1、统计学原理统计学原理（第（第3 3版）版）2/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析第七章第七章 方差分析方差分析n第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题n第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析学学 习习 目目 标标n第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析 3/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析学习要点学习要点第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题l 1.方差分析的产生背景与基本概念方差分析的产生背景与基本概念l 2.方差分析的基本原理方差分析的基本原理4/65 第第7 7章章 方差分析方差分析
2、 第七章第七章 方差分析方差分析1.方差分析的产生背景与基本概念方差分析的产生背景与基本概念l 方差分析是通过检验多个总体的均值是否相等来判断分类方差分析是通过检验多个总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响的一种统计分析型自变量对数值型因变量是否有显著影响的一种统计分析方法。方法。（1）方差分析的产生背景方差分析的产生背景l 从形式上来看，方差分析是检验多个总体均值是否存在显从形式上来看，方差分析是检验多个总体均值是否存在显著差异，但本质上它是从数据间的差异入手研究变量之间著差异，但本质上它是从数据间的差异入手研究变量之间关系的重要方法。关系的重要方法。l 基于方差分
3、析与假设检验的相关性，尤其是与两独立总体基于方差分析与假设检验的相关性，尤其是与两独立总体均值之差假设检验的密切关系，因此可将其视为两独立总均值之差假设检验的密切关系，因此可将其视为两独立总体均值之差假设检验的深化或延续。体均值之差假设检验的深化或延续。5/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析方差分析与两独立总体均值分析的假设检验的优点方差分析与两独立总体均值分析的假设检验的优点l 采取了对所有总体均值综合考量的思想；采取了对所有总体均值综合考量的思想；l 效率更高；效率更高；l 也排除了错误概率累计的后果；也排除了错误概率累计的后果；l 提高了分析的可靠性。
4、提高了分析的可靠性。1.方差分析的产生背景与基本概念方差分析的产生背景与基本概念6/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析（2 2）方差分析基本概念）方差分析基本概念l 观测变量为数值型变量，可以计算均值与方差观测变量为数值型变量，可以计算均值与方差l 指待检验其均值的变量，也称为因变量或者目标变量指待检验其均值的变量，也称为因变量或者目标变量l 该变量的样本数据称为观测值该变量的样本数据称为观测值 因素与处理因素与处理l 因素也被称为因子，是指可能对观测变量产生影响的因素也被称为因子，是指可能对观测变量产生影响的自变量，因素一般为定性变量或分类型变量，取有限自
5、变量，因素一般为定性变量或分类型变量，取有限个离散值。因素的各个取值（类别）称为处理或水平个离散值。因素的各个取值（类别）称为处理或水平1.方差分析的产生背景与基本概念方差分析的产生背景与基本概念7/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析单元单元l 单元也被称为水平组合，或者单元格，指各因素各个水平单元也被称为水平组合，或者单元格，指各因素各个水平的组合的组合 因素与处理因素与处理l 因素也被称为因子，指可能对观测变量产生影响的自变量；因素也被称为因子，指可能对观测变量产生影响的自变量；l 因素一般为定性变量或分类型变量，取有限个离散值；因素一般为定性变量或分类
6、型变量，取有限个离散值；l 因素的各个取值（类别）称为处理或水平因素的各个取值（类别）称为处理或水平均衡均衡l 如果在试验中任一因素各水平在所有单元格中出现的次数如果在试验中任一因素各水平在所有单元格中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数均相同，则该试验是均衡相同，且每个单元格内的元素数均相同，则该试验是均衡的；否则，就是不均衡的。的；否则，就是不均衡的。1.方差分析的产生背景与基本概念方差分析的产生背景与基本概念8/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析l 如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明显不同，则
