1、目 录第6章气体动理论第7章热 力 学目 录第一节理想气体的描述第二节描述理想气体的统计规律第六章第六章 气体动理论气体动理论许多实验事实表明，自然界中的任何物体，如气体、液体和固体等常见的宏观物体都是由大量分子或原子组成的，虽然人们用肉眼不能直接观察到，但现在已能用高分辨率的显微镜观察到原子结构的图像.物体都是由大量微观粒子(分子、原子等)组成的，而这些微观粒子总是永不停息地做无规则的运动.物体的温度越高，这种运动就越剧烈因此，人们把这种运动称为分子的热运动.本章主要讨论理想气体热现象和热运动的规律.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述实验表明，一般在密度不太高、压强不太大(与大气压相
2、比)和温度不太低(与室温相比)的实验条件下，实际的气体近似视为理想气体.理想气体是一个抽象的物理模型，可以想象为极其稀薄的气体.对理想气体热现象和热运动的规律，本书分别从宏观和微观两个角度描述.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述 理想气体的宏观描述 一、一、热力学系统热力学系统1.热学的研究对象是由大量微观粒子(分子、原子等)组成的宏观物体，通常称研究对象为热力学系统，简称系统.在研究一个热力学系统的热现象规律时，不仅要注意系统内部的各种因素，同时也要注意外部环境对系统的影响.与系统发生相互作用的外部环境称为外界，即系统以外的部分.例如，当讨论对象为容器内的气体时，气体为系统，而容器的
3、器壁为外界.一般情况下，系统与外界之间既有能量交换，又有物质交换.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述根据系统与外界交换的特点，通常把系统分为三种，即孤立系统、封闭系统和开放系统.孤立系统是一种不受外界影响的理想系统，它与外界既无能量交换，又无物质交换.封闭系统是与外界只有能量交换而无物质交换的系统.开放系统则是与外界既有能量交换又有物质交换的系统.在大学物理中，所研究的热力学系统通常是一个气体系统，固体和液体系统的热力学问题在这里不做具体研究.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述平衡态平衡态2.要研究热力学系统的性质，首先必须认识它所处的状态.热力学系统根据所处状态的不同，可以分
4、为平衡态和非平衡态.在不受外界影响的条件下，热力学系统经过足够长的时间后，必将达到一个稳定的状态，其宏观性质不再随时间变化,而无论系统的初始状态如何.我们把这种在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态称为平衡态.这里所说的不受外界影响，是指外界对系统既不做功也不传热的情况.系统的宏观性质由系统的状态参量来描述，因此，可以说平衡态就是指在不受外界影响的条件下，系统的状态参量不随时间变化的状态.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述实际上，并不存在完全不受外界影响、宏观性质绝对保持不变的孤立系统，所以平衡态只是一种理想状态，它是在一定条件下对实际情况的抽象和近似.在实际问题中，
5、当系统受到的外界影响可以忽略、宏观性质变化很小时，系统的状态就可以近似认为是平衡态，从而可以比较简单地得出与实际情况基本相符的结论.这样，既抓住了问题的物理实质，又简化了问题的讨论.因此，平衡态是热学中一个重要的基本概念.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述状态参量状态参量3.用来描述物体状态的物理量称为状态参量.在力学中，人们用位置矢量和速度来描述物体机械运动的状态，位置矢量和速度就是两个力学状态参量.在讨论由大量做热运动的分子构成的理想气体状态时，仅用力学状态参量是不够的.位矢和速度只能用来描述分子的运动状态，为了研究整个系统的状态，对于一定质量的气体，常用体积V、压强p和温度T来描
