1、第九章第九章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统1目录离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析9-4离散时间信号的时域表示离散时间信号的时域表示9-1序列的基本运算与典型序列序列的基本运算与典型序列9-2离散时间系统及其数学模型离散时间系统及其数学模型9-3用离散卷积求零状态响应用离散卷积求零状态响应9-52离散时间系统离散时间系统z域分析域分析9-9z变换的性质变换的性质9-7逆逆z变换变换9-83z变换变换9-6离散时间系统分析于连续时间系统分析有很多类似之处：离散时间系统分析于连续时间系统分析有很多类似之处：连续时间系统的数学模型是微分方程，离散系统的数学模型是连续时间系统的数学模
2、型是微分方程，离散系统的数学模型是差分方程差分方程，因此均可用时域分析和变换域分析法进行求解；，因此均可用时域分析和变换域分析法进行求解；连续系统中可用卷积积分求解系统的零状态响应，而离散系统连续系统中可用卷积积分求解系统的零状态响应，而离散系统则用卷积和；则用卷积和；所以，离散系统分析将采取与连续系统分析类比的方法进所以，离散系统分析将采取与连续系统分析类比的方法进行，以便于读者掌握，不过，更应该注意它们之间的差异行，以便于读者掌握，不过，更应该注意它们之间的差异。4数字信号的特点数字信号的特点数字信号的特点：数字信号的特点：（1）抗干扰能力强、无噪声积累。）抗干扰能力强、无噪声积累。（2）
3、便于加密处理。）便于加密处理。（3）便于存储、处理和交换。）便于存储、处理和交换。（4）设备便于集成化、微型化。）设备便于集成化、微型化。（5）便于构成综合数字网和综合业务数字网。）便于构成综合数字网和综合业务数字网。数字通信具有很多优点，所以各国都在积极发展数字通信数字通信具有很多优点，所以各国都在积极发展数字通信。近年来数字通信正朝着高速化、智能化、宽带化和综合。近年来数字通信正朝着高速化、智能化、宽带化和综合化方向迈进。化方向迈进。5数字信号的缺点数字信号的缺点 占用频带较宽。占用频带较宽。技术要求复杂，尤其是同步技术要求精度很高。技术要求复杂，尤其是同步技术要求精度很高。进行模进行模/
4、数转换时会带来量化误差。数转换时会带来量化误差。6信号数字化过程信号数字化过程信号的数字化需要三个步骤：抽样、量化和编码。信号的数字化需要三个步骤：抽样、量化和编码。7 0,1,2,x tx nTTx nn 等等间间隔隔脉冲编码调制脉冲编码调制 脉冲编码调制（脉冲编码调制（pulse-code modulation;PCM）对信号进行抽样和量化时，将所得的量化值序列进行编码，变对信号进行抽样和量化时，将所得的量化值序列进行编码，变换为数字信号的调制过程。换为数字信号的调制过程。PCM的优点就是音质好，缺点就是体积大。的优点就是音质好，缺点就是体积大。PCM可以提供用户从可以提供用户从2M到到1
5、55M速率的数字数据专线业务，也速率的数字数据专线业务，也可以提供话音、图象传送、远程教学等其他业务。可以提供话音、图象传送、远程教学等其他业务。8PCM是将原始信号“调制”(编码)到二元脉冲序列的码元组合上，而抽样的幅度调制实际上是为后面的编码调制铺路的，因此，整个抽样、量化和编码过程统称为脉冲编码调制。历史：历史：PCM的概念最早是由法国工程师的概念最早是由法国工程师Alce Reeres于于1937年提出来的年提出来的。1946年第一台年第一台PCM数字电话终端机在美国数字电话终端机在美国Bell实验室问世。实验室问世。1962年后，采用晶体管的年后，采用晶体管的PCM终端机大量应用于市
6、话网中，使终端机大量应用于市话网中，使市话电缆传输的路数扩大了二三十倍。市话电缆传输的路数扩大了二三十倍。20世纪世纪70年代后期，随着超大规模集成电路年代后期，随着超大规模集成电路PCM芯片的出现，芯片的出现，PCM在光纤通信、数字微波通信和卫星通信中得到了更为广泛在光纤通信、数字微波通信和卫星通信中得到了更为广泛的应用。的应用。9抽样抽样所谓抽样就是不断地以固定的时间间隔采集模拟信号当时所谓抽样就是不断地以固定的时间间隔采集模拟信号当时的瞬时值。的瞬时值。10t00tt0f(t)y(t)k(t)11v(t)是待抽样的模拟电压信号，抽样后的离散信号k(t)的取值分别为k(0)=0.2，k(T
