1、2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所11离散数学离散数学Discrete Mathematics汪荣贵汪荣贵 教授教授合肥工业大学计算机与信息学院合肥工业大学计算机与信息学院2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所2第第1111章章 抽象代数结构通论抽象代数结构通论（附录（附录A-1A-1）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所3&抽象代数结构通论抽象代数结构通论 代数结构的运算性质代数结构的运算性质2 2 同构、同态与同余同构、同态与同余3 3 代数结构的基本概念代数结构的基本概念1 14 42022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用
2、技术研究所4代数结构的基本概念代数结构的基本概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所5&代数结构的基本概念代数结构的基本概念J 数学结构与代数结构数学结构与代数结构4 运算的定义与表示运算的定义与表示4 代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所6&数学结构与代数结构数学结构与代数结构p计算机求解与数学模型计算机求解与数学模型p数学结构是数学模型的数学结构是数学模型的基础基础p三种最基本的数学结构三种最基本的数学结构2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所7&基本的数学结构基本的数学结构拓扑结构拓扑结构：表示元素
3、之间的空间位置关系表示元素之间的空间位置关系偏序结构偏序结构：表示元素之间的大小或顺序关系表示元素之间的大小或顺序关系代数结构代数结构：表示元素之间的运算关系表示元素之间的运算关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所8&代数结构代数结构代数结构与代数系统代数结构与代数系统代数系统的研究对象代数系统的研究对象：集合元素之间的运算和运算性质集合元素之间的运算和运算性质运算及对运算的抽象：抽象思维运算及对运算的抽象：抽象思维2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所9&对运算的抽象对运算的抽象以前学过的代数有：以前学过的代数有：它们研究的对象分别为：它们研究的对象分
4、别为：整数、有理数、实数、矩阵、集合、命题整数、有理数、实数、矩阵、集合、命题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所10&对运算的抽象对运算的抽象我们发现：我们发现：不同对象上的运算，可能有相同的性质！不同对象上的运算，可能有相同的性质！例如：集合代数和命题代数，例如：集合代数和命题代数，尽管它们尽管它们各自的研究对象不同，但是它们的运算各自的研究对象不同，但是它们的运算性质完全一样，性质完全一样，都有：对合律、交换律都有：对合律、交换律结合律分配律，等等。结合律分配律，等等。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所11&对运算的抽象对运算的抽象由此可以得到启
5、发：抛开具体的运算对象，由此可以得到启发：抛开具体的运算对象，将代数或运算的研究和学习引到一个更加将代数或运算的研究和学习引到一个更加抽象的层次，即：抽象的层次，即：抽象代数抽象代数 研究代数或运算的研究代数或运算的共性共性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所12&抽象思维能力抽象思维能力计算机专业需要三个基本能力：计算机专业需要三个基本能力：2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所13&代数系统的知识体系代数系统的知识体系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所14&代数系统的学习方法代数系统的学习方法p多思考多总结：提高抽象思维多思考多总
6、结：提高抽象思维能力和归纳能力；能力和归纳能力；p多做练习：加深对基本概念的多做练习：加深对基本概念的理解；理解；p博览群书：扩展知识面，开阔博览群书：扩展知识面，开阔视野和思路。视野和思路。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所15&代数结构的基本概念代数结构的基本概念4 数学结构与代数结构数学结构与代数结构J 运算的定义与表示运算的定义与表示4 代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所16&运算的定义与表示运算的定义与表示p二元运算及其表示二元运算及其表示pN N元运算与一元运算元运算与一元运算2022-8-5计算机应用技术
7、研究所计算机应用技术研究所17&代数运算的引入代数运算的引入所谓所谓代数系统代数系统，无非就是一个由，无非就是一个由集合集合和和这个集合上的这个集合上的运算运算构成的系统。构成的系统。因此，要学习代数系统，首先必须搞因此，要学习代数系统，首先必须搞清楚什么叫做清楚什么叫做运算运算或或代数运算。代数运算。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所18&代数运算的例子代数运算的例子2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所19&二元代数运算二元代数运算【定义定义】假假设设A,B,CA,B,C是任意给定的是任意给定的三个非空集合，则从三个非空集合，则从A AB B到到C
8、C上二元上二元映射映射f,f,称为一个称为一个A AB B到到C C的的二元运算二元运算，既有既有f f：A ABCBC。当。当A=B=CA=B=C时，称时，称f f：A AAAAA为为A A上的上的二元运算二元运算。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所20&集合集合S S上的二元运算上的二元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所21&二元代数运算二元代数运算 一个二元运算就是一个特殊的映射，一个二元运算就是一个特殊的映射，该映射能够对该映射能够对a a A A和和b b B B进行运算，得到进行运算，得到C C中的一个元中的一个元c,c,即即 (a,
9、b)(a,b)c c。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所22&二元代数运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所23&二元代数运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所24&二元代数运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所25&二元代数运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所26&二元代数运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所27&二元代数运算的表示抽象代数结构讨论的对象是抽象对象，在此基础抽象代数结构讨论的对象是抽象对象，在此基础上的运算也是抽象的，因此需要特殊符号来表示上
10、的运算也是抽象的，因此需要特殊符号来表示某些抽象的运算某些抽象的运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所28&二元代数运算的表示2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所29&二元代数运算的表示运算除了用函数表达式表示，还可用运运算除了用函数表达式表示，还可用运算表，例如乘法口诀表就是一种运算表算表，例如乘法口诀表就是一种运算表区别：运算表区别：运算表直观直观 运算符运算符简洁简洁2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所30&二元代数运算的表示*运算表运算表2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所31&二元代数运算二元代数运算2
11、022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所32&二元代数运算二元代数运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所33&集合集合S S上的二元运算上的二元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所34&集合集合S S上的二元运算上的二元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所35&二元代数运算的表示2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所36&二元代数运算的表示1 12 23 34 45 51 1345122 2451233 3512344 4123455 5234512022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用