6、述气体系统的状态，并把这几个物理量称为理想气体的状态参量.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述（1）体积.气体的体积是指气体所能达到的空间.由于分子热运动，容器中的气体总是分散在容器中的各个空间部分，因此，气体的体积也就是盛气体的容器的容积.在国际单位制中，体积的单位是立方米（m3）.常用单位还有升(L)，1 L=103m3.（2）压强.气体的压强是大量气体分子频繁碰撞容器壁而产生的，等于容器壁上单位面积所受的正压力，即p=FS在国际单位制中，压强的单位是帕斯卡，用符号Pa表示.实际应用中常用的压强单位还有标准大气压、厘米高汞柱等，它们之间的关系为 1 atm(标准大气压)=76 cmH
7、g=1.013105 Pa第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述（3）温度.温度是用来表示物体冷热程度的物理量，在本质上它与物体内部大量分子热运动的剧烈程度密切相关.温度的数值表示方法称为温标，常用的温标有两种，即热力学温标和摄氏温标.热力学温标是建立在热力学第二定律的基础上的，根据1987年第18届国际计量大会对国际实用温标的决议，它是国际单位制中的七个基本量之一，用符号T表示，单位是开尔文(K)在日常生活和工程技术中，目前常使用摄氏温标，它所确定的温度称为摄氏温度，用符号t表示，单位是摄氏度()热力学温度T与摄氏温度t的关系为 T=273.15+t 第一节第一节 理想气体的描述理想气体
8、的描述一定质量的气体处于平衡态时，其状态可以用一组p、V、T值来表示.由于p、V、T之间存在一定关系，因此，任何一个平衡态都可以用p-V图上一个确定的点来表示.不同的平衡态与p-V图上不同的点相对应，图6-1中的点A(p1,V1,T1)和点B(p2,V2,T2)分别表示两个不同的状态.图6-1 平衡态与准静态过程第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述宏观量和微观量宏观量和微观量4.体积V是几何量，压强p是力学量，而温度T是反映气体分子热运动剧烈程度的量，是热运动特有的一个基本量，属于热学量.它们都是用来描述气体系统整体特征的物理量，称为宏观量.而组成气体的每个分子都具有质量、速度、动量及能
9、量等，这些描述个别分子的性质和运动状态的物理量称为微观量.用实验方法来测定这些微观量是相当困难的，一般是不可能的.一般在实验室中测得的是描述大量分子集体特性的宏观量.从物质的微观结构出发，根据每个粒子所遵循的力学规律，用统计平均的方法建立宏观量与微观量之间的关系，从而揭示宏观现象的微观本质.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述准静态过程准静态过程5.一个热力学系统，当受到外界影响(做功或传热)时，其状态就会发生变化.系统从一个状态变化到另一个状态的过程称为热力学过程，简称过程.例如，活塞汽缸内的气体系统由初始状态(p1,V1,T1)过渡到最终状态(p2,V2,T2)，就说系统经历了一个热
10、力学过程.一个实际热力学过程从初态到末态要经历许多中间状态，这些中间状态都不是平衡态，整个系统没有确定的参量，所以无法用系统本身的状态参量来描述过程的变化.在热力学中，为了能够利用系统处于平衡态的性质来研究热力学过程的规律，引入了准静态过程的概念.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述设系统从某一平衡态开始，经过一系列状态变化后达到另一平衡态.如果过程进行中的任一时刻，系统的状态都无限接近于平衡态，那么这样的过程就称为准静态过程或平衡过程.只要有一个时刻的状态不能近似为平衡态，整个过程就不是准静态过程.显然，准静态过程是一种理想化的过程，在实际中并不存在，但在许多情况下，可以近似地把实际热
