1、第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其概率分布第三节连续型随机变量及其概率分布第四节随机变量函数的概率分布第二章随机变量及其分布CONTENTS 为了深入研究和全面掌握随机现象的统计规律，将随机试验的结果与实数对应起来，即将随机试验的结果数量化，为此引入随机变量的概念，随机变量是概率论中最基本的概念之一，用它描述随机现象是近代概率论中最重要的方法，它使概率论从事件及其概率的研究扩大到随机变量及其概率分布的研究，这样就可以应用微积分等近代数学工具，使概率论成为真正的一门数学学科。第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数一、随机变量 在许多随机试验中，试验的结果可以直接用
2、一个数值来表示，不同的结果对应着不同的数值。例如，投掷一颗骰子，观察出现的点数，可能的结果分别是 1，2，3，4，5，6 这六个数值。如果用一个变量 T 表示出现的点数，那么试验的所有可能结果都可以用 T 的取值来表示，如“出现 2 点”可以表示成 ，“出现 6 点”可以表示成 。这个变量 T 随着试验的不同结果而取不同的数值。2T 6T 而在有些随机现象中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种数字联系，但常常可以人为引进变量给它建立起一个对应关系。例如，抛掷一枚硬币，它的可能结果为“出现正面”或“出现反面”。我们引进变量 W，用 表示“出现正面”，用 表示“出现反面”。0W 1W 一般地，有下
3、面的定义。定义定义1 设随机试验 E 的样本空间为 ，如果对于每一个 ，都有唯一的实数 与之对应，则称 为随机变量。随机变量通常用大写字母 X，Y，Z 或希腊字母 ，等表示；而其所对应的小写字母 x，y，z 等则表示为随机变量所取的值。()X()XX由定义1可知，前面所说的 T 和 W 都是随机变量。下面再举几个随机变量的例子。（1）将一枚硬币抛掷 4 次，用 X 表示正面出现的次数，则 X 是一个随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，3，4。（2）某篮球队员投篮，投中记 2 分，未投中记 0 分。用 Y 表示篮球队员一次投篮的得分，则 Y 是一个随机变量，它的所有可能取值为 0，2。（3）
4、一个在数轴上的闭区间 上作随机游动的质点，用 Z 表示它在数轴上的坐标，则Z 是一个随机变量，它可以取 a 和 b 之间（包括 a 和 b）的任何实数。a b，由于随机变量的取值依赖于随机试验的结果，因此，在试验之前只能知道它的所有可能取值的范围，而不能预先知道它究竟取哪个值。因为试验的各个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量取相应的值也有确定的概率。例如，在上面的（1）中，；。3141111C1224P XP正面出现一次22241132C1228P XP 正面出现两次 引入随机变量以后，就可以用随机变量来表示随机试验中的各种事件。例如在上面的（1）中，事件“四次均未出现正面”可以用 来表示
5、，事件“正面至少出现两次”可以用 来表示，事件“正面最多出现三次”可以用 来表示。可见，随机变量是一个比随机事件更宽泛的概念。随机变量依其取值的特点通常分为离散型和非离散型两类：如果随机变量 X 具有有限个值或无限多个可数值，则称 X 为离散型随机变量，如“取到次品的个数”“收到的呼叫个数”等；另一类是非离散型随机变量，它包含的范围很广，情况比较复杂，我们只关注其中最重要也是实际中常遇到的连续型随机变量，如“电灯泡的寿命”，实际生活中常遇到的“测量误差”等。3X 2X 0X 研究随机变量，不仅要知道它能够取得哪些值，更重要的是要知道它的取值规律，即取到相应值的概率。随机变量的取值及其取值规律之
6、间的对应关系称为随机变量的概率分布。概率论的历史表明，引入随机变量的概念以后，概率论的研究中心就从随机事件转移到随机变量上来，概率论的发展也从古典概率时期跨越到分析概率时期。二、随机变量的分布函数 随机变量是定义在样本空间上的单值实函数，它的取值是有确定的概率的，这是它与普通函数的本质差异。下面引进分布函数的概念，它是普通的一元函数，通过它可以利用数学分析的方法来研究随机变量。定义定义2 设 X 是一个随机变量，x 为任意实数，函数 ()（2-1）称为随机变量 X 的分布函数。显然，随机变量 X 的分布函数 是定义在 上的一元函数。如果将 X 看成是数轴上随机点的坐标，则分布函数 在 x 处的
