1、1第一节 经典线性回归模型 一、函数关系和统计关系（一）函数关系是一一对应的确定性关系。（举例见教材）（二）统计关系是不完全一致的对应关系。（举例见教材）二、理论模型和回归模型 Y=f(X1,X2,Xp)Y=f(X1,X2,Xk;)2 三、随机误差和系统误差 1、随机误差：是由随机因素形成的误差。所谓随机因素，是指那些对被解释变量的作用不显著，其作用方向不稳定（时正时负），在重复试验中，正作用与负作用可以相互抵消的因素。2、系统误差：由系统因素形成的误差。所谓系统因素，是指那些对被解释变量的作用较显著，其作用方向稳定，重复试验也不可能相互抵消的因素。3 四、线性回归模型和非线性回归模型 分类的
2、标准：回归模型的期望函数关于参数的倒数是否与参数有关。即期望函数的一阶导函数是否仍然是关于参数的函数。如果导函数不是关于参数的函数，即参数是线性的，则称该回归模型是线性回归模型；反之，则称该回归模型是非线性回归模型。4五、回归模型的矩阵方法和随机矩阵一般线性回归模型的矩阵表示法 1、解释变量矩阵 X nknKknknkkXXXXXXXXXnXXXXXXX.1.1.1.1.222211222222111211 为了使模型中包含一个常数项，通常假设解释变量矩阵第一列的 取舍全为 1,即假设1,.1,1,.,12111nXXX。也就是说，解释变量中的第一个变量通常假设为取值恒为 1 的变量。52、被
3、解释变量向量 Y、参数向量和随机干扰向量：nknYYYY.;.;.212121 依照矩阵运算法则，可用矩阵表示为：XY (2.1.14)在（2.1.14）式中，X 一般是非随机矩阵，通常称为设计矩阵；Y、都是随机向量，而则是常数向量。6(二)随机向量的数学期望和协方差矩阵 在（2.1.14）式中，Y 和的元素都是随机变量，因此是随机向量。1、随机向量的数学期望。随机向量的数学期望仍然是向量，是由原向量相应的随机变量元素的 数学期望值组成的向量。kjniYEYEijnxk,.,2,1,.,2,1,（2.1.16）2、随机向量的协方差矩阵。记 Y 的方差为 22YEYEY (2.1.17)记 Y
4、与 Z 的协方差为 ZEZYEYEZY,(2.1.18)7依照方差与协方差的定义，我们类似地可以定义随机向量的 方差协方差矩阵。仍然以 3 个观测值 Y1,Y2,Y3 构成的随机向量 Y 来说明，记每个随机变量iY的方差为 iY2，任意两个随机变量 jiYY,的协方差为jiYY,，这些方差和协方差可以组成一个矩阵，称为随机变量 Y 的方差协方差矩阵，常常简称为 Y 的协方差矩阵，用 Y2或 YVar表示：322313122212312112,YYYYYYYYYYYYYYYYVar (2.1.19)在矩阵（2.1.19）中，方差 iY2在矩阵的主对角线上；对于 ij 时 的协方差，有ijjiYY
5、YY,。8对 n1 维随机向量，有：nnnnnnYYYYYYYYYYYYYYYYYVar,.,.,.,.,2212221212112（2.1.21）假如，设由 3 个观测值组成的随机干扰项向量在每个观测点上方差 相同，即22i，并且随机干扰项彼此不相关，即对于 ij,有0,ji。于是可得到随机向量的方差协方差矩阵为：1000100010000002222Var（2.1.22）9六、经典线性回归模型及其假设条件 一、有正确的期望函数。它要求在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。三、随机干扰项独立于期望函数。即所有解释
6、变量Xj与随机干扰项u不相关。四、解释变量矩阵X是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即rank（X）k。10 五、随机干扰项服从正态分布。该假设给出了被解释变量的概率分布。六、随机干扰项的期望值为0。即：E（u）0 七、随机干扰项具有方差齐性。即：八、随机干扰项相互独立。11第二节 模型参数的估计一、普通最小二乘法（OLS估计）通过协方差或相关系数证实变量之间存在关系，仅仅只是知道变量之间线性相关的性质正（负）相关和相关程度的大小。既然它们之间存在线性关系，接下来必须探求它们之间关系的表现形式是什么？最好用数学表达式将这种关系尽可能准确、严谨的表示出来y=a+bx+u把它们之间的内在联系挖掘出来。
7、也就是直线中的截距a=？；直线的斜率b=？消费支出=基本生存+边际消费倾向可支配收入+随机扰动12解决问题的思路可能性 寻找变量之间直线关系的方法多多。于是，再接下来则是从众多方法中，寻找一种优良的方法，运用方法去求出线性模型y=a+bx+u中的截距a=？；直线的斜率b=？正是是本章介绍的最小二乘法。根据该方法所得，即表现变量之间线性关系的直线有些什么特性？所得直线可靠吗？怎样衡量所得直线的可靠性？最后才是如何运用所得规律变量的线性关系？13最小二乘法产生的历史 最小二乘法最早称为回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿（F.Gallton）达尔文的表弟所创。早年，道尔顿致力于化学和遗