7、称为两因素间存在交互作用显不同，则称为两因素间存在交互作用l 因为影响因变量的各因素是同时其作用的，各因素的因为影响因变量的各因素是同时其作用的，各因素的作用交织在一起，单纯研究某个因素的作用是没有意作用交织在一起，单纯研究某个因素的作用是没有意义的，针对其他因素的各个水平来研究该因素的作用义的，针对其他因素的各个水平来研究该因素的作用大小才有意义。大小才有意义。交互作用交互作用1.方差分析的产生背景与基本概念方差分析的产生背景与基本概念9/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析2.方差分析的基本原理方差分析的基本原理方差分析的概念方差分析的概念方差分析就是通过
8、检验多个总体均值是否相等来判断分类方差分析就是通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响的统计方法。型自变量对数值型因变量是否有显著影响的统计方法。方差分析的基本假定方差分析的基本假定l 每个水平下总体均服从正态分布；每个水平下总体均服从正态分布；l 每个总体的方差都相同；每个总体的方差都相同；l 各水平下的观测值相互独立。各水平下的观测值相互独立。10/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析l 目标因素目标因素,该因素取不同水平值会影响观测变量的取值该因素取不同水平值会影响观测变量的取值l 其他因素，其他因素又可以分为两部分，一
9、部分是除其他因素，其他因素又可以分为两部分，一部分是除目标因素之外其他因素，这些因素可称为控制因素或目标因素之外其他因素，这些因素可称为控制因素或控制变量，另一部分是随机因素控制变量，另一部分是随机因素 影响观测变量的因素影响观测变量的因素 要检测目标因素对观测变量的影响显著性，首先需要将控要检测目标因素对观测变量的影响显著性，首先需要将控制因素固定下来，即将这些因素对观测变量的影响剔除制因素固定下来，即将这些因素对观测变量的影响剔除.如果其他因素中已经不存在对观测变量影响特别明显的因如果其他因素中已经不存在对观测变量影响特别明显的因素变量，则影响因素只分为目标因素和随机因素素变量，则影响因素
10、只分为目标因素和随机因素2.方差分析的基本原理方差分析的基本原理11/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析 控制因素的剔除控制因素的剔除l 一是确定总体时直接将各个单位在这些因素上的取一是确定总体时直接将各个单位在这些因素上的取值固定，值固定，l 二是目标因素各个水平值确定的子总体中，控制因二是目标因素各个水平值确定的子总体中，控制因素的的取值力求随机化，最大限度降低这些因素对素的的取值力求随机化，最大限度降低这些因素对观测变量的影响。观测变量的影响。剔除了控制因素的影响之后，观测变量的方差剔除了控制因素的影响之后，观测变量的方差目标因素目标因素随机因素随机因
11、素系统性方差系统性方差随机方差随机方差SSASSESSE2.方差分析的基本原理方差分析的基本原理12/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析总离差平方和总离差平方和=组间离差平方和组间离差平方和+组内离差平方和组内离差平方和 方差：方差：总方差总方差=系统方差系统方差+随机方差随机方差l 总离差平方和总离差平方和SST用来度量观测变量的总变异程度用来度量观测变量的总变异程度;l 组间离差平方和组间离差平方和SSA用来度量目标因素不同水平各用来度量目标因素不同水平各子总体观测变量均值的差异程度子总体观测变量均值的差异程度;l 组内离差平方和组内离差平方和SSE是度
12、量目标因素取同一水平值是度量目标因素取同一水平值时观测变量取值的差异时观测变量取值的差异2.方差分析的基本原理方差分析的基本原理13/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析 目标因素对观测变量影响的显著性目标因素对观测变量影响的显著性(组间均方与组内均方比值统计量的分布理论组间均方与组内均方比值统计量的分布理论)l 当当SSA和和SSE经过平均后的数值（称为均方）很接近经过平均后的数值（称为均方）很接近时，其比值应该会很接近时，其比值应该会很接近1，则目标因素对观测变量，则目标因素对观测变量的影响不大，；的影响不大，；l 当当SSA和和SSE经过平均后的数值（称
13、为均方）差异明经过平均后的数值（称为均方）差异明显时，其比值应该明显大于显时，其比值应该明显大于1，则目标因素对观测变，则目标因素对观测变量的影响较大。量的影响较大。因此，可以通过对比一次抽样得到的检验统计量的取值与因此，可以通过对比一次抽样得到的检验统计量的取值与给定显著性水平下的临界值或者给定显著性水平下的临界值或者P值规则，来对目标因素不值规则，来对目标因素不同水平下观测变量的均值是否存在显著性差异这一问题进同水平下观测变量的均值是否存在显著性差异这一问题进行决策。行决策。2.方差分析的基本原理方差分析的基本原理14/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析
