1、1v4.1模糊逻辑理论的基本概念v4.2 模糊逻辑控制系统的基本结构v4.3 模糊逻辑控制系统的基本原理v4.4 离散论域的模糊控制系统的设计v4.5 具有PID功能的模糊控制器第4章 模糊逻辑控制理论2 控制论的创始人维纳教授在谈到人胜过最完善的机器时说：“人具有运用模糊概念的能力”。这清楚地指明了人脑与电脑之间有着本质的区别，人脑具有善于判断和处理模糊现象的能力。“模糊”是与“精确”相对的概念。模糊性普遍存在于人类思维和语言交流中，是一种不确定性的表现。随机性则是客观存在的另一类不确定性，两者虽然都是不确定性，但存在本质的区别。模糊性主要是人对概念外延的的主观理解上的不确定性。随机性则主要
2、反映客观上的自然的不确定性，即对事件或行为的发生与否的不确定性。3 模糊逻辑和模糊数学虽然只有短短的几十余年历史，但其理论和应用的研究已取得了丰富的成果。尤其是随着模糊逻辑在自动控制领域的成功应用，模糊控制理论和方法的研究引起了学术界和工业界的广泛关注。在模糊理论研究方面，以Zadeh提出的分解定理和扩张原则为基础的模糊数学理论已有大量的成果问世。1984年成立了国际模糊系统协会（IFSA），FUZZY SETS AND SYSTEMS（模糊集与系统）杂志与IEEE（美国电气与电于工程师协会）“模糊系统”杂志也先后创刊。4 在模糊逻辑的应用方面，自从1974年英国的Mamdani首次将模糊逻辑
3、用于蒸汽机的控制后，模糊控制在工业过程控制、机器人、交通运输等方面得到了广泛而卓有成效的应用。与传统控制方法如PID控制相比，模糊控制利用人类专家控制经验，对于非线性、复杂对象的控制显示了鲁棒性好、控制性能高的优点。模糊逻辑的其他应用领域包括：聚类分析、故障诊断、专家系统和图像识别等。54.1 模糊逻辑理论的基本概念模糊逻辑理论的基本概念4.1.1 模糊集合及其运算模糊集合及其运算 集合一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。将组成集合的事物称为集合的元素或元。通常用大写字母A，B，C，X，Y，Z 等 表 示 集 合，而 用 小 写 字 母a,b,c,x,y,z表示集合内元素
4、。被考虑对象的所有元素的全体称为论域，一般用大写字母U表示。6 在康托创立的经典集合论中，一事物要么属于某集合，要么不属于某集合，二者必居其一，没有模棱两可的情况。即经典集合所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。在人们的思维中，有许多没有明确外延的概念，即模糊概念。表现在语言上有许多模糊概念的词，如以人的年龄为论域，那么“年青”、“中年”、“年老”都没有明确的外延。再如以某炉温为论域，那么“高温”、“中温”、“低温”等也都没有明确的外延。所以诸如此类的概念都是模糊概念。模糊概念不能用经典集合加以描述，因为它不能绝对地用“属于”或“不属于”某集合来表示，也就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对
5、的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。71模糊集合的定义及表示方法 Zadeh在1965年对模糊集合的定义为：给定论域U，U到0，1闭区间的任一映射AA：U0，1都确定U的一个模糊集合A，A称为模糊集合A的隶属函数，它反映了模糊集合中的元素属于该集合的程度。若A中的元素用x表示，则A(x)称为x属于A的隶属度。A(x)的取值范围为闭区间0，1，若A(x)接近1，表示x属于A的程度高，A(x)接近0，表示x属于A的程度低。可见，模糊集合完全由隶属函数所描述。8模糊集合有很多表示方法，最常用的有以下几种：1)当论域U为有限集x1,x2,xn时，通常有以下三种方式 (a)Zadeh表示法将论域中的
6、元素xi与其隶属度A(xi)按下式表示A，则其中 A(xi)/xi并不表示“分数”，而是表示论域中的元素xi与其隶属度A(xi)之间的对应关系。“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U上的整体。在Zadeh表示法中，隶属度为零的项可不写入。nnAAAxxxxxxA)()()(22119 (b)序偶表示法将论域中的元素xi与其隶属度A(xi)构成序偶来表示A，则A=(x1,A(x1),(x2,A(x2),(xN,A(xN)|xU在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。(c)向量表示法将论域中元素xi的隶属度A(xi)构成向量来表示A，则A=A(x1)A(x2)A(xN)在向量表示法中，隶属
