1、恭贺同学们进入新的学习阶段！恭贺同学们进入新的学习阶段！欢迎同学们来到合肥工业大学学习！欢迎同学们来到合肥工业大学学习！工程图学工程图学是工科院校的学生一门是工科院校的学生一门必修的技术基础课，必修的技术基础课，主要培养空间思维能力。主要培养空间思维能力。本门课程的学习对有些同学来本门课程的学习对有些同学来说有一定的难度。说有一定的难度。请记住两条：一是听懂每堂课，请记住两条：一是听懂每堂课，二是完成每次作业。二是完成每次作业。加强与教师的交流，加强与教师的交流，不懂就问，有问题要提。不懂就问，有问题要提。予祝大家取得好成绩！予祝大家取得好成绩！工程图学电子教程合肥工业大学0.几何元素点、线、
2、面的定义及表示方法几何元素点、线、面的定义及表示方法1.数学定义：数学定义：A点：点：（50，60，100）B点：点：（100，80，30）AB线段线段点线面定义平面平面ABC2.投影定义投影定义点的投影点的投影 线段的投影线段的投影平面的投影平面的投影投射中心投射中心物物体体投投影影投影面投影面P投射线投射线物物体体投射源投射源投射线投射线投影面投影面P投投影影（第1讲）一.投影法2.平行投影1.中心投影三角形平面平三角形平面平行投影面，投行投影面，投影成实形。影成实形。直线上的点分线直线上的点分线段成定比，即：段成定比，即：AB:BC=ab:bc三角形平面平行三角形平面平行于投射线，投影于
3、投射线，投影积聚一线。积聚一线。ABCcba3.平行投影的特点斜投影（投射线不垂直于投影面）斜投影（投射线不垂直于投影面）正投影正投影投射线垂直投射线垂直于投影面于投影面4.平行投影中的斜投影和正投影投射线垂投射线垂直于投影直于投影面面一个投影不能一个投影不能反映物体形状反映物体形状HV投射线垂投射线垂直于直于V面面用两个以上的投用两个以上的投影面来形成一个影面来形成一个物体的多面投影物体的多面投影5.多面投影两面体系两面体系HV由互相垂直的由互相垂直的H和和V面构成，物体在两面面构成，物体在两面上的投影见前图上的投影见前图三面体系三面体系VHW投射线从三个不投射线从三个不同方向投射，并同方向
4、投射，并垂直于投影面。垂直于投影面。三个投影分别称作：三个投影分别称作：水平投影、正面投水平投影、正面投影、侧面投影影、侧面投影立体的两面投影能立体的两面投影能唯一确定其形状吗？唯一确定其形状吗？立体在两投影面体系中的投影立体在两投影面体系中的投影有时也不能！有时也不能！请再举若干个例子来说明。请再举若干个例子来说明。VV1HH1WW1空间分为八个象角空间分为八个象角我国标准规定优先我国标准规定优先采用第采用第一一象角象角二.点的投影aaVHOXAaxYZ空间点空间点A的三个坐标值的三个坐标值:x:Oaxy:Aa或或aaxz:Aa或或aaxAaZYXOaaxazaya”A点在三个投影面上的投影
5、点在三个投影面上的投影分别用分别用 a,a,a表示表示.空间点空间点A的三个坐标值的三个坐标值:x:Aa”或或 aaz、aayy:Aa或或 aax、a”azz:Aa或或 aax、a”ay1.点在两面和三面体系中aax、aax与与OX是什么几何关系？是什么几何关系？aax、aax与与OX，aay、a”ay与与OY，aaz、a”az与与OZ是什么几何关系？是什么几何关系？aaOX去掉空间点去掉空间点A,绕绕OX轴旋转轴旋转H面面(包包括其上的投影点）括其上的投影点）与与V面重合面重合去掉投影面，得点去掉投影面，得点的两面投影图的两面投影图。（1）两面投影zyx2.点的投影图注意：投影图中，投影连线
6、注意：投影图中，投影连线 aa 垂直于垂直于OX轴轴,位置和长度位置和长度由由X、Y、Z坐标确定。坐标确定。（2）三面投影VHWaaa”axazayayaaa”axazayay去掉空间点去掉空间点A,旋转投影面旋转投影面H、W与与V面重合，得此图，注意：面重合，得此图，注意：OY轴一分为二。轴一分为二。OZXYHYWyy去掉投影面，得点去掉投影面，得点A的三面的三面投影图，注意：投影投影图，注意：投影a、a”Y坐标的一致。坐标的一致。2.点的投影图1.用平面图形来表示投影图，即三个投影面重合在用平面图形来表示投影图，即三个投影面重合在同一平面上。同一平面上。2.各投影点在图中的位置，由空间点的
