1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入复数的概念复数的概念一一.复数的概念复数的概念 数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？自然数集自然数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集 我们可以用下面一组方程来形象地说明我们可以用下面一组方程来形象地说明 数系的发展变化过程数系的发展变化过程：（1 1）在自然数集中求方程）在自然数集中求方程 x+1x+10 0的解？的解？（2 2）
2、在整数集中求方程）在整数集中求方程 2x+12x+10 0的解？的解？（3 3）在有理数集中求方程）在有理数集中求方程 x x2 2-2-20 0的解？的解？（4 4）在实数集中求方程）在实数集中求方程 x x2 2+1+10 0的解？的解？现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i，把把 i 叫做虚数单位叫做虚数单位，并且并且规定规定：（1）i 21；（2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算时，原在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率包括交换率、结合率和分配率)仍然仍然成立。成立。这样就解决了前面
3、所提出的问题，即这样就解决了前面所提出的问题，即 1 1可以开平方，且可以开平方，且1的平方根为的平方根为 i.而且得到了新数集而且得到了新数集Ca+bi|a,b R 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i，把把 i 叫做虚数单位叫做虚数单位，并且并且规定规定：（1）i 21；（2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算时，原在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率包括交换率、结合率和分配率)仍然仍然成立。成立。这样就解决了前面所提出的问题，即这样就解决了前面所提出的问题，即 1 1可以开平方，且可以
4、开平方，且1的平方根为的平方根为 i.而且得到了新数集而且得到了新数集Ca+bi|a,b R 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i，把把 i 叫做虚数单位叫做虚数单位，并且并且规定规定：（1）i 21；（2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算时，原在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率包括交换率、结合率和分配率)仍然仍然成立。成立。这样就解决了前面所提出的问题，即这样就解决了前面所提出的问题，即 1 1可以开平方，且可以开平方，且1的平方根为的平方根为 i.而且得到了新数集而且得到了新数集Ca
5、+bi|a,b R二二.复数集复数集 复数复数a+bi(a,bR)由两部分组成由两部分组成，实数实数a与与b分别分别称为复数称为复数a+bi的的实部实部与与虚部虚部，1 1与与i分别是分别是实数单位实数单位和和虚数单位虚数单位，当当b=0时时，a+bi 就是就是实数实数a，当当b0时时，a+bi 是虚数虚数，其中其中a=0且且b0时称为时称为纯虚数纯虚数bi。形如形如 a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.C叫做复数集叫做复数集.常用常用za+bi(a,bR)来表示，叫复数的代数形式。来表示，叫复数的代数形式。虚数集虚数集复数集复数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集通常用字母通常用字母 表
6、示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。i000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR 三三.复数相等的定义复数相等的定义 根据两个根据两个复数相等复数相等的定义的定义，设设a,b,c,dR，两个复数两个复数a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为a+bi=c+di .由这个定义得到由这个定义得到 a+bi=0 .acbd00ab 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就说这两个说这两个复数相等复数相等.两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小，只能由定义
7、判断它们相等或不等只能由定义判断它们相等或不等。例例1 1.实数实数 m m 取什么数值时，复数取什么数值时，复数z z=m m+1+(+1+(m m1)1)i i是：是：（1 1）实数？）实数？（2 2）虚数？（）虚数？（3 3）纯虚数？）纯虚数？0101mm解：复数解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为中，因为mR，所以，所以m+1，m1都是实数，它们分别是都是实数，它们分别是z的实部和虚部，的实部和虚部，（1）m=1时，时，z是实数；是实数；（2）m1时，时，z是虚数；是虚数；（3）当）当 时，即时，即m=1时，时，z是纯虚数；是纯虚数；问题问题2 2 设设x x，yRyR，并且，并且
8、 (2x(2x1)+xi=y1)+xi=y(3(3y)iy)i，求，求x x，y y。解题总结：解题总结：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重要的数学思想一种重要的数学思想转化思想转化思想例例2.已知已知(2x1)+i=y(3y)i，其中其中x,yR，求求x,y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，虚部等于虚部，得方程组，解得解得 x=,y=4.211(3)xyy 25复数的坐标表示复数的坐标表示在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想
9、？想一想？类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)一一对应一一对应 回忆回忆复数的一般形式？Z=a+bi(a,bR)实部!虚部!一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定？一确定？复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面
10、)一一对应一一对应z=a+bi(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。例例1.辨析辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D 2“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)是纯是纯虚数虚数”的（的（）。）。(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要
11、条件充分不必要条件(C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件C 3“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)所对所对应的点在虚轴上应的点在虚轴上”的（的（）。）。(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件(C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件A例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题
12、复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m变式一变式一：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内在复平面内所对应的点在直线所对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m m的值。的值。解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m
13、-6，m2+m-2），），(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，m=1或或m=-2。例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。变式二变式二：证明对一切证明对一切m m，此复数所对应的点不可能，此复数所对应的点不可能位于第四象限。位于第四象限。点位于第四象限，证明：若复数所对应的020622mmmm则3221mmm 或即不等式解集为空集不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的
14、点不可能位于第四象限.小结复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi小结x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴复平面复平面 复数复数z=a+biz=a+bi 点点Z(a,bZ(a,b）向量向量OZ xOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值(复数的模复数的模)的的几何意义几何意义:Z(a,b)22ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模|，即，即复数复数 z=z=a+bi i在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的到原点的距离。距离。OZ OZ|z|=|OZ 小结 例例3 求下列复数的模：求下列复数的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(4)z4=1+mi(mR)(5)z5=4a-3ai(a0)小结xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复数复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形？样的图形？55555|22yxz