7、s)=0.4，k(2Ts)=1.8，k(3Ts)=2.8，k(4Ts)=3.6，k(5Ts)=5.1，k(6Ts)=6.0，k(7Ts)=5.7，k(8Ts)=3.9，k(9Ts)=2.0，k(10Ts)=1.2。与抑制载波的双边带调幅相比，其主要差别在于载波不是与抑制载波的双边带调幅相比，其主要差别在于载波不是正弦型信号而是窄脉冲序列正弦型信号而是窄脉冲序列(冲激序列冲激序列)。另外，另外，PCM的输出信号是的输出信号是“0”和和“1”组成的脉冲序列，从组成的脉冲序列，从信息传输的角度上看，该序列的作用相当于模拟调制中的信息传输的角度上看，该序列的作用相当于模拟调制中的载波，但原始信号载波，
8、但原始信号(调制信号调制信号)不是通过脉冲序列的幅度或不是通过脉冲序列的幅度或宽度等参量表示，而是利用宽度等参量表示，而是利用“0”和和“1”码元的不同组合携码元的不同组合携带信息带信息(即所谓的编码即所谓的编码)。也就是说，也就是说，PCM是将原始信号是将原始信号“调制调制”(编码编码)到二元脉冲到二元脉冲序列的码元组合上，而抽样的幅度调制实际上是为后面的序列的码元组合上，而抽样的幅度调制实际上是为后面的编码调制铺路的，因此，编码调制铺路的，因此，整个抽样、量化和编码过程统称整个抽样、量化和编码过程统称为脉冲编码调制为脉冲编码调制。12量化量化 13量化就是把一个连续函数的无限个数值的集合映
9、射为一个离散函数的有限个数值的集合。通常采用“四舍五入”的原则进行数值量化。量化的三个要素：第一个是量化值确定的量化后的取值叫量化值（有的书籍也称量化电平），比如上图中的量化值就是0、1、2、3、4、5、6七个。第二个是量化值的个数称为量化级。第三个是量化间隔相邻两个量化值之差就是量化间隔（也称量化台阶）。量化噪声量化噪声存在于收、发信号之间的误差是由量化造成的，我们称其存在于收、发信号之间的误差是由量化造成的，我们称其为量化误差或量化噪声。为量化误差或量化噪声。上例中，量化间隔为上例中，量化间隔为1，由于采用，由于采用“四舍五入四舍五入”进行量化，因此进行量化，因此量化噪声的最大值是量化噪声
10、的最大值是0.5。显然量化噪声与量化间隔成反比。显然量化噪声与量化间隔成反比。14均匀量化均匀量化 均匀量化采用相等的量化间隔对采样得到信号作量化。均匀量化采用相等的量化间隔对采样得到信号作量化。若对于某信号若对于某信号.将抽样的幅度均匀分成将抽样的幅度均匀分成256份份.用。用。255来表来表T.若若转换为八进制数则为转换为八进制数则为00000000-11111111 0均匀量化的小信号的信噪比小。均匀量化的小信号的信噪比小。15存在的问题存在的问题尽管信号幅值大（大信号）和信号幅值小（小信号）时的绝对量化噪尽管信号幅值大（大信号）和信号幅值小（小信号）时的绝对量化噪声是一样的，都是声是一
11、样的，都是0.5个量化间隔，但相对误差却悬殊很大。个量化间隔，但相对误差却悬殊很大。比如上例中，信号最大值为比如上例中，信号最大值为6，绝对量化噪声为，绝对量化噪声为0.5，而相对误，而相对误差为差为0.5/6=1/12，即量化误差是量化值的，即量化误差是量化值的1/12；而当信号为而当信号为1时，绝对量化噪声仍为时，绝对量化噪声仍为0.5，但相对误差却为，但相对误差却为0.5/1=1/2，量化误差达到量化值的一半。，量化误差达到量化值的一半。16k(0)=0.2，k(6Ts)=6.0，非均匀量化非均匀量化非均匀量化：非均匀量化：既提高了小信号的信噪比，又不过多地增加量化级既提高了小信号的信噪
12、比，又不过多地增加量化级 所谓非均匀量化就是对信号的不同部分用不同的量化间隔，具所谓非均匀量化就是对信号的不同部分用不同的量化间隔，具体地说，就是对小信号部分采用较小的量化间隔，而对大信号体地说，就是对小信号部分采用较小的量化间隔，而对大信号部分就用较大的量化间隔。部分就用较大的量化间隔。实现这种思路的一种方法就是压缩与扩张法。实现这种思路的一种方法就是压缩与扩张法。非均匀量化特性通常是把信号通过一个非线性的设备，小信号幅度非均匀量化特性通常是把信号通过一个非线性的设备，小信号幅度进行放大，大信号幅度进行压缩，再通过均匀量化实现。进行放大，大信号幅度进行压缩，再通过均匀量化实现。1718543
13、210输出压缩曲线线性变换输入ABAB543210输出扩张曲线输入ABAB(a)压缩器输入输出示意图(b)扩张器输入输出示意图tttt压缩特性通常采用对数压缩特性，也就是压缩器的输出与压缩特性通常采用对数压缩特性，也就是压缩器的输出与输入之间近似呈对数关系。输入之间近似呈对数关系。而对数压缩特性又有而对数压缩特性又有A律和律和律之分。律之分。A律特性输出律特性输出y与输入信号与输入信号x之间满足下式：之间满足下式：191,01ln1ln1,11lnAxxxAyAxxAA A为压缩系数，表示压缩程度。A律律13折线折线 A律律13折线的方法是将折线的方法是将y轴轴01均匀地分成均匀地分成8段。在
