1、内容安排一、四大经典平差的函数模型二、函数模型的线性化三、测量平差的数学模型第六讲平差数学模型第六讲平差数学模型v几个概念几个概念必要元素必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素，：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素，简称必要元素。（用简称必要元素。（用t t表示）表示）多余观测数多余观测数：为了发现粗差和错误，并提高精度，需：为了发现粗差和错误，并提高精度，需 要进行多余观测。要进行多余观测。(用用r r表示）表示）观测总数：观测总数：用用n n表示。则有：表示。则有：r=n-tr=n-t。ntnt,nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。，可以确定模型，还可以发现粗差。第六讲平差数学
2、模型第六讲平差数学模型3,2,1ntr平面三角形的测角类型平面三角形的测角类型001800;1800w3,2,1ntr1231230;0hhhhfhhhv 通过上面例子，不难看出：通过上面例子，不难看出：由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物理的约束方程，即理的约束方程，即函数模型函数模型；观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存在观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存在闭合差而闭合差而并不满足并不满足；如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到
3、消除闭合差消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！的目的，这就是测量平差的主要任务！v那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？闭合差的目的呢？首先要由观测值和未知量间组成首先要由观测值和未知量间组成函数模型函数模型；然后采用一定的然后采用一定的平差原则平差原则对未知量进行估计。对未知量进行估计。v建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法：建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法：1 1、条件平差；、条件平差；2 2、间接平差；、间接平差；3 3、附有参数的条件平差；、附有参数的条件平差；4 4、附有限制条件的间接平差。、附有限制条件的
4、间接平差。2 函数模型函数模型函数模型函数模型：是描述：是描述观测量与观测量观测量与观测量之间、之间、观观测量与未知量测量与未知量间的数学函数关系的模型。间的数学函数关系的模型。一、条件平差的函数模型一、条件平差的函数模型 有一个多余观测，观测值间就会产生一个函数关系，有一个多余观测，观测值间就会产生一个函数关系，平差中称这种函数关系为平差中称这种函数关系为条件方程。条件方程。观测值的数学期望之观测值的数学期望之间的函数关系式。间的函数关系式。条件平差条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法条件平差方法。ntnt,nt,，可以确定模型，还可
5、以发现粗差。，可以确定模型，还可以发现粗差。154256346123124600000.hhhhhhhhhhhhhhhh01231800LLL012304560123456180018003600LLLLLLLLLLLL条件方程的个数条件方程的个数：等于多余观测数：等于多余观测数r r，且，且r r个条件式线性无关个条件式线性无关（独立）！（独立）！条件方程的通式条件方程的通式：值得注意值得注意：*一个平差问题中，条件形式不唯一！选取形式最简为易！一个平差问题中，条件形式不唯一！选取形式最简为易！*各条件式之间必需是独立的！各条件式之间必需是独立的！v条件平差的特点：条件平差的特点：)(00A
6、ALWWA11010rrnnrALAv=6=6，t=3t=3，r=3r=3，故应列出故应列出3 3个线性无关条个线性无关条件方程：件方程：v思考：思考：如果将第三个式换为如果将第三个式换为 是否可行？是否可行？12640hhhh000643652451hhhhhhhhhThhhhhhLA6543211100111011000100011316630LA=6=6，t=4t=4，r=2r=2，应列出应列出2 2个线性无关的条件方程：个线性无关的条件方程：0123045618001800LLLLLL000111000,000111180180AA02,6 6,12,10A LA12245135000
7、ABHhhHhhhhhh24513534000ABhhhhhhHhhHv思考：以下是否可行？为什么？思考：以下是否可行？为什么？2451351234000hhhhhhhhhh二、间接平差的函数模型二、间接平差的函数模型1 1、间接平差的函数模型、间接平差的函数模型 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。即：先选定即：先选定t t个独立个独立参数，将每一个观测量表达成所参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，这种函数关系式称为选参数的函数，这种函数关系式称为“观测方程观测方程”。2 2、间接平差、间接平差 以上述的观测方程为平差的函数模型，称为