7、度为零的项不能省略。10 若A为以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数为A(x)，如果对任意实数ax0,0。当x=v时。隶属度函数为1，其分布曲线如图4-3所示。0,e)(2)(bxbax0,e)(0,0)(xxxxx图4-2 正态型分布曲线 图4-3 型分布曲线18图4-4 戒上型分布曲线 图4-5 戒下型分布曲线(3)戒上型其中 a0,b0。其分布曲线如图4-4所示。当a=0.2,b=2,c=25时，即为“年青”的隶属函数。(4)戒下型当a=0.2,b=-2,c=50时，即为“年老”的隶属函数。其中 a0,b0 为A的台集合。其意义为论域U中所有使A(x)0的x的全体。例4-1中，模糊集合A
8、的台集合为 AS=3,4,5,6,7,8显然台集合为普通集合，即模糊集合可只在它的台集合上加以表示。ssAAxAxxS,0,1)(20 1,0(,)(|);1,0,)(|xxAxxAAA1)(maxxAXx 1,0U,),(),(min()1(212121xxxxxxAAA 2)截集定义 分别称为模糊集合A的强截集和弱截集。显然截集也为普通集合，且AS=A|=0 3)正则模糊集合如果 则称A为正则模糊集合。4)凸模糊集合如果 则称A为凸模糊集合。21 5)分界点 使得A(x)=0.5的点x称为模糊集合A的分界点。6)单点模糊集合 在论域中，若模糊集合的台集合仅为一个点，且该点的隶属度函数A(x
9、)=1，则称A为单点模糊集合。22AA1,0AxAxxA,0,)(4分解定理和扩张原则 (1)分解定理设A为论域U上的一个模糊集合，A是A的截集，0，1，则有如下分解定理成立 其中 A表示语言变量x的一个模糊集合，称为与A的“乘积”，其隶属度函数定义为23例例4-3 求模糊集合的截集，0，1。解解 取分别为1,0.7,0.6,0.5,0.3，于是有将截集写成模糊集合的形式543213.07.016.05.0uuuuuA,543213.043215.04326.0437.031uuuuuAuuuuAuuuAuuAuA543213.043215.04326.0437.03111111,111111
10、1,11,1uuuuuAuuuuAuuuAuuAuA24由分解定理，又可构成原来的模糊集合3.05.06.07.011,03.05.06.07.01AAAAAAAuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu54321543215432143214324333.07.016.05.03.07.06.05.03.017.06.05.03.06.05.03.05.03.0)3.03.03.03.03.0()5.05.05.05.0()6.06.06.0()7.07.0(1则有543213.043215.04326.0437.0313.03.03.03.03.03.0,5.05.05.05.05
11、.06.06.06.06.0,7.07.07.0,11uuuuuAuuuuAuuuAuuAuA25(2)扩张原则 设U和V是两个论域，f是U到V的一个映射，对U上的模糊集合A，可以扩张成为这里 叫做f的扩张。A通过映射 映射成 时，规定它的隶属度函数的值保持不变。在不会误解的情况下，可以记作f。分解定理和扩张原则是模糊数学的理论支柱。分解定理是联系模糊数学和普通数学的纽带，而扩张原则是把普通的数学扩展到模糊数学的有力工具。)(:AfAfff)(Aff265模糊集合的运算1)模糊集合的相等 若有两个模糊集合A和B，对于所有的xU，均有A(x)=B(x)，则称模糊集合A等于模糊集合B，记作A=B。
12、2)模糊集合的包含关系 若有两个模糊集合A和B，对于所有的xU，均有A(x)B(x)，则称模糊集合A包含于模糊集合B，或A是B的子集，记作AB。3)模糊空集 若对于所有的xU，均有A(x)=0，则称模糊集合A为空集，记作A=。274)模糊集合的并集若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的xU，均有C(x)=A(x)B(x)=maxA(x),B(x)则称模糊集合C为A与B的并集，记作C=AB。5)模糊集合的交集若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的xU，均有C(x)=A(x)B(x)=minA(x),B(x)则称模糊集合C为A与B的交集，记作C=AB。6)模糊集合的补集若有两个模糊集合A和B，对于
