1、2.1.2椭圆的简椭圆的简单几何性质单几何性质(2)高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程回忆：直线与圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(代数法代数法)联立直线与圆的方程联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点；(2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点；(3)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点；(2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有
2、一个公共点；有且只有一个公共点；(3)0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)由韦达定理由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2()425ABxxyyxxxxx x 弦长公式弦长公式:|AB|=通通法法A（x1,y1）B（x2,y2）221221221221)()()()(xxkxxyyxx21221222124)()1()(1(xxxxkxxkbkxy设A（x1,y1）B（x2,y2）直线直线 的方程：的方程：l因因A（x1,
3、y1），），B（x2,y2）在直线在直线 上上lbkxy22bkxy11)()()(212121xxkbkxbkxyy设而不求设而不求2121xxk21211yyk例例3：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长题型二：弦长公式题型二：弦长公式222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知(3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122(,),(,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例6 ：已知
4、椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例 6 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：
5、中点弦问题例例6已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题lmm题型二：直线与椭圆的位置关系题型二：直线与
6、椭圆的位置关系 oxyml解：设直线 平行于，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去，得题型一：直线与椭圆的位置关系题型一：直线与椭圆的位置关系22064-4 25-2250kk 由，得（）450lxyk则 可写成：12k25k25解得=，=-25.k 由图可知 oxy45250mxy直线 为：22402515414145mld直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。且思考：最大的距离是多少？题型一：直线与椭圆的位置关系题型一：直线与椭圆的位置关系max22402565414145d的轨迹。，求点的距离的比是常数的距离和它到直线与定点点例MxlFyxM54425:
7、)0,4(),(6,54425:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.54425)4(2xyx由此得,22525922yx简，得将上式两边平方，并化192522yx即所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。的椭圆。FlxoyMHd的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：思考上面探究问题，并回答下列问题：的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点）若若点点（)0(),(3cFyxM 的的，此此时时点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mc
8、aaccaxl)0(:2？轨轨迹迹还还是是同同一一个个椭椭圆圆吗吗时时，对对应应，定定直直线线改改为为，）当当定定点点改改为为（caylcF2:)0(4？的的轨轨迹迹方方程程又又是是怎怎样样呢呢探究：的的轨轨迹迹。，求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mcaaccaxl)0(:2 （1）用坐标法如何求出其）用坐标法如何求出其轨迹方程轨迹方程，并说出轨迹，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义）给椭圆下一个新的定义探究探究、点、点M（x,y)与定点与定点F（c,0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比是常数的距离的比是常数c/a（ac0),求点求点M 的轨迹。的轨迹
9、。yFFlIxoP=M|acdMF由此得由此得acxcaycx222将上式两边平方，并化简，得将上式两边平方，并化简，得22222222caayaxca设设 a2-c2=b2,就可化成就可化成)0(12222babyax这是椭圆的标准方程，所以点这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、的轨迹是长轴、短轴分别为短轴分别为2a,2b 的椭圆的椭圆M解：设解：设 d是是M到直线到直线l 的距离，根的距离，根据题意，所求轨迹就是集合据题意，所求轨迹就是集合FFlIxoy 由探究可知，当点由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直与一个定点的距离和它到一条定直线的距离线的距离 的比是常数的比是常
10、数 时，这个点的轨时，这个点的轨迹迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线椭圆的准线，常，常数数e是椭圆的离心率。是椭圆的离心率。此为此为椭圆的第二定义椭圆的第二定义.10eace 对于椭圆对于椭圆 ，相应于焦点，相应于焦点F（c,0)准线方程是准线方程是 ,根据椭圆的对称性，相应于根据椭圆的对称性，相应于焦点焦点F(-c.0)准线方程是准线方程是 ,所以椭圆有两条准线。所以椭圆有两条准线。12222byaxcax2cax2椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义定义 1图图 形形定义定义 2平面内与平面内与
11、一个定点的距一个定点的距离和它到一条离和它到一条定直线的距离定直线的距离的比是常数的比是常数)10(eace的的点点的的轨轨迹迹。)0,()0,(21cFcF、焦点：焦点：),0(),0(21cFcF、焦焦点点：cax2 准线：准线：cay2 准线：准线：、两两个个定定点点1F的距离的和的距离的和2F等于常数（大等于常数（大）的点）的点于于21FF的轨迹。的轨迹。平面内与平面内与由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：22222(1)1(0)xyaabxabc 椭圆的准线方程为222221(0)yxaabyabc 椭圆的准线方程为222abcc(2)两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则其轨迹不存在。(4)椭圆离心率的几何意义：由椭圆的第二定义得，“椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
