1、第章模糊逻辑的数学基础 第章模糊逻辑的数学基础 2.1 模糊集合及其表示方法2.2 模糊语言逻辑及其算子2.3 模糊关系与模糊逻辑推理2.4 解模糊判决方法第章模糊逻辑的数学基础 2.1 模糊集合及其表示方法模糊集合及其表示方法2.1.1 经典集合经典集合 集合可以表达概念。符合某概念的对象的全体就构成此概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外延就是一个集合。集合中的个体称为元素，通常用小写字母u、v表示；集合的全体又称为论域，通常用大写字母U、V表示；uU，表示元素u在集合论域
2、U内。一个集合如果由有限个元素组成，则称为有限集合，不是有限集合的集合称为无限集合。集合可以是连续的，也可以是离散的。第章模糊逻辑的数学基础 在普通集合中，任何一个元素或个体与任何一个集合之间的关系只有“属于”和“不属于”两种情况，两者必居其一，而且只居其一，绝对不允许模棱两可。例如，“大于100的自然数”是一个清晰的概念，该概念的内涵和外延均是明确的。1.经典集合定义经典集合定义 依据一定的标准进行分类，可以把不同的事物归于这一类，或不归于这一类。集合是具有某种特定属性的对象的全体。第章模糊逻辑的数学基础 2.表示方法表示方法（1）列举法（适用于具有有限元素的集合）。（2）定义法（适用于具有
3、很多元素而不能一一列举的集合），用集合中元素的性质来描述，例如，所有奇数的集合A=x|x为奇数。（3）特征函数表示法，利用经典集合非此即彼的明晰性来表示，例如某集合A，某元素x，其特征函数为1,()0,AxAXxxA（2.1）第章模糊逻辑的数学基础 扎德（L.A.Zadeh）提出一种表示集合的方法。例如，小于10的数构成偶数集合A，可表示为101908170615041302110A以上表示方法为列举法，等号右边不表示分数之和，各分数的分母表示集合中的元素，其分子表示该元素对于集合A的特征函数。第章模糊逻辑的数学基础 2.1.2 模糊集合模糊集合1.模糊集合的定义模糊集合的定义 在现实世界中，
4、有很多事物的分类边界是不分明的，或者说是难以明确划分的。比如，将一群人划分为“高”和“不高”两类，就不好硬性规定一个划分的标准。如果硬性规定1.80 m以上的人算“高个子”，否则不算，那么两个本来身高“基本一样”的人，例如一个身高1.80 m，另一个身高1.79 m，按照上述划分个子的规定，却被认为一个“高”，一个“不高”，这就有悖于常理，因为这两个人在任何人看来都是“差不多高”。这种概念外延的不确定性称为模糊性。第章模糊逻辑的数学基础 由此可见，普通集合在表达概念方面有它的局限性。普通集合只能表达“非此即彼”的概念，而不能表达“亦此亦彼”的现象。为此，美国加州大学控制专家扎德（L.A.Zad
5、eh）教授创立了模糊集合论，提出用模糊集合来刻画模糊概念。定义定义2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：论域U上的模糊集合F是指，对于论域（Universe of Discuss）U中的任意元素uU，都指定了0，1闭区间中的某个数F(u)0，1与之对应，称为 u 对 F 的隶属度（Degree of Membership），通常将模糊集合表示为 。这就定义了一个映射F：FF U0，1iF(u)（2.2）第章模糊逻辑的数学基础 这个映射称为模糊集合的隶属函数（Membership Function）。本书在不混淆的情况下，将模糊集合简记为F。上述定义表明，论域U上的模糊集合F由隶属函数F(u
6、)来表征，F(u)的取值范围为闭区间0，1，F(u)的大小反映了u对于集合F的从属程度。F(u)的值接近于1，表示u从属于F的程度很高；F(u)的值接近于0，表示u从属于F的程度很低。可见，模糊集合完全由隶属函数所描述。FF第章模糊逻辑的数学基础 当F(u)的值域为0，1时，F锐化成一个经典集合的特征函数，模糊集合F便锐化成一个经典集合。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是经典集合的概念推广。现在我们以人的年龄为论域，讨论“年轻”、“中年”、“老年”这三个模糊集合的划分情况，分别用模糊集合A、B、C来表示。它们的论域都是1，100，论域中的元素是u，我们规定模糊集合A、B、C
