1、南海区南海区三水区三水区 2023 届摸底测试届摸底测试 数学试题数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合|ln1Axx，2,0,1,2,4B ，则AB（）A1 B1,2 C1,2,4 D0,1,2 2已知向量(1,3)a，则下列向量中与a垂直的是（）A(0,0)B(3,1)C(3,1)D(3,1)3已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点(1,2)P ，则2sinsin2（）A58 B85 C55 D2 55 4李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，
2、经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，21(,6)XN，22(,2)YNX和Y的分布密度曲线如图所示则下列结果正确的是（）A()6D X B12 C(38)(38)P XP Y D(34)(34)P XP Y 5对于常数a，b，“0ab”是“方程221axby对应的曲线是双曲线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6若1mn，lnlnamn，1(lnln)2bmn，ln2mnc，则（）Aabc Bcab Cbac Dacb 7在下列函数中，最小正周期为且在0,2上单调递减的是（）A()sin 2f xx B()cos 26f
3、 xx C()cosf xx D()tan 24f xx Ot/miny30 34 3826X的密度曲线的密度曲线Y的密度曲线的密度曲线Ot/miny30 34 3826X的密度曲线的密度曲线Y的密度曲线的密度曲线8已知函数()(3)exf xx，若经过点(0,)a且与曲线()yf x相切的直线有三条，则（）A3ea Bea C3a D3a 或ea 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9下列关于复数21 iz(i为虚数单位)的命题，其中真命题为（）A2z B21
4、 izz Cz的共轭复数为1 i Dz的虚部为 1 10两个等差数列na和nb，其公差分别为1d，2d，其前n项和分别为nS，nT，则下列命题中正确的是（）A若nS为等差数列，则112da B若nnST为等差数列，则120dd C若nna b为等差数列，则120dd D若*Nnb，则nba为等差数列，且公差为12dd 11如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABC D中，点P在侧面11BBC C(包含边界)内运动，则下列结论正确的有（）A直线1BD 平面11AC D B二面角1BCDB的大小为2 C过三点1,P A D的正方体的截面面积的最大值为22a D三棱锥111BAC D的外接球半径
5、为3a 12已知随机变量X的取值为不大于*()Nn n的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p p0 p1 p2 p3 pn 其中(0,1,2,3,)ip in满足0,1ip，且01niip定义由X生成的函数230123()ininf xpp xp xp xp xp x，()g x为函数()f x的导函数()E X为随机变量X的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2，3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为1()f x，则（）A()(2)E Xg B115(2)2f C()(1)E Xg D1225(2)4f 三、填空题
6、：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13事件A的优势比定义为()()P AP A如果2()3P A，则事件A的优势比是 ABCDD1C1B1A1P14已知圆的方程为221xy，抛物线的方程为283yx，则两曲线的公共切线的其中一条方程为 15设函数22(1)sin()1xxf xx的最大值为M，最小值为m，则Mm 16 设椭圆的两个焦点是1F，2F，过1F的直线与交于P，Q两点，若212PFFF，且1134PFQF，则椭圆的离心率为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知数列na的首项135a，*13()41Nnn
7、nanaa（1）求证数列12na为等比数列；（2）记12111nnTaaa，若20nT，求n的最大值 18(12 分)已知ABC的外接圆半径2R 且三个角的正弦值sin A，sin B，sinC成等比数列（1）求B的取值范围；（2）求ABC的面积的最大值 19(12 分)在如图所示的圆柱MN中，AB为圆M的直径，C，D是AB上的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱MN的母线（1）求证：/FM平面ADE；（2）若1BC，已知直线AF与平面ABCD所成的角为30，求二面角AFBC的余弦值 AMBCNEFGD 20(12 分)汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续