8、间以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称为接平差（又称为参数平差参数平差）。）。t=2t=2，选，选2 2个参数，函数模型：个参数，函数模型：1122XLXL选：11220312180LXLXLXX 010001,011180Bd3,13,22,13,1LB Xd1X2Xv间接平差观测方程的特点：间接平差观测方程的特点：列立观测方程前需先选参数，且参数的个数等于必列立观测方程前需先选参数，且参数的个数等于必要观测数要观测数t t。t t个参数个参数独立独立（即不能存在确定的函数式）！（即不能存在确定的函数式）！观测方程的个数等于观测值的个数观测方程的个数等于观测值的个数n n。一
9、般表达式：一般表达式：在测量控制网中，常采用待定点的在测量控制网中，常采用待定点的坐标坐标、待定点的、待定点的高程高程为平差参数建立观测方程。为平差参数建立观测方程。,1,1,1nn t tnLB Xd例例.（1 1）确定）确定t=3t=3，故需选，故需选3 3个参数；个参数；（2 2）选网中三个待定点高程为平差参数）选网中三个待定点高程为平差参数 （3 3）则列立）则列立=6=6 个观测方程。为个观测方程。为DCBHXHXHX,321326315342321211XXhXXhHXhHXhXXhHXhAAA例例.（1 1）t=2t=2，选，选D D，C C点的高程为参数：点的高程为参数：（2
10、2）列立）列立5 5个观测方程：个观测方程：DCHXHX,2112524231211XXhHXhHXhHXhHXhBABA例例.下图，试分别列立条件平差的函数模型、间接平差的函下图，试分别列立条件平差的函数模型、间接平差的函数模型。数模型。条件平差条件平差=3=3，t=1t=1，r=2r=2，故列立，故列立2 2个条件方程个条件方程：间接平差间接平差t=1t=1，故选，故选ABAB间距离为参数、列立间距离为参数、列立3 3个观个观测方程：测方程：0,03121LLLLXLXLXL321v条件平差的函数模型：条件平差的函数模型：先确定必要观测数先确定必要观测数t t；由由r=r=-t-t求出多余
11、观测求出多余观测r r；列立列立r r个个独立独立的条件方程的条件方程（即观测量真值之间的（即观测量真值之间的几何条件式）。几何条件式）。即：即：()0F L v间接平差的函数模型：间接平差的函数模型：先确定必要观测数先确定必要观测数t t；选选t t个个独立独立的参数；的参数；列立列立个观测方程（将每一个个观测方程（将每一个观测值表达成所选参数的函数）；观测值表达成所选参数的函数）；即：即：,1()nLFX例：分别列立例：分别列立条件平差条件平差、间接平差间接平差的函数模型，并将的函数模型，并将 写成矩阵形式且用一般形式表示。写成矩阵形式且用一般形式表示。条件平差的条件方程为：条件平差的条件
12、方程为：00ALA则为：间接平差的观测方程为：LBXd则 为：0)(042132BAHHhhhhhBAPPHXhXXhXXhHXhXHXH24213212112211，选：BAHHdLXXXB00,hhhh,11101101432121，令TBATHHdLA)(0,h h h h,101101104321令)(00AALWWA)(0dBXLllxB三三.附有参数的条件平差的函数模型附有参数的条件平差的函数模型1 1、先仍然按条件平差列、先仍然按条件平差列r r个条件方程；个条件方程；2 2、然后再增选、然后再增选一个一个参数，则就会增加参数，则就会增加一一个个条件方程，即条件方程，即3 3、则
13、上式可写成：、则上式可写成：0111018010010ABA，02 3 3 12 1 1 12 10A LB XA，X01800321LLL01 XLv列立下图附有参数的条列立下图附有参数的条件平差的函数模型：件平差的函数模型：=5=5，t=2t=2，r=5-2=3r=5-2=3，按条件平差列函数摸型为：按条件平差列函数摸型为：选选C C点高程为参数，则增加一个条点高程为参数，则增加一个条件式，为：件式，为：写成距阵式为：写成距阵式为：13524512000ABhhhhhhHhhH10AHhX5,11,10101010001011000110000100001ABLXHHCHXv附有参数的条件
14、平差的附有参数的条件平差的函数模型函数模型的特点：的特点：可以看出，它是可以看出，它是“特殊特殊的条件平差的条件平差”；它特殊在也选了参数，但又不同间接平差；参数的个数不它特殊在也选了参数，但又不同间接平差；参数的个数不能能大于或等于大于或等于t t（0 0t t）；）；函数模型的总数且函数模型的总数且=r+=r+；函数模型由两大类构成函数模型由两大类构成 1)1)一类是条件平差的条件方程；一类是条件平差的条件方程；2)2)另一类是含有参数的条件方程。另一类是含有参数的条件方程。通式表示为：通式表示为：0),(1,XLFcv列立附有参数的条件列立附有参数的条件平差的函数模型：平差的函数模型：=
15、4=4，t=2t=2，r=4-2=2r=4-2=2选选=1=1个参数：个参数：列立列立=r+=r+=3=3个条件方程：个条件方程：1PHX231241000ABAhhHhhhHHhX01100011010010001ABALXHHH四、附有限制条件的间接平差的函数模型四、附有限制条件的间接平差的函数模型t=2t=2，选选=2+1=2+1个参数：个参数：则参数间就不独立了，产生约束则参数间就不独立了，产生约束条件：条件：间接平差的函数模型仍为：间接平差的函数模型仍为：112233,XL XL XL1231800XXX11220312180LXLXLXX 1122031201231801800LX