7、的隶属函数A(u)、B(u)、C(u)如图2.1所示。第章模糊逻辑的数学基础 图2.1 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属函数第章模糊逻辑的数学基础 如果u1=30，u1对A的隶属度A(u1)=0.75，这意味着30岁的人属于“年轻”的程度是0.75。如果u2=40，u2既属于A集合又属于B集合，A(u2)=0.25，B(u2)=0.50，这说明40岁的人已不太年轻，比较接近中年，但属于中年的程度还不太大，只有0.50。再比如u3=50，B(u3)=1.00，这说明50岁正值中年，但即将走向“老年”。对比普通集合，用阈值来划分三个年龄段的方法，显然模糊集合能够比较准确、更加真实地描述人们头脑中
8、的原有概念，而用普通集合来描述模糊性概念反而不准确、不真实，也可以说是粗糙的。第章模糊逻辑的数学基础 定义定义2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一个普通集合，它是由论域U中满足F(u)0的所有u组成的，即S=uU|F(u)0 （2.3）例如，在图2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是开区间（35，60）。定义定义2.3 模糊单点（Singleton）:如果模糊集合F的支集在论域U上只包含一个点u0，且F(u0)=1，则F就称为模糊单点，即F=u0U|F(u0)=1（2.4）第章模糊逻辑的数学基础 模糊单点的隶属函数如图2.2所示，它是位于u0点的一条竖直的线段，线段的高度为1。
9、模糊单点也可以看成是一个普通的集合，它只包含一个点u0。第章模糊逻辑的数学基础 图2.2 模糊单点的隶属函数第章模糊逻辑的数学基础 2.模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法（1）当U为离散有限域U=u1，u2，un时，模糊集合F通常有以下三种表示方法。扎德（Zadeh）表示法：（2.5）nnFFFuuuuuuF)()()(2211式中的F（ui)/ui不代表分式，表示论域U中元素ui及其隶属函数F（ui)之间的对应关系。符号“”也不表示“加法”运算，而是表示模糊集合在论域U上的整体。这是一种列举表示方法。第章模糊逻辑的数学基础 向量表示法：当模糊集合F的论域由有限个元素构成时，模糊集合F可表示
10、成向量形式F=F(u1)，F(u2)，F(un)（2.6）一般地，若一向量的每个坐标都在0，1之中，则称其为模糊向量。注意：应用向量表示时，隶属度等于零的项不能舍弃，必须依次列入。序偶表示法:将论域中元素ui与其隶属度F（ui)构成序偶来表示F,则F=(u1，F(u1)，(u2，F(u2)，(un，F（un)（2.7）第章模糊逻辑的数学基础 例例2.1 在论域U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中讨论“小的数”F这一模糊概念，分别写出上述三种模糊集合的表达式。解解 根据经验，可以定量地给出“小的数”这一模糊概念的隶属函数。Zadeh表示法：10090807061.053.045.037
11、.029.011F第章模糊逻辑的数学基础 向量表示法：F=1，0.9，0.7，0.5，0.3，0.1，0，0，0，0偶表示法：F=(1，1)，(2，0.9)，(3，0.7)，(4，0.5)，(5，0.3)，(6，0.1)，(7，0)，(8，0)，(9，0)，(10，0)(2)当论域U为离散无限域时，通常有两种表示方法。可数情况：扎德表示法11()()FiFiiiiuuFuu（2.8）第章模糊逻辑的数学基础 这里的、仅仅是符号，不是表示求“和”或“积分”记号，而是表示论域U上的元素u与隶属度F(u)之间的对应关系的总括；F(ui)/ui也不表示“分数”，而表示论域U上u与隶属度F(u)之间的对应
12、关系。不可数情况：扎德表示法UiiFuuF)(2.9)第章模糊逻辑的数学基础 式中的符号“”不代表普通积分，而是表示无限多个元素与其隶属度对应关系的一个总括。(3)当U为连续无限论域时，模糊集合F表示为例例2.2 以年龄为论域，设U=0，200，扎德给出了“年轻”Y与“年老”O两个模糊集合的隶属度函数：UFuuF)(2.10)20025 5251250 112uuuY(2.11)第章模糊逻辑的数学基础 20050 5501500 012uuuO(2.12)采用扎德表示法，“年轻”Y与“年老”O两个模糊集合可写为250200251252511uuuuuY500200501255010uuuuuO
13、20050125501uuu第章模糊逻辑的数学基础 其隶属函数曲线如图2.3所示。图2.3 “年轻”与“年老”隶属函数曲线第章模糊逻辑的数学基础 2.1.3 模糊集合的隶属函数模糊集合的隶属函数1 确定隶属函数的原则确定隶属函数的原则隶属函数的确定实质上是人们对客观事物中介过渡的定性描述，这种描述本质上是客观的。由于模糊理论研究的对象具有模糊性和经验性，每个人对同一模糊概念的认识和理解存在差异，因此，隶属函数的确定又含有一定的主观因素。尽管确定隶属函数的方法带有主观因素，但主观的反映和客观的存在是有一定联系的，是受到客观制约的。因此，隶属函数的确定应遵守一些基本原则。第章模糊逻辑的数学基础 定
