1、 学习目标学习目标 1.理解并掌握内力、截面法的概念。2.掌握轴向拉（压）变形的外力、内力、轴力图。3.掌握扭转变形的外力、内力、扭矩图。4.理解平面弯曲变形的概念，掌握梁的受力特点。5.能够用截面法求指定截面剪力、弯矩,并快速画出剪力图和弯矩图。5.1内力和截面内力和截面法法5.1.1内力的概念5.1.2截面法5.15.1内力内力和截和截面法面法 构件内部各部分之间存在相互作用力，以维护构件各部分间的联系及构件的形状和尺寸。当构件受到外力作用时，会发生对应的变形，使构件内部各部分间的相对位置发生变化，从而引起各部分之间相互作用力发生改变，这种在外力作用下构件内部各部分之间相互作用力的改变量称
2、为附加内力，简称内力。5.15.1内力内力和截和截面法面法 不同的外力作用会引起不同的变形，而不同变形的构件存在着不同的内力。附加内力的特点是：内力由外力引起，随外力增大而增大，随外力减小而减小，当外力为零时附加内力也为零。当内力达到某一极限值时，构件便发生破坏。对于确定的材料，内力的大小及在构件内部的分布方式与构件的承载能力密切相关，因此，内力的分析是研究构件的强度、刚度、稳定性的基础。5.15.1内力内力和截和截面法面法 由于内力是物体的一部分与另一部分截面间的相互作用力，所以在研究构件的内力时，必须用一平面将构件假想地截开成为两段，使欲求截面上的内力暴露出来，然后研究其中一段，根据平衡条
3、件，求得内力的大小和方向。这种研究方法称为截面法。5.15.1内力内力和截和截面法面法 用截面法求内力具体的求解步骤如下。（1）截：用截面将杆件在需求内力的位置假想地截为两段。（2）取：弃去其中的任一段，取另一段为研究对象。（3）代：用内力代替弃去的部分对留下部分的作用，在留下部分的截面上画出内力。（4）平：根据研究对象的平衡条件，求出内力的大小和方向。5.2轴向拉（压）轴向拉（压）杆的内力杆的内力5.2.1轴向拉（压）杆概述5.2.2轴向拉（压）杆轴力计算5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力 在工程实际中，将主要承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。如结构中的二力构件、图5
4、-1所示的柱子、图5-2所示的桁架中的各杆。上述各杆具有共同的受力特点：作用在杆端各外力的合力作用线与杆的轴线重合。杆的变形特点为沿轴线方向伸长或缩短。5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力1.轴力的概述轴力的概述 轴力是指作用线在轴线上的内力，用FN或N表示。如图5-3（a）所示的拉杆AB，采用截面法求杆件某横截面上的轴力时可按以下步骤进行。（1）用11截面将杆件假想地截为两段，如图5-3（b），（c）所示。（2）取AC段为研究对象，根据平衡可知，在留下部分的11截面上的内力必然也作用在杆的轴线上，即为轴力。由平衡方程Fix=
5、0可得FNF=0，即FN=F。5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力1.轴力的概述轴力的概述 （3）取CB段为研究对象，同理可得FN=P。显然，FN和FN构成作用力和反作用力的关系，故求得FN之后，FN即可直接写出。综上所述，某截面上的轴力在数值上等于截面任意一侧的轴向外力的代数和，即FN=左或右侧Fi（5-1）式中，FN为拉（压）杆某截面上的轴力；Fi为轴向外力。5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力1.轴力的概述轴力的概述 为了明确表示杆件在横截面上是受拉还是受压，并保证任取一侧所求结果相同，通常规定轴力带有正负号，即使截面受拉的轴力为正，使截面受压的轴力为负。
6、同时规定使截面受拉的外力为正，受压的外力为负。5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力1.轴力的概述轴力的概述5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力2.内力图内力图 表示内力沿轴线变化规律的函数图形，称为内力图。即用与杆件轴线平行的轴表示截面位置，与杆件轴线垂直的轴表示内力值，所画出的整个构件各截面内力值的图。内力图的作图步骤如下。（1）外力分析，即求出约束反力后由外力确定变形形式。（2）选坐标，列内力方程。（3）根据内力的函数方程作图。5.25.2轴向轴向拉拉（压）（压）杆的杆的内力内力3.轴力图轴力图 当杆件受到多个沿轴线的外力作用而处于平衡状态时，杆件各横截面上
