1、微分方程与差分方程建模微分方程与差分方程建模主讲人：李丽主讲人：李丽1、微分方程的主要适用范围、微分方程的主要适用范围 我们所关心的研究对象的特征，会随时间我们所关心的研究对象的特征，会随时间(空间空间)的变化而变化，这种变化可以的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。是连续的，也可以是不连续的。一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模该重点考虑利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。型。比如
2、，问题中涉及到：比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变物体的运动、振动、受力形变(2)生物生物(动植物、微生物动植物、微生物)的数量变化或密度变化的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播信息的扩散与传播导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生
3、物之间的相互依赖、促进，自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导比如，问题中涉及到：比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变；物体的运动、振动、受力形变；(2)生物生物(动植动植物、微生物物、微生物)的数量变化或密度变化；的数量变化或密度
4、变化；(3)物质、能量的扩散、传递；物质、能量的扩散、传递；(4)消费品在市场上的销售过程；消费品在市场上的销售过程；(5)信息的扩散与传播。信息的扩散与传播。导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制链问题；动
5、植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导程的描述，热量在同种或不同物质间的传导如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么微分方程的求解和求数值解微分方程的求解和求数值解如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解无须获得精确的解可以利用微分方程几何理论可以利
6、用微分方程几何理论2、微分方程模型的分析方法、微分方程模型的分析方法3、建立微分方程模型的依据、建立微分方程模型的依据)()()()()()(tqytpxtytqytpxtx根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，随着时间随着时间/空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系系，则可以据此建立微分方程模型。，则可以据此建立微分方程模型。建立微分方程模型时，需要注意：建立微分方程模型时，需
7、要注意：(1)所建立的方程或方程组应满足守恒定律；所建立的方程或方程组应满足守恒定律；(2)如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；(3)注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；(4)如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分方程进行定性讨论；方程进行定性讨论；(5)微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨论或精度要求不高的情形下。论或精度要求不高的情形下。)()()(txtctxt
8、tx 4 微分方程模型示例v饿狼追兔问题饿狼追兔问题v交通管理中的黄灯问题交通管理中的黄灯问题v人口问题人口问题v捕鱼业的持续发展捕鱼业的持续发展v减肥模型减肥模型v鲑鱼数量的变化问题鲑鱼数量的变化问题一、一、饿狼追兔问题饿狼追兔问题v现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西西100100米处。假设兔子与狼同时发现对方并米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北一起起跑，兔子往正北6060米处的巢穴跑，米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否狼的速度是兔子的两倍。问题是
9、兔子能否安全回到巢穴？安全回到巢穴？yxhy=f(x)B-60A(100,0)C(x,y)Ov解解 首先建立坐标系，兔子在首先建立坐标系，兔子在O O处，狼在处，狼在A A处。处。由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹是走轨迹是y=f(xy=f(x)，则有则有 ，又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在内狼走的
10、距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到某一时刻，兔子跑到(0,h)(0,h)处，而狼在处，而狼在(x,y(x,y)处，处，则有则有1000 xy1000 xy1002()021()xhyfxxhfx dxv整理得到下述模型整理得到下述模型22()1()(100)0,(100)0 xfxfxffv这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹走轨迹31221200()10303f xxxv因因 ，所以狼追不上兔子。，所以狼追不上兔子。200(0)603f二、交通管理中的黄灯问题二、交通管理中的黄灯问题 1.问题的提出问题的提出：十字路口亮红灯之前要
11、亮一段时间的黄十字路口亮红灯之前要亮一段时间的黄灯，这是为了让正在行驶在十字路口的人注意，灯，这是为了让正在行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如能够停住，应当告诉他们红灯即将亮起，假如能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则，那么，马上刹车，以免冲红灯违反交通规则，那么，黄灯应当亮多久才比较合适？黄灯应当亮多久才比较合适？2.问题的分析问题的分析：I.根据法定速度根据法定速度v求出停车线的位置求出停车线的位置II根据停车线位置和根据停车线位置和v确定黄灯该亮多久确定黄灯该亮多久3.3.模型假设及构造求解：模型假设及构造求解：假设驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间假设驾