14、义定义2.4 凸模糊集合：设实数论域中模糊集合A在任意区间x1，x2上，对所有的实数xx1，x2都满足A(x)minA(x1)，A(x2)(2.13)则称A为凸模糊集合，否则即为非凸模糊集合，参看图2.4。由此可见，凸模糊集合的隶属函数是一个单峰凸函数。(1)隶属函数所表示的模糊集合必须是凸模糊集合。下面以主观性最强的专家经验法为例来确定“舒适”温度的隶属函数。第章模糊逻辑的数学基础 图2.4 凸模糊集合与非凸模糊集合(a)凸模糊集合；(b)非凸模糊集合第章模糊逻辑的数学基础 某专家根据他本身的经验对“舒适”温度的隶属函数定义如下：“舒适温度”00.51.00.50010203040CCCCC
15、这里隶属度为1.0的温度点为20，即在20左右是“舒适”的温度，越是偏离这个温度，其隶属度越小，即舒适的程度越小，这与大多数人的经验是吻合的。至于30的隶属度是0.5而不是0.45，也只能说这是经验。但是，这种经验并不意味着可以任意确定，因为可以称得上专家的经验，那肯定不是一种具有任意性的经验，通常都是指具有相当成功把握和代表性的经验。第章模糊逻辑的数学基础 通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从最适合这一模糊概念的点下手，也即确定该模糊概念的最大隶属函数中心点或区域，然后向两边延伸。连接各点后经过平滑处理的隶属函数曲线如图2.5曲线1或曲线2所示。由图2.5来看，从隶属函数中心点出发向两
16、边延伸时，其隶属函数的值必须是单调递减的，而不允许有波浪形(如图2.4(b)所示)，否则会产生明显不合逻辑的状态。第章模糊逻辑的数学基础 图2.5 隶属函数向最大值两边延伸的差别图第章模糊逻辑的数学基础(2)变量所取隶属函数通常是对称和平衡的。一般情况下，描述变量的模糊集合安排得越多，模糊控制系统的分辨率就越高，其系统响应的结果就越平滑；但模糊规则会明显增多，计算时间增加，设计困难加大。如果描述变量的模糊集合安排得太少，则其系统的响应可能会太不敏感，并可能无法及时提供输出控制跟随小的输入变化，以使系统的输出在期望值附近振荡。实践表明，一般取39个模糊集合为宜，并且通常取奇数个，在“零”、“适中
17、”或“正常”集合的两边，模糊集合通常是对称的。第章模糊逻辑的数学基础(3)隶属函数要遵从语意顺序，避免不恰当的重叠。在相同论域上使用的具有语意顺序关系的若干模糊集合，例如“冷”、凉”、“适中”、“暖”、“热”等模糊子集其中心值位置必须按这一次序排列，不能违背常识和经验。隶属函数由中心值向两边模糊延伸的范围也有一定的限制，间隔的两个模糊集合的隶属函数尽量不重叠。图2.6中，“凉”和“热”由“适中”所间隔，但“凉”和“热”存在着严重的重叠现象。第章模糊逻辑的数学基础 图2.6 交叉越界的隶属函数示意图第章模糊逻辑的数学基础(4)论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多
18、两个隶属函数的区域。(5)对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。(6)当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于等于1。为了定性研究隶属函数之间的重叠，Motorola公司的Marsh提出重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属函数的重叠关系，如图2.7中模糊集合A1，A2所示。定义如下：第章模糊逻辑的数学基础 图2.7 重叠指数的定义第章模糊逻辑的数学基础 重叠范围重叠率附近模糊隶属函数的范围总的重叠范围重叠鲁棒性总的重叠最大面积)(2d)(21LUuULAA（2.14）（2.15）例例2.3 根据式(2.14)及(2.15)计算图2.8所示模糊集合的重叠
19、率及重叠鲁棒性。第章模糊逻辑的数学基础 图2.8 隶属函数重叠的例子第章模糊逻辑的数学基础 解解 图2.8(a)模糊集合A1与A2无重叠。因此，重叠率等于0；重叠鲁棒性也等于0。由图2.8(b)可知，模糊集合A1与A2的重叠范围为7060=10，附近隶属函数的范围为8050=30。根据式(2.14)可得重叠率，用表示如下：33.03010从L到U的重叠区间，模糊集合A1，A2隶属函数的和。因此，根据式(2.15)可得重叠鲁棒性，用表示如下：1)()(21uuAA第章模糊逻辑的数学基础 由图2.8(c)可知，模糊集合A1与A2的重叠范围为UL=6560=5，A1，A2附近隶属函数的范围为7550