7、函数值等于事件“随机点 X 落在区间 上”的概率。()F xP Xxx (x，()，()F x()F x 由定义可知，对于任意实数 ，由于 ，所以随机点落在区间 的概率为 。（2-2）可见，若已知随机变量 X 的分布函数，就可以求出 X 落在任一区间 上的概率，这表明分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。()a b ab，aXbxbxa(a b，()()()()P aXbP XbP XaF bF ab(a b，分布函数 具有下列性质。（1）单调性单调性 为 x 的单调不减函数，即当 时，有 。（2-3）事实上，若 ，则 ，所以 。（2）有界性有界性 对任意实数 x，有 ，且 ，或者 ，。（
8、2-4）()F x12()()F xF x12xx()F x2112()()()0F xF xP xXx12()()F xF x12xx0()1F x()lim()1xFF x()lim()0 xFF x()1FP X ()()0FP X 由 以及概率的性质知,。而从几何图形上看，当 时，“随机点 X 落在区间 上”这一事件趋近于不可能事件，因此 ；当 时，“随机点 X 落在区间 上”这一事件趋近于必然事件，因此 。()F xP Xx0()1F xx (x，()lim()0 xFF x(x，x ()lim()1xFF x（3）右连续性右连续性 对任意实数 x，有 （证明从略）。需要指出的是，如
9、果一个函数满足上述三条性质，则该函数一定可以作为某一随机变量 X 的分布函数。因此，通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数。也就是说，上述三条性质是鉴别一个函数是否为某一随机变量 X 的分布函数的充分必要条件充分必要条件。(0)()F xF x 例例1 抛掷一枚硬币，设随机变量 求：（1）随机变量 X 的分布函数；（2）随机变量 X 在区间 上取值的概率。解解 （1）设 x 是任意实数。当 时，事件 ，因此 ；当 时，事件 。因此 。01TXH，出现反面；，出现正面，123，0 x Xx()()()0F xP XxP 01x 0000XxXXXxX1()(0)2F xP XxP X 当 时
10、，事件 ，因此 。综上所述，X 的分布函数为（2）随机变量 X 在区间 上取值的概率为 。1x00011101XxXXXXXxXX11()(0)1122F xP XxP XP X001()01211xF xxx，；，；，.123，11112(2)13322PXFF 例例2 设随机变量 X 的分布函数为 求常数 A 以及概率 。解解 由于分布函数 是右连续的，所以 。又 ，因此 。于是 进而 。200()0111xF xAxxx，；，；，.0.50.8PX(10)(1)FF1(10)lim()1xFF x(1)FA()F x200()0111xF xxxx，；，；，.220.50.8(0.8)(
11、0.5)0.80.50.39PXFF1A 例例3 向数轴上的闭区间 上投掷随机点，假设随机点落在 区间上任意一点的可能性相等，用 X 表示随机点的坐标，求 X 的分布函数。解解 这是直线上的几何概型问题，随机点落在 的任一子区间 上的概率为 。对任意实数 x，当 时，分布函数 ；当 时，事件 ，所以 ；2 5，a b，222XxXXxXx2 5，2 5，3baP aXb2()23xF xP XxPXx2x()0F xP Xx25x 当 时，。所以 。综上所述，随机变量 X 的分布函数为 022()25315xxF xxx，；，；，225525XxXXXxX()251F xP XxPX5x第二节
12、第二节 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 对于离散型随机变量 X 而言，知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一个可能值的概率，也就掌握了随机变量 X 的统计规律一、离散型随机变量及其分布律定义定义1 如果离散型随机变量 X 的所有可能取值为 ，并且 X 取到各个可能值的概率为 ，（2-5）则称式（2-5）为离散型随机变量 X 的概率分布律，简称为分布律。kkP Xxp(1 2)kxk，(1 2)k，分布律也可以用表格来表示（见表2-1），并称之为 X 的概率分布表。表 2-11x2xnx1p2pnp容易验证，离散型随机变量的分布律满足下列性质。性质性质1 ；（2-6）性质