7、轴力大小、方向将有差异。为直观地表示各横截面轴力变化的情况，所画出轴力沿轴线变化的图形称为轴力图。采用截面法作轴力图的步骤可见【例5-1】。【例5-1】的相关问题和解答过程请参照课本相关内容。5.35.3圆轴扭转的内圆轴扭转的内力力5.3.2外力偶矩的计算5.3.3扭转轴的内力扭矩5.3.4扭矩图5.3.1圆轴扭转概述5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 扭转变形在工程实际中是一种比较常见的基本变形，以扭转为主要变形的构件称为轴，如汽车的转向轴、机械传动轴等。扭转变形是由大小相等、转向相反、作用面垂直于轴线的两个力偶作用产生的。如图5-5（a）所示的齿轮轴传动装置，其圆轴工作时因两端受到力
8、偶作用而发生扭转变形。扭转变形的特点是杆轴上任意两个横截面绕轴线作相对转动，产生相对扭转角，如图5-5（b）所示。5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 在日常生活中，经常可接触到受扭构件，如扭紧螺钉的螺丝刀，开门时扭动的钥匙等。如图5-6所示的房屋中钢筋混凝土雨篷梁、现浇框架边梁等，是典型的受扭构件。5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 机械结构中的轴工作时受到的外力偶矩通常不会直接给出，但可利用给出的功率和转速确定，即 me=9 549Pk/n （5-2）式中，Pk为功率，单位为千瓦（kW）；n为转速，单位为每分钟的转数（r/min）；me为作
9、用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿米（Nm）。5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 如图5-7（a）所示的扭转轴AB，采用截面法求杆件某横截面上的内力时，用截面11将杆件假想地截为两段，取其中的任一段为研究对象，如图5-7（b）,（c）所示。根据力偶平衡条件，在留下部分的11截面上，只能画出与外力偶矩me反向的内力矩Mn，如图5-7（b）所示。该内力矩Mn称为扭矩。根据研究对象的平衡条件Mx(F)=0，即Mnme=0，可得扭矩Mn的大小为 Mn=me （5-3）5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 若取另一段为研究对象，同理可得Mn=me。显然，Mn和Mn构成作用和反作用的关系，故求得Mn
10、之后，Mn即可直接写出。为了明确表示杆件扭转变形的转向，通常将扭矩规定正负号，按右手螺旋法则判定，即右手弯曲四指指向扭矩的转向，拇指指向与截面外法线方向一致时扭矩为正，反之为负，如图5-8所示。5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 对简单受力的扭转轴来说，某截面上的扭矩在数值上等于截面任意一侧的外力偶矩，其外力偶矩的正负也按右手螺旋法则判定，拇指背离截面为正，指向截面为负。在复杂外力矩作用下的扭转轴，其扭矩可同样采用截面法求出，即某截面上的扭矩在数值上等于截面任意一侧作用在横截面上的外力偶矩的代数和，正负号规定与简单扭转相同。表达式为 Mn=左或右侧
11、mi （5-4）5.35.3圆轴圆轴扭转扭转的内的内力力 当杆件受到多个绕轴线转动的外力偶矩作用而处于平衡时，杆件各横截面上扭矩的大小、转向将有差异。为直观地表示各横截面扭矩变化情况，可画出扭矩沿轴线变化的图形，即扭矩图。扭矩图的作图步骤和要求同轴力图。【例5-2】的相关问题和解答过程请参照课本相关内容。5.45.4平面弯曲梁的平面弯曲梁的内力内力5.4.2 静定梁的分类5.4.3 梁弯曲变形的内力剪力和弯矩5.4.4 用截面法求任意指定截面的内力5.4.1 梁的弯曲变形概述5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 工程实际中将以弯曲为主要变形的构件称为梁。梁的弯曲变形是工程实际中的一种基
12、本变形，如桥式起重机的横梁、列车车厢的轮轴、建筑结构中的横梁、刚架的横梁和立柱等。本章主要讨论的是平面弯曲。平面弯曲的受力特点是：在过轴线的纵向对称面内，受到垂直于轴线的荷载作用，如图5-10所示。5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 梁的平面弯曲变形特点是：杆的轴线在纵向对称面内由直线变成一光滑连续曲线。例如图5-11所示的火车轮轴，其因在轴的两端分别受到垂直轴线的集中力作用而发生平面弯曲；又如图5-12所示的建筑物楼面梁和阳台挑梁，它们都因受到楼面荷载和梁自重的作用而发生平面弯曲。5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力5.45.4平