7、各投影点在图中的位置，由空间点的X、Y、Z三个坐标来决定，注意坐标的量取。三个坐标来决定，注意坐标的量取。3.投影图中，各投影点之间的连线，即投影图中，各投影点之间的连线，即aa、aa”、aa”(该连线分成两段）分别垂直于相应的投影轴：该连线分成两段）分别垂直于相应的投影轴：aa ox,aa”oz,aa”oy。2.点的投影图（3）点的投影图画图小结例例1：已知点：已知点A(25,15,30)、B(35,15,0)、C(15,0,0),在两投在两投影面上作它们的投影图。影面上作它们的投影图。OX253015aaccbb例例2:已知已知A(20,30,15)、B(20,30,30)、C(30,0,
8、15)、D(0,30,0)四点四点,试在三投试在三投影面上作它们的投影图影面上作它们的投影图,并分析它们并分析它们之间的位置关系。之间的位置关系。aaa”bbb”ccc”ddd”d”1.A、B点在空间里，点在空间里，C点在点在V面上，面上，D点在点在Y轴上；轴上；2.B点在点在A点的正上方，水平点的正上方，水平投影投影b遮遮a,a 画上括号。画上括号。d”要写在W投影面上2.点的投影图（4）画图举例(a)(a)坐标法坐标法(b)(b)逆投影线法逆投影线法已知点已知点A的坐标或投影，在大脑中进行的坐标或投影，在大脑中进行（5）想象空间点2.点的投影图三.直线的投影aaba”b”b投影图作法：投影
9、图作法：1.先由先由A、B两点的坐标值定出两两点的坐标值定出两点的正面投影和水平投影；点的正面投影和水平投影；2.再根据已知两投影求第三投影再根据已知两投影求第三投影的作法作出另一投影。的作法作出另一投影。（1）直线相对于投影面的各种位置投影面平行线（只平行一个投影面）投影面平行线（只平行一个投影面）ababa”b”特点：特点：1.直线上各点到某一投影直线上各点到某一投影面距离相等面距离相等;2.在直线所平行的投影面上，投在直线所平行的投影面上，投影反映直线实长以及直线与其它影反映直线实长以及直线与其它两投影面夹角；两投影面夹角；3.其它两投影平行相应的投影轴其它两投影平行相应的投影轴。ag平
10、行于平行于V面，面，称：正平线称：正平线根据直线所平行的投影面，根据直线所平行的投影面，分：平行于分：平行于H 称称 水平线水平线 平行于平行于V 称称 正平线正平线 平行于平行于W 称称 侧平线侧平线三.直线的投影投影面垂直线投影面垂直线aba(b)b”a”特点：特点：1.直线与某一方向的投射直线与某一方向的投射线平行，即垂直于某一投影面线平行，即垂直于某一投影面;2.在直线所垂直的投影面上，投在直线所垂直的投影面上，投影积聚为一点；影积聚为一点；3.其它两投影平行于同一根投影其它两投影平行于同一根投影轴，并反映线段的实长轴，并反映线段的实长。根据直线所垂直的投影面，根据直线所垂直的投影面，
11、分：垂直于分：垂直于H 称称 铅垂线铅垂线 垂直于垂直于V 称称 正垂线正垂线 垂直于垂直于W 称称 侧垂线侧垂线垂直于垂直于V面，面，称：正垂线称：正垂线三.直线的投影（1）直线相对于投影面的各种位置aaba”b”b特点：特点：1.1.直线与任何投影面均直线与任何投影面均不平行，也不垂直不平行，也不垂直;2.2.在三个投影面上，投影均为在三个投影面上，投影均为比直线实长要短的线段，与投比直线实长要短的线段，与投影轴既不平行，也不垂直。影轴既不平行，也不垂直。3.3.直线的实长和夹角要另求。直线的实长和夹角要另求。一般位置线一般位置线（1）直线相对于投影面的各种位置三.直线的投影作业本作业本P
12、02：2-01、2-02题选做一题；题选做一题；2-03题任选一小题；题任选一小题；2-04、05题。题。P03：3-01、02题中各任选一小题；题中各任选一小题；3-03题。题。作业作业图形还有其他画法，只要满足题目条件都是对的。图形还有其他画法，只要满足题目条件都是对的。共面、平行交叉交叉垂直相交P3作业解答作业解答（第2讲）三.直线的投影（2）abA、B两两端点端点Y坐标差坐标差A、B两端两端点点Z坐标差坐标差aabbA、B两两端点端点Y坐标差坐标差A、B两两端点端点Z坐标差坐标差abAB实长实长AB实长实长一般位置线求实长及对投影面夹角一般位置线求实长及对投影面夹角小结小结：由上述投影
13、图得出：由上述投影图得出：求求a角和线段实长角和线段实长 水平投影水平投影Z坐标差直角三角形坐标差直角三角形求求b角和线段实长角和线段实长 正面投影正面投影Y坐标差直角三角形坐标差直角三角形同理推出：同理推出：求求g角和线段实长角和线段实长 侧面投影侧面投影X坐标差直角三角形坐标差直角三角形利用平面图形来求解空间线段的实长、线段与投影面的夹角等利用平面图形来求解空间线段的实长、线段与投影面的夹角等一些空间问题的方法称：一些空间问题的方法称：图解法。图解法。图解法作图举例图解法作图举例如：已知线段的夹角或实长等条件，求线段的投影。如：已知线段的夹角或实长等条件，求线段的投影。三.直线的投影（2）