13、性质2 。（2-7）0(1 2)kpk，1kkp 例例1 设随机变量的分布律如表 2-2 所示。求：（1）a 的值；（2），。表2-2(2)P X(20)PX(1)P X 解解 根据性质 1 和性质 2 可知 ，解得 。以下计算欲求的概率分别为 ；。18a 5()(2)(1)(0)8P XP XP XP X 1(20)(1)(0)2PXP XP X 13218aaaa1(2)(2)4P XP X例例2 甲、乙、丙三人独立射击同一目标。已知三人击中目标的概率依次为 0.8，0.6，0.5，用 X 表示击中目标的人数，求 X 的分布律以及分布函数。解解 X 的所有可能取值为 0，1，2，3。设 ，
14、分别表示事件“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”，则依题意 ，相互独立，且 ，3A1()0.8P A 1A2()0.6P A2A3A1A2A3()0.5P A所以 ；。1231230()()()()0.2 0.4 0.50.04P XP A A AP A P A P A1231231231231231231()()()()0.8 0.4 0.50.2 0.6 0.50.2 0.4 0.50.26P XP A A AA A AA A AP A A AP A A AP A A A123123123123123123(2)()()()()0.8 0.6 0.50.8 0.4 0.50.2
15、0.6 0.50.46P XP A A AA A AA A AP A A AP A A AP A A A1231233()()()()0.8 0.6 0.50.24P XP A A AP A P A P AX 的分布律如表 2-3 所示。从而得出 X 的分布函数为 表 2-3000.0401()0.31313xxF xxxx，；，；，；，；，其图形如图 2-1 所示。图 2-1 由图 2-1 可以看出，分布函数 是一个阶梯函数，它在 X 的可能取值点 0，1，2，3 处发生跳跃，跳跃的高度等于相应点处的概率。这一特征是所有离散型随机变量分布函数的共同特征。反过来，如果一个随机变量 X 的分布函
16、数 为阶梯函数，那么 X 一定是离散型随机变量。对于任意实数 x，随机事件 可以表示成 ，由于 互不相同，根据概率的可加性可知，离散型随机变量 X 的分布函数为 。（2-8）kxXx()F xkkxxXxXx()x ()()kkkkxxxxF xP XxP Xxp()F x 由式（2-8）可见，是随机变量 X 取小于或等于 x 的所有可能值的概率之和。通常，该分布函数也可写成分段函数的形式：()F x11121223110 ()ikiikxxpxxxppxxxF xpxxx，；，；，；，；对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律，便可知道它在任意范围内的概率，同时也唯一决定了它的分布函数。事实
17、上，对于离散型随机变量而言，分布律与分布函数具有相同的作用，但分布律比分布函数更直观、更简便。因此常常通过分布律来掌握离散型随机变量的统计规律性。接下来介绍几种常见的离散型随机变量及其分布。二、几种重要的离散型随机变量及其分布律1（0-1）分布 如果随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，其分布律为 ，或写成 ，（2-9）则称随机变量 X 服从参数为 P 的（0-1）分布（或两点分布）。它的分布律也可以写成如表 2-4 所示的形式。(01)p1P Xp1(1)kkP Xkpp01P Xp(0 101)kp，表2-4 （0-1）分布是一种常见的分布，如果随机试验只有两个对立结果 A 和 ，或
18、者一个试验虽然有很多个结果，但我们只关心事件 A 发生与否，那么就可以定义一个服从（0-1）分布的随机变量，如对产品合格率的抽样检测、新生儿性别的调查等。A2二项分布 在 n 重伯努利试验中，设 ，用 X 表示 n 次试验中事件 A 发生的次数，则 X 的所有可能取值为 。由第一章中的二项概率公式知 X 的分布律为 。（2-10）显然 ()；，即式（2-10）满足分布律的性质。0P Xk0 1 2n，C(1)kkn knP Xkpp()(01)P App0 1 2kn，(0 1)kn，00C(1)(1)1nnkkn knnkkP Xkpppp 一般地，如果随机变量 X 的分布律由式（2-10）
19、给出，则称随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布（或伯努利分布），记作 。特别地，当 时，二项分布 的分布律为 。这就是（0-1）分布。这也说明了（0-1）分布是二项分布在 时的特例。(1)Bp，()X B n p，1(1)kkP Xkpp1n 1n(0 1)k，例例3 某射手射击的命中率为 0.6，在相同的条件下独立射击 7 次，用 X 表示命中的次数，求随机变量 X 的分布律。解解 每次射击命中的概率都是 0.6，独立射击 7 次是 7 重伯努利概型，因此，随机变量 ，于是 ，。0 1 2 3 4 5 6 7k，7777C 0.6(1 0.6)C 0.6 0.4kkkkkkP Xk(