13、面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 梁是细而长的杆件，因此在计算简图中，常用梁的轴线代替实际的梁。进行计算时，作用在梁上的外力，包括荷载及约束反力（支反力），要根据实际情况正确地估计出其大小和作用情形；支反力则根据约束条件确定。荷载的简化及约束的形式，可参见本书的第1章内容。注注 意意5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力按支承情况不同，常见的梁可分类如下1.1.悬臂梁悬臂梁2.2.简支梁简支梁3.3.外伸梁外伸梁5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 对于上述三种类型的梁，支反力未知数都只有三个，由静力学可知，平面一般力系有三个独立的平衡方程，因此这些梁的支反力可以用静力平衡条件确定
14、，这种梁称为静定梁。但在实际工作中，有时需要多加支座约束，以改善梁的强度和刚度，提高承载能力，这时支反力未知数超过三个，单凭静力平衡条件不能完全确定其支反力，这种梁称为超静定梁或静不定梁。解超静定梁需要考虑梁的变形,列出补充方程，与静力平衡条件联立求解，才能求出全部支反力。5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 下面以图5-14（a）所示的弯曲梁AB为例来研究梁某横截面上的内力。采用截面法求内力时，用mm截面将梁假想地截为两段，取其中的任一段为研究对象，如图5-14（b）,（c）所示。根据力系的平衡条件，可确定在留下部分的mm截面上的内力为平行于横截面的剪力FS和作用在纵向对称面内的内力
15、矩即弯矩M。根据平衡方程可得剪力与弯矩的大小，即 由Fiy=0 YAFS=0 得FS=YA 由MC(F)=0 MYAx=0 得M=YAx 若取右段为研究对象，讨论结果相同。5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 为了明确表示梁弯曲变形的情况，通常将剪力和弯矩规定正负号。剪力FS绕截面顺时针为正，逆时针为负，如图5-15（a）所示；当弯矩M使轴线产生下凸上凹变形时为正，上凸下凹变形时为负，如图5-15（b）所示。5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 对受力复杂的梁，可直接确定出截面上FS和M的数值和正负号，归纳如下。某截面上的剪力，在数值
16、上等于该截面任一侧所有垂直轴线方向外力的代数和，即 FS=(左或右侧)Fi （5-5）某截面上的弯矩，在数值上等于截面任意一侧所有外力对该截面形心之矩的代数和，即 M=(左或右侧)MO(Fi)（5-6）式中，外力正负号规定同剪力符号规定均一致。5.45.4平面平面弯曲弯曲梁的梁的内力内力 对梁的变形可直接根据截面一侧外力确定其内力的大小和正负，为此，采用一刚性屏蔽面把弃去部分给屏蔽起来，对未屏蔽部分进行内力分析，具体应用见【例5-3】。【例5-3】的相关问题和解答过程请参照课本相关内容。5.55.5剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图5.5.1列方程作图5.5.2叠加法作图5.5.3控制截面法作图5.
17、55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图 梁在外力作用下，各截面上的剪力和弯矩一般是不相同的，其中弯矩或剪力最大的截面对等截面梁的强度而言是危险截面。剪力最大和弯矩最大的截面一般并不重合。为了将梁上各截面的剪力、弯矩与截面位置间的关系反映出来，常取梁上一点为坐标原点，把距原点为x处的任意截面上的剪力和弯矩写成x的函数，即 FS=FS(x)，M=M(x)（5-7）5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图 式（5-7）称为剪力方程和弯矩方程。坐标原点一般选在梁的端点。当梁上同时作用着多个荷载时，剪力和弯矩与截面位置间的关系发生变化，需分段列方程，即集中力、集中力偶、分布力的两端为方程分段的分界点。为了
18、直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和弯矩的变化情况，可绘制剪力图和弯矩图。具体作图的步骤和方法见【例5-4】。【例5-4】、【例5-5】和【例5-6】的相关问题和解答过程请参照课本相关内容。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图1.根据典型荷载的弯矩图进行叠加根据典型荷载的弯矩图进行叠加 如图5-20（a）所示，简支梁AB受均布荷载作用，且分别在A,B端受一集中力偶作用，则梁左端的支反力为 YA=1/2qlmA/l+mB/l （5-8）式（5-8）说明：支反力中包括三项，它们分别代表每一种荷载的作用。因此在小变形条件下，可以先求均布荷载q单独作用时的支反力，再求力偶m单独作用时的支反力，
