1、第一章第一章线性空间和线性映射线性空间和线性映射本章知识要点本章知识要点v线性空间线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换；v线性空间的分解线性空间的分解：子空间、值域(像空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和；v线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形;v欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。vHibert空间：空间：平方可积
2、空间和平方可和空间。集合集合v集合集合元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）v例：数域是一个集合含有加法例：数域是一个集合含有加法+和乘法和乘法*含有元素含有元素0，满足对任何元素，满足对任何元素a，有，有 a+0=a；含有含有1，满足对任何元素，满足对任何元素a，有，有 a*1=a；任何元素任何元素 a 存在负元素存在负元素 b，满足，满足a+b=0；非零元素非零元素a存在逆元素存在逆元素b，满足，满足a*b=1；对加法和乘法封闭对加法和乘法封闭v常用数域有：有理数域、实数域、复数域常用数域有：有理数域、实数域、复数域映射映射v映射：集合映射：集合S
3、到集合到集合S的一个映射是指一个法则的一个映射是指一个法则(规则规则)f:S S，对，对S中任何元素中任何元素a，都有，都有S中的元素中的元素a与之对应，记为：与之对应，记为：f(a)=a 或或 aa。一般称。一般称a为为a的像，的像，a为为a的原像。的原像。v变换：若变换：若S=S，则称映射为变换。，则称映射为变换。v映射的相等：设有两个映射映射的相等：设有两个映射 f:S S和和 g:S S，若对任，若对任何元素何元素 aS 都有都有 f(a)=g(a)则称则称 f 与与 g 相等。相等。v映射的乘积映射的乘积(复合复合)：若：若 f:S1 S2 和和 g:S 2 S3，则映射的，则映射的
4、乘积乘积 g f 定义为：定义为：g f(a)=g(f(a)。在不至混淆的情况下，简记在不至混淆的情况下，简记 g f 为为 gf 映射的例子映射的例子v例子例子1：设集合：设集合S是数域是数域F上所有阶方阵的集合，则上所有阶方阵的集合，则 f(A)=det(A)为为S到到F的映射的映射。v例例2：设：设S为次数不超过为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运的多项式构成的集合，则求导运算：算：(f(t)=f(t)为为S到到S的变换。的变换。v例例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：为为S S到到S S上的一个变换。上的一个变换。dtetffF
5、tj)()(线性空间的定义线性空间的定义定义：设定义：设 V 是一个非空的集合，是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合是一个数域，在集合 V 中定中定义两种代数运算义两种代数运算,一种是加法运算，用一种是加法运算，用+来表示，另一种是来表示，另一种是数乘运算数乘运算,用用 来表示来表示,并且这两种运算满足下列并且这两种运算满足下列八八条运算律：条运算律：（1）加法交换律：）加法交换律：+=+（2）加法结合律：）加法结合律：(+)+=+(+)（3）零元素：）零元素：在在 V 中存在一个元素中存在一个元素0，使得对于任意的，使得对于任意的V 都有都有+0=（4）对于对于V中的任意元素中的任意元素
6、都存在一个元素都存在一个元素 使得使得：+=0线性空间的定义（续）线性空间的定义（续）（5）数）数1：对：对V，有：，有：1=（6）对）对k,lF,V 有：有：(kl)=k (l)（7）对）对k,lF,V 有：有：(k+l)=k +l（8）对）对kF,V 有：有：k(+)=k +k 称这样的集合称这样的集合 V 为数域为数域 F 上的线性空间。上的线性空间。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。线性空间的例子线性空间的例子例例1：全体实函数集合：全体实函数集合 RR构成实数域构成实数域 R 上的线性空间。上的线性空间。例例2：复数域
7、：复数域 C上的全体上的全体 mn 阶 矩阵构成的集合矩阵构成的集合Cmn 为为 C 上的线性空间。上的线性空间。例例3：实数域：实数域 R 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 n 的多项式集合的多项式集合 Rxn 构成实数域构成实数域 R 上的线性空间。上的线性空间。例例4：全体正的实数：全体正的实数 R+在下面的加法与数乘的定义下构成实数在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：域上的线性空间：对任意对任意 kR,a,bR+kaakabba数乘运算：加法运算：例例5 5：R R表示实数域表示实数域 R 上的全体无限序列组成的的上的全体无限序列组成的的集合。即集合。即线性空间的
8、例子（续）线性空间的例子（续）,3,2,1,|,321iRaaaaRi则则 R 为实数域为实数域 R上的一个线性空间。上的一个线性空间。123123112233123123,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka 在在R中定义加法与数乘：中定义加法与数乘：例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 R上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是：使得对于使得对于 都有都有0,0,N,m nNmnaaR线性空间的例子（续）线性空间的例子（续）例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组
9、成的条件的无限序列组成的子集合构成子集合构成 R 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：级数条件是：级数 收敛收敛R21nna线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质u 基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。向量组的极大线性无关组；向量组的秩。v基本性质：基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量）