20、7 0.6)XB，计算可知 X 的分布律如表 2-5 和图 2-2 所示。表 2-5图 2-2 随机变量X的分布律图 从图 2-2 中可以看到，当 k 增加时，概率 先是随之单调增加，直到达到最大值 ，然后单调减少。一般地，对于固定的 n 及 p，当 k 增加时，概率 先是随着 k 的增加而增加，直至某点（）时达到最大值，然后再随着 k 的增加而减少。事实上，若随机变量 X 在 点处的概率最大，必须满足不等式 ，由解这个不等式可得 （2-11）()P Xk4P X 000(1)()(1)P XkP XkP XkP Xk0k0(1)(1)1 (1)(1)(1)npnpnpknpnp或，是整数；，
21、不是整数0k图2-3 达到最大值的 值就是随机变量 X 最可能出现的数。图 2-3 是试验次数均为 20，但试验成功概率不同的三种二项分布的概率分布图，由此图可以看出三种二项分布最可能发生的次数 的值。0k0k例例4 某人进行射击，每次击中目标的概率为 0.01，问：独立射击 400 发时，击中目标的最可能成功次数是多少？并求该次数对应的概率。解解 显然，独立射击 400 发中击中目标的次数 X 服从参数 ，的二项分布。根据式（2-11）的结论，击中目标的最可能成功次数 ，而相应发生的概率为 。二项分布的计算公式虽然很简单，但当 n 较大且没有计算机等工具时，的计算却不容易。为了寻找快速且较准
22、确的计算方法，人们进行了不懈努力，而泊松（Poisson）最早做到了这一点。(1)4.014np0.01p 44396400400(4)C0.010.990.196 35P400n()nP k3泊松（Poisson）分布 如果随机变量 X 的所有可能取值为 ，并且 ，（2-12）其中 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记作 。容易验证，()；。(0 1 2)k，0()XP()e!kP Xkke0!kk00 ee e e1!kkkkkk0 1 2k，0 1 2，图2-4 在实际问题中经常会遇到服从泊松分布的随机变量。例如，某急救中心一天内收到的呼救次数，某印刷品一页上出现的印刷错
23、误个数，某地区一段时间内迁入的昆虫数目等都服从泊松分布。对于固定的 ，当 k 增加时，概率 先是随之增加，当 k 增大到一定范围之外时，相应的概率便急剧下降，如图2-4所示。书后附表给出了泊松分布表，以便查阅。()P Xk例例5 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量 X 服从泊松分布，且已知在一分钟内恰有一辆车通过的概率和恰有两辆车通过的概率相等，求在一分钟内至少有三辆车通过的概率。解解 设 X 服从参数为 的泊松分布，则 X 的分布律为 。又 ，即 ，解得 ，所以在一分钟内至少有三辆车通过的概率为 。e!kP Xkk(0 1 2)k，212ee1!2!0122222222310121eee1 5
24、e0!1!2!P XP XP XP X 12P XP X 查泊松分布表，当 时，从而 。在概率论的发展史上，泊松分布是作为二项分布的近似而引入的，下面给出二项分布与泊松分布的关系定理。2310121 0.13530.27070.27070.3233P XP XP XP X 00.1353P X 10.2707P X 20.2707P X 泊松定理泊松定理 设 为随机变量序列，并且 。如果 (为常数)，则有 。证明证明 设 ，则 ，从而对任意固定的非负整数 k，有 limnnnp()(1 2)nnXB n pn，(1 2)nXn，(0 1 2)k，lim limC(1)e!kkkn knnnnn
25、nP Xkppknnpnnnnp(1)(2)(1)C(1)1!121 1111!kn kkkn knnnnnnn kknnn nnnkP Xkppknnkknnnn 对于固定的 k，当 时：；所以 。定理得证。lim limC(1)e!kkkn knnnnnnP Xkppklimlim()kkknnnnnpn 121lim 1111nknnnlim 1ennnnlim 11knnn 由泊松定理知道，当 n 很大（由于 ，所以 必定较小）时，有下面的近似公式 ，（2-13）即二项分布可以用泊松分布近似表达。在实际计算时，当 n 较大 p 相对较小时（通常 ，），二项分布 就可以用泊松分布 来近似