20、=25，因此33.02555.0)()(21uuAA5.02010)6070(2d 1)(2d)()(706021uLUuuuULAA 从L到U的重叠区间，模糊集合A1，A2隶属函数的和，因此，根据式(2.15)可得第章模糊逻辑的数学基础 25.0105.2)6560(2d 5.0)(2d)()(656021uLUuuuULAA 对于重叠指数的选择，一般取重叠率为0.20.6为宜；重叠鲁棒性的值通常比重叠率稍大一点，一般为0.30.7。重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块就更具有模糊性，而低重叠指数适用于有较大明确相关性的输入输出系统。为了使模糊控制模块更平滑地操作，应该选择成熟的重叠率和重叠
21、鲁棒性，例如，重叠率可取0.33，重叠鲁棒性可取0.5。第章模糊逻辑的数学基础 2.确定隶属函数的方法确定隶属函数的方法这里介绍几种常用的确定隶属函数的方法。(1)模糊统计法。模糊统计是指对模糊性事物的可能性程度进行统计，其统计结果即为隶属度。其基本思想是：对论域U上的一个确定元素u0，考虑n个有模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对A*的归属次数。u0对A*的归属次数和n的比值就是元素u0对模糊集合A的隶属度：nmunA lim)(0(2.16)式中m表示u0A*的次数。第章模糊逻辑的数学基础 例如，对于“青年人”这一模糊集合，27岁属于“青年人”的隶属度是多少呢？对n=129人进行调查
22、，其中101人认为27岁完全属于青年人，因此，27岁属于“青年人”Y模糊集合的隶属度是78.0129101)27(Y(2)专家经验法。这是由专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数来确定隶属函数的方法。第章模糊逻辑的数学基础(3)二元排序法。这是一种较实用的确定隶属函数的方法。它通过对多个事物之间两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。根据对比尺度不同，二元对比排序法可分为相对比较法、对比平均法、优先关系排序法和相似优先比较法等，这里仅介绍使用方便的相对比较法。相对比较法设论域U中的元素为u1，u2，un，要对这些元素按某种特征进行排序。首先要在
23、二元对比中建立比较等级，然后再用一定方法进行总体排序，以获得诸元素对于这个特性的隶属度函数。用该方法确定隶属度函数的具体步骤如下：第章模糊逻辑的数学基础 设论域U中一对元素(u1，u2)，其具有某特征的等级分别为 和，意思就是，在u1和u2的二元对比中，如果u1具有某特征的程度用 来表示，则u2具有该特征的程度表示为 。并且该二元比较级的数对(，)必须满足：)(21ugu)(12ugu)(21ugu)(21ugu)(12ugu01，01)(12ugu)(21ugu令)(),(max()()21121122uguguguuguuu(2.17)第章模糊逻辑的数学基础)()(1)()()()(212
24、12121121212ugug，ugug，uguguuguuuuuu即有(2.18)这里u1，u2U。若由g(ui/uj)为元素构成矩阵，并设g(ui/uj)当i=j时，取值为1则得到矩阵 G，被称为“相及矩阵”，如1)/()/(11221uuguugG(2.19)第章模糊逻辑的数学基础 对于n个元素u1，u2，un，也按同理可以得到 G 矩阵，表示式为1)/()/()/()/(1)/()/()/()/(1)/()/()/()/(1321323132321213112uuguuguuguuguuguuguuguuguuguuguuguugGnnnnnn(2.20)若对相及矩阵 G 的每一行取最
25、小值，如第i行取值gi=ming(ui/u1),g(ui/u2),g(ui/ui-1),1,g(ui/ui+1),g(ui/un)然后按其值gi(i=1，2，n)大小排序，即可得到元素u1，u2，un对某特征的隶属函数。第章模糊逻辑的数学基础 例例2.4 论域C=(c1，c2，c3，c0)，其元素c0代表某名牌产品，而c1，c2，c3则代表同类产品，若考虑这些同类产品与名牌产品相似这一模糊概念，可以用对比排序法来确定c1，c2，c3相似于c0的隶属度函数。解解 首先对每两个元素建立比较等级。c1和c2相比较，对c0的相似度分别为0.8和0.5；c2和c3相比较，对c0的相似度分别为0.6和0.