10、如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线性表出，那）线性表出，那么向量组（么向量组（I）的秩小于等于向量组（）的秩小于等于向量组（II）的秩；）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。例例1 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函
11、数，其中 为一组互不相同为一组互不相同的实数。的实数。例例2 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同为一组互不相同的实数。的实数。例例3 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组也是线性无关的。也是线性无关的。12,nxxxeee12,n 12,nxxx12,n 1,cos,cos2,cosxxnx例例4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组与函数组与函数组都是线性相关的函数组。都是线性相关的函数组。RRR21,cos,cos2xx2
12、2sin,cos,sin,cos,sin,cos,4.nnxxxxxxn线性空间的基底与维数线性空间的基底与维数u 定义：定义：设设 V 为数域为数域 F上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 V 中存在中存在 n 个线性无关的向量个线性无关的向量 ，使得，使得 V 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性线性表出表出:则称则称 为为 V 的一个基底；的一个基底；为为向量向量 在基底在基底 下的坐标。此时我们称下的坐标。此时我们称 V 为一个为一个 n 维线性空间，记为维线性空间，记为 dimV=n。12,n 12,n 1122nnkkk12,n 12(,)Tnk k
13、k12,n 例例1 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 R3 中向量组中向量组与向量组与向量组 (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)基底的例子基底的例子(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)都是线性空间都是线性空间 R3 的基底，的基底，R3是是3维线性空间。维线性空间。例例2 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。是是4维线性空间。维线性空间。1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 2 2R2 2R基底的例子（续）基底的例子（续）例例 3 实数域实数域 R上的
14、不超过上的不超过n次多项式的全体次多项式的全体Pn中的向中的向量组量组 与向量组与向量组都是都是 Pn 的基底，的基底，Pn的维数为的维数为 n+1。注意：注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为线性空间可以分为有有限维线性空间限维线性空间和和无限维线性空间无限维线性空间。目前，我们主要讨论。目前，我们主要讨论有限维有限维的线性空间的线性空间。21,nx xx21,2,(2),(2)nxxx基底的例子（续）基底的例子（续）例例4 在在4维线性空间维线性
15、空间 中，向量组中，向量组 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。01101111,11110110 1011111 1,0000101 1 1234A2 2R解：设向量解：设向量A在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为于是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 1234(,)Tx x x x设设 （旧的旧的）与）与 新的新的）是是 n 维线性空间维线性空间 V 的两组基底
16、，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为12,n 12,n 11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 1112121222121212,nnnnnnnnaaaaaaaaa 将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 n 阶方阵阶方阵111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵(可逆可逆)，那么上式可以写成，那么上式可以写成1212,nnP 任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有，那
17、么我们有V12,Tnx xx12,Tny yy1122nnxyxyPxy该式被称为该式被称为坐标变换公式坐标变换公式。nnxxx2121,nnyyy2121,nnyyyP2121,于是有：于是有：12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1与向量组与向量组例例1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组2 2R为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的过渡矩的过渡矩阵，并求向量阵，并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式1234A1234,1234,123412
18、3421103331110333,12103331211333向量向量A在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为12347412,3333xxxx利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx定义定义 设设 V 为数域为数域 F上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，W为为V的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称 为为 的一个的一个子空间子空间。例例1 对于任意一个有限维
