1、13.1.2.直角坐标系下二重积分的直角坐标系下二重积分的 计算计算教学目的：教学目的：1.熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；2.懂得用二重积分求面积及体积。懂得用二重积分求面积及体积。教学重点：一般区域上二重积分的计算教学重点：一般区域上二重积分的计算 教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分 （化二重积分为累次积分）（化二重积分为累次积分）二二重重积积分分殊殊的的划划分分方方法法计计算算方方法法无无关关！故故可可以以取取特特则则积积分分值值与与划划分分的的上上可可积积在在设设,),(Dyxfxyoxdxx y
2、dyy dxdyd xbad 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DdyxfV),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xDydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下累次积分计算DdyxfV),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd badcbadcDdydxyxfdx
3、dyyxfdxdyyxfdcbaDyxf),(),(),(,),(上连续，则在若即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分此时，选择哪种次序就看此时，选择哪种次序就看被积函数被积函数（积分要简单）（积分要简单）一一.矩形区域上二重积分的计算矩形区域上二重积分的计算dcbadcbadxyxfdydyyxfdx),(),(1,0 1,0,1DdxdyxyxD其中求dxdyxyxD1dyxyxdx10101)1(111010 xydxydx10)1ln(dxx10)1ln()1(xx10dx.12ln2解解:先对先对y积分积分,后对后
4、对x积分积分先对先对x积分积分,后对后对y积分积分dxdyxyxD110101dxxyxdydxxydyy)111(11010dyyyy)1ln(11110=?例例1.上连续，在若,)()(),(dcbaDyxyxfDdxdyyx)()(则特殊的特殊的,.)()(dcbadyydxx例例2.计算二重积分.10 10,，其中DdxdyeDyx解解:dyedxedxdyeyxDyx1010.)1(2 e二二、一般区域上二重积分的计算一般区域上二重积分的计算且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积
5、的计算可知,若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于Dyxyxfdd),(2oxy说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序
6、交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd1D2D3D321DDDD则 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.Y-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.3D2D1D.321DDDD(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,(如右图)在直角坐标系下在直角坐标系下,将二重积分化为
7、累次积分计算的步骤将二重积分化为累次积分计算的步骤:(1)先画出区域先画出区域D的图形；的图形；(2)根据图形特点确定积分顺序根据图形特点确定积分顺序,是先对是先对x积分积分还是先对还是先对y积分积分;(3)确定区域确定区域D的坐标应满足的不等式的坐标应满足的不等式,从而确从而确定积分的上定积分的上、下限下限,化二重积分为累次积分化二重积分为累次积分.注意注意:(1)最后的积分限一定是常数；最后的积分限一定是常数；(2)先对什么变量积分，积分限一定是另一个变量先对什么变量积分，积分限一定是另一个变量的函数的函数(或常数或常数)。xy211xy o221d y例例3.计算,dDyxI其中D 是直
8、线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.x解法解法1.将D看作X型区域,则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2.将D看作Y型区域,则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y.1,2所所围围成成的的区区域域及及双双曲曲线线 xyxyx是由直线其中计算DdyxD,22解解xxo12xy 2 x1 xyDy积分后对积分先对xy,)1(xyxDx121:xxDdyyxdxdyx1222122 49)(213 dxxx例4.积分后对积分先对yx,)2(2 x1D2D221yy1xy 1 xy
9、xoy2须分段表达！的左边界注意：)(1yxD即即21DDD 21121:1xyyD 221:2xyyD Ddyx 22dyyydyyy)31138()131138(21251212 212221212122yydxyxdydxyxdy49 比较可见比较可见,此题选此题选择先对择先对y积分较简积分较简便便.xoyxy 2 x1 xy22 yD*D64272dxyxdyyy12221?:*22 Ddyx 问问例例5.计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy
10、12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 对称轴垂直求由两个半径相等且其.V的体积相交的圆柱面所围立体解解的的方方程程为为设设两两圆圆柱柱面面222222azxayx oxyz22xaz 2210:xayaxoD例6.于于是是得得到到 122188DdxaVV 2202208xaadyxadx3022316)(8adxxaa 例例7.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos
11、x20dsinxxxx先对 x 积分不行,dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例8.例例9.计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224说明说明:有些累次积分为了积分方
12、便,还需交换积分顺序.例例10.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy步骤步骤：(1)先根据已知累次积分写出积分区域并作图；先根据已知累次积分写出积分区域并作图；(2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程；根据积分区域及图写出边界曲线的方程；(3)根据边界曲线的方程写出另一积分次序。根据边界曲线的方程写出另一积分次序。改变
13、累次积分的次序改变累次积分的次序xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图例11.xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例12.axy2 解解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例13.解解两两曲曲线线的的交交点点),1,1(,)0,0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2
14、yx 2xy 2yx 例例14.dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例15.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例16.二二.内容小结内容小结在直角坐标系下在直角坐标系下 二重积分化为累二重积分化为累次积分的方法次积分的方法 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21
15、d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaD计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式设设)(xf在在1,0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(
16、xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序.令令 110)()(xdyyfxfdxI,则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf思考题解答思考题解答故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 一、一、填空题填空题:1 1、Ddyyxx)3(323_._.其中其中 .10,10:yxD 2 2、Ddyxx)cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域的三角形闭区域.3 3、
17、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分,应为应为_._.练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由直线是由直线 2,xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分,应为应为 _._.5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
18、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),(改改换换积积分分次次序序,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序,应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二二、画画出出积积分分区区域域,并并计计算算下下列列二二重重积积分分:1 1、Dyxde,其其中中D是是
19、由由1 yx所所确确定定的的闭闭区区域域.2 2、Ddxyx)(22其其中中D是是由由直直线线 xyxyy2,2 及及所所围围成成的的闭闭区区域域.3 3、xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),(。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D:20,11 yx.三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线,2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成,它的面密度它的面密度22),(yxyx ,求该求该薄片的质量薄片的质量.四、四、求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积.一、一、1 1、1 1；2 2、23 ；3 3、220),(xrrrdyyxfdx；4 4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、211210),(yydxyxfdy；6 6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7 7、21120),(xexdyyxfdx.练习题答案练习题答案二、二、1 1、1 ee；2 2、613；3 3、；4 4、235 .三、三、34.四、四、6.