14、例例 已知已知AB线段与线段与H面夹角等于面夹角等于30，补全，补全AB的投影图。的投影图。aZABZABba水平投影长水平投影长以以a为圆心，水平投为圆心，水平投影长为半径画圆弧，影长为半径画圆弧，与与bb连线交于连线交于b.b构造直角构造直角三角形三角形三.直线的投影（2）（1）（2）dd点在直线上，点的投影在直点在直线上，点的投影在直线的同名投影上，且投影连线的同名投影上，且投影连线垂直于投影轴，点分线段线垂直于投影轴，点分线段所成比例与点的投影分线段所成比例与点的投影分线段的投影所成比例相等的投影所成比例相等。三.直线的投影补画第三投影来作补画第三投影来作另一种作法是：另一种作法是：d
15、d两斜线平行，保证两斜线平行，保证ad:db=ad:db.（3）直线上的点（4）两直线的相对位置：平行abcdabcd两线段空间平行，其同名投影对应平行两线段空间平行，其同名投影对应平行。三.直线的投影（4）两直线的相对位置：平行AB与与CD平行否？平行否？d”c”b”a”补画第三投影可知：补画第三投影可知：AB与与CD不平行。不平行。稍作空间比划，该题可由两投影直接判稍作空间比划，该题可由两投影直接判断。同学们能否自行作出？断。同学们能否自行作出？三.直线的投影（5）两直线的相对位置：相交两直线相交，产生惟一一个交点，如两直线相交，产生惟一一个交点，如K点，既点，既在在AB线上，又在线上，又
16、在CD线上，线上，K点的投影必须符点的投影必须符合一点的投影规率：投影连线垂直于投影轴。合一点的投影规率：投影连线垂直于投影轴。三.直线的投影（6）两直线的相对位置：交叉图1图2直线在空间没有交点。图直线在空间没有交点。图1正面投正面投影图中的影图中的“交点交点”是是AB线上的线上的L点和点和CD线上的线上的K 点在正面投影上点在正面投影上的的“重影点重影点”；同理，图；同理，图2中的中的k和和l分别是分别是k1、k2和和l1、l2的的重影点重影点。三.直线的投影三.直线的投影（举例）例例1 作一直线与作一直线与AB平行且与平行且与CD交于距交于距C 点点1/3处。处。直角投影定理：直角投影定
17、理：相交（或交叉）两直线空间相交（或交叉）两直线空间成直角成直角，若其中一条直线若其中一条直线平行某一投影面平行某一投影面，则两直线在则两直线在该投影面该投影面的投影成直角。的投影成直角。反之亦然反之亦然。判断下列投影图中两直线的相判断下列投影图中两直线的相对位置。对位置。相交，相交，不垂直不垂直垂直，垂直，相交或相交或交叉交叉相交或相交或交叉，交叉，不垂直不垂直垂直，垂直，交叉交叉三.直线的投影（7）两直线的相对位置：垂直ddAD实长实长例例2 过点过点A作与水平线作与水平线BC垂直相交的线段垂直相交的线段AD，并求，并求AD的距的距离实长离实长。1.过过a作作bc的垂线的垂线ad;2.在在
18、bc上找出上找出 d，连连ad，得，得AD的投的投影影ad,ad;3.用直角三角形法求用直角三角形法求AD实长。实长。三.直线的投影（举例）四.平面的投影表示平面的几何元素可以是：表示平面的几何元素可以是：三点、一点一线、两相交线、三点、一点一线、两相交线、两平行线、圆、任意平面图形两平行线、圆、任意平面图形等，等，其投影为这些元素的投影。其投影为这些元素的投影。平面投影也可用迹线表示。平面投影也可用迹线表示。迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。平面具有积聚性，迹线就在积平面具有积聚性，迹线就在积聚投影上；平面为一般面，迹聚投影上；平面为一般面，迹线要由作图求得，略。线要由作图
19、求得，略。四.平面的投影投影面垂直面（只垂直一个投影面）投影面垂直面（只垂直一个投影面）根据平面所垂直的投影面，根据平面所垂直的投影面，分：垂直于分：垂直于H 称称 铅垂面铅垂面 垂直于垂直于V 称称 正垂面正垂面 垂直于垂直于W 称称 侧垂面侧垂面垂直于垂直于H面，面，称：铅垂面称：铅垂面特点：特点：1.平面与某一方向的投射线平行，平面与某一方向的投射线平行，即垂直于某一投影面；即垂直于某一投影面；2.在平面所垂直的投影面上，投在平面所垂直的投影面上，投影积聚为一线段，且反映该平面影积聚为一线段，且反映该平面与其它两投影面夹角；与其它两投影面夹角；3.另外两投影为平面图形的类似另外两投影为平