14、段。在x轴上轴上.采用对采用对折法把折法把01之间的线段分为之间的线段分为8个不均匀段个不均匀段.各段分界点为各段分界点为1/128、1/62、1/32、1/16、1/8、1/4、1/2、1;然后从原点出发，把各段对应的分界点然后从原点出发，把各段对应的分界点(x，y）连接成折线。）连接成折线。20折线正负方向各8段，共16段。但是。由于正负方向的前两段斜率相同.可以视为一条直故称为13折线。1.07/86/85/84/83/82/81/801/81/161/41/21.01/641/321/128yx0.2 律律15折线折线 律特性输出律特性输出y与输入信号与输入信号x之间满足下式：之间满足
15、下式：21ln(1),01ln(1)xyx由于正负方向的第一段段斜率相同，可以视为一条直线.故称为15折线。律最早由美国提出，律最早由美国提出，A律则是欧洲的发明，它们都是律则是欧洲的发明，它们都是CCITT（国际电报电话咨询委员会）允许的标准。目前，（国际电报电话咨询委员会）允许的标准。目前，欧洲主要采用欧洲主要采用A律，北美及日本采用律，北美及日本采用律，我国采用律，我国采用A律压律压缩方式。缩方式。22编码编码原始信号经过抽样、量化，得到的只是一系列量化值原始信号经过抽样、量化，得到的只是一系列量化值.还不还不是数字信号。必须将这些量化值转化成数字编码脉冲之后是数字信号。必须将这些量化值
16、转化成数字编码脉冲之后.才完成了这个模才完成了这个模/数转换过程。数转换过程。将量化值转换为数字编码脉冲的过程称为编码将量化值转换为数字编码脉冲的过程称为编码。最简单的编码方式是二进制自然码最简单的编码方式是二进制自然码(NBC）。即用）。即用n比特比特二进制码来表示已经量化了的样值。二进制码来表示已经量化了的样值。23目前常用的编码码型有自然二进制码目前常用的编码码型有自然二进制码(NBC,Natural Binary Code）、折叠二进制码）、折叠二进制码(FBC，Folded Binary Code）和格）和格雷二进制码雷二进制码(RBC,Grayor Reflected Binary
17、 Code）三种。）三种。PCM用折叠码进行编码。用折叠码进行编码。2425 自然二进制码自然二进制码就是我们熟悉的十进制正整数的二进制表示就是我们熟悉的十进制正整数的二进制表示。折叠码折叠码的最高位（最左边的位）是符号位，的最高位（最左边的位）是符号位，“1”表示正数，表示正数，“0”表示负数，其余的位表示数的绝对值大小表示负数，其余的位表示数的绝对值大小。格雷码格雷码的特点是对任何相邻的码组，仅有一位发生了变化的特点是对任何相邻的码组，仅有一位发生了变化。格雷码由自然二进制码演变而来。法则是保留自然二进制码的格雷码由自然二进制码演变而来。法则是保留自然二进制码的最高位作为格雷码的最高位。而
18、其余各位是由自然二进制对应最高位作为格雷码的最高位。而其余各位是由自然二进制对应位与自然二进制码对应位左侧的前一位进行异或而得到。位与自然二进制码对应位左侧的前一位进行异或而得到。269-1 离散时间信号的时域表示离散时间信号的时域表示27对于离散时间序列对于离散时间序列 除了用函数和图形表示以外，也常用样除了用函数和图形表示以外，也常用样值的集合来表示，值的集合来表示，00 9 0 8 0 3 0 1数数字字序序列列 如如.,.,.,.n 离离散散信信号号有有规规则则的的，可可以以用用函函数数表表示示:x n:线线段段的的长长短短表表示示各各序序列列波波形形表表示示值值的的大大小小 为了标注
19、在序列为了标注在序列 的位置，的位置，一般在一般在 n=0下方标注一个小下方标注一个小箭头，如果未标注箭头，则缺省认为序列左起第一个值为箭头，如果未标注箭头，则缺省认为序列左起第一个值为序列在序列在 n=0处的值处的值。9-2 序列的基本运算与典型序列序列的基本运算与典型序列281 1相加：相加：用同序号的值对应相加后构成新的序列。用同序号的值对应相加后构成新的序列。2 2相乘：相乘：同序号的数值对应相乘同序号的数值对应相乘()()()z nx ny n()()()z nx ny n()()()()z nx nmz nx nm右右移移位位左左移移位位3 3移位：移位：9-2-1 离散信号的运算