8、发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码(2016)x xt 1 2 3 4 5 销量 y/万辆 10 12 17 20 26（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破 50 万辆；（2）为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业随机调查了该地区 200 位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w
9、名，购置新能源汽车的有 45 名，女性车主中有 20 名购置传统燃油汽车 若95w，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区 2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取 5 人，记恰有 3 人购置新能源汽车的概率为()f p，求当w为何值时，()f p最大 附：ybxa为回归方程，1221niiiniix ynx ybxnx，aybx 21(12 分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线2:2(
10、0)xpy p的焦点为F，抛物线上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：FMFNMN；8 6OMONMN；直线MN 的方程为6yp（1）请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件?并求抛物线的标准方程；（2）过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线于A，B，C，D，且A，C两点在直线BD的下方，求证：直线AD，BC的倾斜角互补并求直线AD，BC的交点坐标 22(12 分)已知函数1()lneaxf xxaxx（1）若2a，试判断函数()f x的零点的个数；（2）若不等式()0f x 对(1,)x恒成立，求a的最小值 南海区南海区三水区三水区 2023 届摸底测试数学届摸底测试
11、数学 参考答案参考答案 1【答案】B【解析】|ln1|0eAxxxx，2,0,1,2,4B ，1,2AB 2【答案】D【解析】设向量(,)bx y与a垂直，则30a bxy，3xy，只有选项 D 符合 3【答案】B【解析】因为角的终边过点(1,2)P ，1x，2y ，225rxy，2 5sin5yr，5cos5xr，则22448sinsin2sin2sincos555 4【答案】C 【解析】21(,6)XN，2()636D X，A 错误；由图可知，130，234，12，B 错误；4(38)3P XP X，(38)(2)P YP Y，(38)(38)P XP Y，C 正确；2(34)0.53P
12、XP X，(34)()0.5P YP Y，(34)(34)P XP Y，D 错误，故选 C 5【答案】C【解析】当0ab 时，方程221axby对应的曲线是双曲线反过来，若方程221axby对应的曲线是双曲线，则0ab 所以“0ab”是“方程221axby对应的曲线是双曲线”的充要条件 6【答案】A【解析】1mn，lnln0mn，由基本不等式可得1(lnln)lnln2bmnmna，且11lnlnln()(lnln)222mncmnmnmnb，故abc，选 A 7【答案】C【解析】选项 A，()sin 2f xx不是周期函数；选项 D，()tan 24f xx，其最小正周期为2，选项 B，()
13、cos 26f xx，最小正周期为，当0,2x时，72,666x，故()f x在0,2上先减后增 选项 C，()cosf xx，其最小正周期为，当0,2x时，()cosf xx单调递减，故选 C 8【答案】A【解析】()(3)exf xx，()(2)exfxx，设切点为(,(3)e)ttt，则切线斜率(2)etkt，切线方程为(3)e(2)e()ttyttxt，将(0,)a代入，得(3)e(2)ettatt t，2(33)etatt，设2()(33)etg ttt，则2()()e(1)ettg tttt t ，当0t 或1t 时，()0g t，()g t单调递减，当01t 时，()0g t，(
14、)g t单调递增 又(0)3g，(1)eg，且当x 时，233()0etttg t；当x 时，2()(33)etg ttt ，作出函数()yg t的图象如图所示，由图可知，要使函数()yg t的图象与直线ya有三个不同的交点，则3ea 9【答案】AD 【解析】22(1 i)2(1 i)1 i1 i(1 i)(1 i)2z，2z，A 正确；21 i2i1 izz ，B 错误；z的共轭复数为1 i，C 错误；z的虚部为 1，D 正确 10【答案】AB 【解析】若nS为等差数列，则nS是关于n的一次函数，即211111(1)222nddn nSnadnan是完全平方式，从而1102da，112da，
15、A 正确；若nnST为等差数列，即2221122121211112222222nnddddddddSTnannbnnabn是等差数列，12022dd，即120dd，B 正确；若nna b为等差数列，则2111212121121211112()()()()()()nna bd nadd nbdd d nad d nbdd nadbd为等差数列，则120d d，10d或20d，所以 C 错误；若*Nnb，则11112()(2)nnnnbbbbddaadn，所以数列nba为等差数列，且公差为12d d，所以 D 错误 11【答案】AC【解析】选项 A，直线1BD在平面1111ABC D内的射影为直线