12、驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t t1 1（据统计数据可假设为（据统计数据可假设为1 1秒），刹车后需行驶一段距秒），刹车后需行驶一段距离称刹车距离，使机动车减速的摩擦力系数为离称刹车距离，使机动车减速的摩擦力系数为f,f,汽车汽车质量质量m,m,刹车制动力为刹车制动力为fmgfmg。2200(0)0td xmfmgdtdxxvdt，由牛顿第二定律，有由牛顿第二定律，有02vtfg刹车时间刹车时间刹车距离刹车距离2021()2vx tfg从而停车线到路口的距离为从而停车线到路口的距离为200 112vLv tfg 等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，等式右边的第一项为反应时间里驶过
13、的路程，第二项为刹车距离。第二项为刹车距离。4.黄灯时间的计算黄灯时间的计算记街道的宽度为记街道的宽度为D,D,平均车身长度为平均车身长度为H H，这些，这些车辆应通过的路程最长可达到车辆应通过的路程最长可达到L+D+H,L+D+H,因而，为保因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应为应为0LDHTv背景背景年年1625183019301960197419871999人口人口(亿亿)5102030405060世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况年年19081933195319641982199019952000
14、人口人口(亿亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0认识人口数量的变化规律认识人口数量的变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长三、人口的增长人类社会在科学技术和生产力飞速发展的同时，人类社会在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。世界人口也以空前的规模增长。连续时间连续时间马尔萨斯指数增长模型马尔萨斯指数增长模型 (1798)离散时间模型离散时间模型kkrxx)1(0 x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率r是常数是常数(r很小很小)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口x0,年增长率年增长率rk年后
15、人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长1(1),kkxr x参数x0,r的估计v线性化拟合(姜P10-P11，1790-2000)v变换lnx=lnx0+rt，解线性方程组v数据的选择1.长期数据2.中期数据3.短期数据r=0.2022，x1790=6.045，x2000=442.1程序jye11c长期数据拟合(1790-2000)r=0.2080，x1790=5.8160，x2000=458.6648程序jye11c中期数据拟合(1860-1990)r=0.1563，
16、x1860=37.1889，x2000=331.5627程序jye11b短期数据拟合(1900-1990)r=0.1308，x1900=79.844，x2000=295.3584程序jye11a不同的拟合方法v直接利用x0数据，仅拟合r？试一试v非线性最小二乘拟合？试一试指数增长模型的局限性指数增长模型的局限性可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测不能预测较长期的人口不能预测较长期的人口增长过程增长过程怎样改进？怎样改进？仔细分析发现仔细分析发现：人口增长率：人口增长率r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下
17、降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用。资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用。且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt()()110tx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 x
18、m/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.0886阻滞阻滞增长模型非线性拟合(1860-1990数据)r=0.1998，x1860=35.9655，xm=480.59,x2000=274.08程序jye15b预测方法1.全局方法：直接用拟
19、合函数 x2000=274.082.局部方法：在1990数据上修正/)1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxxx(2000)=275.4实际为实际为281.4(百万百万)，误差约，误差约2.5%模型验证v比较不同方法对2000年预测结果的精度，选定最佳组合模型：Malthus或Logistic拟合：长期、中期、短期等预测：全局或局部方法阻滞阻滞增长模型短期拟合(1900-1990)r=0.1646，x1900=77.7659，xm=745.76,x2000=280.6681程序jye15a模型检验模型检验实际为实际为281.4(百万百万)模型应用模型应用预
20、报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数模型推广：模型推广：Logistic模型在经济领域和生物领域中的应用模型在经济领域和生物领域中的应用阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic短期短期模型模型)r=0.249,xm=434x(2010)=306x(2000)=280.7参考阅读：美国2008年人口估计是305(百万)-wikipedia四、捕鱼业的持续收获四、捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳在持续稳产
21、前提下实现最大产量或最佳效益。产前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景ExNxrxxFtx)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记产量模型产量模型假设假设无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模捕捞情况下捕捞情况
22、下渔场鱼量满足渔场鱼量满足不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性)1()(xFx 一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0微分方程的微分方程的平衡点平衡点000 xxxxx设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有,)(lim0 xtxt称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t),判断判断x0
