1、公众号码：王校长资源站第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求已知函数的极值例2(201
2、8阜新调研)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由解f(x)a(2x1) (x1)令g(x)2ax2axa1，x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增因此函数f(x)有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x110，f(x)
3、0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点命题点3根据极值(点)求参数例3已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为()A(，e B0，eC(，e) D0，e)答案A解析因为函数f(x)k，所以函数f(x)的定义域是(0，)，所以f(x)k.因为x2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x2是yf(x)的唯一变号零点所以yk在(0，)上无变号零点设g(x)，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上
4、单调递增，所以g(x)ming(1)e，结合g(x)与yk的图象(图略)知，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需ke.思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练1 已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(
5、0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)a，当a0时，f(x)0时，由f(x)0得0x0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值，无极大值当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，a1，f(x)bx2，即1b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1，即实数b的取值范围为.题型二用导数求函数的最值例4已知函数f(x)kln x，k，求函数
6、f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0，则f(x)，在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减若k0，则f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0在上恒成立，所以0，所以f(x)在上单调递减综上，当k时，f(x)在上单调递减，所以f(x)minf(e)k1，f(x)maxfek1.引申探究若例题条件中的k改为“k”，则函数f(x)在上的最小值是多少？解f(x)，k，0e，若0即ke时，f(x)在上为减函数，在上为增函数，f(x)minfk1kln k.综上，当k0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；由
7、f(x)0得，0x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得2a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.
8、思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练3 若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案C解析由题意，得f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3x2，得x0或x3，则结合图象可知，解得a3,0)利用导数求函数的最值例 (12分)已知函数
9、f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值规范解答解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分当2，即0a时，函数f(x)在1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，
10、所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.11分综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a.12分用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范1函数f(x)的定义域为R，
11、导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.3函数yxex的最小值是()A1 Be C D不存在答案C解析因为yxex，所以yexxex(1x)ex.当x1时，y0；当x1时，y0，所以当x1时，函数取得最小值，且ymin.故选C.4(2018包头调研)
12、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取得极小值B当k1时，f(x)在x1处取得极大值C当k2时，f(x)在x1处取得极小值D当k2时，f(x)在x1处取得极大值答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且在x1附近的左侧f(x)1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值故选C.5若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为()A.B.C.D.答案D解析若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有两
13、个不等实根，故(4c)2120，解得c或c0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0时，ex1，aex0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数f(x)单调递增，f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a)f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是.9已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax，由
14、f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.10(2018鞍山调研)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax ，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1
15、处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1xe，f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，f(x)maxf(1).12(2018丹东质检)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x
16、0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.13函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0答案A解析因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上，f(x)max1，f(x)min19.由题设知在区间3,2上，f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20
17、.14(2018通辽模拟)已知函数f(x)aex2x2a，且a1,2，设函数f(x)在区间0，ln 2上的最小值为m，则m的取值范围是_答案2，2ln 2解析g(a)f(x)a(ex2)2x是关于a的一次函数，当x0，ln 2)时，ex20)，f(x)ln x1mex(x0)，由函数f(x)有两个极值点可得ym和g(x)在(0，)上有两个交点，g(x)(x0)，令h(x)ln x1，则h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)g(1)，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0；若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需0m，故m0.16已知函数f(x)axln x，x(0，e的最小值是2，求正实数a的值解因为f(x)a，所以当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln a2，解得ae，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae12，解得a(舍去)综上，正实数a的值为e.公众号码：王校长资源站