19、线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有两个两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 ,W,k lFklWVWV 0以及线性空间以及线性空间 本身本身.V线性空间的子空间线性空间的子空间例例2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称其的一个子空间，我们称其为为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。解系；解空间的
20、维数即为基础解系所含向量的个数。例例3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 m nAR0AX nnR0AX 12,s nV121122,sssispankkkkF 构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。的维数即为向量组的维数即为向量组 的秩，的秩，的最大无关组为基底。的最大无关组为基底。例例4 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩阵矩阵集合，全体集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，
21、全体对称对称矩阵集合，全矩阵集合，全体体反对称反对称矩阵集合分别都构成矩阵集合分别都构成 的子空间，的子空间，V12,s 12,s 12,sspan n nRn nR12,s 子空间的交与和子空间的交与和v两个子空间的交两个子空间的交:v两个子空间的和两个子空间的和:v子空间交与和的性质子空间交与和的性质若若V1和和V2都是都是V的子空间，则的子空间，则V1V2和和V1+V2也是也是V的子空的子空间间.V1V2=V2V1，V1+V2=V2+V1(V1V2)V3=V1(V2V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2)两个子空间
22、的两个子空间的直和直和:若若V=V1+V2，且，且V1V2=，则称，则称V为为V1与与V2的直和。的直和。1212:&VVVV 1212:,VVzxy x V y V 线性变换线性变换v定义：设定义：设V是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，T:V V 为为V上的映射，上的映射，则称则称T为线性空间为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对上的一个变换或算子。若变换满足：对任意的任意的k,lFF和和,V V，有，有)()()(TlTklkT则称则称T为线性变换或线性算子。为线性变换或线性算子。线性变换的基本性质：线性变换的基本性质：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3
23、）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。线性变换的例子线性变换的例子v例例1：R2空间上的如下变换空间上的如下变换 为线性变换（该变换还是正交变换）。为线性变换（该变换还是正交变换）。v例例2：设：设Pn为次数不超过为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运的多项式构成的集合，则求导运算：算：(f(t)=f(t)为为Pn到到Pn的线性变换。的线性变换。v例例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：为为V上的线性变换。上的线性变换。dtetffFtj)()(2121cossinsincosxxyy线性变换的
24、值域和核线性变换的值域和核vV上的线性变换上的线性变换T的值域和核定义如下：的值域和核定义如下：R(T)=Tx|xVN(T)=x|Tx=0,xVv定理：线性空间定理：线性空间V的线性变换的线性变换T的值域和核都是的值域和核都是V的线性子的线性子空间，分别称为空间，分别称为T的像空间和核空间。的像空间和核空间。v定义：线性变换定义：线性变换T的像空间维数的像空间维数dimR(T)称为称为T的秩，核空的秩，核空间维数间维数dim(N(T)称为称为T的亏。的亏。v可以证明，若可以证明，若V维数为维数为n，T的秩为的秩为r，则，则T的亏为的亏为n-r。例：实数域例：实数域 R上的不超过上的不超过n次多
25、项式的全体次多项式的全体Pn中为线性空中为线性空间，求导运算的象空间为间，求导运算的象空间为Pn-1，核空间为，核空间为R。线性变换的运算线性变换的运算v零变换零变换T0：T0 x=0v变换的加法：定义变换的加法：定义(T1+T2)x=T1x+T2xv负变换：定义负变换：定义(-T)x=-(Tx)v数乘：定义数乘：定义(kT)x=k(Tx)v定理：定理：V上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。算下构成线性空间。v单位变换单位变换Te：Tex=xv变换的乘法：定义变换的乘法：定义(T1T2)x=T1(T2x)v逆变换：若逆变换：若T
26、为一一对应，则可定义逆变换为一一对应，则可定义逆变换T-1。v定理：定理：V上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱环比数域条件弱)。线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示v以下讨论均假设线性空间为以下讨论均假设线性空间为F上的有限维空间，并以上标表示维数，上的有限维空间，并以上标表示维数，如如Vn、Wm等。等。v设映射设映射T为为Vn上的线性变换，上的线性变换，为空间的基底，则为空间的基底，则 可以用该基底线性表示，即可以用该基底线性表示，即,21n,21nTTTnnnnnnnn