26、9；c1和c3相比较，对c0的相似度分别为0.7和0.3。这样c1，c2和c3两两对比的相似度为第章模糊逻辑的数学基础 将上述数据列入表2.1。112131()1,()0.8,()0.7cccgcgcgc122232()0.5,()1,()0.6cccgcgcgc132333()0.3,()0.9,()1cccgcgcgc表表2.1 相似程度相似程度)(iccgj第章模糊逻辑的数学基础 按照式(2.17)和式(2.18)计算相及矩阵 G 的元素g(ci/cj)则有：当i=j=1，2，3时g(ci/cj)=1当i=1，j=2，3时g(c1/c2)=0.8/max(0.8，0.5)=1，g(c1/
27、c3)=0.7/max(0.7，0.3)=1当i=2，j=1，3时g(c2/c1)=0.5/max(0.8,0.5)=0.625,g(c2/c3)=0.6/max(0.6,0.9)=0.667当i=3，j=1，2时g(c3/c1)=0.3/max(0.3,0.7)=0.429,g(c3/c2)=0.9/max(0.6,0.9)=1第章模糊逻辑的数学基础 构成相及矩阵 G，对每行元素取最小值，得到1110.62510.6670.42911G123(,)1,0.625,0.429gg gg 按大小排序10.6250.429。得到结果是c1最相似于c0(隶属度为1)，c2次之(隶属度为0.625)，
28、c3差别最大(隶属度为0.429)。第章模糊逻辑的数学基础 由上例可知：要求人们同时比较C论域中所有元素，并直接给出每个元素对某一模糊概念的隶属函数往往是相当困难的，因为这要考虑到诸多因素。如果对C论域中所有元素两两进行比较，则能较容易而又客观地比较出两者中究竟哪一个对于同一模糊概念的隶属度高。因此，对比排序法亦称为“二元对比法”。(4)典型函数法。根据问题的性质，应用一定的分析与推理，选用某些典型函数作为隶属函数，如三角形函数、梯形函数等。第章模糊逻辑的数学基础 3.常用隶属函数的图形常用隶属函数的图形如果按定义，模糊集合的隶属函数可取无穷多个值，这在实际使用中是难以确定的，所以一般可进行如
29、下简化：把最大适合区间的隶属度定为1.0，中等适合区间的隶属度定为0.5，较小适合区间的隶属度定为0.25，最小隶属度(即不隶属)为0.0。再对一些常用的基本隶属函数图形进行定义。基本的隶属函数图形可分为三类：左大右小的偏小型下降函数(通常称做Z函数)、右大左小的偏大型上升函数(通常称做S函数)和对称型凸函数(通常称做函数)，如图2.9所示。第章模糊逻辑的数学基础 图2.9 基本隶属函数图形(a)Z函数；(b)函数；(c)S函数第章模糊逻辑的数学基础 图2.10 直线型隶属函数(a)三角形函数；(b)梯形函数；(c)单值线形函数第章模糊逻辑的数学基础 2.1.4 模糊集合的运算模糊集合的运算1
30、.模糊集合的逻辑运算模糊集合的逻辑运算(1)模糊集合的相等：若有两个模糊集合A和B，对所有的uU，均有A(u)=B(u)，则称模糊集合A与模糊集合B相等，记作AB。(2)模糊集合的包含：若有两个模糊集合A和B，对所有的uU，均有A(u)B(u)，则称模糊集合A包含于模糊集合B，或称A是B的子集，记作AB。(3)模糊空集：对所有的uU，均有A(u)=0，则称A为模糊空集。(4)模糊全集：对所有的uU，均有A(u)=1，则称A为模糊全集。第章模糊逻辑的数学基础(5)模糊集合的并集：并集(C=AB)的隶属函数C对所有uU被逐点定义为取大运算，即 C(u)=maxA，B(2.21)还可以表示为AB(u
31、)=A(u)B(u)(2.22)(6)模糊集合的交集：交集(C=AB)的隶属函数C对所有uU被逐点定义为取小运算，即 C(u)=minA，B(2.23)还可以表示为AB(u)=A(u)B(u)(2.24)第章模糊逻辑的数学基础 两个模糊集合的交，其隶属函数还有以下运算：AB(u)=A(u)B(u)(2.25)(7)模糊集合的补运算:模糊集合补集的隶属函数A c(u)，对所有uU被逐点定义为A c(u)=1A(u)(2.26)例例2.5在水的温度论域U=0，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100中，有两个模糊集合，“水温中等”M及“水温高”H：0.00.250.50.751