26、代替，近似效果不错。0.1p()B n p，()()Pnp10nC(1)e!kkkn knnnnP Xkppk(0 1 2)kn，limnnnpnp例例6 设一批产品共 2 000 个，其中有 40 个次品，每次任取 1 个产品做放回抽样检查，求抽检的 100 个产品中次品数 X 的分布律。解解 由题意，产品的次品率为 ，从而 ，即 。由于 较大而 相对较小，由泊松定理，X 近似服从泊松分布 ，其中 ，所以 。从表 2-6 中可以看出二项分布用泊松分布表达的近似程度。400.022000p(100 0.02)XB，(0 1 2100)k，100n 0.02p 100100C(0.02)(0.9
27、8)kkkP Xk()P2(0 1 2100)k，22e!kP Xkk次品数X二项分布B(100，0.02)泊松分布P(2)00.132 60.135 310.270 70.270 720.273 40.270 730.182 30.180 440.090 20.090 250.035 30.036 160.011 40.012 070.003 10.003 480.000 70.000 990.000 20.000 2表 2-6例例7 在 400 毫升的水中随机游动着 200 个菌团，从中任取 1 毫升水，求其中所含菌团的个数不少于 3 的概率。解解 观察 1 个菌团，它落在取出的 1 毫升
28、水中的概率为 ，对 200 个菌团逐个进行类似的观察，相当于做 200 次伯努利试验。设任取的1毫升水中所含菌团的个数为 X，则 ，即 X 的分布律为 。从而，任取的 1 毫升水中所含菌团的个数不少于 3 的概率为 。10.0025400p(200 0.0025)XB，200200C(0.0025)(0.9975)kkkP Xk31(0)(1)(2)P XP XP XP X(0 1 2200)k，由于 较大，相对较小，由泊松定理，有 ，其中 。查泊松分布表知，。所以 。0.0025p e!kP Xkk200n 200 0.00250.500.6065P X(0 1 2200)k，20.0758
29、P X 310121 0.60650.30330.07580.014 4P XP XP XP X 10.3033P X 例例8 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为 0.002，现有 2 000 个这类人参加人寿保险参加者交纳 24 元保险金，而死亡时保险公司付给其家属 5 000 元赔偿费计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10 000 元”的概率解 X 表示一年内的死亡人数，则 ，“保险公司亏本”表示收入小于支出，即 ，即 ；。(2000 0.002)XB，9X 保险公司亏本992 0002 00000(9)1(9)1()1C(0.002)(0.998)kkkkkP XP XP
30、Xk 48 0005000X这里要直接计算 是比较麻烦的，可用近似公式泊松定理计算。因为 ，所以 。同理 ，。()P Xk2000 0.0024np710 000X 保险公司盈利不少于7404(7)e0.9489!kkP Xk9404(9)1(9)1 e1 0.99190.0081!kkP XP Xk 4几何分布 设试验 E 只有两个对立的结果 A 与 ，并且 ，其中 。将试验 E 独立重复地进行下去，直到 A 发生为止，用 X 表示所需要进行的试验次数，则 X 的所有可能取值为 。由于事件 表示在前 次试验中 A 都不发生，而在第 k 次试验中 A 发生，所以 （）。（2-14）A()P A
31、p01p1 2 3，Xk()1P Ap 1k 1 2 3k，1(1)kP Xkpp显然 （），即式（2-14）满足分布律的性质。一般地，如果随机变量 X 的分布律由式（2-14）给出，则称 X 服从参数为 p 的几何分布，记作 。0P Xk11101(1)(1)11(1)kikkiP Xkpppppp1 2 3k，()XG p例例9 一段防洪大堤按照抗百年一遇洪水的标准设计，求在建成后的第 5 年，首次发生百年一遇大洪水的概率。解解 任何一年中发生百年一遇大洪水的概率都是 。设在大堤建成后的第 X 年发生百年一遇大洪水，则 ，从而 。10.01100p 445(1)0.990.010.0096
