1、极限定理是概率论的基本理论，在理论研究和应用中起着重要的作用，其中最重要的为“大数定律”与“中心极限定理”。大数定律描述了随机变量序列的前一些项的算术平均值按某种前置条件下收敛于这些项所希望的平均值；中心极限定理则是确定在什么条件下，大量随机变量之和的概率分布近似于正态分布。本章仅就这些定理的一些最基本的内容进行简要介绍。序言01大数定律第一章曾讲过，大量试验证实，随机事件A发生的频率 当重复试验的次数n增大时总会稳定在某一个常数附近。这个常数就称为随机事件A发生的概率。频率的稳定性是概率定义的客观基础。本节对频率的稳定性做出理论说明。()AnnfAn弱弱大数定理（辛钦大数定理）大数定理（辛钦
2、大数定理）设X1,X2,Xn是相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望。作前n个变量的算术平均值，则对于任意，有（5-1）11lim1nknkPXn()(1 2)kE Xk，11nkkXn0证我们只在随机变量的方差存在这一条件下证明上述结果。因为又由独立性得2()(1 2)kD Xk，11111()()nnkkkkEXE Xnnnn222211111()()nnkkkkDXD Xnnnnn由切比雪夫不等式得在上式中令为即得2211/11nkknPXnn 11lim1nknkPXn弱弱大数定理（辛钦大数定理）大数定理（辛钦大数定理）设X1,X2,Xn相互独立、服从同一分布，且具有数学
3、期望 。则序列依概率收敛于 。()(1 2)kE Xk，11nkkXn伯伯努利大数定理努利大数定理 设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0，有lim1AnfPpn证 因为设随机变量则由式（5-1）得()AfB n p，(1 2)iXin，12AnfXXX11lim1nknkPXpn上式也可表示成lim1AnfPpnlim0AnfPpn02中心极限定理在第二章中曾经提过，现实生活中有大量的实例符合正态分布。正态分布是一种十分常见的分布那为什么正态分布会具有如此特别的重要性呢？大量的实际操作经验表明，许许多多微小的、彼此没有什么相依关系的偶
4、然因素共同作用的结果必然导致正态分布。序言例如，影响某大学学生成绩分布的因素有很多，如学生的情绪波动、学生的健康、考卷印刷清晰程度、考试当天天气情况等，其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，然而学生成绩的分布往往呈现近似地正态分布。为了说明这种现实结果，概率论中，把研究在什么条件下大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。序言定理定理1（列维（列维林德伯格中心极限定理）林德伯格中心极限定理）设X1,X2,Xn相互独立、服从同一分布，且具有数学期望 ，则随机变量之和 的标准化变量的分布函数Fn(x)对于任意x满足（5-2）2122lim()limed()2n
5、tkxknnXnF xPxtxn 2(),()0,(1 2)kkE XD Xk，1nkkX1111()()nnnkkkkkknnkkXEXXnYnDX此定理还可称为独立同分布的中心极限定理.这就是说，均值为、方差为2 0的独立同分布的随机变量X1,X2,Xn之和的标准化变量，当n充分大时，有1(0 1)nkkXnNn，可以表示为，当n充分大时，2121()1nkknkkXN nnXXNnn近似近似，将定理1应用到n重伯努利试验，1()nniiXB n p，定理定理2（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）设随机变量 服从服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则对于任意x，有（5-2）221
6、limed()(1)2txnnnpPxtxnpp(1 2)nn，定理2说明，当n充分大时，可以用式（5-3）来近似计算二项分布的概率实际上，定理2可以写成如下更实用的形式：当n充分大时，对于任意ab，有()(1)(1)(1)(1)(1)nnnpanpbnpP abPnppnppnppbnpanpnppnpp 例1 某大学举行篮球三分球大赛，总共有100名男生参加，每名男生投篮若干次，其在比赛中投篮命中的次数为一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求这100名男生参加完比赛后，总共投篮命中180次到220次的概率。解 设每名男生投篮命中次数为Xi，则100名男生总共投篮命中次数为1001
7、iiX且()2()1.69iiE XD X，则10010011()()200()()169iiiiE XEXD XDX，180200200220200(180220)1691691692202001802002(1.538)10.8759169169XPXP 例2 某学生开了家淘宝店，店内有120件相互无关的商品。若每件商品在一个小时内平均每3分钟就有一个顾客点击查看，问：（1）在任一时刻至少有10名顾客点击查看店内商品的概率；（2）在任一时刻有8到10名顾客点击查看店内商品的概率解 （1）设在任一时刻，访问店内商品的顾客数为X，易知112020XB，这里选用棣莫弗拉普拉斯定理来解题：(10)
8、1(010)0101(1)(1)(1)06610615.75.75.71(1.68)(2.51)0.0525P XPXnpXnpnpPnppnppnppXP 例2 某学生开了家淘宝店，店内有120件相互无关的商品。若每件商品在一个小时内平均每3分钟就有一个顾客点击查看，问：（1）在任一时刻至少有10名顾客点击查看店内商品的概率；（2）在任一时刻有8到10名顾客点击查看店内商品的概率解 （2）810(810)(1)(1)(1)8661065.75.75.7(1.68)(0.84)0.154npXnpnpPXPnppnppnppXP 例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设
9、一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长人数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率。解 （1）以Xk(k=1,2,，400)记第k个学生来参加会议的家长人数Xk的分布律如表所示。Xk012pk0.050.80.15例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且
10、服从同一分布。（1）求参加会议的家长人数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率。易知()1.1,()0.19kkE XD X由定理1可知，随机变量4001400 1.1(0 1)4000.19kkXN近似，于是400 1.1450400 1.1450400 0.19400 0.19400 1.111.1471(1.147)0.1251400 0.19XP XPXP 例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长人数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率。（2）以Y记有一名家长参加会议的学生人数，则(400 0.8)YB，由定理2可知：400 0.8340400 0.8340400 0.8 0.2400 0.8 0.2400 0.82.5400 0.8 0.2(2.5)0.9938YP YPYP 2总结