13、所有的xU，均有 B(x)=1-A(x)，则称B为A的补集，记作B=Ac。287)模糊集合的直积若有两个模糊集合A和B，其论域分别为X和Y，则定义在积空间XY上的模糊集合AB称为模糊集合A和B的直积，即 AB=(a,b)|aA,bB 上述定义表明，在集合A中取一元素a，又在集合B中取一元素b，就构成了(a,b)“序偶”，所有的(a,b)又构成一个集合，该集合即为AB，其隶属度函数为AB(x,y)=minA(x),B(y)或者 AB(x,y)=A(x)B(y)29 直积又称为笛卡尔积或叉积。两个模糊集合直积的概念可以很容易推广到多个集合。若R是实数集，即R=x|-x+，则RR=(x,y)|-x+
14、,-y+，用R2表示，R2=RR即为整个平面，这就是二维欧氏空间。同理RRR=Rn称为n维欧氏空间。306模糊集合运算的基本性质1)幂等律：AA=A,AA=A2)交换律：AB=BA,AB=BA3)结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)4)分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)5)吸收律：(AB)A=A,(AB)A=A6)同一律：A=,A=A,A=A,A=，其中表示全集，表示空集。7)复原律：(Ac)c=A 对偶律：(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc 317模糊集合的其他类型运算1)代数和：2)代数积：3)有界和：4)有界差：5)有界积：6)强
15、制和(drastic sum)：7)强制积(drastic product)：)()()()()(xxxxxBABABABA)()()(xxxBABABA)()(,1min)(xxxBABABAAAB)()(,0max)(xxxBABAAB1)()(,0max)(xxxBABAAB0)(),(,10)(),(0)(),()(xxxxxxxBAABBABAAB1)(),(,01)(),(1)(),()(xxxxxxxBAABBAB324.1.2 模糊关系及其合成关系模糊关系及其合成关系在日常生活中经常听到诸如“A与B很相似”、“X比Y大的多”等描述模糊关系的语句。模糊关系在模糊集合论中占有重要的
16、地位，而当论域为有限时，可以用模糊矩阵来表示模糊关系。1模糊关系设X、Y是两个非空集合，则在直积XY=(x,y)|xX,yY中一个模糊集合R称为从X到Y的一个模糊关系，记为Rxy。33模糊关系Rxy由其隶属函数R(x,y)完全刻划，R(x,y)表示了X中的元素x与Y中的元素y具有关系Rxy的程度。以上定义的模糊关系又称二元模糊关系，当X=Y时，称为X上的模糊关系。当论域为n个集合的直积X1 X2 Xn=(x1,x2,xn)|xiXi,i=1,2,n时，它所对应的为n元模糊关系RX1 X2 Xn。34 当论域X=x1,x2,xn，Y=y1,y2,ym是有限集合时，定义在XY上的模糊关系Rxy可用
17、如下的nm阶矩阵来表示。这样的矩阵称为模糊矩阵。模糊矩阵R中元素rij=R(xi,yj)表示论域X中第i个元素xi与论域Y中的第j个元素yj对于模糊关系Rxy的隶属程度，因此它们均在0，1中取值。由于模糊关系是定义在直积空间上的模糊集合，所以它也遵从一般模糊集合的运算规则。),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mnRnRnRmRRRmRRRyxyxyxyxyxyxyxyxyxR35例例4-4 设X为家庭中的儿子和女儿，Y为家庭中的父亲和母亲，对于“子女与父母长得相似”的模糊关系R，可以用以下模糊矩阵R表示。6.03.03.08.0母父女子R362模糊关系
18、的合成 设X、Y、Z是论域，Rxy是X到Y的一个模糊关系，Syz是Y到Z的一个模糊关系，则Rxy到Syz的合成Txz也是一个模糊关系，记为Txz=RxySyz它具有隶属度其中 是并的符号，它表示对所有y取极大值或上界值，“”是二项积的符号，因此上面的合成称为最大星合成(max-star composition)。),(),(),(xyyxzxSRYySR37二项积算子“xy”可以定义为以下几种运算，其中x,y0,1 交交：xy=xy=minx,y 代数积代数积：xy=xy=xy 有界积有界积：AB=max0,x+y-1当二项积算子“”采用前两种运算时，它们分别称为最大最小合成和最大积合成，即其
