1、 弗赖登塔尔的数学教育理论弗赖登塔尔的数学教育理论1.生平及贡献生平及贡献Hans Freudenthal（1905-1990年）年）,荷兰数学家和数学教育家荷兰数学家和数学教育家,生于德国生于德国.1930年获柏林大学数学博士学位；年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰年起任荷兰Utrecht 大学教授；大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；年起为荷兰皇家科学院院士；1967年当选为国际数学教育委员会主席；年当选为国际数学教育委员会主席；1971-1976年任数学教育研究所所长；年任数学教育研究所所长；1987年年12月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国。月应邀来上海华
2、东师范大学讲学，并先后三次来中国。弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究，以代弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷兰数学会的两届主席兰数学会的两届主席 弗赖登塔尔被称为弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父二十世纪数学教育之父”“对于数学教育，本世纪的上半叶对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。做
3、出了巨大的贡献。”加亨加亨(Kahane)教教授授主要工作：主要工作：v1967年当选为国际数学教育委员会主席；v 单独举行国际数学教育大会（ICME1，1969法国里昂）；v提倡数学教育的科学研究；v创办ICME的理论刊物Educational Studies in Mathematics（数学教育研究）主要数学教育论著：v作为教育任务的数学；v除草与播种；v数学教育再探在中国的三次讲学 第一章 数学的传统第二章 今日的数学第三章 传统与教育第四章 数学教育的用处和目的第五章 苏格拉底的方法第六章 再创造第七章 用数学化方法组织一个领域第八章 数学的严谨性第九章 教学第十章 数学教师第十一章
4、 数的概念客观的形成途径第十二章 数的概念从直观方法到算法化和推理化的发展第十三章 数的概念的发展代数方法第十四章 数的概念的发展从代数原理到代数的整体组织第十五章 集合与函数第十六章 几何的状况第十七章 微积分第十八章 概率和统计第十九章 逻辑附录 v在作为教育任务的数学里，阐述了他对数学和数学教育的各种基本观点。v第一方面是他对数学的看法。在弗赖登塔尔看来，数学是系统化了的常识。常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。这样，数学的发展过程就显出层次
5、性，构成许多等级；同时也形成诸多如抽象、严密、系统等特性。一个人在数学上达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后天的条件。但是，一个为多数人都能达到的层次必然存在。数学教育家的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径。v第二方面是他关于学习方法的看法。弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。他认为这是一种最自然的、最有效的学习方法。数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们也必须
6、在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学。弗赖登塔尔指出，搞数学研究的人就是用再创造的方法去阅读别人的论文的。2.弗赖登塔尔的数学教育观弗赖登塔尔的数学教育观v情境问题是教学的平台情境问题是教学的平台v数学化是数学教育的目标数学化是数学教育的目标v学生通过自己努力得到的结论和创造是学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分教育内容的一部分v“互动互动”是主要的学习方式是主要的学习方式v学科交织是数学教育内容的呈现方式学科交织是数学教育内容的呈现方式概括为：现实、数学化、再创造现实、数学化、再创造(1)何谓数学教育中的何谓数学教育中的“现实现实”？v数学教育中的现实数学来源于现实，
7、存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”.v数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律、已有的生活经验和数学的实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。即“数学教育即是现实的数学教育”。充分了解学生的数学现实后，可以进行情境创设充分了解学生的数学现实后，可以进行情境创设多面体和旋转体多面体和旋转体(2)什么是什么是“数学化数学化”？弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化。1.对
8、数学本身的数学化：深化数学知识，或者使数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。2.对客观世界的数学化：形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等。v苏联数学家格涅坚科：“当今的世界不仅仅是科学在数学化，而且绝大数实践活动也在数学化”，“我们的时代是知识数学化的时代”。v弗赖登塔尔：“数学教学必须通过数学化来进行”。1.什么样的几何体叫棱柱？有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？棱柱吗？每相邻两个四边形的公共边都互相平行。每相邻两个四边形的公共边都互相平行。2.吸烟有害健康吗？独立性检
9、验独立性检验(3)什么是什么是“再创造再创造”？弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程。v弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心是数学过程再现。v学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程。v教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉器
10、官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般
11、来说还可以保持较长久的记忆。(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。(3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。分数与小数的互化v例：直线与平面垂直的判定3.弗赖登塔尔理论在课堂教学中的应用弗赖登塔尔理论在课堂教学中的应用4.弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示(1)数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实 按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实的弗赖登塔尔“数学现实”思想，数学教学必须紧密联系实际。数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达到这个目的，教师可以从几个方面努力：破除思维定势，主动树立
12、联系实际的意识，并且要落到实处；作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和现实结合的历史，从这出发能更好的把握数学的逻辑；引入生活中的新鲜例子，这就要求老师要关心周围的事物，了解他学科知识背景，并能从中抽象数学问题。数学教学要联系学生的实际，这个实际要立足于学生现有的水平，并以超越学生现有水平为目的，使学生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中运用“数学现实”的关键点。(2)注重学生的数学化过程，提倡探究教学 学生“数学化”的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是根据儿童思维发展与学习过程提
13、出的，故而不是要求每个学生都要一次完成所有阶段。数学教学中不能过分强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符合学生的年龄特征。(3)(3)强调反思，提升学生思维能力强调反思，提升学生思维能力 作为老师，最根本的任务是教会学生如何学习，也就是说教是为了不教。要学会学习，首先要学会反思，学会分析、思考和监控自己的学习，也就是要发展学生的元认知。弗赖登塔尔认为反思是一种重要的数学活动，是数学活动的核心和动力。而学生从探究学习过渡到自主发现学习，反思是不可缺少的一个环节。(4)(4)适当引导学生，激发学生的再创造适当引导学生，激发学生的再创造 主张“再创造”应该是数学教育的一个教学法原则，它应该贯串于数学
14、教育整个体系之中。实现这个方式的前提，就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。这对教师提出了更高的要求，不仅对有关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度的应变能力，随机应变，及时处理学生可能提出的各种问题，以保证将学生引上“再创造”的道路上去，让学生的数学活动更为主动、有效。1.知道空气的质量相对很轻，并且空气的质量是可以测量的。掌握测量空气质量的实验方法。2.经历测量一袋空气的实验，培养细致、认真观察记录的能力，学会运用思辨
15、的方法获得科学概念。3.经历实验探究，体会科学实验的趣味性与严谨性.4.认识地球是不透明、不发光的球体，在阳光照射下会产生昼夜交替现象。认识地球是不透明、不发光的球体，在阳光照射下会产生昼夜交替现象。5.知道昼夜交替现象有多种可能的解释。知道昼夜交替现象有多种可能的解释。6.初步理解昼夜交替现象与地球和太阳的相对圆周运动有关。初步理解昼夜交替现象与地球和太阳的相对圆周运动有关。7.认识到积极参与讨论，并发表有根据的解释是重要的。认识到积极参与讨论，并发表有根据的解释是重要的。8.认识到同一现象，可能有多种不同的解释，需要用更多的证据来加以判断。认识到同一现象，可能有多种不同的解释，需要用更多的证据来加以判断。
