1、第七章 空间向量与空间解析几何简介向量第一节数量积 向量积 *混合积第二节平面及其方程第三节第七章 空间向量与空间解析几何简介空间直线及其方程第四节曲面方程第五节曲线方程第六节第七章 空间向量与空间解析几何简介在中学数学中，我们已经学习了平面向量和平面解析几何的内容.例如,方程x2+y2=1在平面坐标系中，它表示一个单位圆，那么在空间坐标系中，它又表示什么呢？这正是本章将要学习的知识.本章主要介绍空间直角坐标系、空间向量的概念及运算，重点讲解平面与直线的各种方程及其相互关系，简单介绍空间曲线和曲面的有关知识.要求掌握空间曲线和曲面的投影曲线，特别是要掌握一些特殊的二次曲面的方程及图形，为学习多
2、元函数的微积分做好准备.向量向量第 一节一、空间直角坐标系过空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且具有相同的长度单位,这三条轴分别称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),三条数轴统称为坐标轴.它们的正方向符合右手法则，即以右手握住z轴,并拢的四个手指从x轴的正方向旋转90指向y轴的正方向,竖起的大拇指指向就是z轴的正方向,如图7-1所示.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系,点O称为坐标原点(简称原点).图图 7-1 7-1一、空间直角坐标系在空间直角坐标系中,任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面.三个坐标轴确定了三个平面,分别称为xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标
3、面.三个坐标面将整个空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限,八个卦限分别用，表示(见图7-2).图图 7-2 7-2一、空间直角坐标系有了空间直角坐标系,就可以建立空间中的点和有序数组之间的对应关系.设M为空间中一已知点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,交点分别为P，Q，R(见图7-3).设这三个点在x轴、y轴和z轴上坐标依次为x，y，z,则点M唯一确定了一个三元有序数组(x，y，z).图图 7-3 7-3一、空间直角坐标系反过来,给定了一个三元有序数组(x，y，z),则可分别在x轴、y轴和z轴上取坐标依次为x，y，z的三个点P，Q，R，然后过这三个点分别作一个与x轴、y轴和z轴垂
4、直的平面,这三个平面有唯一的交点,设为M,则一个三元有序数组(x，y，z)就唯一地确定了空间一点M.这样,利用空间直角坐标系,就在三元有序数组(x，y，z)与空间中任意一点M之间建立了一一对应关系.称这个三元有序数组(x，y，z)为点M的直角坐标,并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标，坐标为(x，y，z)的点M,记为M(x，y，z).一、空间直角坐标系 显然,坐标原点O的坐标为(0，0，0);x轴、y轴和z轴上任意一点的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z);xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面上任意一点的坐标分别为(x，y，0)，(0，y，z)，(x，0，z
5、).对空间中两点M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2),可用其坐标表示它们间的距离d.设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)是空间中两点,如图7-4所示.图图 7-4 7-4一、空间直角坐标系过M1,M2各作三个平面分别垂直于三条坐标轴,这六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体.线段M1P，M1Q，M1R是它的三条棱,它的对角线M1M2的长度设为d,则 d2=M1M22=M1P2M1Q2M1R2.因为 M1P=P1P2=x2-x1，M1Q=Q1Q2=y2-y1，M1R=R1R2=z2-z1，一、空间直角坐标系所以d2=M1M22=x2-x12y2-y12z2-z1
6、2，即 d=x2-x12y2-y12z2-z12.(7-1)式(7-1)称为两点间距离公式.特别地,空间任一点M(x，y，z)与坐标原点O(0，0，0)的距离为 d=OM=x2y2z2.(7-2)一、空间直角坐标系【例例1 1】二、向量的概念在物理学中,我们已经遇到过既有大小,又有方向的量，如力、力矩、速度等.这一类量称为向量.在数学上,常用一条有方向的线段即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.以M1为起点,M2为终点的向量记作M1M2(见图7-5).有时也用一个黑体字母(或书写时在字母上面加箭头)来表示向量,如a，v，F(或a，v，F).以坐标原点