12、技术研究所37&二元代数运算的表示2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所38&二元代数运算的表示2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所39&二元代数运算的表示2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所40&二元代数运算的表示根据以上例题，二元运算表的一般形式根据以上例题，二元运算表的一般形式如下如下2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所41二元函数二元函数-推广推广-多元函数多元函数二元运算二元运算-推广推广-多元运算多元运算&N元代数运算与一元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所42&N元代数运算与一
13、元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所43&集合集合S S上的一元运算上的一元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所44&集合集合S S上的一元运算上的一元运算2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所45&代数结构的基本概念代数结构的基本概念4 数学结构与代数结构数学结构与代数结构4 运算的定义与表示运算的定义与表示J 代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所46&代数结构与子代数代数结构与子代数运算的封闭性运算的封闭性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所47&代数
14、结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所48&代数结构举例代数结构举例注意：注意：判断集合判断集合A A和其上的代数运算是否是代数系统，关键是和其上的代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合判断两点：一是集合A A非空非空，二是这些运算关于，二是这些运算关于A A是否满足是否满足封闭封闭性性。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所49&代数结构举例代数结构举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所50&代数结构与子代数代数结构与子代数a ab bc cd da aa ab bc cd db ba ab bc
15、 cd dc cd dc cb ba ad dd dc cb ba a2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所51&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所52&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所53&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所54&构造新的代数结构构造新的代数结构通过构造载体的子集、笛卡尔积、商集，通过构造载体的子集、笛卡尔积、商集，产生新的代数系统产生新的代数系统2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术
16、研究所55&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所56&代数结构与子代数代数结构与子代数a ab bc cd da aa ab bc cd db ba ab bc cd dc cd dc cb ba ad dd dc cb ba a2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所57&代数结构与子代数代数结构与子代数a ab ba aa ab bb ba ab bc cd dc cb ba ad db ba a2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所58&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究
17、所计算机应用技术研究所59&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所60&子代数系统举例子代数系统举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所61&代数结构与子代数代数结构与子代数2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所62本节内容到此结束本节内容到此结束2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所63&抽象代数结构通论抽象代数结构通论代数结构的基本概念代数结构的基本概念1 1同构、同态与同余同构、同态与同余3 3代数结构的运算性质代数结构的运算性质2 22022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技
18、术研究所64代数结构的运算性质代数结构的运算性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所65代数结构的运算性质代数结构的运算性质具体的代数结构种类繁多、不胜枚举，逐具体的代数结构种类繁多、不胜枚举，逐个分析和探讨每个代数结构的性质显然是个分析和探讨每个代数结构的性质显然是不可行的。不可行的。必须通过建立一些标准实现对这些代数结必须通过建立一些标准实现对这些代数结构进行分类，以便进行分门别类的考察和构进行分类，以便进行分门别类的考察和研究，揭示这些代数结构共性和差异研究，揭示这些代数结构共性和差异2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所66&代数结构的运算性质代数
19、结构的运算性质J 二元算律二元算律4 特殊元素特殊元素2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所67&二元算律二元算律 在代数系统中，最常用的是形如在代数系统中，最常用的是形如A,和和A,+,这样的代数系统，其中这样的代数系统，其中+,+,*都是都是二元运算。二元运算。A,是只有一个二元运算的是只有一个二元运算的代数系统，称之为代数系统，称之为广群广群。现以现以广群广群为例讨论代数系统中的二元运算为例讨论代数系统中的二元运算性质以及一些特殊元素的性质。性质以及一些特殊元素的性质。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所68&二元运算律二元运算律2022-8-5计算
20、机应用技术研究所计算机应用技术研究所69&二元运算律二元运算律结合律结合律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所70&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所71&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所72&二元算律二元算律交换律交换律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所73&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所74&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所75&二元算律二元算律实数加法与乘法运算实数加法与乘法运算矩阵的加法
21、矩阵的加法整数集合上的模余运算整数集合上的模余运算幂集合的交运算与并运算等幂集合的交运算与并运算等满足交换律满足交换律：不不满足交换律满足交换律：矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算关系与函数的复合运算等关系与函数的复合运算等2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所76&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所77&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所78&二元运算律二元运算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所79&二元算律二元算律幂等律幂等律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究