14、第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析学习要点学习要点l 1.单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构l 2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤l 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差分析中的多重比较l 4.Excel操作操作15/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析 1.单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构 单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构观测值总个数观测值总个数n可表示为：可表示为：mmiinnnnn.211列均列均 值表示第值表示第i个总体的个总体的样本均值：样本均值：ix),.,2,1(11mixnxi
15、njijiil 不同水平下观测变量的观测次数相同则称为均衡数据，否不同水平下观测变量的观测次数相同则称为均衡数据，否则称为非均衡数据则称为非均衡数据16/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析 是全部观测值的总均值，它等于全部观测值之和除以是全部观测值的总均值，它等于全部观测值之和除以观测值的总数，计算公式为：观测值的总数，计算公式为：xmiiiminjijxnnxnxi11111 1.单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构17/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤l 提出假
16、设：原假设和备择假设；提出假设：原假设和备择假设；l 确定并计算检验统计量；确定并计算检验统计量；l 给定显著性水平，进行统计决策给定显著性水平，进行统计决策从样本数据出发来对总体进行决策本质上还是一个假从样本数据出发来对总体进行决策本质上还是一个假设检验问题，因此，进行方差分析的三个步骤为设检验问题，因此，进行方差分析的三个步骤为18/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析（1 1）提出假设提出假设miH210:（自变量对因变量没有显著影响）（自变量对因变量没有显著影响）不全相等miHi,2,1:1（自变量对因变量有显著影响）（自变量对因变量有显著影响）2.单因
17、素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤19/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析（2）确定并计算检验统计量）确定并计算检验统计量 离差平方和离差平方和l 组内离差平方和组内离差平方和SSE是每个水平的各观测值与其组均值是每个水平的各观测值与其组均值的离差平方和，其计算公式为：的离差平方和，其计算公式为：211)(minjiijixxSSEl 组间离差平方和组间离差平方和SSA是各组均值是各组均值（i=1,2,.,m）与总均）与总均值值 之间的离差平方和，其计算公式为：之间的离差平方和，其计算公式为：ixx21)(xxnSSAmiii2.单因素方差分析的步骤单因素方
18、差分析的步骤20/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析l 总离差平方和总离差平方和SST是所有观测值是所有观测值xij与总均值与总均值 的离差平的离差平方和，其计算公式为：方和，其计算公式为：xminjijixxSST112)(minjimiiiijminjiiijiiijminjiiijminjijiiiixxnxxxxxxxxxxxxxxxxSST112121122112112)()()(2)()()()()(三则之间：三则之间：2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤21/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析l 三个离差
19、平方和之间存在以下等式关系：三个离差平方和之间存在以下等式关系：SSASSESST 在总离差平方和在总离差平方和SST中，如果组间离差平方和中，如果组间离差平方和SSA所占所占比例较大，则说明观测变量的变差是由目标因素引起的，比例较大，则说明观测变量的变差是由目标因素引起的，目标因素对观测变量的影响显著；目标因素对观测变量的影响显著；如果组间离差平方和如果组间离差平方和SSA所占比例较小，则说明观测变所占比例较小，则说明观测变量的差异不是由目标因素引起的，目标因素对观测变量量的差异不是由目标因素引起的，目标因素对观测变量的影响不显著。的影响不显著。2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤2