11、力学过程当作准静态过程来处理，所以准静态过程是个很有用的理想模型.那么什么情况下实际过程才可以近似认为是准静态过程呢？第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述一个系统从某一平衡态变到相邻平衡态时，必然要打破原有的平衡，出现非平衡态，经过一定时间后才能达到一个新的平衡态.人们把系统从一个平衡态变到相邻平衡态所经历的时间称为弛豫时间，记为.假设系统状态发生一微小变化经历的时间为t，如果过程进行得非常缓慢，即弛豫时间t，那么在状态变化过程中，系统有足够的时间达到平衡态，从而该过程就可以近似认为是准静态过程.在实际问题中，只要过程进行得不是非常快，一般情况下都可以把实际过程看作准静态过程.例如，汽车
12、发动机汽缸内的气体系统经历一次压缩的时间t约为10-2s或更长，而实验表明汽缸内气体系统的弛豫时间约为10-3s，只有过程进行时间的十分之一，因此，汽车发动机汽缸内气体压缩的过程可以认为是准静态过程.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述准静态过程在p-V图上可用一条曲线来表示.例如，图6-1中A点和B点之间的曲线就表示从初态A到末态B的准静态过程，其中箭头方向为过程进行的方向.曲线AB上的每个点都代表系统的一个平衡态，曲线AB通常称为过程曲线.显然，非静态过程不能在状态图上用一条曲线来表示.准静态过程的引入对于热力学理论是十分重要的，如不特别指明，后面讨论的过程都可视为准静态过程，如等压
13、过程、等体过程、等温过程等.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述理想气体的状态方程理想气体的状态方程6.对处于平衡态的一定质量的气体来说，当描写该状态的任意一个参量发生变化时，其他两个参量一般也将随之改变，但这三个状态参量之间总是满足一定的关系.人们把平衡态下理想气体的各个状态参量之间的关系式称为理想气体的状态方程.状态方程的具体形式是由实验来确定的，一般来说，这个方程的形式是很复杂的，它与气体的性质有关.这里我们只讨论理想气体的状态方程.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述实验表明，一般气体在密度不太高、压强不太大(与大气压相比)和温度不太低(与室温相比)的实验条件下，能很好地遵
14、守气体的三大实验定律，即玻意耳-马略特定律、盖-吕萨克定律和查理定律.应该指出，对不同气体来说，这三条定律的适用范围是不同的，不易液化的气体，如氮、氢、氧、氦等适用的范围比较大.人们把在任何情况下都能严格遵守以上三条实验定律的气体称为理想气体.理想气体是一个抽象的物理模型，可以想象为极其稀薄的气体.理想气体的状态参量p、V、T之间的关系称为理想气体的状态方程，可以由气体的三条实验定律推出.对于1 mol处于平衡态的某种理想气体，根据以上定律，可以推出其状态方程为 pV=RT第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述由于在标准状况下，压强p0=1.013105 Pa，温度T0=273.15 K，
15、而此时1 mol任何气体的体积均为V0=22.4103m3/mol，由上式可得R的值为可见，对于不同的理想气体，R的值是恒定的，R称为普适气体常数.对质量为m，摩尔质量为M的理想气体，其状态方程为(6-1)第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述设某种理想气体的质量为m，包含的分子数为N，每个分子的质量为m，则m与m之间的关系为m=Nm，而该气体的摩尔质量M与m之间应有关系M=NAm.将这两个关系式代入式（6-1），可得第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述上式表明了在平衡态下理想气体的各个状态参量之间的关系.在常温常压下，大多数实际气体，尤其是那些不易液化的气体都可以近似看作理想气体.