22、所80&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所81&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所82&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所83&二元算律二元算律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所84&运算律举例运算律举例消去律消去律2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所85&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所86&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所87&运算律举例运算律举例典
23、型代数结构满足的运算律典型代数结构满足的运算律集合集合运算运算交换律交换律结合律结合律幂等律幂等律有有无有有无有有无无有无有有有有有有无无无有有无无有无2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所88&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所89&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所90&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所91&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所92&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计
24、算机应用技术研究所93&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所94&运算律举例运算律举例【证明】【证明】续续2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所95&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所96&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所97&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所98&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所99&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应
25、用技术研究所100&运算律举例运算律举例【分析】【分析】按结合律、交换律、消去律、按结合律、交换律、消去律、幂等律得定义分别进行验证。幂等律得定义分别进行验证。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所101&运算律举例运算律举例【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所102&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所103&运算律举例运算律举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所104&运算律举例运算律举例【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所105&运算性质与特殊元
26、运算性质与特殊元4 二元算律二元算律J 特殊元素特殊元素2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所106&代数系统的构成代数系统的构成2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所107&特殊元素特殊元素2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所108&单位元（幺元）单位元（幺元）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所109&单位元（幺元）单位元（幺元）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所110&单位元（幺元）单位元（幺元）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所111&单位元（幺元）单位元（幺元）20
27、22-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所112&单位元（幺元）单位元（幺元）【下续下续】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所113&单位元（幺元）单位元（幺元）【续上续上】表表11-1211-12（a a）*的运算表的运算表 （b b）的运算表的运算表 （c c）的运算表的运算表2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所114&单位元（幺元）单位元（幺元）【分析】【分析】可以直接通过定义计算幺元，即首先假可以直接通过定义计算幺元，即首先假设存在幺元，然后计算之，最后验证所计算的元设存在幺元，然后计算之，最后验证所计算的元素是否是幺元。素是否是幺元。
28、2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所115&单位元（幺元）单位元（幺元）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所116&单位元（幺元）单位元（幺元）表表11-13 含左幺元，但不含右幺元含左幺元，但不含右幺元表表11-14 含右幺元，但不含左幺元含右幺元，但不含左幺元*a ab bc cd da adabcb babcdc cabccd dabcd*1 12 23 34 41 112432 221343 334124 444232022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所117&幺元的唯一性幺元的唯一性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应
29、用技术研究所118&幺元的唯一性（续）幺元的唯一性（续）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所119&幺元例题幺元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所120&幺元例题（续）幺元例题（续）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所121&幺元例题（续）幺元例题（续）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所122&幺元例题（续）幺元例题（续）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所123&幺元例题（续）幺元例题（续）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所124&幺元例题（续）幺元例题（续）20
30、22-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所125&幺元例题（续）幺元例题（续）2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所126&零元的定义零元的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所127&零元的性质零元的性质p 零元既是左零元，又是右零元。零元既是左零元，又是右零元。p 零元与消去律有关系：如果一零元与消去律有关系：如果一个运算存在零元，则该运算一定不个运算存在零元，则该运算一定不满足消去律。满足消去律。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所128&对零元的理解对零元的理解2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所