20、2/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析自由度与均方自由度与均方离差平方和的大小除了与影响因素的影响程度有关，还与各离差平方和的大小除了与影响因素的影响程度有关，还与各自的自由度（变量可以自由取值的数量）有关自的自由度（变量可以自由取值的数量）有关SST:SSA:SSE;l 自由度：自由度：mndfE1 ndfT1 mdfAEATdfdfdf2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤23/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析l 均方也（均方差）均方也（均方差）:消除自由度对各离差平方和的影响消除自由度对各离差平方和的影响组间均方
21、组间均方MSA:组内均方组内均方MSE:1mSSAMSAmnSSEMSEl 检验统计量检验统计量当当H0为真时为真时:),1()/()1/(mnmFmnSSEmSSAMSEMSAF2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤 第第7 7章章 方差分析方差分析24/63（3）给定显著性水平，进行统计决策给定显著性水平，进行统计决策l 在给定著性水平在给定著性水平下，通过查表可以得到下，通过查表可以得到F（m-1,n-m）的临界值的临界值),1(mnmFl 给出拒绝域（小概率原理）给出拒绝域（小概率原理）:),1(mnmFF 当落入拒绝域说明小概率事件一次抽样发生了，当落入拒绝域说明小概率事件一次
22、抽样发生了，则有理由拒绝原假设则有理由拒绝原假设H0 当没有落入拒绝域说明小概率事件没有发生，当没有落入拒绝域说明小概率事件没有发生，则不拒绝原假设则不拒绝原假设H0l P值检验规则，对于给定的显著性水平值检验规则，对于给定的显著性水平，当，当P时，不拒绝原假设时，不拒绝原假设H0。2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤 第七章第七章方差分析方差分析25/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 单因素方差分析表：单因素方差分析表：方差来源方差来源离差平方和离差平方和SS自由度自由度df均方均方MS检验统计量检验统计量FP值值F临界临界值值组间SSAm-1 组内SSEn-m 合计SSTn-
23、1 1mSSAMSAmnSSEMSEMSEMSAF 2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤 第七章第七章方差分析方差分析26/65 第第7 7章章 方差分析方差分析例例7-2 7-2（1）提出假设：）提出假设：3210:H不全相等3,2,1:1iHi（2）计算均值：）计算均值：83.5,86.8,6.7321xxx5.711111miiiminjijxnnxnxi（3）计算）计算SSA和和SSE：61.29)(21xxnSSAmiii89.18)(211minjiijixxSSE2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤 第七章第七章方差分析方差分析27/65 第第7 7章章 方差分析
24、方差分析（4）计算检验统计量：）计算检验统计量：)15,2(,756.111589.182609.29)/()1/(FFmnSSEmSSAMSEMSAF即可得到单因素方差分析表：即可得到单因素方差分析表：方差来源方差来源离差平方和离差平方和SS自由度自由度df均方均方MS检验统计检验统计量量FP值值F临界临界值值组间29.61214.80 11.7560.000849 3.682组内18.89151.259 合计48.517 2.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤 第七章第七章方差分析方差分析21 mdfA15mndfE28/65 第第7 7章章 方差分析方差分析（5）统计决策）统计决策
25、:临界值规则，由显著性水平临界值规则，由显著性水平=0.05，通过，通过F分布表可以分布表可以查到查到 ，,所以应该拒绝原假设，即认为所以应该拒绝原假设，即认为不同层次的管理者满意度评分之间是存在显著差异的。不同层次的管理者满意度评分之间是存在显著差异的。P值规则，由于值规则，由于P=0.000849，同样拒绝不同层次的管，同样拒绝不同层次的管理者满意度评分都相等的原假设。理者满意度评分都相等的原假设。FF682.3)15,2(05.02.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤 第七章第七章方差分析方差分析29/65 第第7 7章章 方差分析方差分析3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方
26、差分析中的多重比较l 统计上把通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验统计上把通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验哪些均值间存在差异的方法称为多重比较哪些均值间存在差异的方法称为多重比较l 多重比较的方法有许多种，它们的核心问题是如何控制多重比较的方法有许多种，它们的核心问题是如何控制犯犯类错误的大小类错误的大小l 我们这里介绍由费尔希提出的最小显著差异方法我们这里介绍由费尔希提出的最小显著差异方法LSDl 统计决策中拒绝原假设时，只能得出各总体均值之间统计决策中拒绝原假设时，只能得出各总体均值之间不完全相等的结论，但这并不意味着所有总体的均值不完全相等的结论，但这并不意味着所有总体的均值