20、离散信号的运算29()(2)(2)x nx nx n已已知知如如图图所所示示，请请画画出出和和的的图图形形。【例题例题9-3】4、标度变换、标度变换30 ,nx nx anx nxa或或()()在在压压缩缩时时，由由于于 只只能能取取整整数数，所所以以需需要要去去除除中中某某些些点点。而而在在扩扩展展时时，则则需需将将补补足足零零值值。nx nx n【例题9-4】()0,1,2,4,5,7(2)已已知知，求求和和的的波波形形。nx nxnxa解解：315 序列的能量运算序列的能量运算2()nEx n6 差分运算差分运算：()x n信信号号的的能能量量()(1)()()()(1)x nx nx
21、nx nx nx n前前向向差差分分：后后向向差差分分：327 离散信号的功率离散信号的功率21|()|21limNNnNPx nNP 如如果果，则则信信号号为为功功率率信信号号。9-2-2 典型的离散序列典型的离散序列1 1单位样值信号单位样值信号330,0()1,0nnn时移性时移性0,()1,nKnKnK单位样值序列单位样值序列 延迟的单位样值序列延迟的单位样值序列()()nnK和和统统称称为为，利利用用序序列列可可以以定定义义为为任任何何离离散散信信号号。不是面积不是面积取有限值取有限值在在，幅度为，幅度为表示，表示，强度强度用面积用面积0)(;0 )(nntt 例如右图所示的离散信号
22、的图形，可以例如右图所示的离散信号的图形，可以表示为：表示为：34()2(2)(1)3()2(1)(2)x nnnnnn或者，写成或者，写成()(2)(2)(1)(1)(0)()(1)(1)(2)(2)x nxnxnxnxnxn()x n因因此此，可可以以得得到到任任意意信信号号的的一一般般形形式式()()()kx nx knk352 单位阶跃序列单位阶跃序列10()00nnnnO()n111230()()(1)(2)(3)()knnnnnnk()()(1)nnn():n可可以以看看作作是是无无数数个个单单位位样样值值之之和和()()nn与与是是差差和和关关系系，不不再再是是微微分分和和积积分
23、分的的关关系系。单边指数序列：单边指数序列：36()()nx nan 9-3 离散时间系统及其数学模型离散时间系统及其数学模型离散时间系统的功能是对给定的输入序列进行处理，得到离散时间系统的功能是对给定的输入序列进行处理，得到输出序列。输出序列。许多应用都采用单输入单输出的离散时间系统。如图所示许多应用都采用单输入单输出的离散时间系统。如图所示37实际的离散系统处理的信号一般都是数字信号，并且通实际的离散系统处理的信号一般都是数字信号，并且通过离散系统处理后的信号也是数字信号，所以通常离散过离散系统处理后的信号也是数字信号，所以通常离散时间系统通常也称为数字滤波器。时间系统通常也称为数字滤波器
24、。9-3-2 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型而对于离散系统来说，信号的变量是离散的整数，因此，而对于离散系统来说，信号的变量是离散的整数，因此，系统的行为需用差分方程式来表示。系统的行为需用差分方程式来表示。【例题例题9-8】38()如如果果在在第第 个个月月初初向向银银行行存存款款元元，月月息息为为。nx na()每每月月的的利利息息不不取取出出，则则第第 月月的的本本利利可可以以用用下下面面的的差差分分方方程程表表示示ny n()()(1)(1)y nx ny ny n整理后，为：整理后，为：()(1)(1)()y ny nx n39()(),(1),()此此离离散散系系统统
25、的的方方程程是是离离散散变变量量的的输输入入序序列列和和后后差差分分项项的的线线性性组组合合。x ny ny ny nN一个离散系统的后差式差分方程的通式为：一个离散系统的后差式差分方程的通式为：101()(1)()()(1)()NMy na y na y nNb x nb x nb x nM简写为：简写为：00NMkrkra y nkb x nr称为称为N阶、常系数、线性非齐次差分方程。差分方程的阶阶、常系数、线性非齐次差分方程。差分方程的阶数是指差分方程中输出序列的最高和最低序号差数为阶数。数是指差分方程中输出序列的最高和最低序号差数为阶数。【例题例题9-9】40()表表示示一一个个国国家