19、中 最大最小合成最为常用。以后如无特别说明均指此合成。),(),(),(xyyxzxSRYySR),(),(),(xyyxzxSRYySR38 当论域X、Y、Z为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵来表示。设Rxy、Syz、Txz三个模糊关系对应的模糊矩阵分别为则 或 (i=1,2,n;k=1,2,l)即用模糊矩阵的合成T=RS来表示模糊关系的合成Txz=RxySyz。lniklmjkmnijtTsSrR)(,)(,)()(1jkijmjiksrt)(1jkijmjiksrt39例例4-5 已知子女与父母相似关系的模糊矩阵R和父母与祖父母相似关系的模糊矩阵S分别如下所示，求子女与祖父母的相似关系
20、模糊矩阵。解解 这是一个典型的模糊关系合成的问题。按最大最小合成规则有，6.03.03.08.0母父女子R1.01.05.07.0祖母祖父母父S)1.06.0()5.03.0()1.06.0()7.03.0()1.03.0()5.08.0()1.03.0()7.08.0(1.01.05.07.06.03.03.08.0 SRT3.03.05.07.01.03.01.03.01.05.01.07.0祖母祖父女子404.1.3 模糊向量及其运算模糊向量及其运算1模糊向量 如果对任意的i（i=1,2,n），都有ai 0，1，则称向量A=a1 a2 an为模糊向量。2模糊向量的笛卡尔乘积 设有1n维模
21、糊向量x和1m维模糊向量y，则定义为模糊向量x和y的笛卡尔乘积。模糊向量x和y的笛卡尔乘积表示它们所在论域X与Y之间的转换关系，这种转换关系也是模糊关系，而上式右端正是模糊关系的合成运算。yxyxT41例例4-6 已知两个模糊向量分别如下所示，求它们的笛卡尔乘积。X=0.8 0.6 0.2，Y=0.2 0.4 0.7 1解解 笛卡尔乘积为 .1704020206080YXYXT2.02.02.02.06.06.04.02.08.07.04.02.012.07.02.04.02.02.02.016.07.06.04.06.02.06.018.07.08.04.08.02.08.0423模糊向量的
22、内积与外积 设有1n维模糊向量x和1n维模糊向量y，则定义为模糊向量x和y的内积。与内积的对偶运算称为外积。)(1iiniTyxyxyx434.1.4 模糊逻辑模糊逻辑 1模糊语言变量 语言是人们进行思维和信息交流的重要工具。语言可分为两种：自然语言和形式语言。人们日常所用的语言属自然语言，它的特点是语义丰富、灵活。通常的计算机语言是形式语言，它只是形式上起记号作用。自然语言和形式语言最重要的区别在于，自然语言具有模糊性，而形式语言不具有模糊性，它完全具有二值逻辑的特点。模糊语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。在不引起混淆的情况下以下将模糊语言变量
23、简称为语言变量。44一个语言变量可由以下的五元体来表征(x,T(x),U,G,M)其中 x是语言变量的名称；T(x)是语言变量值的集合；U是x的论域；G是语法规则，用于产生语言变量x的名称；M是语义规则，用于产生模糊集合的隶属度函数。例如，以控制系统的“误差”为语言变量x，论域取U=-6,+6。“误差”语言变量的原子单词有“大、中、小、零”，对这些原子单词施加以适当的语气算子，就可以构成多个语言值名称，如“很大”等，再考虑误差有正负的情况，T(x)可表示为T(x)=T(误差)=负很大，负大，负中，负小，零，正小，正中，正大，正很大 45图4-6是以误差为论域的模糊语言五元体的示意图。图4-6
24、误差语言变量的五元体46 如上所述，每个模糊语言相当于一个模糊集合，在模糊语言前面加上“极”、“非常”、“相当”、“比较”、“略”、“稍微”、“非”等语气算子后，将改变了该模糊语言的含义，相应地隶属度函数也要改变。例如，设原来的模糊语言为A，其隶书度函数为A，则通常有极A=A4,非常A=A2,相当A=A1.25,比较A=A0.75,略A=A0.5,稍微A=A0.25,非A=1-A 472模糊蕴含关系在模糊逻辑中，模糊逻辑规则实质上是模糊蕴含关系。在模糊逻辑推理中有很多定义模糊蕴含的方法，最常用的一类模糊蕴含关系是广义的肯定式推理方式，即输入：如果x是A前提：如果x是A则y是B结论：y是B其中