27、均不相等，接下来往往还需要对各总体的均值进行两均不相等，接下来往往还需要对各总体的均值进行两两比较，回答多个总体均值中究竟哪些存在显著差异。两比较，回答多个总体均值中究竟哪些存在显著差异。第七章第七章方差分析方差分析30/65 第第7 7章章 方差分析方差分析LSD法操作的步骤：法操作的步骤：第第1步：提出假设：步：提出假设：jjHH1110:;:第第2步：计算检验统计量：步：计算检验统计量：jixx第第3步：计算最小显著差数步：计算最小显著差数LSD，计算公式为：，计算公式为：)11(2/jinnMSEtLSD式中为式中为 分布的临界值，可以由分布的临界值，可以由t分布表得到，其自分布表得到
28、，其自由度为组内平方和的自由度由度为组内平方和的自由度n-m；MSE为组内方差；为组内方差；、分别是第分别是第i个和第个和第j个水平观测值的数量。个水平观测值的数量。2tinjn3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差分析中的多重比较 第七章第七章方差分析方差分析31/65 第第7 7章章 方差分析方差分析第第4步：根据显著性水平做出统计决策：步：根据显著性水平做出统计决策：如果如果 ，则拒绝，则拒绝H0；如果如果 ，则不拒绝，则不拒绝H0。LSDxxjiLSDxxjil 由以上可知，由以上可知，LSD法实质上只是检验的一个简单变法实质上只是检验的一个简单变形，它是将形，它是将t检验中所求
29、得的检验中所求得的t的绝对值与临界值值的绝对值与临界值值 的比较转为将各对均数差值的绝对值的比较转为将各对均数差值的绝对值 与最小显与最小显著差数著差数LSD的比较做出统计推断的，但是它用了全部的比较做出统计推断的，但是它用了全部观测值，而非仅使用某两组的数据。观测值，而非仅使用某两组的数据。2tjixx3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差分析中的多重比较 第七章第七章方差分析方差分析32/65 第第7 7章章 方差分析方差分析例例7-4 7-4 （1）提出假设）提出假设:211210:;:HH311310:;:HH411410:;:HH321320:;:HH421420:;:HH65
30、1650:;:HH检验检验1：检验检验2：检验检验3：检验检验4：检验检验5：检验检验6：3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差分析中的多重比较 第七章第七章方差分析方差分析33/65 第第7 7章章 方差分析方差分析（2）计算检验统计量）计算检验统计量:5.06.61.621xx7.08.61.631xx067.0033.61.641xx2.08.66.632xx567.0033.66.642xx767.0033.68.643xx3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差分析中的多重比较 第七章第七章方差分析方差分析 第第7 7章章 方差分析方差分析34/65（3）计算）计算LSD：
31、根据单因素方差分析表，根据单因素方差分析表，MSE=0.0667。四种储存方法。四种储存方法的样本量相同，则的样本量相同，则6个检验的个检验的LSD相等。根据自由度相等。根据自由度n-m=20,查查t分布表得分布表得 。所以可得：。所以可得：086.2025.02 tt6,3,2,1,311.061610667.0086.2)11(2/innMSEtLSDjii4.统计决策：统计决策：1215.0LSDxx 此时应拒绝原假设，认为第一种储存方法此时应拒绝原假设，认为第一种储存方法和第二种储存方法的含水率有显著差异。和第二种储存方法的含水率有显著差异。3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差
32、分析中的多重比较 第七章第七章方差分析方差分析35/65 第第7 7章章 方差分析方差分析2317.0LSDxx341067.0LSDxx4322.0LSDxx542567.0LSDxx643767.0LSDxx 此时应拒绝原假设，认为第一种储存方此时应拒绝原假设，认为第一种储存方法和第三种储存方法的含水率有显著差异。法和第三种储存方法的含水率有显著差异。此时不能拒绝原假设，认为第一种储存此时不能拒绝原假设，认为第一种储存方法和第四种储存方法的含水率没有显著差异。方法和第四种储存方法的含水率没有显著差异。此时不能拒绝原假设，认为第二种储存此时不能拒绝原假设，认为第二种储存方法和第三种储存方法的
33、含水率没有显著差异。方法和第三种储存方法的含水率没有显著差异。此时应拒绝原假设，认为第二种储存此时应拒绝原假设，认为第二种储存方法和第四种储存方法的含水率有显著差异。方法和第四种储存方法的含水率有显著差异。此时应拒绝原假设，认为第三种储存方此时应拒绝原假设，认为第三种储存方法和第四种储存方法的含水率有显著差异。法和第四种储存方法的含水率有显著差异。3 3.单因素方差分析中的多重比较单因素方差分析中的多重比较 第七章第七章方差分析方差分析 第第7 7章章 方差分析方差分析36/654 4.Excel Excel操作操作 ExcelExcel操作操作l 在在Excel中进行单因素方差分析的方法中进