16、压强越低，温度越高时，这种近似的准确度越高.因此，研究理想气体的状态方程具有重要意义.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述 理想气体的微观模型 二、二、从统计力学的观点来看，理想气体是一种最简单的气体.理想气体的微观模型是根据实验现象和规律所做的假设，基本内容可以分为两部分：一部分是关于分子个体的，另一部分是关于分子集体的.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述关于分子个体的力学性质假设关于分子个体的力学性质假设1.(1)与分子之间的平均距离相比，分子本身的大小可以忽略不计.实验表明，在标准状态下，气体分子之间的平均距离约为分子直径的10倍，即气体中分子本身占的体积约为气体体积的千分
17、之一，因此分子可以看作质点.(2)除碰撞的瞬间外，分子之间及分子与器壁之间的相互作用力可以忽略不计.分子力是短程力，由于气体分子间的平均距离超出了分子力的作用范围，因此，除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可以忽略.也就是说，在两次碰撞之间，分子的运动可当作匀速直线运动.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述(3)气体分子之间及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞.气体处于平衡态时，其宏观性质不随时间变化，这表明系统的能量不因分子之间及分子与器壁之间的碰撞而损失，因此可认为是完全弹性碰撞.(4)分子的运动遵从经典力学规律.综上所述，理想气体分子可看作一个个极小的、除碰撞瞬间外彼此之间无相互作用
18、并遵从经典力学规律的弹性质点.显然，这是一个理想模型，它只是真实气体在压强较小时的近似模型.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述关于分子集体的统计性假设关于分子集体的统计性假设2.(1)每个分子的运动速度各不相同，并且通过碰撞不断变化.气体分子不停地做无规则运动，运动速度各不相同，运动过程中分子之间频繁地发生碰撞，通过碰撞，各分子的速度不断变化.(2)平衡态时，若忽略重力的影响，每个分子处在容器内任何空间的概率完全一样，即分子在空间均匀分布，分子数密度n处处相同.第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述(3)平衡态时，每个分子的速度指向各个方向的机会(概率)是相同的，没有哪个方向更占优
19、势，即分子速度按方向的分布是均匀的.因此，对大量分子来说，它们在x、y、z三个坐标轴上的速度分量的平方的平均值相等，即第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述第一节第一节 理想气体的描述理想气体的描述假设(2)、(3)实际上是关于分子无规则热运动的假设.它是一种统计性假设，只适用于大量分子组成的系统.式（6-3）和式（6-5）中的n、v2x、v2z、v2等都是统计平均值,对少量分子组成的系统及对大量分子组成的系统中的单个分子都不成立，只对大量分子组成的集体才有确定的意义.因此，在考虑式(6-3)中的dV时，从宏观上来说，为了表明容器中各点的分子数密度，它应该是非常小的体积元；第一节第一节 理
20、想气体的描述理想气体的描述但从微观上来看，在dV内应包含大量的分子.因而dV应该是宏观足够小、微观足够大的体积元，不能单纯按数学极限dV0来理解.一般情况下，这个物理条件是完全可以满足的.分子数密度n就是对这样的体积元内可能出现的分子数统计平均的结果.当然，由于分子永不停息地做无规则热运动，不断地进进出出，因而dV内的分子数dN是不断改变的.这样，通常体积元dV在微观上总是取得足够大，使得这一涨落比起平均值n可以小到忽略不计.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律对单个分子来说，每个气体分子的运动都可视为质点运动,遵从牛顿运动定律，只是由于受到其他分子极其频繁而又无法预测的
21、碰撞，其运动状态瞬息万变，显得杂乱无章，具有很大的偶然性.但总体而言，在一定条件下,大量分子的热运动却遵从确定的规律.这种大量偶然事件的总体所显示的规律性称为统计规律性.显然，统计规律性不适用于少数或个别的分子，从而就能对与其热运动相关联的宏观现象做出微观解释.下面以理想气体的微观模型为研究对象，运用牛顿定律，采取求平均值的统计方法来推导理想气体的压强公式.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律 理想气体的压强公式 一、一、在大雨中撑伞会感到有一股压力，这是由于大量密集的雨滴不断撞击雨伞.形成气体压强的原因与此类似，气体作用于容器壁的压力是气体中大量分子不断碰撞器壁的结果.