31、129&零元例题零元例题【例题】【例题】下列代数系统是否存在零元（左下列代数系统是否存在零元（左零元或右零元），如果存在，计算之。零元或右零元），如果存在，计算之。【下续下续】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所130&零元例题零元例题表表11-1511-15（a a）*的运算表的运算表 表表11-1511-15（b b）的运算表的运算表 表表11-111-1（c c）的运算的运算表表【续上续上】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所131&零元例题零元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所132&零元例题零元例题2022-8-5计算
32、机应用技术研究所计算机应用技术研究所133&零元例题零元例题1 12 23 31 12 23 33 32 23 31 13 33 31 12 23 3表表11-16 11-16 仅含左零元的运算仅含左零元的运算 表表11-17 11-17 仅含右零元的运算仅含右零元的运算 2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所134&零元的唯一性零元的唯一性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所135&幺元和零元幺元和零元p 零元和幺元统称为代数系统的特异元。零元和幺元统称为代数系统的特异元。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所136&零元总结零元总结p
33、 算零元可根据定义直接进行，即算零元可根据定义直接进行，即首先假设存在零元，然后根据定义进首先假设存在零元，然后根据定义进行计算验证。行计算验证。p 可以直接从运算表中看出运算是否可以直接从运算表中看出运算是否有左零元或右零元。有左零元或右零元。2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所137&逆元的定义逆元的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所138&逆元的例题逆元的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所139&逆元的例题逆元的例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所140&逆元的唯一性逆元的唯一性2022-8-
34、5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所141&逆元的唯一性逆元的唯一性2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所142&逆元的重要性质逆元的重要性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所143&逆元的重要性质逆元的重要性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所144&逆元的重要性质逆元的重要性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所145&逆元的重要性质逆元的重要性质当代数系统中的二元运算不满足结合律时，当代数系统中的二元运算不满足结合律时，可逆元的逆元素不一定唯一可逆元的逆元素不一定唯一注意！注意！2022-8-5计算机
35、应用技术研究所计算机应用技术研究所146&典型的特殊元素典型的特殊元素2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所147&逆元与可消去元逆元与可消去元2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所148&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所149&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所150&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所151&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所152&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计
36、算机应用技术研究所计算机应用技术研究所153&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所154&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所155&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所156&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所157&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所158&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所159&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术
37、研究所计算机应用技术研究所160&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所161&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所162&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所163&特殊元例题特殊元例题2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所164&知识总结知识总结2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所165&知识总结知识总结2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所166本节内容到此结束本节内容到此结束2022-8-5计算机应用技术研究所计算
38、机应用技术研究所167&抽象代数结构通论抽象代数结构通论抽象代数结构基本概念抽象代数结构基本概念1 1 基本计数技术基本计数技术3 3 代数结构的运算性质代数结构的运算性质3 3同构、同态与同余同构、同态与同余2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所168同构、同态与同余同构、同态与同余2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所169&同构、同态与同余同构、同态与同余J 同构与同态的概念同构与同态的概念4 同构与同态的性质同构与同态的性质4 同余的概念和性质同余的概念和性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所170p 运算性质与特殊元运算性质与
39、特殊元 研究的是代数系统自身研究的是代数系统自身内部的内部的结构和性质结构和性质p 同构与同态同构与同态 研究的是各个代数系统之间的研究的是各个代数系统之间的相相似性和联系似性和联系&同构与同态的概念同构与同态的概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所171&同构与同态的概念同构与同态的概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所172&同构与同态的概念同构与同态的概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所173将将“奇奇”映射为映射为“正正”、“偶偶”映射为映射为“负负”&同构与同态的概念同构与同态的概念2022-8-5计算机应用技术研究
40、所计算机应用技术研究所174p 代数系统是带有运算的集合，这种映代数系统是带有运算的集合，这种映射射必须和运算发生关系必须和运算发生关系，否则它就成为，否则它就成为两个集合之间的映射，没有什么价值。两个集合之间的映射，没有什么价值。p 两个代数系统之间的联系可以两个代数系统之间的联系可以用两个用两个代数系统之间的映射代数系统之间的映射来描述。来描述。&同构与同态的概念同构与同态的概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所175p 同态和同构就是同态和同构就是两个代数系统两个代数系统之间的映射，并且这种映射与运之间的映射，并且这种映射与运算发生联系，算发生联系，描述的是两个代数