32、.00.750.50.250.00.00.00102030405060708090100M 0.00.00.00.00.00.250.50.751.01.01.00102030405060708090100H 第章模糊逻辑的数学基础 计算MH、MH及M c。解解模糊集合的运算即为模糊集合逐点隶属度的运算，根据模糊集合“并”、“交”及“补”的运算规则，利用式(2.21)、(2.23)和式(2.26)计算如下：0.00.00.250.00.50.00.750.01.00.00.750.25010203040500.50.50.250.750.01.00.01.00.01.0 60708090100
33、MH0.00.250.50.751.00.750.50.751.01.01.00102030405060708090100第章模糊逻辑的数学基础 0.00.00.250.00.50.00.750.01.00.00.750.25010203040500.50.50.250.750.01.00.01.00.01.0 60708090100MH0.00.00.00.00.00.250.50.250.00.00.001020304050607080901001.00.01.00.251.00.51.00.751.0 1.01.00.75010203040501.00.51.00.251.00.01.0
34、0.01.00.0 60708090100cM1.00.750.50.250.00.250.50.751.01.01.00102030405060708090100 以上两个模糊集合的“并”、“交”和“补”逻辑运算用图形表示，见图2.11和图2.12阴影部分。第章模糊逻辑的数学基础 图2.11 模糊集合的“并”、“交”运算(a)模糊集合的“并”运算；(b)模糊集合的“交”运算第章模糊逻辑的数学基础 图2.12 模糊集合的“补”运算第章模糊逻辑的数学基础 2.模糊集合的代数运算模糊集合的代数运算模糊集合除了“交”、“并”、“补”等基本运算以外，还有如下一些代数运算法则。设A，B为U中的两个模糊集
35、合，隶属函数分别为A，B，则可以由隶属函数按以下的定义进行模糊集合的代数运算。(1)代数积：ABAB(u)=A(u)B(u)(2.27)(2)代数和：若有三个模糊集合A、B、C，对所有的uU，均有C(u)=A(u)+B(u)A(u)B(u)(2.28)则称C为A、B的代数和。第章模糊逻辑的数学基础(3)有界和:()()()1ABABABuuu(2.30)(4)有界差:()()()0ABuuuABA B(2.29)(5)有界积：()()()10ABABABuuu(2.31)例例2.6仍依例2.5中模糊集合“水温中等”M及“水温高”H：0.00.250.50.751.00.750.50.250.0
36、0.00.00102030405060708090100M 0.00.00.00.00.00.250.50.751.01.01.00102030405060708090100H 第章模糊逻辑的数学基础 计算M与H的代数积及M与H的代数和。解解 M与H的代数积：根据式(2.27)ABAB(u)=A(u)B(u)，M与H的代数积为0 00.25 00.5 00.75 01.0 00.75 0.250.5 0.5 01020304050600.25 0.750 1.00 1.00 1.0 708090100M H000000.18750.250.187500001020304050607080901
37、00M H第章模糊逻辑的数学基础 M与H的代数和：根据式(2.28)M+HA+B(u)=A(u)+B(u)A(u)B(u)，M与H的代数和为00.250.50.751.00.81250.750.81251.01.01.00102030405060708090100MHM与H的代数积及M与H的代数和示意图见图2.13阴影部分。第章模糊逻辑的数学基础 图2.13 模糊集合的代数积及代数和示意图(a)模糊集合的代数积；(b)模糊集合的代数和第章模糊逻辑的数学基础 2.1.5 模糊集合运算的基本性质模糊集合运算的基本性质除了模糊集合的基本逻辑运算和代数运算之外，为了计算上的方便，在这里列出一些模糊集合
38、的运算性质，供参考，运算性质证明从略。(1)幂等律 AA=A AA=A(2)交换律 AB=BA AB=BA(3)结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(4)分配律(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)第章模糊逻辑的数学基础(5)吸收律(AB)A=A (AB)A=A(6)统一律 AU=U AU=A (7)复原律(Ac)c=A(8)对偶律(AB)c=AcBc (AB)c=AcBc AAA 第章模糊逻辑的数学基础 2.1.6 模糊集合与普通集合的关系模糊集合与普通集合的关系 1.截集截集模糊集合A本身是一个没有确定边界的集合，但是如果约定，凡u对A的隶属度达到或超过某个