22、就单个分子而言，每次碰撞给予容器壁的冲量大小及作用在何处等都是随机的，但是就大量分子整体而言，任何时刻都有很多分子与容器壁碰撞，平均效果表现为容器壁受到一个持续的、均匀的压力.本节我们将用统计方法寻找理想气体的压强与相应微观量的统计平均值之间的关系，并阐明压强的微观本质.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律关于理想气体，上一节中已经给出了宏观上的定义.为了从微观上解释气体的压强，需要从理想气体的分子结构及运动特征出发，对理想气体的微观模型做出一些假设，然后进行理论推导，最后将导出的结论与实验结果进行比较并判断假设是否正确.在理想气体微观模型的基础上，可以定量推导理想气体的
23、压强公式.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律为了计算方便，可选一个边长分别为l1、l2和l3的长方体容器来讨论.假设容器中有N个同类气体分子，每个分子的质量均为m.由于气体处于平衡态时各处的压强都相等，因此只需要计算容器中任何一个器壁受到的压强就可以了.如图6-2所示，这里计算与Ox轴垂直的壁面A1所受的压强.图6-2 推导压强公式第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律在大量分子中，任选一分子a，假设其速度为vi，而且vi在直角坐标系中的分量分别为vix、viy和viz.当与壁面A1碰撞时，分子a将受到壁面A1沿Ox轴负方向的作用力.根据理想气体的微
24、观模型假设，分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的，因此在壁面A1对它的作用下，分子a在Ox轴上的动量由mvix变为mvix.这样，分子a每与A1面碰撞一次，它在Ox轴上的动量增量为 pix=(mvix)mvix=2mvix第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律由动量定理可知，该动量增量等于壁面A1沿Ox轴负方向给予分子a的冲量.根据牛顿第三定律，分子a对壁面A1也必有一个大小相等方向相反的力的冲量，力的方向沿Ox轴正方向.分子a对器壁的碰撞是间歇的，因此它作用在器壁上的力也是间歇的、不连续的.就x轴方向的运动来看，分子a以vix从A1面弹回，飞向A2面并与A2面碰撞后，又以vi
25、x回到A1面再次碰撞.在与A1面连续两次碰撞之间，分子a在x方向经过的路程.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律上面讨论的是一个分子对A1面的碰撞，实际上容器内所有分子都会与A1面发生碰撞，从而使容器壁受到一个连续而均匀的平均冲力.这个力的大小应等于所有分子作用在A1面上的力的平均值之和，即第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律压强公式给出了宏观量p与微观量的统计平均值k之间的关系，表明压强是大量分子的集体行为，具有统计意义，对个别分子或少量分子讨论压强是毫无意义的.p和n可以直接由实验测得，但k是不能直接测定的，因而压强公式无法直接通过实验来验证.但
26、是从此公式出发，得出的各种结论与实验是高度一致的，说明我们对压强的理论解释及理想气体平衡态的统计性假设都是合理的.另外，从压强公式的结果来看，该结果与推导时采用的容器形状无关.例如,若采用球形容器来推导理想气体的压强，则最终表达式肯定是与式(6-6)相同的.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律压强公式的推导过程代表性地说明了统计力学的任务和研究方法，人们不仅要记住它的结论，而且要知道它的推导步骤.推导理想气体压强公式的基本步骤如下：(1)利用理想气体分子的微观模型，考虑一个分子在单位时间内对器壁的碰撞而产生的平均冲力.(2)计算所有分子在单位时间内对器壁的平均冲力.(3)
27、利用压强的定义式 及大量分子热运动的统计规律，推导出压强公式.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律 温度的微观本质 二、二、温度公式温度公式1.根据理想气体的压强公式和状态方程，可以得到气体的温度与分子的平均平动动能之间的关系，从而揭示温度这一宏观量的微观本质.将式(6-2)与理想气体的压强公式(6-8)第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律式（6-8）就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系式.与理想气体的压强公式一样，它也是统计力学的基本公式之一.式(6-8)表明，气体分子的平均平动动能只与温度有关，而且与热力学温度T成正比.换句话说，上式揭示了
28、宏观量温度的微观本质，即气体的温度是气体分子平均平动动能的量度.气体的温度越高，分子的平均平动动能越大，从而分子无规则热运动的程度越剧烈.由于分子的平均平动动能是对大量分子热运动动能统计平均的结果，因此，温度是表征大量分子无规则热运动剧烈程度的宏观物理量，是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律由式(6-8)可以看出，在同一温度下，各种气体分子的平均平动动能均相等，而与气体的种类无关.若某种气体的温度较高，则该气体分子的平均平动动能较大.按照这个观点，当热力学温度T0时，k0，气体分子的热运动将完全停止.然而，事实上绝对零度是永远不可
29、能达到的，因而分子的运动是永远不会停息的.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律利用式(6-8)，可以计算出任何温度下理想气体分子的平均平动动能k.计算表明，k一般是很小的.例如，当T=300 K时，k约为6.211021J，即使理想气体的温度高达108 K，k也只有2.071015J.但因为气体的分子数密度很大，因而气体分子的平均平动动能的总和还是很大的.例如，当T=300 K，p=1.013105 Pa时，由式（12-2）可得分子数密度为可见，这个能量很大.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率2.根据理想气体
30、分子平均平动动能与温度的关系，可以求出理想气体分子的方均根速率v2，它是气体分子速率的一种统计平均值.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律上式表明，气体分子的方均根速率与温度的平方根成正比，与气体摩尔质量的平方根成反比.同一种气体，温度越高，方均根速率越大；不同气体在同一温度下，分子质量或摩尔质量越大，方均根速率越小.例如，在0 时，虽然氢分子和氧分子的平均平动动能相等，均为但由于MH2MO2，所以氢分子的方均根速率大于氧分子的方均根速率.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律表6-1列出了几种气体在0 时的方均根速率，从中可以大致了解分子速率的情况.