25、A,A,B,B均为模糊语言。横线上方是输入和前提条件，横线下方是结论。对于模糊前提“如果x是A则y是B”，它表示了模糊语言A与B之间的模糊蕴含关系，记为 BA48 在普通的形式逻辑中，AB有严格的定义。但在模糊逻辑中，AB不是普通逻辑的简单推广，有许多定义的方法。但在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种最常用。模糊蕴含最小运算(Mamdani)模糊蕴含积运算(Larsen)模糊蕴含算术运算(Zadeh)模糊蕴含的最大最小运算(Zadeh),/()()(yxyxBABARBYXAc),/()()(yxyxBABARBYXAp),/()()(1(1)()(yxyxBX
26、YABARBYXAa),/()(1()()()()(yxxyxYABABARABYXAm49 模糊蕴含的布尔运算 模糊蕴含的标准法运算(1)其中 模糊蕴含的标准法运算(2)其中 ),/()()(1()()(yxyxBXYABARBYXAb),/()()(yxyxBXYABARBYXAS)()(,0)()(,1)()(yxyxyxBABABA),/()()(yxyxBXYABARBYXA)()(,)()()()(,1)()(yxxyyxyxBAABBABA504.1.5 模糊逻辑推理模糊逻辑推理 1简单模糊条件语句 对于上面介绍的广义肯定式推理，结论B是根据模糊集合A和模糊蕴含关系AB的合成推出
27、来的，因此可得如下的模糊推理关系其中 R为模糊蕴含关系。“”是合成运算符。它们可采用以上所列举的任何一种运算方法。RABAAB)(51例例4-7 若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”。试问当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。解解 设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为X=Y=1,2,3,4,5A表示炉温低的模糊集合：A=“炉温低”=B表示高电压的模糊集合：B=“高电压”=52.044.036.028.0115148.036.024.012.052 从而模糊规则可表述为：“如果x是A则y是B”。设A分别为非常A，则上述问题变为如果x是A
28、，则B应是什么。为了便于计算，将模糊集合A和B写成向量形式A=1 0.8 0.6 0.4 0.2,B=0.2 0.4 0.6 0.8 1由于该例中x和y的论域均是离散的，因而模糊蕴含Rc可用如下模糊矩阵来表示2.02.02.02.02.04.04.04.04.02.06.06.06.04.02.08.08.06.04.02.018.06.04.02.012.08.02.06.02.04.02.02.02.014.08.04.06.04.04.04.02.04.016.08.06.06.06.04.06.02.06.018.08.08.06.08.04.08.02.08.0118.016.014
29、.012.0118.06.04.02.02.04.06.08.01TTcBABABAR53当A=“炉温非常低”=A2=1 0.64 0.36 0.16 0.04时，其中B中的每项元素是根据模糊矩阵的合成规则求出的，如第1行第1列的元素为这时推论结果B仍为“高电压”。18.06.04.02.02.02.02.02.02.04.04.04.04.02.06.06.06.04.02.08.08.06.04.02.018.06.04.02.004.016.036.064.01cRAB04.016.02.02.02.0)2.004.0()2.016.0()2.036.0()2.064.0()2.01(2
30、.0542多重模糊条件语句(1)使用“and”连接的模糊条件语句在模糊逻辑控制中，常常使用如下的广义肯定式推理方式输入：如果x是A and y是B前提：如果x是A and y是B则 z是C结论：z是C与前面不同的是，这里的模糊条件的输入和前提部分是将模糊命题用“and”连接起来的。一般情况下可以有多个“and”将多个模糊命题连接在一起。55模糊前提“x是A则y是B”可以看成是直积空间XY上的模糊集合，并记为AB，其隶属度函数为AB(x,y)=minA(x),B(y)或者 AB(x,y)=A(x)B(y)这时的模糊蕴含关系可记为ABC，其具体运算方法一般采用以下关系结论z是C可根据如下的模糊推理
31、关系得到其中 R为模糊蕴含关系，“”是合成运算符。它们可采用以上列举的任何一种运算方法。),(/)()()(zyxzyxCBACBARZYXCBARBACBABAC)()()(56(2)使用“also”连接的模糊条件语句 在模糊逻辑控制中，也常常给出如下一系列的模糊控制规则输入：如果x是A and y是B前提1：如果x是A1 and y是B1则z是C1also 前提2：如果x是A2 and y是B2则z是C2also 前提n：如果x是An and y是Bn则z是Cn输出：z是C 57 这些规则之间无先后次序之分。连接这些子规则的连接词用“also”表示。这就要求对于“also”的运算具有能够任