8、传学领域的研究。他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时，建立了回归分析法。14最小二乘法的地位与作用 现在回归分析法已远非道尔顿的本意 已经成为探索变量之间关系最重要的方法，用以找出变量之间关系的具体表现形式。后来，回归分析法从其方法的数学原理误差平方和最小（平方乃二乘也）出发，改称为最小二乘法。15父亲们的身高与儿子们的身高之间关系的研究 1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录 企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式 下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图（略图）yx160165170175180185140
9、150160170180190200YX儿子们身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定17“回归”一词的由来 从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子低的儿子的倾向。得到的具体规律如下：如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男子的平均身高，即“回归”见1889年F.Gallton的论文普用回归定律。后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律 xyubxay516.033.8418最小二乘法的思路 1为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用这两个变量的每一对
10、观察值，才不至于以点概面（作到全面）。2Y与X之间是否是直线关系（协方差或相关系数）？若是，将用一条直线描述它们之间的关系。3在Y与X的散点图上画出直线的方法很多。任务？找出一条能够最好地描述Y与X（代表所有点）之间的直线。4什么是最好？找出判断“最好”的原则。最好指的是找一条直线使得这些点到该直线的纵向距离的和（平方和）最小。19三种距离yx纵向距离横向距离距离yxiiA,yxiiB,A为实际点，B为拟合直线上与之对应的点xyyyuiiiiiba纵向距离20距离是度量实际值与拟合值 是否相符的有效手段 点到直线的距离点到直线的垂直线的长度。横向距离点沿（平行）X轴方向到直线的距离。纵向距离点
11、沿（平行）Y轴方向到直线的距离。也就是实际观察点的Y坐标减去根据直线方程计算出来的Y的拟合值。这个差数以后称为误差残差（剩余）。21最小二乘法的数学原理 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以又称为拟合误差或残差。将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小。22数学推证过程)6()5()4()3()2(02)1(02minmin22222222222xxyxyxyxxxyxxxyxxxyuxyuxbayuxbayyyuxyyyunyxnbxbyabanbab
12、nababbaaiiiiiibaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii或23关于所得直线方程的结论 结论之一：由（5）式，得 即拟合直线过y和x的平均数点。结论之二：由（2）式，得 残差与自变量x的乘积和等于0，即两者不相关。两者不相关。）式，由（00,cov002,xubabaiixuxuxxyxyyyuiiiiiiiiiiiixbayxbya5）式：由（24 拟合直线的性质 1估计残差和为零 2Y的真实值和拟合值有共同的均值 3估计残差与自变量不相关 4估计残差与拟合值不相关251估计残差和为零（Residuals Sum to zero）由（1）式直接得此结论无须再证
13、明。并推出残差的平均数也等于零。000)1(022uuuxyxyuxyyyuiiiiiiiiiiiiinbabaaba262Y的真实值和拟合值有共同的均值（The actual and fitted values of yi have the same mean）yybabayyuuyyuyyxyuxyiiiiiiiiiiiiii01：性质由273估计残差与自变量不相关（Residuals are unrelated with independent variable）00,20001,cov0,cov011,cov22,uxuxuxuuxuuxuxuxuxuuxxiiiiiiiiiiiiii
