的磁能改变了多
13、少？是增加还是减少？是增加还是减少？xdxlmdxdIIo1m2m解解:(1)设通过两直导设通过两直导线间长为线间长为l的面积的的面积的磁通量为磁通量为 m,取如取如图所示的坐标系图所示的坐标系,面元面元dS=ldx,则则 dSBdSBm21ldxxIada20ldxxdIada20aadaadIllnln20aadIlln0由自感系数的定义可得由自感系数的定义可得aadlILmln0单位长度的自感系数为单位长度的自感系数为aadILLln00代入已知数据得代入已知数据得HHL2.1102.11120ln104670BFIIox(2)设想左边直导线不动，设想左边直导线不动，将右边直导线拉开将右
14、边直导线拉开.移动过移动过程中会受到磁场力程中会受到磁场力F的作的作用用.由右手螺旋法则可知由右手螺旋法则可知,F沿沿x轴正方向轴正方向.xIIlIlBF20取取l=1m,则磁场对单位长度载流直导线所作功为则磁场对单位长度载流直导线所作功为(3)当两直导线相距当两直导线相距40cm时时,每单位长度的每单位长度的自感系数为自感系数为dadLln0039ln1047H6105.1根据自感磁能公式根据自感磁能公式221LIWmFdxW4.02.0202dxxI2ln220IJ5106.5所以所以,单位长度的磁能改变为单位长度的磁能改变为2000021ILLWWWmmm2620102.15.121J6
15、100.6可见可见,位移时单位长度内的磁能是增加的位移时单位长度内的磁能是增加的.在在d=20cm和和40cm时时,单位长度的磁能分别为单位长度的磁能分别为20021ILWm20021ILWm例例7 一圆形线圈一圆形线圈C1由由N1匝表面绝缘的细匝表面绝缘的细导线绕成，原面积为导线绕成，原面积为S，将此线圈放在另，将此线圈放在另一半径为一半径为R的圆形大线圈的圆形大线圈C2的中心（的中心（C2 比比C1的尺寸大的多）两者同轴，大线圈由的尺寸大的多）两者同轴，大线圈由N2匝表面绝缘的导线绕成。匝表面绝缘的导线绕成。1）求这两线圈的互感）求这两线圈的互感M.2）当大线圈中的电流变化率为）当大线圈中
16、的电流变化率为dI/dt时，求小线圈时，求小线圈C1中的感应电动中的感应电动势势.解：解：(1)设设C2通有电流通有电流I.由于由于C2比比C1大的多，大的多，C2在在C1处产生的磁场可看作均匀磁场处产生的磁场可看作均匀磁场.RINB202穿过穿过C1的磁通量为的磁通量为RISNNm2021RSNNIMm2021(2)dtdIMdtdIRISNN2021例例8 一根无限长圆柱形载流导线一根无限长圆柱形载流导线,半径为半径为R,试试求该导线求该导线l长度所储存的磁场能量及自感系数长度所储存的磁场能量及自感系数.解解:根据安培环路定理根据安培环路定理Rr 202 RIrB4222200024212RrIBwm在导线内取一体积元在导线内取一体积元dV=2 rldr,该体积元该体积元储存的能量为储存的能量为rldrRrIdVwdWmm2442220drrRlI34204drrRlIWRm0342041620lI20821Il可见可见80lL rldrRrIdVwdWmm2442220drrRlI34204drrRlIWRm0342041620lI20821Il可见可见80lL