20、面图形的类似形形。四.平面的投影（1）平面相对于投影面的各种位置投影面平行面投影面平行面根据平面所平行的投影面，根据平面所平行的投影面，分：平行于分：平行于H 称称 水平面水平面 平行于平行于V 称称 正平面正平面 平行于平行于W 称称 侧平面侧平面平行于平行于V面，面，称：正平面称：正平面特点：特点：1.平面上各点到某一投影平面上各点到某一投影面距离相等面距离相等;2.在平面所平行的投影面上，投在平面所平行的投影面上，投影反映平面实形；影反映平面实形；3.其它两投影积聚为线段，且平其它两投影积聚为线段，且平行相应的投影轴行相应的投影轴。四.平面的投影（1）平面相对于投影面的各种位置一般位置面
21、一般位置面特点：特点：1.1.平面与任何投影面均不平行，平面与任何投影面均不平行，也不垂直也不垂直;2.2.在三个投影面上，投影均为平面图在三个投影面上，投影均为平面图形的类似形，与投影轴既不平行，也形的类似形，与投影轴既不平行，也不垂直。不垂直。3.3.平面的实形和平面与投影面的夹角平面的实形和平面与投影面的夹角要另求。要另求。四.平面的投影（1）平面相对于投影面的各种位置作业本：作业本：P03:3-04、05题。题。P04:3-07、08、09题；题；3-10、11、12任选两题。任选两题。P05:4-01题。题。作业作业P4作业解答作业解答P5 作业解答作业解答点在面上，必在属于平面的一
22、条已知线上；点在面上，必在属于平面的一条已知线上；线在面上，必过属于平面的两已知点。线在面上，必过属于平面的两已知点。11kkl1212四.平面的投影（2）平面上的点和线第3讲四.平面的投影（2）平面上的点和线 已知直线已知直线MNMN属于平面属于平面ABCABC，求，求MNMN的正面投影的正面投影mnmn；判断点；判断点K K是否属于平面是否属于平面ABCABC。OKABCABC不属于不属于例例1：在三角形：在三角形ABC平面上作一点，使其距平面上作一点，使其距V面面20mm,距距H面面15mm.15mm20mm1212例例2：在三角形：在三角形ABC平面上过平面上过A点作一线，使其与点作一
23、线，使其与H面成面成30角。角。a11kk四.平面的投影（2）平面上的点和线如果如果ABC为一般位置平面，能作为一般位置平面，能作这样的线吗？怎样作，请考虑。这样的线吗？怎样作，请考虑。四.平面的投影（3）平面上的特殊线1.投影面平行线投影面平行线在特殊位置面上有那些在特殊位置面上有那些特殊特殊线线和和一般线一般线？一般位置平面上的投一般位置平面上的投影面影面平行线平行线。正垂线正垂线正平线正平线一般线一般线铅垂线铅垂线正平线正平线侧垂线侧垂线HABKklLP 1abAB P,KL PAB/H KL AB平面上对投影面倾角最大的直平面上对投影面倾角最大的直线，称为平面的线，称为平面的最大斜度线
24、最大斜度线。注意：注意：KLKL和和ABAB均为平面均为平面P P内的内的线。线。四.平面的投影（3）平面上的特殊线2.最大斜度线最大斜度线HABKklLP 1ab（1 1）klkl ab ab(直角直角 投影定理）投影定理）（2 2）KLKL与与H H面的倾角面的倾角 即为平面即为平面P P与与H H面面 的倾角的倾角结论：结论：KLKL是平面内对是平面内对H H面面倾角倾角最大的直线最大的直线,它它垂直于平面内对垂直于平面内对H H面的平行线，在投影图中，面的平行线，在投影图中，最大斜度线的水平投影与水平线的水平投影成最大斜度线的水平投影与水平线的水平投影成直角。由此推论：对直角。由此推论
25、：对V V面的最大斜度线与正平线面的最大斜度线与正平线的正面投影成直角，对的正面投影成直角，对W W面面。四.平面的投影（3）平面上的特殊线四.平面的投影（3）平面上的特殊线例：求三角形例：求三角形ABC对对V面的倾角面的倾角。(1)在三角形平面内作正平在三角形平面内作正平线线B;(为什么作正平线？为什么作正平线？水平线可行？）水平线可行？）（2）在三角形平面内作在三角形平面内作B的垂线的垂线AD（图中（图中ad b1）；）；（3）求求AD的实长的实长（利用（利用AD的正面投影长和的正面投影长和AD的的Y坐标差作直角三角形，坐标差作直角三角形，为什么不能用水平投影长为什么不能用水平投影长和和Z