14、iiiiuxxxxxxxuxnuxuxininux）式由（284估计残差与拟合值不相关（Residuals are unrelated with fitted value of yi）000001,covbaubuaubuaubauyuyuyuyuyuyuyyuyynuyxxxiii29 uxuyyiiiiiba残差和=0平均数相等拟合值与残差不相关自变量与残差不相关注意：这里的残差与注意：这里的残差与随机扰动项不是一个随机扰动项不是一个概念。随机扰动项是概念。随机扰动项是总体的残差。总体的残差。30二、极大似然估计法二、极大似然估计（ML 估计）普通最小二乘法是根据期望的性质而建立的一种参数
15、估计方法，估计过程中并不需要了解模型随机干扰项的概率分布。如果考虑随机干扰项的概率分布，则模型参数也可以根据极大似 然原理进行估计，由此而得出的极大似然法（Maximum likelihood estimatiom）对于线性回归模型（2.1.14）XY，在经典假设之下，其随机干扰向量服从正态分布，即2,0N，这意味着被解释变量 向量 Y 也服从正态分布，期望为 XYE,协方差矩阵为 2yVar，即 Y2,X (2.2.15)31若记第 i 各样本观测点的解释变量观测值向量为 ikiiiXXXX,.,21，则该样本观测点上被解释变量 的观测值 Yi的概率密度函数为：222/1222exp2,ii
16、iiXYXYf（2.2.16）因为各样本观测值假定是相互独立抽取的，所以样本的联合密度 函数为：22/2221212exp2,/.,.,XYXYXYfYfYfYfYYYfnnn(2.2.17)32此样本联合密度函数是在模型参数2,以及解释变量值 X 给定的条件下被解释变量的 n 次观测向量 Y 的概率分布,而一旦 样本被抽出,则解释变量的观测向量 Y 就成为已知的确定值,该 样本的联合密度函数就可看作是未知参数2,的函数,即可将 其表示成2,的似然函数:22/222exp2,/,XYXYYXLn(2.2.18)由于似然函数(2.2.18)的值越大,我们所观测到的样本所出现的 概率密度(2.2.
17、17)就越大,所以极大似然准则就是要寻找出使得似然 函数取最大值的未知参数2,的估计量.为此，将似然函数(2.2.18)的两边取对数,得到对数似然函数为:33 2222ln22ln2,lnXYXYnnL(2.2.19)由于对数函数是单调赠函数，所以使似然函数达到最大的未知参数 和2的值也就是使其对数似然函数达到最大的值，而极大化对数似 然函数在代数上处理更方便。因此，我们可直接求使得对数似然函数取 最大值的未知参数和2的估计量。类似于普通最小二乘法，先计算对数似然函数2,lnL对和2 的一阶偏导数：XXYXL221,ln (2.2.20)422222,lnXYXYnL(2.2.21)34记使对
18、数似然函数2,lnL取最小值的和2的值为 2,，则由极值原理可知，值2,就是使得上述导数（2.2.20）式等于 0 向量和（2.2.21）等于 0 的值，即 012XXYX (2.2.22)7 02242XYXYn (2.2.23)由此可得，参数和2的极大似然估计量分别为：YXXX1 (2.2.24)12XYXYn (2.2.25)可见，在模型随机干扰项服从正态分布的假定下，回归模型的系数 向量的极大似然估计也就是其普通最小二乘估计。而2并不是2的无偏估计。（见教材 P30）35最佳线性无偏估计最佳线性无偏：（一）线性无偏性 XXXEE1（二）有效性（三）一致性 36高斯马尔柯夫定理在假定 n
19、YDXYE2,时，的任一线性函数c 的最小方差线性无偏估计（Best Liner Unbiased Estimator,BLUE）为 c，其中 c 是任一 p+1 维常数向量，是的最小二乘估计。37第三节 拟合优度的评价38问题的提出 由最小二乘法所得直线究竟能够对这些点之间的关系加以反映吗？对这些点之间的关系或趋势反映到了何种程度？于是必须经过某种检验或者找出一个指标，在一定可靠程度下，根据指标值的大小，对拟合的优度进行评价。分四个问题进行讨论：平方和分解、方差分析、拟合优度、拟合优度与简单相关系数的关系。39 一、平方和与自由度的分解 1、总平方和、回归平方和、残差平方和的定义 2、平方和
20、的分解 3、自由度的分解401、总平方和、回归平方和、残差平方和的定义 TSS度量Y自身的差异程度，RSS度量因变量Y的拟合值自身的差异程度，ESS度量实际值与拟合值之间的差异程度。uyyyyyyiiiERSiRSSiTSS2222412、平方和的分解 ESSRSSTSSyyyyyyRSSESSyiiiiyiiiiiiTSSuyuuyuyuyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyiiiiiiiiiiiiiiiiiiii00022222222242平方和分解的意义 TSS=RSS+ESS 被解释变量Y总的变动（差异）=解释变量X引起的变动（差异）+除X以外的因素引起的变动（差异）如果