16、11B D，显然1111B DAC，由三垂线定理可知111BDAC，同理可证11BDAD，从而直线1BD 平面11AC D，A 正确；选项 B，二面角1BCDB即为平面11ABCD与底面ABCD所成的角，其平面角为1BCB，大小为4，B 错误；三棱锥111BAC D的外接球即为正方体1111ABCDABC D的外接球，其直径为3a，半径为32a，D错误 12【答案】CD【解析】随机变量X的可能取值为 2，3，4，5，6，7，8，且111(2)4416P X，2(3)16P X，3(4)16P X，4(5)16P X，3(6)16P X，2(7)16P X，1(8)16P X 所以随机变量X的分
17、布列为：X 2 3 4 5 6 7 8 P 116 216 316 416 316 216 116 所以1234321()2345678516161616161616E X ，则由X生成的函数876543211131311()16816416816f xxxxxxxx，11225(2)16 16 1283 144f ，所以 B 错误，D 正确；7654321795331()()2884488g xfxxxxxxxx，(1)2g，所以 A 错误，C 正确 13【答案】2 【解析】2()3P A，1()3P A，则事件A的优势比()2()P AP A 14【答案】320 xy或320 xy【解析】
18、显然切线斜率存在且不为 0，设切线方程为xmya，则211am，得221am 将xmya代入283yx，整理得：23880ymya，则264960ma，即2230ma，将221ma代入上式，得22320aa，(21)(2)0aa，解得12a 或2a ，当12a 时，22314ma ，故舍去；2a，23m，3m ，所以切线方程为320 xy或320 xy 15【答案】2【解析】22222(1)sin12sin2sin()1111xxxxxxxf xxxx ，记22sin()1xg xxx，则函数()g x为奇函数，maxmin()()0g xg x，又max1()Mg x，min1()mg x，
19、所以2Mm 16【答案】57 【解析】如图，设椭圆方程为22221(0)xyabab，由1134PFQF，可设14PFt，13QFt，由12122PFPFQFQFa，可得22QFtc，2atc，取1PF的中点M，则22MFt,11212cos=MFtPFFFFc，在12QFF中，由余弦定理可得 22221294(2)842cos12123tctcttctcQFFtctcc，1212PFFQFF，1212coscosQFFPFF，即23tctcc，解得5ct，725atcc，离心率57cea 17【解析】（1）由条件得14112231122nnnnnnaaaaaa1 分 41 6312nnnnn
20、aaaaa 2 分 1 2311 23nnnnaaaa3 分 所以数列12na为等比数列4 分（2）1111112233nnnaa ，5 分 1123nna6 分 1211111322nnnTnaaa7 分 当10n 时，101011320202T，8 分 当11n 时，11111111111113333222022020222T9 分 所以10n 10 分 18【解析】（1）由条件2sinsinsinBAC由正弦定理得2bac 1 分 由余弦定理22222cos22acbacacBacac，3 分 又因为222acac，4 分 所以1cos22acBac，5 分 则060B 6 分（2）设1
21、sin2ABCSacB，7 分 21sin2ABCSbB，8 分 因为24sinbRB，4sinbB，9 分 3338sin83 32ABCSB12 分 19【解析】（1）如图，连结MC，MD因为C，D是半圆AB的两个三等分点，所以60AMDDMCCMB 1 分 又MAMBMCMD，所以AMD，CMD，BMC均为等边三角形2 分 所以AMADDCCM，所以四边形ADCM为平行四边形/MCAD 3 分 又因为MC 平面ADE，AD 平面ADE，所以/MC平面ADE5 分 因为EA，FC都是圆柱MN的母线，所以/EAFC，又因为FC 平面ADE，AE 平面ADE，所以/FC平面ADE 又,CM F
22、C 平面FCM，且CMFCC，所以平面/FCM平面ADE，又FM 平面ADE，所以/FM平面ADE（6 分）（2）连结AC，FC是圆柱MN的母线，所以FC 圆柱MN的底面，所以FAC是直线FC与平面ABCD所成的角，即30FAC因为AB是圆M的直径，所以90ACB，在RtABC中，60ABC，1BC 所以tan603ACBC 所以在RtAFC中，tan301FCAC （7 分）以C原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴、y轴、z轴建立AMBCNEFGDzxy空间直角坐标系Cxyz如图所示，则(3,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,1)F，8 分 所以(3,1,0)AB ，(3,0,