26、家在在第第 年年的的人人口口数数，出出生生为为，y nna()x nn1死死亡亡率率为为，国国外外移移民民的的净净增增数数为为，则则求求该该国国在在第第年年的的人人口口总总数数。解：解：(1)()()()()y ny ny ny nx n整理后得到标准的差分方程为：整理后得到标准的差分方程为：(1)(1)()()y ny nx n这是前差式差分方程。从前差式差分方程右移这是前差式差分方程。从前差式差分方程右移N位来得位来得到后差式差分方程。到后差式差分方程。()(1)(1)(1)y ny nx n【例题例题9-10】设设41()x nn表表示示某某产产品品第第 天天的的实实际际价价格格，求求该
27、该产产()niy n品品第第 天天 天天滑滑动动平平均均价价格格。解：解：()niy n为为了了求求该该产产品品第第 天天 天天滑滑动动平平均均价价格格，常常采采用用滑动平均数的方法，比如采用五天滑动平均，则有滑动平均数的方法，比如采用五天滑动平均，则有401()(),5,6,5iy nx nin标量乘法器标量乘法器42延时器延时器单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离散值顶出来，递补。单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离散值顶出来，递补。【例题例题7-1】如图框图，写出差分方程如图框图，写出差分方程43解：解：1y nx nay n1y n一阶后向差分方程一阶后向差分方程 1y nay
28、 nx n1y n 1y nx nay n 1y nay nx n一阶前向差分方程一阶前向差分方程44【例题例题7-2】设某系统的输入输出方程为设某系统的输入输出方程为()4(1)3(2)(1)2(2)y ny ny nf nf n解：首先考虑当解：首先考虑当 单独作用的时候单独作用的时候()f n()()f nq n()4(1)3(2)()q nqy nq nf n满足以下方程满足以下方程(1)q n()q n()()4(1)3(2)q nf nq nq n(2)q n45()()f nq n(1)(1)f nq n()4(1)3(2)(1)2(2)y ny ny nf nf n2(2)2(
29、2)f nq n(1)q n(2)q n()q n9-4 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析常系数线性差分方程的求解，一般有以下几种方法：常系数线性差分方程的求解，一般有以下几种方法：（1）迭代法）迭代法（2）经典法）经典法（3）零输入响应和零状态响应）零输入响应和零状态响应（4）Z变换域分析法变换域分析法46（1）迭代法）迭代法由已知的边界条件，逐次代入求解。该方法概念清楚，方由已知的边界条件，逐次代入求解。该方法概念清楚，方法简单。但是只能得到离散的数值解，较难整理解析式的法简单。但是只能得到离散的数值解，较难整理解析式的解答。解答。（2）经典法）经典法经典法就是直接求解差分方程
30、。与连续系统求解微分方程经典法就是直接求解差分方程。与连续系统求解微分方程类似，即差分方程的全解等于非齐次特解与齐次通解之和类似，即差分方程的全解等于非齐次特解与齐次通解之和。但求解过程繁琐，特别是当输入信号较复杂时，一般不。但求解过程繁琐，特别是当输入信号较复杂时，一般不宜采用。宜采用。47（3）零输入响应和零状态响应）零输入响应和零状态响应根据系统的初始状态和激励情况分别求出零输入响应和零根据系统的初始状态和激励情况分别求出零输入响应和零状态响应。零输入响应与齐次差分方程的解的形式相同。状态响应。零输入响应与齐次差分方程的解的形式相同。零状态响应可以利用离散卷积（卷积和）求出。这时离散零状
31、态响应可以利用离散卷积（卷积和）求出。这时离散系统分析中的一个很重要的内容。系统分析中的一个很重要的内容。（4）Z变换域分析法变换域分析法它是利用它是利用Z变换解差分方程。与用拉氏变换求解微分方程变换解差分方程。与用拉氏变换求解微分方程类似。方法简便有效。类似。方法简便有效。481、迭代法、迭代法【例题例题9-10】49()3(1)()10()y ny nnyy n，且，求出。解：解：由已知由已知(1)0y 003111nyy 113014nyy 2231113nyy 3332140nyy 由递推关系得出序列由递推关系得出序列 01,4,13,40,ny n2、经典解法、经典解法差分方程的一般