31、第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律 能量均分定理 理想气体的内能 三、三、在讨论大量气体分子的无规则热运动时，人们把分子视为质点，只考虑了分子的平动.事实上，实际的气体分子都有一定的大小和比较复杂的结构.这样，分子的运动除平动外，还存在着转动和分子内原子间的振动等多种形式的运动，每种运动形式也都具有相应的能量.因此，在讨论实际气体分子的热运动能量时，必须考虑分子的内部结构.为了确定分子各种运动形式的能量统计规律，并在此基础上计算理想气体的内能，需要引入自由度的概念.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律自由度自由度1.确定一个物体在空间的位置所需要的
32、独立坐标数目称为该物体的自由度，常用i来表示.对于在空间自由运动的质点，其位置需要用三个独立坐标来表示.例如，可以用直角坐标系中的x、y、z来描述.因此，它的自由度i3若质点被限制在一个平面或曲面上运动，其自由度将减少，这时只需要两个独立坐标就可以确定它的位置，故自由度i2若质点被限制在一条直线或曲线上运动，则它的位置只需一个坐标就可以确定，故自由度i1如果把飞机、轮船、火车都看作质点，那么它们的自由度就分别为3、2、1下面根据上述概念来讨论各种分子的自由度.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律分子是由原子组成的，按每个分子含有原子的多少，可将气体分子分为单原子分子(如H
33、e、Ne、Ar等)、双原子分子(如H2、O2、N2等)和多原子分子(如H2O、NH3、CH4等).由两个或两个以上的原子组成的分子，当原子间的相对位置保持不变(不振动)时，称为刚性分子，否则称为非刚性分子，非刚性分子的准确讨论涉及量子力学的内容，这里只讨论刚性分子的自由度.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律对于单原子分子，可将其视为质点，其运动形式只有平动，确定它的位置需要三个独立坐标，即(x,y,z)，如图6-3(a)所示.所以单原子分子的自由度为3，也称为三个平动自由度.图6-3 分子运动的自由度第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律对于刚性双原
34、子分子，两个原子是由一根键连接起来的，因此，双原子分子可用一根质量可忽略的杆及两个质点构成的模型(哑铃型)来表示，如图6-3(b)所示.这时，分子的运动可看作随质心C的平动和绕通过质心的轴的转动(刚性双原子分子以两原子的连线为轴).显然，除了需要用三个独立坐标(x,y,z)来确定其质心的位置外，还需要确定两原子的连线在空间的方位.一条直线在空间的方位可用它与x轴、y轴和z轴的夹角、和来表示，但这三个方位角满足以下关系：cos2+cos2+cos2=1第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律所以只有两个方位是独立的.另外，因两个原子都被视为质点，故绕轴的转动没有意义.因此，刚性
35、双原子分子共有五个自由度，其中三个平动自由度，两个转动自由度.对于刚性多原子分子，除了三个平动自由度和两个转动自由度外，还需要增加一个绕轴自转的自由度，常用转角表示，如图6-3(c)所示.因此，刚性多原子分子有三个平动自由度和三个转动自由度，共有六个自由度.通常用i表示分子的总自由度，用t表示平动自由度，用r表示转动自由度，则i=t+r表6-2给出了以上三类分子的自由度.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律在常温下，大多数气体分子都可视为刚性分子.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律能量均分定理能量均分定理2.前面已经得出理想气体分子的平均平动动能为