23、1)AF ，9 分 设平面AFB的法向量为(,)nx y z，则00n ABn AF ，即3030 xyxz，令1x，得3yz，平面AFB的一个法向量为(1,3,3)n，10 分 又因为平面BCF的法向量为(1,0,0)m，所以17cos,77m nm nmn 11 分 所以二面角AFBC的余弦值为7712 分 20【解析】（1）由题意得1234535x，10 12 172026175y，1295niiix y，2155niix，12212955 3 1745545niiiniix ynx ybxnx ，174 35aybx ，y关于x的线性回归方程为45yx，令4550yx，得11.25x，
24、所以最小的整数为 12，2016 122028，所以该地区新能源汽车的销量最早在 2028 年能突破 50 万辆 5 分（2）由题意知，该地区 200 名购车者中女性有200954560名，故其中购置新能源汽车的女性车主的有602040名所以购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为408404517 6 分 所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817 预测该地区 2023 年购置新能源汽车的销量为33 万辆，因此预测该地区 2020 年购置新能源汽车的女性车主的人数为83315.517万人7 分 由题意知，4545pw，0135w，则3325435()C(1)10(2)f pp
25、pppp8 分432222()10(583)1058310(1)(53)fpppppppppp9 分 当30,5p时，知()0fp，所以函数()f p单调递增；当3,15p时，知()0fp所以函数()f p单调递减10 分所以当35p 时，()f p取得最大值3235333216C1555625f 11 分此时453455w，解得30w，所以当30w 时，()f p取得最大值21662512 分 21【解析】（1）若同时满足，由FMFNMN，可得MN过焦点0,2pF，当OMON时2MNp，而522pOMONMNp所以不同时成立2 分 若同时满足，由FMFNMN，可得MN过焦点0,2pF，因为直
26、线MN的方程为6yp，不可能过焦点0,2pF，所以不同时成立4 分 只能同时满足条件，因为8 6OMONMN；且直线MN的方程为6yp，所以612 2p，解得2 2p 所以抛物线的标准方程为24 2xy6 分（2）设过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD的方程分别为2pykx，2pykx (即为2ykx，2ykx)，由方程组24 22xyykx，5 分 得24 2(2)xkx，24 280 xkx，所以4 2ABxxk，8ABxx，同理4 2CDxxk，8CDxx，8 分 所以0ABCDxxxx，设直线AD，BC的方程为11yk xb，22yk xb，由方程组2114 2xyyk x
27、b，得2114 2()xk xb，2114 24 20 xk xb，所以14 2ADxxk，14 2ADxxb，同理24 2CBxxk，24 2CBxxb，所以124 24 20ABCDxxxxkk，得120kk 所以直线AD，BC的倾斜角也互补 10 分 由0ABCDxxxx，14 2ADxxb，8ABxx，8CDxx，得880ADADxxxx，8()()0ADADADxxxxxx，8()10ADADxxxx，18104 2b，12b ，同理22b 11 分 直线AD，BC同过点(0,2)P，所以直线AD，BC相交于定点(0,2)P 12 分 22【解析】（1）2121()1212xxfxx
28、xxexe 1 分 令()()h xfx，则221()2xh xxe 2 分 0 x，e1x，101ex，1210ex ，220 x，21220 xex，得()fx在(0,)上是减函数3 分 1(1)10ef ，21(2)(1 1 4)0ef ，()fx在(1,2)存在零点0 x，即0()0fx，012x，()f x在0(0,)x为增函数，在0(),x 为减函数4 分 1(1)0ef，12e11112eeefe，101e，1ee1，1e11e，12e111110eee ，10ef，()f x在0(0,)x为增函数，且1(1)0eff，()f x在0(0,)x有一个零点，5 分 2e1(e)e2
29、eef，2.7e2.8，e24.8，eee22，e11e2，e1e25.3e，222e2.7(20.7)42 2 0.76.8 ，2e1(e)e2e0ef()f x在0(0,)x为增函数，01x，0()(1)0f xf()f x在0(),x 为减函数，(e)0f，0()(e)0f xf，()f x在0(),x 有一个零点，()f x在定义域内有两个零点6 分（2）当1x 时，()0f x，当0a 时，110exx 显然成立，下面讨论0a 时，即1lneaxxaxx，7 分 考察函数1()exh xx，1()1exh x，知()h x在(0,)为增函数 lnln(ln)lnlnlnaaxxahaxaxeaxeaxx 即()(ln)h xhax9 分 当1x 时，0a，1x，ln0ax，lnxax10 分 ln0 x，lnxax，11 分 考察()lnxg xx，2ln1()(ln)xg xx，()g x在区间(1,e)是增函数，在区间(e,)上是减函数，()g x的最大值为e(e)elneg ，ea，a的最小值为e12 分