32、形式为：差分方程的一般形式为：50101()(1)()()(1)()NMy na y na y nNb x nb x nb x nM()()hpynyn其其全全解解由由两两部部分分组组成成，即即齐齐次次解解和和特特解解()()()hpy ny nyn():hyn求求齐齐次次解解就就是是求求齐齐次次方方程程的的解解1()(1)()0Ny na y na y nN先分析最简单的一阶齐次差分方程的情况，如先分析最简单的一阶齐次差分方程的情况，如 10y nay n511,2,yyyN起起始始状状态态不不能能为为零零 ,说说明明是是一一个个公公比比为为的的几几何何级级数数所所以以y na 0110,1
33、01 yyy nyayyy n()ny nCa其中其中C是待定系数，由边界条件决定。是待定系数，由边界条件决定。因此，对于因此，对于N阶差分方程，它的特征方程可写为：阶差分方程，它的特征方程可写为：5212110NNNNaaaN(1,2,3,)它它有有 个个特特征征根根kkN根据特征根的不同取值，差分方程齐次解的形式也有不同根据特征根的不同取值，差分方程齐次解的形式也有不同的形式。的形式。12(1)(1)若若特特征征根根都都不不同同，且且为为单单根根的的情情况况下下：N齐次解的形式为：齐次解的形式为：1122nnnNNy nCCC53(2)(2)若特征根中有若特征根中有k重根重根 121121
34、1122nnnnkkkky nCnCnC nC()()pynf n特特解解的的函函数数形形式式与与输输入入信信号号的的函函数数形形式式有有关关。1()()表表 列列出出了了几几种种典典型型的的输输入入所所对对应应的的特特解解pf nyn选定特解后代入原差分方程，利用等式系数平衡法求出选定特解后代入原差分方程，利用等式系数平衡法求出其待定系数，便得到了差分方程的特解。其待定系数，便得到了差分方程的特解。54输入信号输入信号()特特解解pynA(常数常数)0B nx nr ny nC rr 12nny nC n rCrr kx nn 1110kkkky nA nAnAnA cosx nnsinn
35、cos()y nAn（当（当 不等于特征根时不等于特征根时）（当（当 为特征单根时）为特征单根时）或或全解的形式为：全解的形式为：55 1()niipiy nCyn求求出出齐齐次次解解中中的的系系数数iC对于对于N阶差分方程，用阶差分方程，用N个初始条件个初始条件(值值)(0)(1)(1)yyy N，【例题例题9-11】56()2(1)5()10()y ny nnyy n，且，求出。解：解：特征方程特征方程齐次解齐次解特征根特征根20r2 r 12nhynC特解特解 50 5 x nnn时时全全为为（常常数数）pynC25(0)CCn53C代入原方程求特解代入原方程求特解57全解形式：全解形式
36、：1523nhpy nynynC 452033ny nn143C 15033yC 1523代代入入解解，得得ny nC0 (0)52(1)3nyy11由由迭迭代代出出y与连续响应系统类似，离散响应的齐次解表示系统本身的与连续响应系统类似，离散响应的齐次解表示系统本身的特点，称为自由响应分量，而特解与输入有关，称为强迫特点，称为自由响应分量，而特解与输入有关，称为强迫响应分量。响应分量。3、零输入零状态法零输入零状态法u 零输入响应是指当输入为零，仅由系统的初始状态引起零输入响应是指当输入为零，仅由系统的初始状态引起的响应分量，记作的响应分量，记作 。u 零状态响应是指，当系统的初始状态为零，仅
37、由输入零状态响应是指，当系统的初始状态为零，仅由输入 引起的响应分量，记作引起的响应分量，记作 。u 系统的全响应为：系统的全响应为：58()ziyn()f n()zsyn()()()zizsy nynyn求解零输入响应求解零输入响应 根据零输入响应的定义（输入为零），所以零输入响根据零输入响应的定义（输入为零），所以零输入响应满足齐次方程，具有齐次解的形式应满足齐次方程，具有齐次解的形式 1()NnzikkkynCr59(1)(2)()需需用用初初始始状状态态，来来确确定定待待定定系系数数。yyyN 根据零状态响应的定义，它是输入引起的响应。所以根据零状态响应的定义，它是输入引起的响应。所以
38、零状态响应满足非齐次方程，它的通解形式与全响应的通零状态响应满足非齐次方程，它的通解形式与全响应的通解形式类似，解形式类似，求解零状态响应求解零状态响应 1()nzsiipiynCyn它与系统全响应不同的是，它的初始状态为零。它与系统全响应不同的是，它的初始状态为零。(1)(2)()0yyyN通常采用离散卷积求零状态响应，它是系统分析中的一个通常采用离散卷积求零状态响应，它是系统分析中的一个重要内容。重要内容。9-5 用离散卷积求零状态响应用离散卷积求零状态响应60 在在激激励励作作用用下下，系系统统的的零零状状态态响响应应为为单单位位样样值值响响应应，表表示示为为nh n n在在激激励励作作