7、O为起点,向一个点M引向量OM,这个向量称为点M对于O的向径,常用黑体字r表示.图图 7-5 7-5二、向量的概念向量的大小称为向量的模.向量M1M2，a的模依次记为|M1M2|，|a|.模等于1的向量称为单位向量.模为零的向量称为零向量,记作0.零向量的起点和终点重合,它的方向可以看作是任意的.在许多涉及向量的实际问题中,可以不考虑向量的起点位置,只考虑其大小和方向,称这样的向量为自由向量.下面讨论的向量一般都指自由向量.二、向量的概念如果两个向量a，b的模相等,方向相同,则称向量a，b是相等的,记作a=b.也就是说,经过平移后能完全重合的向量是相等的.如果两个非零向量a，b的方向相反或者相
8、同,则称两个向量平行,记作ab.由于零向量的方向是任意的,因此可以认为零向量与任何向量都平行.三、向量的线性运算向量的加减法向量的加减法1.在力学中,求作用于同一质点的两个不同方向的力的合力F时,采用平行四边形和三角形法则(见图7-6).图图 7-6 7-6三、向量的线性运算由此，我们给出向量加法的法则:法则1(平行四边形法则)设有两个非零向量a，b,任取一点A,作AB=a，AD=b,以AB，AD为邻边作平行四边形,其对角线向量AC(见图7-7)称为向量a，b的和,记为a+b.从图7-7可得三角形法则.图图 7-7 7-7三、向量的线性运算法则2(三角形法则)以向量a的终点作为向量b的起点,则
9、由a的起点到b的终点的向量是a与b的和向量.从图7-7和7-8可以看出,向量的加法满足以下运算律:(1)交换律 a+b=b+a.(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).图图 7-8 7-8三、向量的线性运算由向量加法的三角形法则及交换律、结合律得n个向量相加的法则如下:以前一个向量的终点作为下一个向量的始点,相继作向量a1，a2，,an,再以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.如图7-9所示,有 s=a1a2a3a4a5.图图 7-9 7-9三、向量的线性运算设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量称为a的负向量,记作-a(见图7-10).由此
10、,我们规定两个向量b与a的差b-a=b+(-a).图图 7-10 7-10三、向量的线性运算把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a,如图7-11所示.特别地,当b=a时,有a-a=a+(-a)=0.图图 7-11 7-11三、向量的线性运算向量与数的乘法向量与数的乘法2.向量a与实数的乘积记作a,规定它为一个向量,它的模|a|=|a|,它的方向当0时与a相同,当0；否则，为钝角，abc0)绕z轴旋转所成的曲面称为圆锥面，其方程为 z2=a2(x2+y2).(7-26)(2)zOx平面上的抛物线z=ax2(a0)绕z轴旋转所成的曲面称为旋转抛物面，其方程为 z=a(x2+y2).(7-27
11、)(3)xOy平面上的椭圆 绕x,y轴所成的曲面称为旋转椭球面，其方程分别为 (7-28)三、旋转曲面方程【例例3030】四、二次曲面由前面的讨论可知，球面、柱面和旋转曲面等曲面方程都是三元二次方程，我们称这种三元二次方程所表示的曲面为二次曲面.相应地，称三元一次方程所表示的平面为一次曲面.二次曲面的图形一般较为复杂，很难用描点法绘图.一般用“平行截割法”来讨论二次曲面的形状，即用与坐标面平行的平面去截割曲面，从所得截痕的形状加以综合来想象这个曲面的形状.“平行截割法”又称“截痕法”.下面介绍几类常见的二次曲面.这里不作详细讨论，只将某些曲面的方程和图形给出，供大家在今后学习中参考.四、二次曲
12、面1.表示母线平行于z轴的柱面(见图7-29),它的准线是xOy面上的椭圆四、二次曲面2.表示母线平行于z轴的柱面(见图7-30)，它的准线是xOy面上的双曲线图图 7-30 7-30四、二次曲面抛物柱面抛物柱面x x2 2=ay=ay3.表示母线平行于z轴的柱面(见图7-31)，它的准线是xOy面上的抛物线x2=ay.图图 7-31 7-31四、二次曲面4.首先应用截痕法了解一下此曲面的特征.以垂直于z轴的平面z=t截此曲面,得一椭圆该式表示一族椭圆，但这些椭圆的长短轴比例不变.t=0时，得一点0,0,0.当t从大到小直至达到0时,这族椭圆将从大变到小直至缩为一点，因此,椭圆锥面的形状如图7