26、坐标差？）坐标差？）（4）AD与与V面的夹角就是面的夹角就是三角形平面与三角形平面与V面夹角。面夹角。五.直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面：平行、相交。（相交中的特例：垂直）直线与平面：平行、相交。（相交中的特例：垂直）平行：直线与平面平行，必与面内一已知直线平行，反之亦然。平行：直线与平面平行，必与面内一已知直线平行，反之亦然。ABC与与EF平行？平行？理由？理由？e111.过过c作与作与ef平行的线段平行的线段c1,在平面内作在平面内作线段线段C1(补出补出c1);2.过过f作作fe平行平行c1即得。即得。平面平面ABC为为铅垂面，铅垂面，EF的水平投影的水平投影与之平行即与之平
27、行即决定它们平决定它们平行。行。（1）平行？当平面为投影面的垂直面时，当平面为投影面的垂直面时，只要两平面的积聚投影对应平只要两平面的积聚投影对应平行，则两平面就平行。行，则两平面就平行。当平面为一般位置面时，需当平面为一般位置面时，需要判断两平面内是否有相交要判断两平面内是否有相交两线段对应平行，如有，则两线段对应平行，如有，则两平面就平行。两平面就平行。五.相对位置（1）平行平行：平面与平面平行，则面内两相交直线对应平行，反之亦然。平行：平面与平面平行，则面内两相交直线对应平行，反之亦然。举例：判断两平面是否平行？举例：判断两平面是否平行？ehad方法一：在一平面内作一任意线，方法一：在一
28、平面内作一任意线，如如AC；在另一平面内是否能作出与；在另一平面内是否能作出与AC平行的线。能，则平行。平行的线。能，则平行。方法二：该方法二：该图所给平面图所给平面是两侧垂面，是两侧垂面，求得侧面投求得侧面投影（积聚投影（积聚投影）。如平影）。如平行，则两面行，则两面平行。平行。五.相对位置（1）平行作业本：作业本：P05：4-02、03、04题；题；4-05、06任选一题；任选一题；P06：4-07题、题、4-08、09任选一题；任选一题；P07:5-01、02题。题。作业作业P6 作业解答作业解答P7 作业解答作业解答相交：直线与平面相交，产生交点，该交点为直线与平面共有。相交：直线与平
29、面相交，产生交点，该交点为直线与平面共有。求法：利用共有的特点，该交点既在直线上，又在平面上。求法：利用共有的特点，该交点既在直线上，又在平面上。kkkk利用交点的正面利用交点的正面投影已知来求投影已知来求利用交点的水平利用交点的水平投影已知来求投影已知来求两一般位置的线和两一般位置的线和面，交点另法求面，交点另法求注意：求出交点后，还须判断可见性。注意：求出交点后，还须判断可见性。五.相对位置（2）相交第4讲相交：平面与平面相交，产生交线，交线为两平面共有。相交：平面与平面相交，产生交线，交线为两平面共有。求法：利用共有的特点，交线既在甲平面上，又在乙平面上。求法：利用共有的特点，交线既在甲
30、平面上，又在乙平面上。注意：求出交线后，还须判断可见性。注意：求出交线后，还须判断可见性。1122五.相对位置（2）相交面、面相交时的几点思考：面、面相交时的几点思考：（1）两特殊面相交（积聚投影在同一投影面上）两特殊面相交（积聚投影在同一投影面上）（2）两特殊面相交（积聚投影分别在不同的投影面上）两特殊面相交（积聚投影分别在不同的投影面上）（3）特殊面与一般面相交）特殊面与一般面相交垂直面与垂直面相交得：垂直面与垂直面相交得：垂直线垂直线平行面与垂直面相交得：平行面与垂直面相交得：垂直线垂直线平行面与垂直面相交得：平行面与垂直面相交得：垂直面与垂直面相交得：垂直面与垂直面相交得：平行线平行线
31、一般线一般线平行面与一般面相交得：平行面与一般面相交得：平行线平行线垂直面与一般面相交得：垂直面与一般面相交得：一般线一般线（4）两一般面相交：）两一般面相交：一般线一般线KPHKk作图步骤：作图步骤：1.过过EF作铅垂面作铅垂面P;2.求求P平面与平面与ABC的交线的交线、；3.、线与线与EF的交点的交点K即为所求。即为所求。1212五.相对位置（2）相交作图步骤：作图步骤：1.分别过分别过EF、DF作铅垂作铅垂面面P、Q；2.求求P面、面、Q面与面与ABC的的交线，进而求交线，进而求EF、DF与与P、Q面的交面的交点点、；3.连连、点，交线可得；点，交线可得；4.判断可见性（图中仅作此步）