27、nnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111 写成矩阵形式写成矩阵形式nnnnnnnnaaaaaaaaaTTT2122221112112121,v对对Vn中的任意元素中的任意元素x，设，设x和和Tx的基底表示如下的基底表示如下nnxxxx2211 于是有：于是有：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa2121222211121121,nnyyyTx2211nnTxTxTxTx2211nnxxxTTT2121,得到：得到：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaayyy2121222211121121v对对Vn上的线性变换上的线性变换T，在基底，在基底 下可以用矩阵来表示
28、：下可以用矩阵来表示：,21nnnnnnnaaaaaaaaaAT212222111211v定理：设定理：设Vn上的变换上的变换T在基底在基底 下对应的矩阵为下对应的矩阵为A，则，则R(T)=rank(A)N(T)=n-rank(A)（由（由AX=0立即得到）立即得到）v单位变换对应单位矩阵单位变换对应单位矩阵v零变换对应零矩阵零变换对应零矩阵v逆变换对应逆矩阵逆变换对应逆矩阵,21nv设设Vn上的线性变换上的线性变换T在两组基底在两组基底 和和 下对下对应的矩阵分别为应的矩阵分别为A和和B，两个基底之间的过度矩阵为，两个基底之间的过度矩阵为P，即：，即：,21n 于是于是,21nATTTnn,
29、2121BTTTnn,2121Pnn,2121PTTTTTTnn,2121APn,21APPn121,即得即得APPB1v结论：相似矩阵表示相同的线性变换结论：相似矩阵表示相同的线性变换矩阵的运算矩阵的运算v零矩阵（对应零变换）零矩阵（对应零变换）v矩阵加法（对应线性变换的加法）矩阵加法（对应线性变换的加法）v负矩阵（对应负线性变换）负矩阵（对应负线性变换）v数乘（对应线性变换的数乘）数乘（对应线性变换的数乘）v定理：所有定理：所有nm阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。下构成线性空间。v单位阵（对应单位变换）单位阵（对应单位变换）v矩阵的乘
30、法（对应变换的乘法）矩阵的乘法（对应变换的乘法）v逆矩阵（对应逆变换）逆矩阵（对应逆变换）v定理：所有定理：所有n阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环一个环，且是非交换环(环比数域条件弱环比数域条件弱)。定义定义 设设T是数域是数域F上的线性空间上的线性空间V的一个线性变换，如果的一个线性变换，如果对于数域对于数域F中的某个元素中的某个元素0，存在一个非零向量，存在一个非零向量，使得，使得 那么称那么称0为为T的一个的一个特征值特征值，而，而称为称为 T 属于特征值属于特征值0的一的一个个特征向量特征向量。取定取定V的一组基底的一组基
31、底 ，设，设T在这组基下的矩在这组基下的矩阵是阵是A，向量，向量在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是 ，那么，那么我们有我们有线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量0T,21nTnxxxX,21XAXTnn),(),(21021即得即得XAXT00求解特征值与特征向量求解特征值与特征向量v选定线性空间的一个基底，求线性变换选定线性空间的一个基底，求线性变换T在此基在此基底下对应的矩阵底下对应的矩阵A；v求解矩阵求解矩阵A的特征多项式的特征多项式 的所有的所有根；根；v求出矩阵求出矩阵A的每一个特征值对应的特征向量；的每一个特征值对应的特征向量；v以以A的特征向量为坐标求出对应的特
32、征向量。的特征向量为坐标求出对应的特征向量。)det()(AI 例例1 设设V是数域是数域F上的上的3维维线性空间，线性空间，T是是V上的一上的一个线性变换，个线性变换，T在在V的一个基的一个基 下的矩阵是下的矩阵是求求T的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解解：求：求T的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。向量。123,222214241A 所以所以A的特征值是的特征值是 3(二重二重)与与-6。对于特征值对于特征值 3，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：2222214241(3)(6)IA(3)0I
33、A X210,201TT从而从而T的属于的属于 3 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是T属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 k1k20。对于特征值对于特征值-6，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：1122132,2 1 12212,kkk kK(6)0IA X122T从而从而 T 的属于的属于-6 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 T 的属于的属于-6 的全部特征向量的全部特征向量这里这里 k 为数域为数域 F 中任意非零数。中任意非零数。3123223,kkK特征值与特征向量的相关性
34、质特征值与特征向量的相关性质v特征子空间：线性变换特征子空间：线性变换T属于特征值属于特征值0的特征向量生成的子空的特征向量生成的子空间，记为间，记为 ，其中的非零向量为特征向量。，其中的非零向量为特征向量。v属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。vTr(AB)=Tr(BA)（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。v相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。v相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。v矩阵矩阵A是其特征多项式的零点，即设是其特征多项式的零点，即设 ，则则0
35、V)det()(AI oIcAcAcAAnnnn111)(矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形vn阶矩阵阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是A有有n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；v实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似；实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似；v任何复矩阵与一任何复矩阵与一Jordan矩阵相似；矩阵相似；nnnPPPPPPA212121,sJJJAPP211kkkkJ11矩阵可对角化的判定矩阵可对角化的判定v推论：矩阵推论：矩阵A可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是A的特征的特征值的代数重数等于几何重数。值的代数重数