41、描述的是两个代数系统之间的系统之间的相似性相似性。&同构与同态的概念同构与同态的概念2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所176&同构的定义同构的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所177&同构举例同构举例 0 01 1 0 00 01 1 1 11 11 1表表11-21(a)11-21(a)的运算表的运算表 的的 表表11-21(b)11-21(b)的运算表的运算表 由运算表可见仅仅存在符号上的差异由运算表可见仅仅存在符号上的差异2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所178&同构举例同构举例【下续下续】2022-8-5计算机应用技
42、术研究所计算机应用技术研究所179&同构举例同构举例【续上续上】0 01 12 23 3*S SR RA AL L0 00 01 12 23 3S SS SR RA AL L1 11 12 23 30 0R RR RA AL LS S2 22 23 30 01 1A AA AL LS SR R3 33 30 01 12 2L LL LS SR RA A2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所180&同构举例同构举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所181&同构举例同构举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所182&同构举例同构举例202
43、2-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所183&同构举例同构举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所184&同构的定义同构的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所185&同构举例同构举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所186&同态的定义同态的定义同构的两个代数结构具有完全相同的结构同构的两个代数结构具有完全相同的结构，对对于有些代数结构不完全一致，但是具有一定的于有些代数结构不完全一致，但是具有一定的相似性相似性，该如何定义两者的，该如何定义两者的相似性相似性？2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所1
44、87&同态的定义同态的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所188&同态的定义同态的定义类似的，可定义多个运算的一般代数结构的类似的，可定义多个运算的一般代数结构的同态定义，下面给出具有两个运算的代数系同态定义，下面给出具有两个运算的代数系统的同态定义统的同态定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所189&同态的定义同态的定义2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所190&同态举例同态举例正正负负零零正正正正负负零零负负负负正正零零零零零零零零零零2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所191&同态举例同态举例2022-
45、8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所192&同态举例同态举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所193&同态举例同态举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所194&同态举例同态举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所195&同态举例同态举例2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所196&一点说明一点说明2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所197&同构、同态与同余同构、同态与同余4 同构与同态的概念同构与同态的概念J 同构与同态的性质同构与同态的性质4 同余的概念和性质同余的概念和性质202
46、2-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所198&同构与同态性质同构与同态性质如果两个代数结构同构或同态，那么它们的运算如果两个代数结构同构或同态，那么它们的运算性质有什么关系呢性质有什么关系呢?2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所199&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所200&同构与同态性质同构与同态性质【下续下续】2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所201&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所202&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5
47、计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所203&同构与同态性质同构与同态性质对于两个运算的代数结构对于两个运算的代数结构2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所204&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所205&同构与同态性质同构与同态性质同构关系是一种等价关系同构关系是一种等价关系2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所206&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所207&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所208&同构
48、与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所209&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所210&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所211&同构与同态性质同构与同态性质考察满同态是否改变分配律和吸收律考察满同态是否改变分配律和吸收律证明略证明略2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所212&同构与同态性质同构与同态性质考察同态像的性质考察同态像的性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所213&同构与同态性质同构与同态性质2022
49、-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所214&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所215&同构与同态性质同构与同态性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所216&同态的性质总结同态的性质总结2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所217本节内容到此结束本节内容到此结束2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所218&同构、同态与同余同构、同态与同余4 同构与同态的概念同构与同态的概念4 同构与同态的性质同构与同态的性质J 同余的概念和性质同余的概念和性质2022-8-5计算机应用技术研究
50、所计算机应用技术研究所219&同余的概念与性质同余的概念与性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所220&同余的概念与性质同余的概念与性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所221&同余的概念与性质同余的概念与性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所222&同余的概念与性质同余的概念与性质2022-8-5计算机应用技术研究所计算机应用技术研究所223&同余的概念与性质同余的概念与性质同余关系其实是对相等关系的一个泛化，是一种同余关系其实是对相等关系的一个泛化，是一种特殊的等价关系特殊的等价关系，等价关系也是对相等关系的一等价关系也是对