32、。判断可见性（图中仅作此步）。五.相对位置（2）相交直线垂直于平面，必垂直于平面内两相交直线，反之亦然；直线垂直于平面，必垂直于平面内两相交直线，反之亦然；两平面互相垂直，则在平面内必存在有一线垂直于另一平面，两平面互相垂直，则在平面内必存在有一线垂直于另一平面，反之，若有平面包含有另一平面的垂线，则两平面必定垂直。反之，若有平面包含有另一平面的垂线，则两平面必定垂直。如何在投影图中判断直线与平面垂直？如何在投影图中判断直线与平面垂直？五.相对位置（3）垂直1.判断直线与平面的位判断直线与平面的位置关系。置关系。2.作作AB线段的中垂面。线段的中垂面。由图可知：平面为投影由图可知：平面为投影面
33、垂直面，与之垂直的面垂直面，与之垂直的线段为投影面平行线。线段为投影面平行线。（1）过）过AB中点先中点先作线段的水平投影作线段的水平投影与之垂直，正面投与之垂直，正面投影是任意平面图形。影是任意平面图形。（2）该中垂面由过）该中垂面由过AB中点的两特殊线中点的两特殊线构成，一为水平线，构成，一为水平线，一为正平线。一为正平线。五.相对位置（3）垂直举例（1）（2）1.过点过点A作与作与CD线段正交的直线。线段正交的直线。nmmnQVkK作图步骤：作图步骤：1.过过A作作CD的垂面的垂面AMN;2.求求CD与垂面与垂面AMN的交点的交点K;3.AK即为所求与即为所求与CD正交的线段。正交的线段
34、。五.相对位置（3）作图举例2.判断两平面是否垂直。判断两平面是否垂直。11ABC平面内存在有平面平面内存在有平面DEFG的垂线（该垂线必为水平的垂线（该垂线必为水平线，为什么？），两面垂直。线，为什么？），两面垂直。22B线是平面线是平面DEFG的垂线吗？的垂线吗？五.相对位置（3）作图举例（1）（2）作业本：作业本：P07:5-03、04、05题；题；P08:5-06、07任选一题；任选一题；5-08、09任选一题；任选一题；5-10题；题；5-11、12任选一题。任选一题。P09:5-13 题题作业作业P8 作业解答作业解答点D为垂足。P9 作业解答作业解答（第5讲）六.换面法b1a1V
35、1ZBZBZAZA为了求得为了求得AB实长和实长和AB对于对于H面的夹面的夹角，新增角，新增V1面平行面平行AB,得得AB的新投的新投影影a1、b1；再将；再将V1面沿面沿V1面与面与H面面的交线的交线X1轴旋转到与轴旋转到与H面重合。面重合。V1面与面与H面重合后注意：面重合后注意：1.X1 轴平行轴平行ab;2.aa1、bb1连线垂直连线垂直X1轴轴;3.a1到到X1轴距离等于轴距离等于a 到到X轴距离，轴距离，b1到到X1轴距离轴距离等于等于b到到X轴距离。轴距离。X1（1）概述作投影图时：作投影图时：1.新轴如何画出？新轴如何画出？2.新投影如何确定？新投影如何确定？新面所垂直的投影面
36、新面所垂直的投影面称：称：不变面不变面，其上的，其上的投影称：投影称：不变投影不变投影；不变面与新面的交线不变面与新面的交线称：称：新轴新轴；新增加的投影面称：新增加的投影面称：新面新面，其上的投影，其上的投影称：称：新投影新投影；被替换的投影面称：被替换的投影面称：旧面旧面，其上的投影称：其上的投影称：旧投影旧投影；与；与不变面的交线称：不变面的交线称：旧轴旧轴；新投影与不变投新投影与不变投影的连线垂直于影的连线垂直于新轴，新投影到新轴，新投影到新轴的距离等于新轴的距离等于旧投影到旧轴的旧投影到旧轴的距离。距离。六.换面法（1）概述1.按照解题需要确定新轴位置；按照解题需要确定新轴位置；四种
37、换面操作1.将一般位置线变为投影面的平行线；将一般位置线变为投影面的平行线；2.将一般位置线变为投影面的垂直线；将一般位置线变为投影面的垂直线；3.将一般位置面变为投影面的垂直面；将一般位置面变为投影面的垂直面；4.将一般位置面变为投影面的平行面。将一般位置面变为投影面的平行面。点的换面操作六.换面法（2）基本操作方法2.由不变投影引细实线垂直新轴并延长；由不变投影引细实线垂直新轴并延长；3.在上述所画的细实线上量取在上述所画的细实线上量取旧投影到旧旧投影到旧轴轴的长度截取的长度截取新投影到新轴新投影到新轴的长，确定新的长，确定新投影。投影。求求b角和实长如何定新轴？角和实长如何定新轴？1.将