32、意交换和任意结合的性质。而求并和求交运算均能满足这样的要求。根据Mizumoto的研究结果，当模糊蕴含运算采用Rc或Rp，“also”采用求并运算时，可得最好的控制结果。58 假设第i条规则“如果x是Ai and y是Bi则z是Ci”的模糊蕴含关系Ri定义为Ri=(Ai and Bi)Ci其中“Ai and Bi”是定义在XY上的模糊集合AiBi，Ri=(Ai and Bi)Ci是定义在XYZ上的模糊蕴含关系。则所有n条模糊控制规则的总模糊蕴含关系为（取连接词“also”为求并运算）输出模糊量z（用模糊集合C表示）为其中 (A B)(x,y)=A(x)B(y)或 (A B)(x,y)=A(x)
33、B(y)niiRR1RBAC)(593模糊推理的性质性质性质1：若合成运算“”采用最大最小法或最大积法，连接词“also”采用求并法，则“”和“also”的运算次序可以交换，即性质性质2：若模糊蕴含关系采用Rc 和Rp时，则有ininiiRBARBA)and()and(11)()()and()and(iiiiiiiiCBBCAACBABAC60例例4-8 已知一个双输入单输出的模糊系统，其输入量为x和y，输出量为z，其输入输出关系可用如下两条模糊规则描述：R1：如果x是A1 and y是B1则z是C1R2：如果x是A2 and y是B2则z是C2现已知输入为x是A and y是B，试求输出量z
34、。这里x,y,z均为模糊语言变量，且已知3213213212321232123211321132116.016.0,5.015.014.00,16.02.0,15.0004.01,2.06.01,05.01bbbBaaaAcccCbbbBaaaAcccCbbbBaaaA61解解 由于这里所有模糊集合的元素均为离散量，所以模糊集合可用模糊向量来描述，模糊关系可用模糊矩阵来描述。(1)求每条规则的模糊蕴含关系Ri=(Ai and Bi)Ci (i=1,2)若此处Ai and Bi采用求交运算，蕴含关系采用最小运算Rc，则为便于下面进一步的计算，可将A1 B1的模糊矩阵表示成如下的向量：0002.0
35、5.05.02.06.012.006.00102.05.06.05.015.02.016.01112.06.0105.01and111111TTBABABA0002.05.05.02.06.0111BAR62则 同理可得00000000002.02.004.05.004.05.002.02.004.06.004.0104.010002.05.05.02.06.01)and(1111CRCBARTBAiii14.006.04.002.02.005.04.005.04.002.02.00000000000)and(2222222CRCBARTBA63(2)求总的模糊蕴含关系R(3)计算输入量的模糊
36、集合 14.006.04.002.02.005.04.02.05.04.05.02.04.05.002.02.004.06.004.0121RRR5.05.05.06.016.05.05.05.06.016.05.015.0andBABABAT5.05.05.06.016.05.05.05.0BAR64(4)计算输出量的模糊集合 最后求得输出量z的模糊集合为 504050140060400202005040205040502040500202004060040150505060160505050.)(RRRBACBAand3215.04.05.0cccC654.2 模糊控制系统的基本结构模糊控
37、制系统的基本结构 模糊控制作为结合传统的基于规则的专家系统、模糊集理论和控制理论的成果而诞生，使其与基于被控过程数学模型的传统控制理论有很大的区别。在模糊控制中，并不是像传统控制那样需要对被控过程进行定量的数学建模，而是试图通过从能成功控制被控过程的领域专家那里获取知识，即专家行为和经验。当被控过程十分复杂甚至“病态”时，建立被控过程的数学模型或者不可能，或者需要高昂的代价，此时模糊控制就显得具有吸引力和使用性。66 由于人类专家的行为是实现模糊控制的基础，因此，必须用一种容易且有效的方式来表达人类专家的知识。IF-THEN规则格式是这种专家控制知识最合适的表示方式之一，即IF“条件”THEN