32、P Xpp()XG p5超几何分布 口袋中有 N 个产品，其中 M 个为次品，从中不放回地抽取 个产品（或一次取出 n 个产品），用 X 表示取到的次品数，则由古典概型可得 X 的分布律为 。（2-15）可以验证，式（2-15）满足分布律的两条性质。一般地，如果随机变量 X 的分布律由式（2-15）给出，则称 X 服从超几何分布，记作 。()n nNC CCkn kMN MnNP Xk(0 1 2min()kl ln M，()X H N Mn，从直观上容易理解，当产品总数 N 很大而抽取个数 n 相对较小时，不放回抽样和有放回抽样差异很小，而在有放回抽样时，抽到的次品数 X 是服从二项分布 的
33、，所以可以用二项分布近似表达超几何分布，即 。（2-16）事实上，在一定条件下，上述近似关系可以得到严格的数学证明。MBnN，CCC1CknkknkkMNMnnNMMP XkNN 例例10 某班有 20 名同学，其中有 5 名女生，现在从班上任选 4 名去参加讲座，求被选到的女同学人数 X 的分布律。解 被选到的女同学人数 X 可能取 0，1，2，3，4 这五个值，相应的概率应按下列式子来计算：。具体计算结果如表2-7所示。4515420C C()0 1 2 3 4CkkP Xkk（，）表 2-7X01234P0.281 70.469 60.216 70.031 00.001 0第三节第三节
34、连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布 对离散型随机变量，可用分布律 来刻画其概率分布情况；而对于非离散型随机变量，考虑对任意实数 x，事件 的概率 没有多大意义。例如，等公共汽车的时间 X，考虑它取某特定常数的概率，如 。事实上，“等待公共汽车时间严格等于 3 分钟”这一事件几乎不可能发生，其概率为 0。于是需要寻求另外的方法来刻画非离散型随机变量的概率分布，下面将通过引入概率密度函数的概念来介绍其中的连续型随机变量。()(1 2)kkP Xxpk，Xx()P Xx3X 定义定义1 设随机变量 X 的分布函数为 ，如果存在一个非负可积函数 ，使得对任意实数 x，都有 ，（2-1
35、7）则称 X 为连续型随机变量，并称函数 为 X 的概率密度函数（或分布密度函数），简称为概率密度（或分布密度），常记作 。()F x()f x()()()dxF xP Xxf tt()Xf x()f x一、连续型随机变量及其概率密度 由定义 1 以及微积分理论知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，并且概率密度 具有下列性质：（1）。（2-18）（2）。（2-19）（3）对于任意实数 ，有 。（2-20）（4）对任意实数 。（5）如果 在点 x 处连续，则有 。（2-21）()()()()dbaP aXbF bF af xx()0 x P Xx，()a b ab，()d1f xx()0f x
36、()()F xf x()f x()f x 需要指出的是，满足性质（1）和性质（2）的函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数。在几何图形上，概率密度曲线总是位于 x 轴上方，并且介于它和 x 轴之间的面积为 1，随机变量落在区间 的概率 等于区间 上曲线 以下曲边梯形的面积，如图2-5所示。(a b，P aXb(a b，()yf x（a）（b）图2-5 概率密度曲线 最后，对于连续型随机变量 X，它取任一实数 x 的概率都是 0，即 。事实上，设 ，由于事件 ，所以 。令 ，由 的连续性，有 。连续型随机变量的这一特性是它与离散型随机变量的最大差异。这一特性也表明，概率为 0 的事件未
37、必是不可能事件，同样概率为 1 的事件并不一定是必然事件。0 x 0P Xx()F x0()()P XxP xxXxF xF xx 0 x()0P XxXxxxXx 根据这一特性，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间、闭区间，还是半开半闭区间，即 。根据定义，性质 5 是显然成立的，则 。因此当 很小时，有 。上式说明密度函数在 x 处的函数值 越大，则 X 取 x 附近值的概率就越大。因此密度函数 并不是随机变量 X 取值 x 时的概率，而是随机变量 X 集中在该点附近的密集程度。这也意味着 确实有“密度”的性质，所以称它为概率密度。00()()()()()l
38、imlimxxF xxF xP xXxxf xF xxx x()()P xXxxf xx12121212()()()()P xXxP xXxP xXxP xXx()f x()f x()f x例例1 已知随机变量 X 的概率密度为（1）求常数 a；（2）求分布函数 ；（3）求概率 。解 （1）由于 ，即 ，所以有 ，。20()0axxf x，；，其他1132PX()d1f xx()F x011220100dd0dd1xaxxxaxx13a3a（2）因为 ，所以当 时，；当 时，；当 时，。综上所述，X 的分布函数为（3）。()0dxF xt()()dxF xf tx0 x 11222113311