23、稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似线性方程的近似线性方程)1(),2(0)(00对稳定xxF)1(),2(0)(00对不稳定xxF0)(xF0),1(10 xrENxErxFrExF)(,)(10产量模型产量模型ExNxrxxFtx)1()()(平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断0)(,0)(10 xFxFrE0)(,0)(10 xFxFrEx0稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕
24、捞强度使产量最大控制捕捞强度使产量最大图解法图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标的横坐标x0平衡点平衡点2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标h产量产量)4/,2/(*0*rNhNxPm产量最大产量最大f 与与h交点交点P稳定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半cErEpNEESETER)1()()()()1(4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假设假设鱼销售价格鱼销售价格p单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c单位时
25、间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.)/1(0rENx稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1(rENxRR渔场渔场鱼量鱼量2*rE收入收入T=ph(x)=pEx支出支出S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0cErEpNEESETER)1()()()(R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ER)1(rENxsspc临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场
26、鱼量 cp,捕捞过度捕捞过度ER)1(2pNcrERE*令令=0)1(pNcrEsssxE,五、五、减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数体重指数BMI=w(kg)/
27、l2(m2).18.5BMI25超重超重;BMI30肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5
28、千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在
29、不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克/(80001确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡w=100千克不变千克不变wcww025.0100800020000wc第一阶段第一阶
30、段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1)1()(kwkwk20012000)()1()()1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09,1,0,20012000)1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC)1()1(1)()1()(1nmnCkwnkw第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克代入得
31、以10000,80001,025.0mC5050)(975.0)(kwnkwnmmnCCkw)()1(1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)()1()()1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1()1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克5050)(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按减少至减少至75千克。千克。)19,2,1(50975.040)(nnwn199
32、75.0lg)40/25lg(n)028.0()025.0(t24,003.0tt即取运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡千卡):跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.03.04.42.57.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)()()1()()1(kwtkckwkw基本基本模型模型6.44)6.4490(972.075n14nmmnCCkwnkw)()1()
33、(3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()()1()()1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)()(1500075025.08000千卡C不运动不运动)(1680075028.08000千卡C运动运动(内容同前内容同前)海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。一
34、一 问题的提出问题的提出 试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。六、鲑鱼数量的变化问题六、鲑鱼数量的变化问题二二 生长特点生长特点1 呈周期性变化；2 在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼 的变化过程。一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。离散时间段里呈连续变化。如：树木的生长、冰箱温度的变化等，嵌入式模型嵌入式模型嵌入式模型嵌入式模型 它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。三