39、水平者才算A的成员，那么模糊集合A就变成了普通集合A。定义定义2.5设A为论域U上的一个模糊集合，任取0，1，记A=uU|A(u)(2.32)称A为A的截集，其中称为阈值或置信水平。又记(2.33)称为A的强截集。()AAuUuA第章模糊逻辑的数学基础 图2.14(a)给出了1，2(12)对应的截集，()图形。图2.14(b)、(c)为、的特征函数描述。当=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。当=0+时，得到最大的水平截集称为模糊集合A的支集，记为supA=u|uU，A(u)0(2.34)若A的核非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。1A2A21AA1A2A第章模糊逻辑
40、的数学基础 图2.14 模糊集合的截集第章模糊逻辑的数学基础 例例2.7设 是有限论域U上的一个模糊集，于是A1=u4A0.5=u1，u2，u3，u4A0=u1，u2，u3，u4，u5123450.50.80.710.2Auuuuu 1A 0.5234,Au u u0012345,AAu u u u u第章模糊逻辑的数学基础 用特征函数的向量形式来表示：A1=0，0，0，1，0 10,0,0,0,0A0.51,1,1,1,0A0.50,1,1,1,0A001,1,1,1,1AA应该注意到，A是不模糊的。第章模糊逻辑的数学基础 2.分解定理分解定理分解定理说明，任何一个模糊集合可由一类普通集合套
41、来表示。定义定义2.6设A是普通集合，0，1，做数量积运算，得到一个特殊的模糊集合A，其隶属函数为 ()0 AuAuuA(2.35)分解定理分解定理：设A为论域U上的模糊集合，A是A的截集，则有0,1AA(2.36)第章模糊逻辑的数学基础 例例2.8设 1234560.10.30.710.60.2Auuuuuu0.1123456,Au u u u u u0.11234560.10.10.10.10.10.10.1Auuuuuu0.223456,Au u u u u0.2234560.20.20.20.20.20.2Auuuuu0.32345,Au u u u0.323450.30.30.30.
42、30.3Auuuu第章模糊逻辑的数学基础 A0.6=u3,u4,u5 0.63450.60.60.60.6Auuu0.734,Au u0.7340.70.70.7Auu 14Au1411Au由式(2.36)得0.10.20.30.60.710,10.10.20.30.60.71AAAAAAAA1234560.10.30.710.60.2Auuuuuu第章模糊逻辑的数学基础 分解定理亦可从图2.14得到直观的说明，图中给出1A1、2A2的图形，设想取遍区间0，1中的实数时，按模糊集合求并运算的法则，A(u)恰好取各点隶属函数的最大值，将这些点连成一条曲线，正是A的隶属函数A。A是模糊集合，A是普
43、通集合(非模糊集合)，它们之间的联系和转化由分解定理用数学语言表达出来了。这个定理也说明了模糊性的成因，大量的甚至无限多的清晰事务重叠在一起，总体上就形成模糊事务。第章模糊逻辑的数学基础 3.扩张原理扩张原理在给定的论域U上，可以有多个模糊集合，记U上的模糊集合的全体为P(U)，称P(U)为U上模糊集合的幂集。显然，P(U)是一个普通集合。若A为论域U上的一个模糊集合，在一个普通映射f UV下，A的像是什么？若已知BP(V)，它在U上对应的模糊集合又是怎样的呢？也就是说，一个普通映射能否诱导到模糊集合之间的映射，问题的关键在于如何确定这些模糊集合的隶属函数。为此，有扩张原理如下。第章模糊逻辑的
44、数学基础 定义定义2.7扩张原理：设有普通映射f UV，由 f 可以诱导出两个映射f P(U)P(V)，f 1 P(V)P(U)A|f(A)，B|f 1(B)f(A)称为A在f之下的像，f1(B)为B的逆像。它们的隶属函数分别为:()()()sup()Au vf uf Avu1()()()()BfBuvvf u(2.38)(2.37)第章模糊逻辑的数学基础 例例2.9设U=1，2，6，V=a，b，c，d，论域U上有模糊集合 1,2,3()4,5 6auf ubucu62.054.039.011A求B=f(A)及f 1(B)。第章模糊逻辑的数学基础 解根据扩张原理()()()sup()(1)(2