38、一般线变为平行线将一般线变为平行线2.将一般线变为垂直线将一般线变为垂直线由上述投影和变换，得出：由上述投影和变换，得出：要变成积聚投影，首先要有要变成积聚投影，首先要有反映实长的投影；一般线要反映实长的投影；一般线要变成积聚，必须经两次变换变成积聚，必须经两次变换六.换面法（2）四种换面操作2.将一般线变为垂直线将一般线变为垂直线两次换面时，操作方法同第一次两次换面时，操作方法同第一次换面的方法，只不过换面的方法，只不过新面新面是第二是第二次次增加的面增加的面，不变面不变面是第一次的是第一次的新面新面，而，而旧面旧面是第一次的是第一次的不变面不变面；轴的称呼以此类推：轴的称呼以此类推：X2轴
39、为轴为新轴新轴，X1轴为轴为旧轴旧轴。六.换面法（2）四种换面操作3.将一般面变为垂直面将一般面变为垂直面垂直面的特点是：垂直面的特点是：面上有投影面的面上有投影面的垂直线垂直线将将H面作为不变面，新增面作为不变面，新增V1面，在面，在ABC上作水平线上作水平线A1,换得积聚投换得积聚投影后，可得该平面与影后，可得该平面与H面的夹角面的夹角a。要求要求b角角怎么办？怎么办？六.换面法（2）四种换面操作4.将一般面变为平行面将一般面变为平行面平行面的特点是：平行面的特点是：有两投影有两投影积聚积聚为线段，为线段，且且平行平行相应的相应的投影轴投影轴。一般位置面的投影图中，没有一般位置面的投影图中
40、，没有积聚投影，更谈不上平行投影积聚投影，更谈不上平行投影轴。要变换，首先将其轴。要变换，首先将其变为变为投投影面的影面的垂直面垂直面，再变为平行面再变为平行面。六.换面法（2）四种换面操作4.将一般面变为平行面将一般面变为平行面要进行两次换面，换面方法要进行两次换面，换面方法同前所述，注意第二次换面同前所述，注意第二次换面时时新投影新投影到到新轴新轴的距离等于的距离等于旧投影旧投影到到旧轴旧轴的距离，新轴的距离，新轴X2要要平行平行于第一次换面后的于第一次换面后的积聚投影积聚投影。六.换面法（2）四种换面操作 六.换面法（3）作图举例过点过点K K作直线与作直线与ABAB垂直相交并垂直相交并
41、求其实长求其实长在什么情况下所在什么情况下所求线段的投影直求线段的投影直接反映其实长接反映其实长?ABKLPa b lk如何将如何将ABAB变变换成投影面换成投影面垂直线？垂直线？例例1 1 求点求点K K到直线到直线ABAB之距。之距。（1 1）将）将ABAB变为变为/线线（2 2）将）将ABAB再变为再变为 线线ABKLPa b lkabkkabXVHX1b1k1k2X2l1llX1/abk1l1/X2HV1V1H2a2(b2)(l2)a1X2 a1b1例例2 2 ABCABC与与ABDABD夹角为夹角为6060，求，求a ad d,b,bd d。当两平面的交线当两平面的交线ABAB垂垂直
42、于新投影面时它们直于新投影面时它们在该投影面上的投影在该投影面上的投影反映其夹角反映其夹角acbdacbXVHc1a1b1X1a2 (b2)HP1d1dX2P1H2c2d260六.换面法（3）作图举例 六.换面法（3）作图举例abcbcaXVH例例3 3 过点过点A A作直线与作直线与BCBC相交成相交成6060。X1b1c1a1X2a2b2c2m2n2m1n1mmnnH V1V1H2在实形图在实形图形上直接形上直接反映直线反映直线夹角大小，夹角大小，实质是求实质是求实形问题。实形问题。（1 1）将平面将平面 投影面垂直面投影面垂直面 X X1 1 平面内一投影面平行线平面内一投影面平行线60
43、60（2 2）将平面将平面 投影面平面投影面平面 X X2 2/平面的积聚性投影平面的积聚性投影作业本：作业本：P10：6-01、02、03、04任选两题；任选两题；6-05、06题；题；P11：6-07、08任选一题；任选一题；6-09、10任选一题；任选一题；6-11题；题；P12：6-13题。题。作业作业P10 作业解答作业解答P11 作业解答作业解答P12 作业解答作业解答（第6讲）七.综合性作图求解的问题要同时满足几个几何条件，所用的作图方法也不求解的问题要同时满足几个几何条件，所用的作图方法也不限于某一种基本作图法，如：限于某一种基本作图法，如：过点过点A作一直线与作一直线与DEF
44、平行并与直线平行并与直线BC相交。相交。读完题目，如何作图？读完题目，如何作图？具体解题时，有时要结合具体解题时，有时要结合“轨迹轨迹”的概念进行思考。的概念进行思考。“轨迹轨迹”：满足某一条件的所有：满足某一条件的所有解的集合，可用直线、平面、解的集合，可用直线、平面、圆以及以后还要学到的圆柱面、圆以及以后还要学到的圆柱面、圆锥面、球面等来表示。圆锥面、球面等来表示。首先要进行首先要进行空间几何空间几何关系的分析；关系的分析；其次理清其次理清解题思路解题思路，确定解题的具，确定解题的具体路径和步骤；体路径和步骤；最后按步骤运用各种基本作图方法最后按步骤运用各种基本作图方法进行投影作图。进行投