35、三 符号的说明符号的说明：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,；：在每个周期内，时刻t 幼鱼的数量；为了反映每个周期末和下个周期开始时的突变性，引入下列记号：nx)(ty,1 1ntntntttnbaba可以很小。在区间 1,nttnba内允许数量上的突变四四模型的假设模型的假设1 naxty与)(成正比，比例系数为 ，表示每条鱼的产卵量；2 单位时间内 减少的比例与 成正比，比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力；)(tynx3 )(bntyx与1成正比，比例系数为 ，表示在繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。五五 模型建立模型建立根据假设条件容易写出 naxt
36、y1ntttnxyyban，bntyx1（1）（2）（3）方程（2）的解为 anttxaetyty（4）将（1），（4）代入（3）式得,n,exxnabxttnn2101（5）若记abttb,a（6）则方程（5）可写作,n,eaxxnbxnn2101（7）差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入（1）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式可以表为 bnnatyhxygtyxfty11ntttnba（8）差分方程（7）无法求出nx的显式表达式，只能递推求数值解。例如设11005x,（表示1个数量单位，比如810条），第1代（）0n鲑鱼吞食掉90%的幼鱼即 10.tytyab，代入（4），
37、（6）是可以算出321010.lnttb,e.abttab若分别取444105110111050.,.,.，则由（6）式15 11 5,a将0 x,b,a代入（7）式递推计算nx，考察鲑鱼数量的周期变化规律，结果见表。01.0001.0001.000110.69791.7391.88410.5001.1001.500120.69960.34880.369120.79060.96110.7115130.69861.7192.36730.64021.1562.074140.69920.36140.152640.73290.88760.2625150.69881.7301.61150.67781.2
38、652.151160.69910.35450.591960.71170.75620.2278170.69891.7242.27270.69121.4582.022180.69900.35810.182180.70370.55840.2882190.69891.7271.79690.69611.6982.226200.69900.35620.4308100.70070.37440.1983211.7252.396n5an5a11a15a11a15a220.35720.1443320.35680.4531231.7261.552331.7262.394240.35670.6526340.35680
39、.1449251.7262.178351.7261.557260.35690.2167360.35680.6481271.7261.973371.7262.186280.35680.3147380.35680.2137291.7262.287391.7261.960300.35690.1771400.35680.3225311.7261.676n11an11a15a15a按（7）式（b=2.3和不同的a）计算的nx由表可知，对于nxa 5，趋向稳态值0.699，即初值的70%；对于nxa 11，交替地趋向两个稳态值0.3568和1.726，对于15a则难以看出什么规律。六六 平衡点及稳定性分析
40、平衡点及稳定性分析为了研究对于不同的a，鲑鱼数量nx的变化规律，我们利用差分方程求解的有关结果讨论（7）的平衡点及稳定性。方程（7）的平衡点*x满足*bx*eaxx（9）注：0*x也是方程（7）的平衡点，但容易验证它不是稳定的1a，不再讨论，以后平衡点均指非零的。（9）的非零解为balnx*（10）平衡点稳定的条件是,xf*1这里*bx*eaxxf因为 alnbxaexf*bx*11所以当aln11，即38972.ea时*x是稳定平衡点，而当2ea 时*x不稳定。这个结果表明，nx是否稳定只取决于，a与b无关。而a，注意到和的含义可知a表示的是鲑鱼从一个周期到下一周期增长关系的一个因素（增长率
41、还与 有关），正是这因素决定了 的稳定状态情况。bnx根据上述分析，当5a时，*x稳定，且若3210.lnb由（10）可得6990.x*，而当15 11，a时*x不稳定这与前面的数值结果（见表）是一致的。为了进一步研究3897.a（如 ）11a时nx的变化情况，应该考察方程（参考倍周期收敛的相关内容）nnnxfxfx212（11）其中f的具体形式由方程（7）给出。首先用无量纲化方法简化方程，令alnbxznn（12）则方程化为（7）化为nznnezz11（13）aln（14）显然，当2时1*z是方程（13）的稳定平衡点，而2时1*z不稳定。下面讨论2的情况。考察方程 nnnzgzgz212（1
42、5）其中g由（13）给定。方程（15）的平衡点除1*z以外还有*z1和*z2，满足*z*ezz2121和*z*ezz1112（16）由（16）不难得到221*zz（17）于是*z,z21是方程wwew21（18）的两个根。若记函数 wwewh1（19）则曲线 whW 和直线wW 2有3个交点，其横坐标是*z1，1和*z2（见图）。当11a时3982.aln用数值方法可以算出65731 3427021.z.z*，（20）*z,z21是方程（15）稳定平衡点的条件是 1212*z,zzzgWO1*z1*z22wwW 2 whW 经过比较精密的计算得到，当526522.（21）时上述条件成立。这个结
43、果表明，在条件（21）下方程（13）给出的序列 是2倍周期稳定的，即子序列 和 当nzkz212 kzk时分别趋向于*z1和*z2代回到变量nx，由（14）式可知条件（21）相当于51123897.a.（22）所以当11a时nx是2倍周期稳定的，两个稳定值*x1*x2和可以从（由（12）式）*,*,zbalnx2121（23）和（20）式算出。当3210.lnb时72591 3569021.x.x*，与表中结果一致。当52652.以后应该研究nz的k2倍周期稳定的情况,k32。若记k是k2倍周期稳定的上限，有结果指出时，69242.k，当69242.时nz的趋势出现混沌现象。表中的15a相当于712.，所以nx的变化没有什么规律性可言。评注：评注：嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物的周期性繁殖现象外，再生资源的周期性收获，人体对周期性注入药物的反应，周期性排放污物的环境变化等都可以用这种模型研究。我们在这里遇到了序列nx的k2倍周期收敛现象,k210，因为方程（13）的非线性程度更高，所以，对平衡点收敛性分析更为困难。