19、然后叠加。这种分别求出各外力的单独作用结果，然后再叠加出共同作用结果的方法称为叠加法。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图1.根据典型荷载的弯矩图进行叠加根据典型荷载的弯矩图进行叠加5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图1.根据典型荷载的弯矩图进行叠加根据典型荷载的弯矩图进行叠加 根据叠加法原理，图5-20（a）所示的简支梁可视为分别承受均布荷载q和集中力偶mA,mB作用，即图5-20（a）可视为图5-20（b）与图5-20（c）的叠加。具体绘制时，先分别作出如图5-20（b）所示的弯矩图和如图5-20（c）所示的弯矩图，然后将这两个弯矩图形叠加（指两个弯矩图的纵坐标的叠加），即得到总弯
20、矩图，如图5-20（d）所示。由图5-20可看出，当均布荷载单独作用时，弯矩图为二次抛物线图形；当端部力偶单独作用时，弯矩图为直线图形。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图 在力学计算中叠加法经常用到，但其前提是在小变形和线弹性条件下（即梁在外力作用下其跨度的改变可以忽略）。当梁上同时作用几个荷载时，各个荷载所引起的支反力和内力都只与相应荷载有关，各自独立、互不影响。若梁在外力作用下跨度改变较大时（不能忽略），应用叠加法将带来较大误差。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图2.区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图 现在讨论结构中直杆的任一区段的弯矩图。以图5-21（a）中的区段AB为例，
21、其隔离体如图5-21（b）所示。隔离体上的作用力除均布荷载q外，在杆端还有弯矩MA,MB，剪力FSA,FSB。为了说明区段AB弯矩图的特性，将它与图5-21（c）中的简支梁相比，该简支梁承受相同的荷载q和相同的杆端力偶mA,mB，设简支梁的支座反力为YA,YB，则由平衡条件可知YA=FSA,YB=FSB。二者也可采用叠加法作M图，如图5-21（d）所示。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图2.区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图2.区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图 利用上述关于内力图的特性和弯矩图的叠加法，可将梁的弯矩图的一般作法归纳如下：除悬臂
22、梁外，一般应首先求出梁的支座反力，选定外力的不连续点（如集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点、支座处等）处的截面为控制截面，求出控制截面的弯矩值，分段画弯矩图。当控制截面间无荷载时，根据控制截面的弯矩值，连成直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，根据区段叠加法作弯矩图。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图1.剪力、弯矩和分布荷载集度之间的微分关系剪力、弯矩和分布荷载集度之间的微分关系 分布荷载、剪力和弯矩之间存在着一定的关系。弯矩对截面位置坐标x的二阶导数等于梁在该截面的分布荷载集度，即弯矩图斜率的变化与q(x)有关。若q(x)为正值，即d2M(x)/dx2=q(x)0，M(
23、x)图为上凸曲线（碗口朝下）；反之若q(x)0，M(x)图为下凸曲线（碗口朝上）。5.55.5剪力剪力图和图和弯矩弯矩图图2.剪力、弯矩图规律剪力、弯矩图规律 综合考虑FS(x)和M(x)为连续曲线时剪力、弯矩和荷载集度之间的微分关系，并结合上述各例题的分析，可得到下述的控制截面法作图规律。（1）剪力图。（2）弯矩图。5.65.6斜梁斜梁及其及其内力内力图图 工程中常遇到杆轴为倾斜的斜梁，例如楼梯梁（如图5-26所示）以及刚架中的斜杆。计算斜梁截面内力的基本方法仍然是截面法。与水平梁相比，横截面上的内力除剪力、弯矩外，还有轴力。由于斜梁的杆轴线和截面是倾斜的，因此轴力和剪力的方向也是倾斜的，这是斜梁的特点。5.65.6斜梁斜梁及其及其内力内力图图2.32.3平面平面力系力系的简的简化化构件内力大小与构件内力大小与什么有关？什么有关？学生心得：影响构件内力大小的因素：1.构件变形的类型，如杆件拉伸压缩只受到轴力，扭转内力为扭距，弯曲变形内力有剪力，弯矩，正应力。2.构件受荷载类型，如普通的简支梁作用其中力，均布线荷载，力偶等通过计算其内力图是不相同的。3.构件约束类型，如柔索约束，固定支座约束，绞链支座约束，光滑面约束等其所受内力是不相同的。4.构件的截面尺寸，其惯性矩，惯性积不同其计算内力也是不同的