39、用用下下，系系统统的的零零状状态态响响应应为为单单位位阶阶跃跃响响应应。9-5-1 单位样值响应单位样值响应【例题例题9-13】已知一个已知一个LTI离散时间系统的激励与响应的离散时间系统的激励与响应的关系是关系是61 3122y ny ny nx n试确定该系统的单位样值响应试确定该系统的单位样值响应()h n解：解：3122h nh nh nn 031220当当时时，方方程程变变为为齐齐次次方方程程。nh nh nh n 激激励励作作用用下下n(1)(2)0rr121,2rr特征根特征根 特征方程特征方程6212()(2)()nh nCCn因为单位样值响应是零状态响应因为单位样值响应是零状
40、态响应120hh 0312201hhh 130213hhh1211CC，12()(2)()nh nCCn代代入入，得得()(12)()nh nn 0,1hh可可叠叠代代出出()0h nn对于求，边界条件中至少有一项是 的。9-5-2离散系统的卷积和离散系统的卷积和631 输入与输出关系输入与输出关系对于离散信号来说，很容易把一个离散信号用单位样值序对于离散信号来说，很容易把一个离散信号用单位样值序列来表示。列来表示。()可可表表示示为为x n()(2)(2)(1)(1)(0)()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)x nxnxnxnxnxnxnxn64 :任任意意序序列列表表示示为
41、为的的加加权权移移位位之之线线性性组组合合x nn 11011 x nxnxnxnx mnm mx mnm65 x nh n时不变时不变均匀性均匀性可加性可加性输出输出nmh nm x mnmx m h nm ()mx nx mnm my nx m h nm x nx m系系统统对对的的响响应应每每一一样样值值产产生生的的响响应应之之和和，在在各各处处由由加加权权。()y nx nh n零零状状态态响响应应。9-5-4 用单位样值响应表示的因果性条件与稳定条件用单位样值响应表示的因果性条件与稳定条件1.因果特性因果特性 如果该如果该LTI离散时间系统是因果的，则条件是离散时间系统是因果的，则条
42、件是66()00h nnLTI离散时间系统是因果系统。离散时间系统是因果系统。2.系统稳定的条件系统稳定的条件()nSh n 9-5-4 用单位样值响应表示的因果性条件与稳定条件用单位样值响应表示的因果性条件与稳定条件1.因果特性因果特性 如果该如果该LTI离散时间系统是因果的，则条件是离散时间系统是因果的，则条件是67()00h nnLTI离散时间系统是因果系统。离散时间系统是因果系统。2.系统稳定的条件系统稳定的条件()nSh n 9-6 z变换的历史变换的历史 求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可是追溯到变换的历史可是追溯到18世
43、纪；世纪；20世纪世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了和实践，推动了z变换的发展；变换的发展；70年代引入大学课程；年代引入大学课程；今后主要应用于今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问分析与设计，如语音信号处理等问题。题。689-6 z变换引出变换引出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换69()()()sTx tx tt()()()()nnx ttnTx nTtnT对对 取拉氏变换取拉氏变换70()sx t()()()()ssnXsx tx nTtnT LLLL ()()()esnTs
44、nnXsx nTtnTx nT L L sj其中其中引入复变量引入复变量 为连续变量为连续变量esTz Tx nTx n令=1，将表示为e()|()()sTnsznXsx n zX z()对对任任一一信信号号的的（双双边边）变变换换式式为为x nz()()nnX zx n zz变换定义变换定义71z变换的定义变换的定义()z()x nX对对于于给给定定的的序序列列，其其 变变换换定定义义为为z()()()nnx nXx nzzZRe()Im()是是一一个个连连续续的的复复变变量量。jzzz0()(),单单边边 变变换换nnX zx n zz()z()x nX如如果果序序列列是是因因果果序序列列