16、LXLXXXXX 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：可见，矩阵形式的特点是有两类！可见，矩阵形式的特点是有两类！0 xLBXdCXW特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个数特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个数u ut t。多选参数的个数多选参数的个数s=u-ts=u-t，这样，参数就不独立了，之间会，这样，参数就不独立了，之间会产生产生s s函数式。函数式。函数模型的构成：函数模型的构成：1 1）是间接平差的观测方程）是间接平差的观测方程 ；2 2）是参数之间的条件方程）是参数之间的条件方程 。函数模型的个数函数模型的个数=n+(u-t)n+(u-t)。函数模型通式：函数模型通式：v附有
17、限制条件的间接平差函数模型的特点：附有限制条件的间接平差函数模型的特点：1111110n tnnts ususxdBLXWCX0)(X)(1,XFLn附有限制条件的间接平差：附有限制条件的间接平差：看成是特殊的间接平差；看成是特殊的间接平差；特殊在所选参数个数要比特殊在所选参数个数要比 间接平差时个数多；间接平差时个数多；参数个数：参数个数：t t函数模型的个数：函数模型的个数：=+（-t-t）=+函数模型的类型：函数模型的类型：1.1.按间接平差的观测方程、按间接平差的观测方程、2.2.未知数之间的条件方程（限未知数之间的条件方程（限制条件式）。制条件式）。函数模型可表示为：函数模型可表示为
18、：附有参数的条件平差：附有参数的条件平差：看成是特殊的条件平差；看成是特殊的条件平差；特殊在需选参数，且独立；特殊在需选参数，且独立；参数个数：参数个数：0 0t t函数模型的个数：函数模型的个数：=r+=r+；函数模型的类型：函数模型的类型：1.1.按条件平差的条件方程、按条件平差的条件方程、2.2.含有参数的条件方程。含有参数的条件方程。函数模型可表示为：函数模型可表示为：0),(1,XLFc0)()(1,XXFLn参数个数参数个数平差方法平差方法函数模型一般式函数模型一般式=0条件平差条件平差=t间接平差间接平差0t 附有参数的条附有参数的条件平差件平差t附有限制条件附有限制条件的间接平
19、差的间接平差,1,1,1nn t tnLB Xd11100r nrnrAAL1111110ntnntsususxdBLXWC X0,1,1,10c n nc u ucA LB XAv四种平差方法与参数的关系以及函数模型的一般式四种平差方法与参数的关系以及函数模型的一般式=5=5，t=2t=2，r=3r=3；列立；列立3 3个函数模型：个函数模型：v可见，有些条件方程是非线性的、又如何线性化？可见，有些条件方程是非线性的、又如何线性化？2 2 函数模型的线性化函数模型的线性化01803210sinsin1221SS0sinsin321abSS2 2 函数模型的线性化函数模型的线性化在各种平差中，
20、所列函数模型有线性的、也有非线性的；在各种平差中，所列函数模型有线性的、也有非线性的；在平差计算时，需将非线性方程转成线性方程，即：在平差计算时，需将非线性方程转成线性方程，即：非线性函数模型线性化。非线性函数模型线性化。线性化的方法：线性化的方法：用泰勒级数公式展开，并取自一次项，二次以及以上高用泰勒级数公式展开，并取自一次项，二次以及以上高次项舍去。次项舍去。v非线性函数模型按泰勒级数展开：非线性函数模型按泰勒级数展开：xXFLFXLFxXLFFxXXLLXLFFXLXL),(),(,),(),(),(00000则：令：若：例例.将非线性条件式将非线性条件式 线性化。线性化。12210si
21、nsinSS)(cossin)(cossin)(sin1)(sin1)sinsin()(cossin)(cossin)(sin1)(sin1)sinsin(sinsin12211122222112122111112222222122111212211221SSSSSSSSSSSSSSFSS0)(cossin)(cossin)(sin1)(sin1)sinsin(122111222221121221SSSSSS4 4 测量平差的数学模型测量平差的数学模型v数学模型包括：数学模型包括：函数模型函数模型和和随机模型随机模型。一、随机模型一、随机模型是描述观测值的先验精度及其相关性的特征。是描述观测值
22、的先验精度及其相关性的特征。通常用观测值的方差通常用观测值的方差-协方差阵来表示。协方差阵来表示。即即：12020PQD二、数学模型二、数学模型条件平差的数学模型：条件平差的数学模型：间接平差的数学模型：间接平差的数学模型：1202000PQDALA随机模型：函数模型：12020PQDdXBL随机模型：函数模型：间接平差：间接平差：条件平差：条件平差：000,0ALALLAWWALA其中：00LBXdLLXXxBxllLBXd 其中：dBXLllxBVxXXVLLdXBL00,其中，000,0AALWWAVVLLALA其中，附有参数的条件平差附有参数的条件平差附有条件的间接平差附有条件的间接平差000ABXALWWxBAV其中，000),(0CCXWdBXLlWxClxBVxx其中，00AXBLA1,1,01,1,1,1,0ssuusnttnnCXCdXBL1 1、测量平差的数学模型测量平差的数学模型 包括：函数模型、随机模型。包括：函数模型、随机模型。2 2、非线性函数模型的线性化非线性函数模型的线性化 按泰勒公式展开，取至一次项。按泰勒公式展开，取至一次项。
