1、一、常见的离散型随机变量的分布一、常见的离散型随机变量的分布1 10-10-1分布分布2 2二项分布二项分布3 3泊松分布泊松分布4 4超几何分布超几何分布二、常见的连续型随机变量的分布二、常见的连续型随机变量的分布1 1均匀分布均匀分布2 2指数分布指数分布3 3正态分布正态分布第三节第三节 常见的随机变量的分布常见的随机变量的分布一、常见的离散型随机变量的分布一、常见的离散型随机变量的分布1 1、0-10-1分布分布若随机变量若随机变量X只可能取只可能取0 0和和1 1两个值，其概率分布为两个值，其概率分布为 P(X=1)=p，P(X=0)=1-p (0p0,则称则称X服从参数为服从参数为
2、的泊松分布，的泊松分布，记作记作XP().应用方向应用方向:电话错号次数电话错号次数,路口汽车流量路口汽车流量,车站候车站候车人数等车人数等.例例1212 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X X服从泊松分服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。解解:设设X X服从参数为服从参数为的泊松分布，由题意的泊松分布，由题意 01P XP X 即即00!e 11!e 解得解得1 则至少有两辆车通过的概率为则至少有两辆
3、车通过的概率为 (2)101P XP XP X 01110!e 1111!e 112.e 例例.某商场某种贵重物品一天的销售件数某商场某种贵重物品一天的销售件数X服从参数服从参数为为5 5的泊松分布，求一天该物品销售量至少为的泊松分布，求一天该物品销售量至少为4 4件的概件的概率和恰好为率和恰好为3 3件的概率。件的概率。解：依题意得解：依题意得XP(5).则则(4)1(3)10.2650.735P XP X 355(3)0.14.3!eP X 该物品该物品一天一天销售量恰好为销售量恰好为3 3件的概率件的概率为为 该物品该物品一天一天销售量销售量至少为至少为4 4件的概率件的概率为为 设随机
4、变量设随机变量XnB(n,pn)，其中，其中pn是与是与n有关的数，有关的数，又设又设=npn 是常数，则有是常数，则有lim()lim(1)!kkkn knnnnnnP XkCppek 泊松定理：泊松定理：0,1,2,.k 定理的条件定理的条件=npn意味着当意味着当n很大时很大时,pn必定很小必定很小.因此因此,泊松定理表明泊松定理表明,当当n很大很大,p很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：(1)!kkkn kneC ppk 例例.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,0.002,现有现有20002000个这类人参加人寿保险个这类人
5、参加人寿保险.参加者交纳参加者交纳2424元保险金元保险金,而死亡时保险公司付给其家属而死亡时保险公司付给其家属50005000元赔偿费元赔偿费.计算计算“保险公司亏本保险公司亏本”和和“保险公司盈利不少于保险公司盈利不少于1000010000元元”的概率的概率.解解:设设X表示表示:一年内死亡的人数一年内死亡的人数.则则 Xb(2000,0.002).亏本亏本5000X48000X9，盈利不少于盈利不少于1000010000元元48000-5000X10000X7.90(9)1(9)1()10.99190.0081kP XP XP Xk 70(7)()0.9489.kP XP Xk 用泊松定
6、理近似计算！用泊松定理近似计算！4 4、超几何、超几何分布分布 设设N个元素分为两类个元素分为两类,有有M个属于第一类个属于第一类,N-M个属个属于第二类于第二类.现在从中不重复抽取现在从中不重复抽取n个个,其中包含的第一类其中包含的第一类元素的个数元素的个数X的分布律为的分布律为(),1,.,kn kMNMnNC CP Xkks slC 其中其中nN,M0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,记记作作XE.1,0,()0,0.xexF xx 其分布函数为其分布函数为概率密度概率密度分布函数分布函数例例.某电子元件的使用寿命某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量
7、，其概率密是一个连续型随机变量，其概率密度为度为100,0,()0,0.xCexf xx (1)(1)确定常数确定常数C;(2)(2)寿命超过寿命超过100100小时的概率；小时的概率；(3)(3)已知该元件已正常使用已知该元件已正常使用200200小时，求它至少还能正常使用小时，求它至少还能正常使用100100小时的概率小时的概率.解：解：(1)(1)由概率密度函数性质由概率密度函数性质2 2知知10010000 1001001xxCedxCeC 0.01,C 得得故故(0.01).XE(2)(2)寿命超过寿命超过100100小时的概率小时的概率0.01 1001(100)1(100)1(1