38、“结果”，这种表示方式有两个显著的特征；它们是定性的而不是定量的；它们是一种局部知识，这种知识将局部的“条件”与局部的“结果”联系起来。前者可用模糊子集表示，而后者需要模糊蕴涵或模糊关系来表示。然而，当用计算机实现时，这种规则最终需具有数值形式，隶属函数和近似推理为数值表示集合模糊蕴涵提供了一种有利工具。67 一个实际的模糊控制系统实现时需要解决三个问题：知识的表示、推理策略和知识获取。知识表示是指如何将语言规则用数值方式表示出来；推理策略是指如何根据当前输入“条件”产生一个合理的“结果”；知识的获取解决如何获得一组恰当的规则。由于领域专家提供的知识常常是定性的，包含某种不确定性，因此，知识的
39、表示和推理必须是模糊的或近似的，近似推理理论正是为满足这种需要而提出的。68 近似推理可看作是根据一些不精确的条件推导出一个精确结论的过程，许多学者对模糊表示、近似推理进行了大量的研究，在近似推理算法中，最广泛使用的是关系矩阵模型，它基于L.A.Zadeh的合成推理规则，首次由Mamdani采用。由于规则可被解释成逻辑意义上的蕴涵关系，因此，大量的蕴涵算子已被提出并应用于实际中。69 由此可见，模糊控制是以模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一种计算机控制。从线性控制与非线性控制的角度分类，模糊控制是一种非线性控制。从控制器智能性看，模糊控制属于智能控制的范畴，而且它以成为目前实现智
40、能控制的一种重要而又有效的形式。尤其是模糊控制和神经网络、预测控制、遗传算法和混沌理论等新学科的相结合，正在显示出其巨大的应用潜力。704.2.1模糊控制系统的组成 模糊控制系统由模糊控制器和控制对象组成，如图4-7所示。4.2.2模糊控制器的基本结构 模糊控制器的基本结构，如图4-7虚线框中所示，它主要包括以下4部分。图4-7 模糊控制器的组成711.模糊化 这部分的作用是将输入的精确量转换成模糊化量。其中输入量包括外界的参考输入、系统的输出或状态等。模糊化的具体过程如下：（1）首先对这些输入量进行处理以变成模糊控制器要求的输入量。例如，常见的情况是计算e=r-y和e=dedt，其中r表示参
41、考输入，y表示系统输出，e表示误差。有时为了减小噪声的影响，常常对e进行滤波后再使用，例如可取e=s/(Ts+1)e。（2）将上述已经处理过的输入量进行尺度变换，使其变换到各自的论域范围。（3）将已经变换到论域范围的输入量进行模糊处理，使原先精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集合来表示。722.知识库 知识库中包含了具体应用领域中的知识和要求的控制目标。它通常由数据库和模糊控制规则库两部分组成。（1）数据库主要包括各语言变量的隶属度函数，尺度变换因子以及模糊空间的分级数等。（2）规则库包括了用模糊语言变量表示的一系列控制规则。它们反映了控制专家的经验和知识。3.模糊推理 模糊推理是模糊控制
42、器的核心，它具有模拟人的基于模糊概念的推理能力。该推理过程是基于模糊逻辑中的蕴含关系及推理规则来进行的。734.清晰化 清晰化的作用是将模糊推理得到的控制量（模糊量 ）变换为实际用于控制的清晰量。它包含以下两部分内容：（1）将模糊的控制量经清晰化变换变成表示在论域范围的清晰量。（2）将表示在论域范围的清晰量经尺度变换变成实际的控制量。744.2.3 模糊控制器的维数 通常将模糊控制器输入变量的个数称为模糊控制器的维数。下面以单输入单输出控制系统为例，给出几种结构形式的模糊控制器，如图4-8所示。图4-8 模糊控制器的结构75 一般情况下，一维模糊控制器用于一阶被控对象，由于这种控制器输入变量只
43、选误差一个，它的动态控制性能不佳。所以，目前被广泛采用的均为二维模糊控制器，这种模糊控制器以误差和误差的变化为输入量，以控制量的变化为输出变量。从理论上讲，模糊控制器的维数越高，控制越精细。但是维数过高，模糊控制规则变得过于复杂，控制算法的实现相当困难。764.2.4模糊控制中的几个基本运算操作 1.模糊化运算 x=fz(x0)其中 x0是输入的清晰量；x是模糊集合；fz表示模糊化运算符（fuzzifier）。2.句子连接运算 Ralso（R1，R2，Rn）其中 Ri（i=1，2，n）是第i条规则所表示的模糊蕴含关系；R是n个模糊关系的组合；组合运算用符号also表示。773.合成运算 z=(