34、行单因素方差分析的方法 第七章第七章方差分析方差分析 第第7 7章章 方差分析方差分析37/65第三节第三节双因素方差分析双因素方差分析学习要点学习要点l 1.双因素方差分析应用双因素方差分析应用的的背景及类型背景及类型l 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析l 3.Excel操作操作 第七章第七章方差分析方差分析 第第7 7章章 方差分析方差分析l 如果两个目标因素对观测变量的影响是独立的，此类如果两个目标因素对观测变量的影响是独立的，此类的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析，的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析，或无重复因素的方差分析；或无重复因素的
35、方差分析；l 如果两个目标因素不同水平的搭配对观测变量的影响如果两个目标因素不同水平的搭配对观测变量的影响显著不同，则说明两目标因素是不独立的，两者会彼显著不同，则说明两目标因素是不独立的，两者会彼此影响从而对观测变量产生交互作用，此类双因素方此影响从而对观测变量产生交互作用，此类双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析，或可重复差分析称为有交互作用的双因素方差分析，或可重复双因素方差分析双因素方差分析.1 1.双因素方差分析应用双因素方差分析应用的的背景及类型背景及类型38/65 第七章第七章方差分析方差分析39/65 第第7 7章章 方差分析方差分析2 2.无交互作用的双因素方差分析无
36、交互作用的双因素方差分析（1 1）数据结构）数据结构l 双因素方差分析有两个目标因素双因素方差分析有两个目标因素l 数据结构需要将一个因素安排在行的位置，称数据结构需要将一个因素安排在行的位置，称为行因素为行因素;l 另一个安排在列的位置，称为列因素。另一个安排在列的位置，称为列因素。第七章第七章方差分析方差分析40/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析l 无交互作用双因素方差分析的数据结构无交互作用双因素方差分析的数据结构这这n个总体中的每一个总体均服从正态个总体中的每一个总体均服从正态分布，且具有相同的方差，这是进行分布，且具有相同的方差，这是进行双因素方差
37、分析的双因素方差分析的基本假定基本假定样本容量样本容量n=mk行平均值行平均值 表示行因素的第表示行因素的第i个水个水平下各观测值的平均值：平下各观测值的平均值：mjijikixmx1),.,2,1(1ix列平均值列平均值 表示列因素的第表示列因素的第j个水平个水平下各观测值的平均值：下各观测值的平均值：jxkiijjmjxkx1),.,2,1(1 是全部样本数据的总均值：是全部样本数据的总均值：xkimjijkimjijxkmxnx1111112 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析41/65（2 2）分析步骤）分析步骤提出假设提出假设l 对行因素提出假设：对行因素提出假
38、设：变量没有显著影响)对(行:210因因数kiH变量有显著影响）不全相等（行因数对因、ki211:Hl 对列因素提出假设：对列因素提出假设：变量没有显著影响)对(:210因列因数mjH变量有显著影响）不全相等（列因数对因、mj211:H 第第7 7章章 方差检验方差检验2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 第七章第七章方差分析方差分析42/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析计算检验统计量计算检验统计量l 离差平方和离差平方和列因素列因素A产生的：产生的：mjjmjkijxxkxxSSA12112)()(行因素行因素B产生的：产生的：ki
39、ikimjixxmxxSSB12112)()(l 自由度自由度l 均方均方1 mdfA1mSSAMSA1 kdfB1kSSBMSB2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析43/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析随机因数产生的：随机因数产生的：211)(xxxxSSEjkimjiij总离差平方和总离差平方和SST：SSESSBSSAXxxxXxXxXxSSTkimjjiijkimjimjkijmjkiij112112112112)()()()()1)(1(kmdfE1kmnSSEMSE1 ndfT2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的