45、影作图。作图举例例例1:过点过点A作一直线与作一直线与DEF平行并与直线平行并与直线BC相交。相交。1.过点过点A作平面的平行作平面的平行面（用两条蓝线表示，面（用两条蓝线表示，分别平行分别平行FD、FE)；2.求线段求线段BC与平行面的交点与平行面的交点K（先（先过线段过线段BC作铅垂面作铅垂面P，再求，再求P与平与平行面的交线，用绿线表示）行面的交线，用绿线表示）;3.连连AK,即为所求（即为所求（AK与与BC交于交于K,同时又在同时又在DEF的平行面上）。的平行面上）。七.综合性作图例例2:过点过点K作一直线作一直线KM,分别与直线分别与直线AB、CD交叉垂直。交叉垂直。思路思路1：过一
46、条直线：过一条直线作另一条直线的平行作另一条直线的平行平面，过点平面，过点K作该平作该平面的垂线即为所求。面的垂线即为所求。思路思路2：分别过点：分别过点K作作AB、CD的垂面，的垂面，求两垂面的交线，交求两垂面的交线，交线线KM即为所求。即为所求。八.曲线简介（1）圆特性特性：a.平面曲线；平面曲线；b.中心到曲线上各点距离相等。中心到曲线上各点距离相等。（1）圆所在平面）圆所在平面平行一个投影面；平行一个投影面；（2）圆所在平面）圆所在平面垂直一个投影面；垂直一个投影面；（3）圆所在平面）圆所在平面倾斜各投影面。倾斜各投影面。八.曲线简介（1）圆椭圆画法椭圆画法：a.确定长、短轴（利用水平
47、线、正平线）；确定长、短轴（利用水平线、正平线）；b.再找若干个其它点（用换面法来找）；再找若干个其它点（用换面法来找）；c.光滑连点。光滑连点。在三角形平面上作内切圆在三角形平面上作内切圆特殊面特殊面内内一般面内一般面内水平投影水平投影上作椭圆上作椭圆正面投影上作正面投影上作椭圆需再换面椭圆需再换面八.曲线简介（2）圆柱螺旋线动点动点A沿着圆柱面的母线作等速沿着圆柱面的母线作等速直线直线运动，同时母线又绕圆柱运动，同时母线又绕圆柱作等速作等速旋转旋转运动，点运动，点A的这种复合运动的轨迹称为圆柱螺旋线。的这种复合运动的轨迹称为圆柱螺旋线。左、右螺旋线立体图左、右螺旋线立体图右旋螺旋线投影图及
48、其展开图右旋螺旋线投影图及其展开图作业本：作业本：P12：6-13题（不用换面法作）题（不用换面法作）P14：7-01、02、03题。题。P14题解题解习题指导习题指导1.读懂题意，明确要解决的问题以及所给的条件；读懂题意，明确要解决的问题以及所给的条件；2.由题意，罗列解决该题的基本知识、基本作图技能；由题意，罗列解决该题的基本知识、基本作图技能；3.分析并理清思路，确定解题步骤；分析并理清思路，确定解题步骤；一一.基本作图：如基本作图：如交点、交线交点、交线的作法，的作法，可见性判别可见性判别；直角投影；直角投影 定理：定理：线与特殊线垂直线与特殊线垂直的作图等。直接要求作的作图等。直接要
49、求作 这类投影图的问题，称这类投影图的问题，称基本作图题基本作图题。三三.综合问题：综合问题：4.按步作图。按步作图。二二.图解作图：如图解作图：如直角三角形法直角三角形法求实长，求实长，线、面垂直线、面垂直的投影作的投影作 图，图，换面法换面法作图等。用作图方法求实长、实形、作图等。用作图方法求实长、实形、距离、角度、投影等问题，称距离、角度、投影等问题，称图解作图题图解作图题。例例1：过点：过点A引直线引直线AD交交BC于于D,且与且与BC夹角为夹角为60。分析：分析：A 与与BC构成平面，构成平面，AD也在该平面上，也在该平面上，只需将只需将ABC平面反平面反映实形，映实形，AD线就可线
50、就可作出。作出。例例2：在：在ABC平面内作平面内作BD线段，使线段，使BD与与H面成面成45角。角。思考题：已知平面思考题：已知平面P与线段与线段AB夹角为夹角为45，求，求ab。例例3：在平面：在平面ABC上求作点上求作点M,使使M到到BC 的距离为的距离为10mm,到正立到正立 投影面的距离为投影面的距离为20mm。例例4：作一直线：作一直线EF，使其与直线，使其与直线MN平行，且与交叉线平行，且与交叉线AB、CD相交。相交。解题分析：解题分析：与与MN平行的线可作平行的线可作无数条，关键是与无数条，关键是与AB、CD相交，而与相交，而与两交叉线相交的线，两交叉线相交的线，一般要考虑作辅