45、，则则 变变换换定定义义为为z72z21012()()(2)(1)(0)(1)(2)()nnnXx nxxxxxx nzzzzzzzz变换展开变换展开1可可以以看看出出，序序列列的的 变变换换是是复复变变量量的的幂幂级级数数。zz因此，对于给定的序列，使因此，对于给定的序列，使 变换收敛的所有变换收敛的所有 集合集合称为收敛域（称为收敛域（ROC）。）。zz即满足即满足()nnx n z()x n序序列列的的 变变换换才才有有意意义义。z2、z变换的收敛域变换的收敛域73它它是是序序列列的的 变变换换存存在在的的充充要要条条件件。因因此此把把上上式式收收敛敛的的所所有有 的的取取值值范范围围称
46、称为为的的收收敛敛域域。zz()x n相相同同的的 变变换换，由由于于收收敛敛域域不不同同，可可能能对对应应于于不不同同的的z（参见后面的例题（参见后面的例题9-17和例题和例题9-18），故在确定），故在确定 变换变换时，必须指明收敛域，若不指明，则序列和时，必须指明收敛域，若不指明，则序列和 变换之间变换之间就没有唯一对应关系。就没有唯一对应关系。zz3、典型序列的、典型序列的z变换变换74()1n()1znz Re zIm jzo()nzanza ()azRe zIm jzo1【例题例题9-16】求单位阶跃序列求单位阶跃序列7510()00nnn12311111()11111nnX zz
47、zzzzzzz解：解：以及它的收敛域。以及它的收敛域。()X的的z()1X其其收收敛敛域域为为半半径径为为 的的圆圆外外区区域域。z111只只有有当当，即即时时，级级数数收收敛敛。zzRe zIm jzo1 即：即：()1znz (1)z76【例题例题9-17】求因果序列求因果序列解：解：()Xa其其收收敛敛域域为为半半径径为为 的的圆圆外外区区域域。z1只只有有当当，即即时时，级级数数收收敛敛。aazz()()()的的以以及及它它的的收收敛敛域域。nx nanXz0()()nnnnnnXanazzz10()nnaz11()1zXzazzRe zIm jzo 0()nnaz()nzanza 即
48、：即：()azZ 变换的性质变换的性质右移位性质右移位性质77()()()()()设设是是双双边边序序列列，其其单单边边 变变换换为为，也也就就是是x nnx nXXzzzZ其右移位性质其右移位性质1()()()()mkkmx nmnXx kzzzZ 111 x nXxzzZ 21212 x nXxxzzzZ12nn当当和和时时，则则右右移移位位性性质质为为：78()0()0)x nnx n若若当当本本身身是是因因果果信信号号(，()()()mx nmnX zzZ【例题例题9-21】：求：求(1)的的 变变换换nz111(1)()11nnzzzzzZZ解：解：根据根据 变换的右移位性质，我们可
49、以把离散系统的后变换的右移位性质，我们可以把离散系统的后差式差分方程变换成差式差分方程变换成 域的代数方程。域的代数方程。zz(1)(2)()yyyN且且，是是系系统统的的初初始始状状态态，我我们们可可以以很很方方便便的的求求出出系系统统的的全全响响应应。时域卷积定理时域卷积定理79 1212 ()()()()*()()()xxhhx nh nXHXx nRRHh nRR 已已知知则则zzzzzzZZZ1122max(,)min(,)xhxhRRzRR收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分即即9-8 逆逆 z变换变换在这里我们主要介绍部分分式法。在这里我们主要
50、介绍部分分式法。1.部分分式法部分分式法801212()()()()()()()()nmzzzQPpppzzzzzzzz()Xnm如如果果是是关关于于 的的有有理理分分式式，且且，将将其其分分解解为为zz210121210121()()()mmmmnnnnbb zb zbzb zQXPaa za zaza zzzz()()XXn求求逆逆 变变换换与与拉拉氏氏反反变变换换类类似似，根根据据的的极极点点，利利用用部部分分方方式式法法将将成成 个个分分式式之之和和。zzz81()()()()通通常常需需要要先先做做处处理理，然然后后对对进进行行部部分分分分式式展展开开，由由于于 变变换换的的基基本本