45、)(3)100.91Af uvAAAf Aau 类似地，得f(A)(b)=0.4，f(A)(c)=0.2由于 ，所以f(A)(d)=0，于是1()fd cbaB2.04.01参看图2.15。第章模糊逻辑的数学基础 图2.15 扩张原理示意图(a)论域U到V的映射；(b)模糊集合A的像第章模糊逻辑的数学基础 由此可见，求扩张模糊集合f(A)，可用如下办法：当V为有限论域时，可根据扩张原理算出V上各点对f(A)的隶属度，然后再按照模糊集合表示法写出f(A)。类似地求f1(B)。根据扩张原理，f1(B)(u)=B(v)，由此得：f1(B)(1)=B(a)=1f1(B)(2)=B(a)=1f1(B)(
46、3)=B(a)=1同理f1(B)(4)=B(b)=0.4第章模糊逻辑的数学基础 f1(B)(5)=B(b)=0.4f1(B)(6)=B(c)=0.2因此52.054.044.0312111)(1Bf参看图2.16。扩张原理在模糊集合论中是一个很重要的原理，并得到广泛的应用。如果说分解定理是模糊集合与清晰集合间的联系纽带，那么扩张原理是把清晰集合论中的数学方法扩展到模糊集合中的有力工具。第章模糊逻辑的数学基础 图2.16 B的逆像集合第章模糊逻辑的数学基础 2.2 模糊语言逻辑及其算子模糊语言逻辑及其算子2.2.1 模糊语言逻辑模糊语言逻辑1.模糊数模糊数若A是实数域 R 上的凸模糊集，那么截集
47、A是实数轴上的凸集。显然A是一区间，这个区间可以是有限的，如a，b；也可以是无限的，如(，a、b，)或(，)。由凸模糊集给出模糊数的概念。定义定义2.8模糊数：设A是实数域 R 上的正规模糊集，且(0，1，A均为一闭区间，即A=a，b则称 A 为一个模糊实数，简称模糊数。第章模糊逻辑的数学基础 那就是说，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。这里正规集合的含义就是其隶属函数的最大值是1，用数学表达式表示为)(1max正规ARu 这里凸集合的含义是：在隶属函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度都大于或者等于两点隶属度中较小的一个。由定义2.4可知
48、，在实数集合的任意区间a，b上，对于所有的ua，b，都有如下关系，就称F是凸模糊集合：A(u)min(A(a)，A(b)(凸性)第章模糊逻辑的数学基础 这里凸模糊集的直观几何意义是(参见图2.17)，假设A表示“速度快”这个模糊集，u1点的速度慢，u2点的速度较快，u1和u2连线上的任一点u的速度都比u1点快而比u2点要慢，或者说u隶属于A的程度都比u1隶属于A的程度大。通俗地说，就是把那些诸如“大约5”、“10左右”等具有模糊概念的数称为模糊数。第章模糊逻辑的数学基础 图2.17 凸模糊集的几何意义第章模糊逻辑的数学基础 2.语言变量语言变量语言变量是以自然语言中的字、词或句作为名称，并且以
49、自然语言中的单词或词组作为值的变量，它不同于一般数学中以数为值的数值变量。因此，语言变量实际上是一种模糊变量，是用模糊语言表示的模糊集合。例如，若将“年龄”看成是一个模糊语言变量，则它的取值不是具体岁数，而是诸如“年幼”、“年轻”、“年老”等用模糊语言表示的模糊集合。语言变量用一个有五个元素的集合N，T(N)，U，G，M来表征，其中：N是语言变量的名称，如年龄、颜色、速度、体积等；U是N的论域；第章模糊逻辑的数学基础 T(N)是语言变量值X的集合，每个语言值X都是定义在论域U上的一个模糊集合；G是语法规则，用以产生语言变量N的语言值X的名称；M是语义规则，是与语言变量相联系的算法规则，用以产生
50、模糊子集X的隶属函数。语言变量通过模糊等级规则，可以给它赋予不同的语言值，以区别不同的程度。以语言变量名称N表示“年龄”为例，则T(年龄)可以选取为：T(年龄)=(很年轻，年轻，中年，老，很老)，上述每个模糊语言值如老、中、轻等是定义在论域U上的一个模糊集合，设论域U=0，120。语言变量的五元素之间的相互关系可以用图2.18来表示。第章模糊逻辑的数学基础 图2.18 语言变量体系结构第章模糊逻辑的数学基础 2.2.2 语言算子语言算子 1.语气算子语气算子语气算子用于表达语言中对某个单词或词组的确定性程度。设有论域U，若存在单词A，有隶属函数A(u)=，则有以下算子。(1)集中化算子。在单词
