1、2021/7/261(最新整理)复合函数的单调性专题讲座2021/7/262复合函数单调性专题讲座复合函数单调性专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作高中数学教师欧阳文丰制作2021/7/263复合函数的概念复合函数的概念的的定义：定义：如果如果y y是是u u的函数的函数,u,u又是又是x x的函数，的函数，即即=f(),=g(),那么那么关于的函数关于的函数()叫做函数叫做函数y=f(y=f()和和u=g(x)u=g(x)的复的复合函数，合函数，u u叫做中间变量，叫做中间变量，x x叫自叫自变量，变量，y y叫函数值叫函数值。2021/7/264复合函数：复合函数：y=fg(x)y=fg(x)
2、令令 u=g(x)u=g(x)则则 y=f(u)y=f(u)内函数内函数外函数外函数y=fg(x)y=fg(x)原函数原函数以以x为自变量为自变量以以u为自变量为自变量以以x为自变量为自变量复合函数的结构复合函数的结构2021/7/265复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g
3、(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。2021/7/266复合函数的单调性引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u
4、1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。2021/7/267复合函数复合函数y=fg(x)单调性单调性()()()()yf g xyf uug xyf g x对于复合函数的单调性，必须考虑与的单调性，从而得出的单调性。)(xgu)(ufy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数法法则则同同增增异异减减规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函
5、数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。2021/7/2682yx2x-3 例例1 1、求求函函数数的的单单调调区区间间。1x-3x03-2xx2 ，或，或解：解：），函数的定义域为（13 uy,3-2xxu2 则则令令）上为增函数）上为增函数，在在为减函数为减函数，在（在（而而）为增函数，）为增函数，在在 1 33-2xxu 0uy22yx2x-31 3 函函数数的的单单调调递递增增区区间间为为，），单单调调递递减减区区间间为为（，类型类型1：外层函数为幂函数的复合函数：外层函数为幂函数的复合函数2021/7/269 复合函数复合函
6、数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：的单调性可按下列步骤判断：将复合函数分解成两个简单函数：将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与与u=g(x)。其中其中y=f(u)又称为外层函数又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数称为内层函数;(2)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是 增函数，或都是减函数），则复合后的函数增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（
7、即一个是增若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增 函数，而另一个是减函数），则复合后的函数函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减同增异减”。2021/7/2610解：由解：由1-9x20得：得：-1/3x1/3当当-1/3x0,x增大时，增大时，1-9x2增大，增大，f(x)减小减小当当0 0 x3 4x+3 0 x3 或或 x1 x0,u0,a a 1 1g(g(1)01)0解得：解得：a a -3 32021/7/2623已知函数已知函数y=loga(x2-4ax+2)在
8、区间在区间(1，4)上上 是减函数，求实数是减函数，求实数a的取值范围的取值范围答案：答案：1022aa或补充练习补充练习2021/7/2624类型类型4：外层函数为二次函数的复合函数：外层函数为二次函数的复合函数1423xxy例1 求函数的单调区间的单调区间：求函数例1loglog22424xxy2021/7/2625类型类型4：外层函数为二次函数的复合函数：外层函数为二次函数的复合函数()92 34 1,23 1,2()xxxf xxtxtf x 练习2：求函数，的单调递区间。(1)设，求 的最小值与最大值；（2）求的最小值与最大值.143 25xxy 练习：求函数的单调递区间。22()l
9、oglog1,442xxf xx练习3：求函数，的最小值与最大值.2021/7/2626小结：小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。总结：复合函数的单调性判断原则总结：复合函数的单调性判断原则的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu)(xfy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数2021/7/2627复合函数的单调性解题步骤复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。2021/7/2628