39、1119()d3 d32827216PXf xxxx01x 0230()0d3 dxF xtttx1x01201()0d3 d0d1xF xtttt300()0111xF xxxx，；，；，二、几种常见的连续型随机变量的分布1.均匀分布定义定义2 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 （2-22）则称 X 在区间 上服从均匀分布，记作 。X 的分布函数为 （2-23）1()0 axbf xba，；，其他，a b，XU a b，0 ()1 xaxaF xaxbbaxb，；，；，X 的概率密度和分布函数的图形如图 2-6 所示。（a）（b）图2-6 均匀分布的概率密度和分布函数 如果 ，那么对于满
40、足 的任意实数 c，d，都有 。（2-24）此时表明随机变量 X 落在区间 的任一子区间 内的概率，只依赖于子区间 的 长度，且与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，这说明 X 落在内任意等长的子区间内的概率是相等的，所以均匀分布也称为等概率分布。1 ddcdcP cXdxbabaXU a b，acdba b，c d，c d，a b，例例2 某机场每隔 20 分钟向市区发一辆班车，假设乘客在相邻两辆班车间的 20 分钟内的任一时刻到达候车处的可能性相等，求乘客候车时间在 510 分钟之内的概率。解解 设乘客候车时间为X（单位：分钟），由题意，X 在 上等可能取值，即 X 服从 上的均匀
41、分布，X 的概率密度为 于是乘客等车的时间在 510 分钟之内的概率为 。1010551510()d d0.2520PXf xxx0 20，10()20 0 xf x，；，其他0 20，例例3 设随机变量 X 在 上服从均匀分布，求关于 t 的方程 有实根的概率。解 由题意，X 的概率密度为 设 A 表示事件“关于 t 的方程有实根”，则 A 发生意味着方程的判别式 ，即 。所以关于 t 的方程有实根的概率为 0 5，24420tXtX21XX或10()50 xf x，；，其他.2(4)4 4(2)0XX 1252()(2)(1)21()d()d13 d55P APXXP XP Xf xxf
42、xxx2.指数分布定义定义3 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 （2-25）其中，为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布，记作 。X 的分布函数为 （2-26）0e()0 0 xxf xx，；，.1 e()0 0 xxF xx，；，.()XEX 的概率密度和分布函数的图形如图 2-7 所示。（a）（b）图2-7 指数分布的密度函数和分布函数 指数分布通常用作各种“寿命”分布，如无线电元件的寿命、动物的寿命等；另外，电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可认为服从指数分布，因此它在排队论和可靠性理论等领域中有广泛的应用。例例4 某电子元件的寿命 X 是一个连续型随机变量，其概率
43、密度为（1）确定常数 C；（2）求寿命超过 100小时的概率；（3）已知该元件已正常使用 200 小时，求它至少还能正常使用 100 小时的概率。解 （1）由概率密度函数性质 2 知 。由此得 ，所以 。100e()0 0 xCxf xx，；，.10010000ed100 e1001xxCxCC 1/1000.01C(0.01)XE（2）寿命超过 100 小时的概率为 。（3）已知该元件已正常使用 200 小时，求它至少还能正常使用 100 小时的概率，即求条件概率 。从（2）、（3）可知，该元件寿命超过 100 小时的概率等于已使用 200 小时的条件下至少还能使用 100 小时的概率，这种
44、性质称为指数分布的“无记忆性”。312(300200)(300)e(300|200)e0.3679(200)(200)eP XXP XP XXP XP X，0.01 1001(100)1(100)1(1 e)e0.3679P XF 定义定义4 若随机变量 X 对任意的 ，有 ，（2-27）则称 X 的分布具有无记忆性无记忆性。因此指数分布具有无记忆性。若某元件或动物寿命服从指数分布，则式（2-27）表明，如果已知寿命长于 s 年，则再“活”t 年的概率与 s 无关，即对过去的 s 时间没有记忆，也就是说只要在某时刻 s 仍“活”着，它的剩余寿命的分布于原来的寿命分布相同。所以也戏称指数分布是“