13、-32所示.图图 7-32 7-32四、二次曲面5.用截痕法来讨论这个曲面的形状.用xOy面z=0和平行于xOy面的平面z=hhc去截曲面，其截痕分别为椭圆，且h由0逐渐增大到c时，椭圆由大变小，逐渐缩为一点.同样用zOx面与平行于zOx面的平面去截曲面和用yOz面与平行于yOz面的平面去截曲面，它们的交线与上述结果类同.综上所述，椭球面的形状如图7-33所示.图图 7-33 7-33四、二次曲面6.四、二次曲面7.图图 7-34 7-34四、二次曲面8.用截痕法来分析.用xOy面去截曲面，截痕是一点0,0，称为椭圆抛物面的顶点.用平行于xOy面的平面z=hh0截此曲面，其交线为z=h平面上的
14、椭圆，且当h增大时，椭圆的半轴也随着增大.若用平面x=h或y=h截曲面，其交线分别为抛物线.综上所述，椭圆抛物面的形状如图7-35所示.图图 7-35 7-35四、二次曲面9.用截痕法分析其图形特征.用平面x=t截此曲面,得一抛物线此抛物线顶点坐标为 开口朝下.当t变化时,抛物线的形状保持不变,只随顶点的位置变化作平移,其中抛物线的顶点轨迹为平面y=0上的抛物线 因此,双曲面抛物线的形状如图7-36所示，也称为马鞍面.图图 7-36 7-36曲线方程曲线方程第 六 节第六节 曲线方程空间曲线是由两个曲面相交而产生的，由于空间曲面方程的建立和图形绘制较难，为此，空间曲线图形的绘制和方程的建立更难
15、.本节将简单介绍空间曲线的参数式方程和空间曲线在坐标面上的投影曲线方程，供我们在今后的学习中参考.一、空间曲线及其方程空间曲线的一般式方程空间曲线的一般式方程1.空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这两相交平面方程的联立方程组来表示.同样，空间曲线可以看作两个曲面的交线.设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0.那么联立方程组 (7-29)就是它们交线的方程，称式(7-29)为空间曲线的一般式方程.一、空间曲线及其方程【例例3131】一、空间曲线及其方程空间曲线的参数式方程空间曲线的参数式方程2.空间曲线的参数式方程是我们在学习多元函数积
16、分学时要用到的，但其方程的建立比较麻烦，我们这里只简单介绍只有一个参变量的参数方程.如果曲线C上的点M(x,y,z)的坐标可以表示为某个变量t的函数，即 (7-30)当t在,上每取一个值时，就得到曲线C上的一个点M(x,y,z)，而t由变到时就得到曲线C上的所有点.则式(7-30)称为曲线C的参数式方程，其中t称为参数.一、空间曲线及其方程【例例3232】图图 7-37 7-37一、空间曲线及其方程二、空间曲线在坐标面上的投影设在空间直角坐标系中有一条曲线C，过C作母线平行于z轴的柱面，与xOy平面的交线为C，则称C为曲线C在xOy面上的投影曲线(见图7-38).图图 7-38 7-38二、空
17、间曲线在坐标面上的投影下面来建立空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.设空间曲线C的方程为 (7-31)为求C在坐标面xOy面上的投影曲线方程，现从式(7-31)中消去z后，得方程 H(x,y)=0，(7-32)二、空间曲线在坐标面上的投影这正是母线平行于z轴的柱面方程.由于它是从式(7-31)中得出，为此，在曲线C上的点，其坐标必满足式(7-31)，从而也一定满足H(x,y)=0，所以，这个柱面是以曲线C为准线的柱面，我们称其为投影柱面.它与xOy坐标面的交线C的方程为 (7-33)即为空间曲线C在xOy坐标面上的投影曲线方程.同理，从式(7-31)中消去x或y，分别得投影柱面方程G(y,z)=
18、0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y=0联立，即可得曲线C在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为二、空间曲线在坐标面上的投影【例例3333】二、空间曲线在坐标面上的投影中未知量z消去.方程组中两方程相减得x+z=1，即z=1x，将其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程为 2x2+y22x=0.于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来描绘空间区域的方法.它在今后多元函数积分学中经常用到，要仔细体会.二、空间曲线在坐标面上的投影【例例3434】二、空间曲线在坐标面上的投影方程y2+z2=1表示以坐标面yOz面上的圆y2+z2=1为准线，母线平行于x轴的圆柱面.于是y2+z21表示这个圆柱面所围成的内部及其表面.直圆柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y=1上的截线分别是圆、直线和椭圆；平面x+y=1在平面y=0和z=0上截线都是直线，把这五条截线作出来，就可得所求的立体图形(见图7-39).图图 7-39 7-39