36、等于几何重数。注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根的重数。的重数。几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值k k,对对应的特征子空间为应的特征子空间为的解空间，其维数称为几何维数。的解空间，其维数称为几何维数。0XAIk)(例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？解解：先求出先求出A的特征值的特征值311201112A231121112(1)(2)IA于是于是A的特征值为的特征值为1=1，2=2（代数重数（代数重数=2）。）。由于由于1=1是单的特征值，它一定对应一个
37、线性无关的特是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑征向量。下面我们考虑2=2于是于是 即特征子空间的维数为即特征子空间的维数为1，从而，从而不可以相似对角化不可以相似对角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 x 的多项式的多项式那么我们称那么我们称 为为 A 的的矩阵多项式矩阵多项式。设设 A 为一个为一个 n 阶矩阵，阶矩阵，J 为其为其Jordan标准形，则标准形，则于是有于是有 1110()nnnnf xa xaxa xa1110()nnnnf Aa AaAa Aa In nA
38、C111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP1110()nnnnf Aa AaAa Aa IIaPJPaPJPaPJPannnn01111)()()(10111)(PIaJaJaJaPnnnn1)(PJPf121)(,),(),(PJfJfJfPdiagr我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵矩阵多项式多项式f(J)的的Jordan表示。其中表示。其中1()(1,2,)1iiiiiiiddJir111111()iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc(1)1()()()(1)!()()()()iiidiiiiiii
39、id dfffdff Jff例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵43()21f xxxx308316205A求求 f(A)。解：解：首先求出矩阵首先求出矩阵 A 的的Jordan标准形标准形 J 及其相似变换矩阵及其相似变换矩阵P100011001J041130020P130121002102P那么有那么有1()()3012041(1)0011300(1)(1)00202000(1)102(1)4(1)08(1)3(1)(1)6(1)2(1)0(1)4(1)f APf J Pfffffffffffff350722715418037 定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 x 的多项式的多
40、项式如果如果 f(x)满足满足 ，那么称该多项式为矩阵，那么称该多项式为矩阵 A 的一的一个个零化多项式零化多项式。1110()nnnnf xa xaxa xan nAC()n nf AO定理：定理：已知已知 ，为其特征多项式为其特征多项式,则有则有我们称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。n nAC()f()n nf AO定义：定义：已知已知 ，在，在 A 的零化多项式中，次数最低且首的零化多项式中，次数最低且首项系数为项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 A 的的最小多项式最小多项式，通常记为，通常记为最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那
41、么（1）矩阵）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被 整除。整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。）相似矩阵有相同的最小多项式。()mn nACn nAC()m如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑首先我们考虑Jordan标准标准形矩阵的最小多项式。形矩阵的最小多项式。例例1：已知一个已知一个Jordan块块11iiiiiiddJ求其最小多项式。求其最小多项式。解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为 ,则由上面的定理可知其最小多项式则由上面的定理可知其最小多项式 一定具有
42、如下形一定具有如下形状，其中状，其中 。但是当。但是当 时时()()idif()m()()kim1ikdikd()()001000010000iikiiiddm JJIO因此有因此有()()idim.例例2：已知对角块矩阵已知对角块矩阵 ,而而 分别为子块分别为子块的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小多项式为的最小多项式为即为即为 的最小公倍数。的最小公倍数。12=diag(,)rAA AA12(),(),()rmmm12,rA AAA12(),(),()rmmm12(),(),()rmmm例例3：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式308(1)316205A232(2)18221