45、永远年轻的”。()()P Xst XsP Xts 0t 例例5 某城市饮用水的日消耗量 X（单位：百万升）是一个连续型随机变量，其概率密度为（1）确定常数 C；（2）求饮用水的日消耗量不超过 9 百万升的概率 ；（3）求该城市在夏季的 100 天中饮用水的日消耗量至少有 3 天突破 9 百万升的概率 。3e0()00 xCxf xx，；，解解 （1）由概率密度函数性质 2 知 。由此得 ，所以 。随机变量 X 的概率密度为（2）。13C 3300d3 e31exxxCCC 31e()3 0 0 xxf xx，；，.13XE9933019()de d1 e1 0.04980.950 23xP X
46、f xxx （3）显然，饮用水的日消耗量突破 9 百万升的概率为 。设 Y 表示“夏季的 100 天中饮用水的日消耗量突破 9 百万升的天数”，则 。由于 较大而 相对较小，由泊松定理，Y 近似服从的泊松分布。查泊松分布表，有 。e0.0498p100 0.04985(100 0.0498)YB，310121 0.00670.03370.084 20.8754P YP YP YP Y 0.0498p 100n 3正态分布（1）正态分布定义定义5 如果连续型随机变量 X 的概率密度为 ，（2-28）其中 为常数，则称 X 服从参数为 的正态分布或高斯（正态分布或高斯（Gauss）分）分布布，记作
47、 。X 的分布函数为 。（2-29）(0)，22()21()e()2xf xx 22()21()ed()2txF xtx 2，2()XN，正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布，一方面它是自然界中十分常见的一种分布，例如测量的误差、人的身高和体重、农作物的产量、产品的尺寸和质量以及炮弹落地点等都可以服从正态分布。另一方面，正态分布又具有许多良好的性质，可用它作为一些其他不易处理的分布的近似，因此在理论和工程技术等领域，正态分布都有着不可替代的重要意义。X 的概率密度和分布函数的图形如图 2-8 所示。（a）（b）图2-8 正态分布的密度函数和分布函数（a）（b）图 2-9 正态分布的概率密度
48、 f(x)从图2-9可以看到，正态分布的概率密度 的图形呈钟形，“中间大，两头小”。从而得出 有以下的性质：()f x()f x性质1 的图形关于 对称。性质2 在 处达到最大，最大值为 。性质3 在 处有拐点。性质4 x 离 越远，x 值越小，当 x 趋向无穷大时，趋于 0，即 以 x 轴为渐近线。性质5 当 固定，愈大，则 最大值愈小，即曲线愈平坦；愈小，则 最大值愈大，即曲线愈尖。性质6 当 固定而改变 时，就是将 图形沿 x 轴平移。x()f xx12()f x()f xx()f x()f x()f x()f x()f x（2）标准正态分布定义6 设 。如果 ，则称 X 服从标准正态分
49、布，记作 ，它的概率密度函数与分布函数分别为 。（2-30）。（2-31）01，()x 221()e2xx221()ed()2txxtx 2()XN，(0 1)XN，它们的图形如图 2-10 所示。（a）（b）图2-10 标准正态分布的密度函数和分布函数 只要令 （称为标准化），就可把正态随机变量的分布函数式（2-29）化为用标准正态随机变量的分布函数 表示的形式，即 。书后附表给出了 时标准正态分布的分布函数 的函数值，以便查阅。例如 。在附表中，只对 给出 的函数值。事实上，标准正态随机变量的概率密度函数 是偶函数，所以当 时，由标准正态分布的概率密度 图形的对称性易知 。（2-32）据此
50、可得 ，。0 xts()1()xx x (1.00)1(1)1 0.84130.1587 (1.96)1(1.96)1 0.97500.0250 ()x221()ed2xsxF xs()x()x()x(1.00)0.8413(1.96)0.9750，0 x()x例6 设 ，计算下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）。|1.96PX(0 1)XN，1.24P X|2PX(1)P X 解解 （1）。（2）。（3）。（4）。|2 22(2)(2)(2)1(2)2(2)12 0.977 2 10.954 4PXPX 1.24(1.24)1(1.24)1 0.89250.1075P X (1)1(1)