8、)0.3679.P XFee(3)(3)所求概率为所求概率为321(300,200)(300)(300200)(200)(200)0.3679.P XXP XeP XXP XP Xee 若随机变量若随机变量X X对任意的对任意的s0,t0有有(|)(),P Xst XsP Xt 则称则称X的分布具有无记忆性的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性指数分布具有无记忆性指数分布和泊松分布有着特殊的联系指数分布和泊松分布有着特殊的联系例例.设某人的手机在任何长为设某人的手机在任何长为t的时间内接收到得短信数目的时间内接收到得短信数目X服服从参数为从参数为t的泊松分布，求相继两条短信的时间间隔的泊松分
9、布，求相继两条短信的时间间隔Y的概率分的概率分布。布。设前一条短信的接收时刻为设前一条短信的接收时刻为t=0.考虑间隔时间考虑间隔时间Y的分布函数的分布函数()()1(),0YFtP YtP Ytt解：解：事件事件Y t:相继两条短信的时间间隔超过相继两条短信的时间间隔超过t,即在时间即在时间0-0-t内收到内收到短信的数目为短信的数目为0,0,所以，当所以，当t0t0时，有时，有()()1()YFtP YtP Yt1(0)P X 0()110!tttee,0().0,0tetf tt 1,0,()0,0.tetF tt 因此因此Y的分布函数为的分布函数为从而从而Y的概率密度函数为的概率密度函
10、数为3 3、正态、正态分布分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中和和都是常数都是常数,00，则称，则称X X服从参数为服从参数为和和2 2的正态分布的正态分布.记作记作XN(,2).22()21(),2xf xex 22()21(),.2txF xedtx 关于关于x=对称对称1max()()2f xf 在在x=处有拐点处有拐点以以x轴为渐近线轴为渐近线决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图决定了图形中峰的陡峭程度形中峰的陡峭程度.XN(,2)22()21(),2txF xedtx 221()2txxedt =0,=0,=1=1时的正态分布称为标准正态分布时的
11、正态分布称为标准正态分布.221(),2xxex 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：()x()x)(x)(x 标准正态标准正态分布：分布：任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布转化为标准正态分布.()()xF x ()1()xx 正态正态分布分布的概率计算的概率计算:(|)PXx 2()1x 1.1.若若XN(0,1),则有则有()P aXb ()()ba ()0()0.501()0 xxP Xxxxx 2.2.若若XN(,2),则有则有()()()xP XxF x ()P aXb ()()()()b
12、aF bF a 例例.设设XN(0,1),求求:(1)P X (12)PX (1.5)P X (2)P X 1(1)1(1)0.1587.P X (2)(1)(2)(1)(2)(1)10.8185.P XP X (1.51.5)(1.5)(1.5)(1.5)(1.5)2(1.5)10.8664.PXP XP X 2(2)2 1(2)0.0456.P X 例例.设设XN(2,4),求求:(1)P X (3)P X 12()(0.5)1(0.5)0.3085.2 3232(33)22(0.5)(2.5)(0.5)(2.5)10.6853.PX 例例.设设XN(,2),求求:()P Xk ()PkX
13、k ()()XXPkPk ()()2()1.kkk ()0.6826P X (2)0.9544P X (3)0.9974P X 例例.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在在0.01以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,100),),问车问车门高度应如何确定门高度应如何确定?170()10.0110hP Xh 17010.010.9910h 1702.33,10h 17023.3193.3h 解：设车门的高度为解：设车门的高度为h，依题意得，依题意得则则查表得查表得得得故要使男子与车门顶头碰头机会在故要使男子与车门顶头碰头机会在0.010.01以下，车门的高以下，车门的高度至少为度至少为193.3cm.193.3cm.