43、43B100011001J解：解：（1）首先求出其）首先求出其Jordan标准形为标准形为所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）此矩阵的）此矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)126(3)103114C 31000300(4)00300005D100031003J从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。（3）该矩阵的）该矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)(3)100011001J故其最小多项式为故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，标准形，所以其最小多项式所以其最小多项式2(1)2(5)(3)Euclid空间（欧氏空间）空间（
44、欧氏空间）v线性空间内积的定义线性空间内积的定义：设设V是实数域是实数域R上的上的n维线性空间，对维线性空间，对于于V中的任意两个向量中的任意两个向量、,按照某一确定法则对应着一个按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与实数，这个实数称为与与与的的内积内积，记为，记为(,)，并且要求，并且要求内积满足下列运算条件：内积满足下列运算条件：(1)(,)(,)(2)(,)(,)(3)(,)(,)(,)(4)(,)0kk 我们称带有这样内积的线性空间为我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间空间(欧氏空间欧氏空间)。当且仅当当且仅当=0时内积为零时内积为零例例1 在在Rn中，对于中，对于规
45、定规定容易验证容易验证(,)是是Rn上的一个内积，从而上的一个内积，从而 Rn成为一个成为一个欧氏空间。如果规定欧氏空间。如果规定1212(,),(,)nnx xxy yy11122(,)nnx yx yx y 21122(,)2nnx yx ynx y 容易验证容易验证(,)2也是也是Rn上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Rn又成又成为另外一个欧氏空间。为另外一个欧氏空间。例例2 在在mn维线性空间维线性空间Rmn中，规定中，规定容易验证这是容易验证这是Rmn上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Rmn对于对于这个内积成为一个欧氏空间。这个内积成为一个欧氏空间。例例3 在实连续函数构成的
46、线性空间在实连续函数构成的线性空间 Ca,b中，规定中，规定(,):()TA BTr AB容易验证容易验证(f,g)是是 Ca,b 上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Ca,b对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。(,):()()baf gf x g x dx1111(1)(,)(,)(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(4)(,)(,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk Euclid空间的性质空间的性质有限维线性欧氏空间有限维线性欧氏空间v设实数域上有限维线性空间设实数域上有限维线性空间V的基底为的基底为 ，设设向量向量x与与y在此基底下的表达式如下在
47、此基底下的表达式如下,21nnnxxxx2211nnyyyy2211 则则x与与y的内积可以表示如下的内积可以表示如下),(),(11njjjniiiyxyxninjjijiyx11),(),(jiija令nnnnnnnnyyyaaaaaaaaaxxx2121222211121121 取取即即A为实对称矩阵，而且为实对称矩阵，而且(x,x)0表明表明A为正定的。为正定的。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211jiijjiija,a)(),(由性质性质：（：（1）当且仅当当且仅当 时时 （2）（3）（4）欧氏空间的度量欧氏空间的度量v定义：定义：设设V为线性欧氏空间，向量的长度
48、或范数定为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为义为0(,)00Rkkk|),(|例例1：在线性空间在线性空间Rmn 中，证明中，证明证明：由于证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由三角不等式得证。为线性空间中的内积，由三角不等式得证。例例2：设设Ca,b表示闭区间表示闭区间a,b上的所有连续实函数组成的线性上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的空间，证明对于任意的f(x),g(x)Ca,b，我们有，我们有证明：由于证明：由于 为线性空间为线性空间Ca,b上上的内积，由内积基本性质可得上式。的内积，由内积基本性质可得上式。)()(|)(|TTTBBTrAATrABTrbabab
49、adxxgdxxfdxxgxf22|)(|)(|)()(|badxxgxfxgxf)()()(),(定义定义：设设V为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量 的的夹角夹角定义为定义为 于是有于是有定理定理：,(,),:arccos 0,2,(,)02 定义定义：在欧氏空间：在欧氏空间V中，如果中，如果 ，则称，则称 与与 正交。正交。定义定义：长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量量 ，向量，向量 总是单位向量，称此过程为总是单位向量，称此过程为单位化单位化。(,)0 定义定义 设设 为一组不含有零向量的向量组，如果为一组不含有
50、零向量的向量组，如果 内的任内的任意两个向量彼此正交，则称其为意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。正交的向量组。命题命题 正交向量组一定是线性无关向量组。正交向量组一定是线性无关向量组。定义定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为称此向量组为标准的正交向量组。标准的正交向量组。定义定义：在：在 n 维内积空间中，由维内积空间中，由 n 个正交向量组成的基底称为个正交向量组成的基底称为正交基底；由正交基底；由 n 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。基底。注意注意：标准正