44、x and y)R其中 x和y是输入模糊量；z是输出模糊量；and是句子连接运算符；“”是合成运算符。4.清晰化运算 以上推理过程得到的输出量z仍是模糊量，而实际的控制必须为清晰量。因此要进行如下的清晰化运算 z0=df(z)其中 z为控制输出的模糊量；z0为控制输出的清晰化量；df表示清晰化运算符（defuzzifier）。784.3 模糊控制的基本原理模糊控制的基本原理 4.3.1 模糊化运算模糊化运算 模糊化运算是将输入空间的观测量映射为输入论域上的模糊集合。模糊化在处理不确定信息方面具有重要的作用。在模糊控制中，观测到的数据常常是清晰量。由于模糊控制器对数据进行处理是基于模糊集合的方法
45、。因此对输入数据进行模糊化是必不可少的一步。在进行模糊化运算之前，首先需要对输入量进行尺度变换，使其变换到相应的论域范围（后面将对此进行专门讨论）。下面所讨论的模糊化运算中的输入量均假定为已经过尺度变换的量。79在模糊控制中主要采用以下两种模糊化方法。1单点模糊集合如果输入量数据x0是准确的，则通常将其模糊化为单点模糊集合。设该模糊集合用A表示，则有 其隶属度函数如图4-9所示。这种模糊化方法只是形式上将清晰量转变成了模糊量，而实质上它表示的仍是准确 量。在模糊控制中，当测量数据准确时，采用这样的模糊化方法是十分自然和合理的。2三角形模糊集合 如果输入量数据存在随机测量噪声，这时模糊化运算相当
46、于将随机量变换为模糊量。)(0)(1)(00 xxxxxA80 对于这种情况，可以取模糊量的隶属度函数为等腰三角形，如图4-10所示。三角形的顶点相应于该随机数的均值，底边的长度等于2，表示该随机数据的标准差。隶属度函数取为三角形主要是考虑其表示方便，计算简单。另一种常用的方法是取隶属度函数为铃形函数，即它也就是正态分布的函数。2202)()(xxAex图4-9 单点模糊集合的隶属度函数 图4-10 三角形模糊集合的隶属度函数814.3.2 数据库数据库 如前所述，模糊控制器中的知识库有两部分组成：数据库和模糊控制规则库。首先讨论数据库。数据库中包含了与模糊控制规则及模糊数据处理有关的各种参数
47、，其中包括尺度变换参数、模糊空间分割和隶属度函数的选择等。82 1输入量变换 对于实际的输入量，第一步首先需要进行尺度变换，将其变换到要求的论域范围。变换的方法可以是线性的，也可以是非线性的。例如，若实际的输入量为x0*，其变化范围为xmin*，xmax*，若要求的论域为xmin，xmax，若采用线性变换，则其中k称为比例因子。*min*maxminmax*min*max*0maxmin0)2(2xxxxkxxxkxxx83表4-1 均匀量化表4-2 非均匀量化 论域可以是连续的也可以是离散的。如果要求离散的论域，则需要将连续的论域离散化或量化。量化可以是均匀的，也可以是非均匀的。表4-1和表
48、4-2中分别表示均匀量化和非均匀量化的情况。842输入和输出空间的模糊分割 模糊控制规则中输入和前提的语言变量构成模糊输入空间，结论的语言变量构成模糊输出空间。每个语言变量的取值为一组模糊语言名称，它们构成了语言名称的集合。每个模糊语言名称相应一个模糊集合。对于每个语言变量，其取值的模糊集合具有相同的论域。模糊分割是要确定对于每个语言变量取值的模糊语言名称的个数，模糊分割的个数决定了模糊控制精细化的程度。这些语言名称通常均具有一定的含义。如 NB：负大（Negative Big）；NM：负中（Negative Medium）；NS：负小（Negative Small）；ZE：零（Zero）；P
49、S：正小（Positive Small）；PM：正中（Positive Medium）；PB：正大（Positive Big）。85 图 4-11表示了两个模糊分割的例子，论域均为-1，+l，隶属度函数的形状为三角形或梯形。图4-11(a)所示为模糊分割较粗的情况，图4-11(b)为模糊分割较细的情况。图中所示的论域为正则化（normalization）的情况，即x-1，+1，且模糊分割是完全对称的。这里假设尺度变换时已经作了预处理而变换成这样的标准情况。一般情况，模糊语言名称也可为非对称和非均匀地分布。图4-11 模糊分割的图形表示86 模糊分割的个数也决定了最大可能的模糊规则的个数。如对于
50、两输入单输出的模糊系统，x和y的模糊分割数分别为3和7，则最大可能的规则数为37=21。可见，模糊分割数越多，控制规则数也越多，所以模糊分割不可太细，否则需要确定太多的控制规则，这也是很困难的一件事。当然，模糊分割数太小将导致控制太粗略，难以对控制性能进行精心的调整。目前尚没有一个确定模糊分割数的指导性的方法和步骤，它仍主要依靠经验和试凑。873完备性 对于任意的输入，模糊控制器均应给出合适的控制输出，这个性质称为完备性。模糊控制的完备性取决于数据库或规则库。（1）数据库方面 对于任意的输入，若能找到一个模糊集合，使该输入对于该模糊集合的隶属度函数不小于，则称该模糊控制器满足完备性。图2-11