40、双因素方差分析44/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章方差分析方差分析l 检验统计量检验统计量无交互作用双因素方差分析对应两个无交互作用双因素方差分析对应两个F检验统计量。检验统计量。A因素对观测变量影响显著性的检验统计量为：因素对观测变量影响显著性的检验统计量为：)1,1(kmnkFMSEMSAFA B因素对观测变量影响显著性的检验统计量为：因素对观测变量影响显著性的检验统计量为：)1,1(kmnmFMSEMSBFB2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析45/65统计决策统计决策l 当当 落入拒绝域，拒绝原假设落入拒绝域，拒绝原假设H0说明说明A因素对
41、观变量有显著影响。否则，不拒绝原假因素对观变量有显著影响。否则，不拒绝原假设，认为设，认为A因素对观测变量没有显著影响。因素对观测变量没有显著影响。l 当当 落入拒绝域，拒绝原假设落入拒绝域，拒绝原假设H0说明说明A因素对观变量有显著影响。否则，不拒绝原假因素对观变量有显著影响。否则，不拒绝原假设，认为设，认为A因素对观测变量没有显著影响。因素对观测变量没有显著影响。1,1FFAkmnk)1,1(kmnmFFBl 利用利用P值进行决策时，如果值进行决策时，如果FA的概率的概率P值小于显值小于显著性水平，则拒绝原假设，认为著性水平，则拒绝原假设，认为A因素对观测变因素对观测变量具有显著影响，反之
42、拒绝。量具有显著影响，反之拒绝。B因数同理。因数同理。第第7 7章章 方差分析方差分析2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 第七章第七章方差分析方差分析46/65 第第7 7章章 方差分析方差分析误差来源误差来源离差平方和离差平方和SS自由度自由度df均方均方MSFP值值 F临界值临界值因素ASSAm-1 因素BSSBk-1 随机因素SSEn-m-k-1 合计SSTn-1 无交互作用的双因素方差分析表无交互作用的双因素方差分析表1mSSAMSA1kSSBMSB1kmnSSEMSEMSEMSAFAMSEMSBFB2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析
43、 第七章第七章方差分析方差分析47/65例例7-6 7-6 提出假设提出假设因素因素A：543210:H不全相等、543211:H因素因素B：43210:H不全相等、ki211:H计算检验统计量计算检验统计量因素因素A：8.298)()(12112mjjmjkijxxkxxSSA41 mdfA7.741mSSAMSA 第第7 7章章 方差分析方差分析2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 第七章第七章方差分析方差分析48/65 第第7 7章章 方差分析方差分析因素因素B：111)()(12112kiikimjixxmxxSSB31 kdfB371kSSBMSB总离差平方和
44、总离差平方和SST：8.643)(112mjkiijXxSST随机因数：随机因数：234SSBSSASSTSSE12)1)(1(kmdfE5.191kmnSSEMSE2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 第七章第七章方差分析方差分析49/6583079.3MSEMSAFA897436.1MSEMSBFB检验统计量检验统计量误差来误差来源源离差平方和离差平方和SS自由度自由度df均方均方MSFP值值F临界值临界值因素A298.8474.4 3.83070 0.0313243.259167 因素B111337 1.897426 0.1838893.490295 随机因素23
45、61219.5 合计643.819 不同包装方式和地区销售量的双因素方差分析表不同包装方式和地区销售量的双因素方差分析表:第第7 7章章 方差分析方差分析2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 第七章第七章方差分析方差分析50/65对于因素对于因素A，因为，因为 ，所以应拒绝，所以应拒绝H0，即认为，即认为不同包装方式对销售量有显著影响；如果用不同包装方式对销售量有显著影响；如果用P值决策，检验值决策，检验的的P=0.0313240.05,同样不拒绝原假设。同样不拒绝原假设。统计决策：统计决策：显著性水平显著性水平=0.05时，查时，查F分布表可得：分布表可得：490295.312,3,259167.312,405.005.0FFFFA83079.3FFB897436.1 第第7 7章章 方差分析方差分析2 2.无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 第七章第七章方差分析方差分析51/653.3.Excel Excel操作操作 ExcelExcel操作操作l Excel中进行无交互作用的双因素方差分析的方法。中进行无交互作用的双因素方差分析的方法。第七章第七章方差分析方差分析52/65 第第7 7章章 方差分析方差分析 第七章第七章 方差分析方差分析第七章第七章 要点回顾要点回顾