21、X引起的变动在Y的总变动中占很大比例，那么X很好地解释了Y；否则，X不能很好地解释Y。433、自由度的分解 总自由度 dfT=n-1 回归自由度 dfR=1（自变量的个数，k元为k）残差自由度 dfE=n-2 自由度分解 dfT=dfR+dfE44平方和分解图yyyy 160165170175180185140150160170180190200YXyyy正交分解正交分解yyyy yyyyyy 45为什么回归平方和是由X引起的变动xxtgxxbxbxbxbaxbayyxyuyyiiiiiiiiiRSSiRSSxbayba22222yx,xxiyyiyixiABC46二、方差分析 模型：y=a+
22、bx+u=LS估计：y=a+bx H0:b=0 HA:b0变异来源平方和自由度均方F统计量回 归 的RSS1回归方差=RSS/1F=回归方差/误差方差剩 余 的ESSn-2误差方差=ESS/(n-1)总的TSSn-1方差分析表47关于F检验 零假设H0：b=0 备择HA：b0 H0：b=0 RSS中的X不起作用，RSS变动无异于随机变动=分子方差与分母方差是一回事=F=1 如果F显著地大于1，甚至FF=小概率事件发生了，根据小概率原理，小概率事件在一次试验中是不可能发生的，于是H0不成立。就不能认为X没有作用。则直线是有意义的。可靠性=1-成立成立，HFHssAerFFnESSRSSF,121
23、02248三、拟合优度（或称判定系数、决定系数）目的：企图构造一个不含单位，可以相互进行比较，而且能直观判断拟合优劣。拟合优度的定义：意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。取值范围：0-1TSSESSTSSRSSTSSESSTSSRSSESSRSSTSSR11249拟合优度与F统计量之间的联系 F显著=拟合优度必然显著RRsskknFTSSRSSTSSkTSSRSSknRSSTSSkRSSknkESSRSSknFknESSkRSSFer2222111)(11150四、拟合优度等于实际值与拟合值之间简单相关系数的平方拟合
24、得约好。说明的相关程度的，与实际的一样，也是说明拟合的和分母分子分子分子中的分母yyyRRRSSnRSSnyuyyyuyyyuyyuyyyyyyyyyyyniiiyyyyiiiiiiiiiiiiiiyyTSSRSSRSSnTSSnRSSyiyyyyyyyyyRSSnTSSnininii11122,222,222222,110111151第四节各回归系数的显著性检验 上述由回归方差分析给出的F检验是对整个线性回归模型的检验，即使我们 在上述检验中否定了原假设H0：Bi=0，也并不意味着每个解释变量都对被解释变量有显著的影响。因此，还必须对模型中每个解释变量的重要性，即解释变量对被解释变量是否有显
25、著性的影响进行检验。52 对于一般线性回归模型，要检验某个解释变量Xi是否对被解释变量Y有显著的影响，可建立原假设和备择假设为：H0：Bi0；H1:Bi不等于0（见教材P40-41）53 复习与提高 y=a+bx+uxn+1 yn+1xn yn x2 y2x1 y1根据已知样本采用LS得一拟合直线 拟合直线性质:残差和=0残差与自变量无关拟合值与残差值无关两个平均数均值相等R20TSS RSS ESSR2R21用直线反映总体Good?noYes54案例分析一：教学指导书P20 教学目的：1掌握普通最小二乘法2掌握回归方程的拟合优度的判断3掌握回归方程的显著性检验。55 例1 下表是某地区10户
26、家庭人均收入（X）和人均食物消费支出（Y）的数据。试根据表中数据（1）用普通最小二乘法估计该地居民家庭食物消费支出的回归直线.（2）计算判定系数R2，说明回归方程的拟合优度。（3）在5%的显著性水平下，对回归方程进行显著性检验。56 Y X 70 80 65 100 90 120 95 140 110 160 115 180 120 200 140 220 155 24057 Y X XY x2 Yei y2 1 70 80 5600640065.18 4.8181 4900 2 65100 650010000 75.36-10.364225 3 90120 10800 14400 85.54 4.4545 8100495140 13300 19600 95.72-0.72790255110 160 17600 25600 105.9 4.09121006115 180 20700 32400 116.1-1.091132257120 200 24000 40000 126.3-6.273144008140 220 30800 48400 136.5 3.545196009155 240 37200 57600 146.6 8.36424025