36、第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律式(6-10)表明，在平衡态下，气体分子沿x、y、z三个方向运动的平均平动动能完全相等.也就是说，分子的平均平动动能32kT是均匀地分配于每个平动自由度上的.由表6-2可以看出，不管是哪一类气体分子，它们的平动自由度都为3因此可以得出一个重要的结论：在平衡态下，气体分子每个平动自由度具有相同的平均动能，且大小都等于12kT这是一条统计规律，只适用于大量分子的集体.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律在平衡态下，气体分子做无规则的运动和碰撞，任何一种运动形式的机会是完全相等的，即没有哪一种运动形式比其他运动形式占优势
37、.因此，可以把平动动能的统计规律推广到分子有转动的情况，从而得到更为一般的结论：在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，这个结论就称为能量按自由度均分定理，简称能量均分定理.根据这个定理，若气体分子的自由度为i，则分子的平均总动能为 (6-11)第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律能量均分定理是关于分子热运动动能的统计规律，是对大量分子统计平均的结果.对个别分子来说，任一瞬时它的各种形式的动能和总的动能可能与能量均分定理所确定的平均值有很大差别，而且每种形式的动能也不一定按自由度均匀分配.但对大量分子整体来说，动能之所以会按自由度均分是依靠分子频繁的无规
38、则碰撞来实现的.在碰撞过程中，则在碰撞时能量由这种运动形式或这一自由度转移到其他运动形式或其他自由度的概率就比较大.因此，在达到平衡状态时，就形成能量按自由度均匀分配的统计规律.在经典物理学中，能量均分定理也适用于达到平衡态的液体和固体分子.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律理想气体的内能理想气体的内能3.对于实际气体来说，除了分子各种形式的动能和分子内原子间的振动势能之外，由于分子之间存在相互作用力，因此气体的分子之间还具有相互作用的势能.组成气体的所有分子各种形式的动能与势能的总和，称为气体的内能.对于理想气体来说，因为不考虑分子之间的相互作用力，所以分子之间相互作
39、用的势能也就忽略不计.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律因此，理想气体的内能就是组成它的所有分子各种形式的动能与分子内原子间振动势能的总和.对于刚性分子则不考虑原子间的振动，一般在常温下，理想气体分子都可视为刚性分子(除个别分子外，由刚性分子组成的理想气体的内能就是所有分子各种形式的动能(平动动能和转动动能)的总和.下面只讨论由刚性分子组成的理想气体的内能.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律以上结果表明，对于一定量的理想气体，其内能完全取决于分子运动的自由度i和气体的热力学温度T，而与气体
40、的体积和压强无关.对给定的气体来说(m、M和i都一定)，它的内能只取决于它的温度，即理想气体的内能是温度T的单值函数，而且与温度T成正比.可见，内能是一种状态量，只要系统的状态确定了，其状态参量p、V、T就为定值，那么相应的内能也就确定了.若系统的状态发生变化，则系统的内能也将发生变化，但在任何状态变化过程中，只要温度的变化量相同，内能的变化量就相等，而与状态变化所经历的具体过程无关.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律例如，当气体的温度改变T时，其内能的变化量为 (6-14)应该注意，内能与力学中的机械能有明显的区别.静止在地球表面上的物体，其机械能(动能和重力势能)可
41、以为零，但物体内部的分子仍然在做无规则的运动并相互作用着，因此内能永远不会等于零.物体的机械能是一种宏观能，它取决于物体的宏观运动状态；而内能是一种微观能，它取决于物体的微观运动状态.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律 麦克斯韦速率分布律 四、四、由前面对热运动的讨论可知，气体分子是以各种大小的速度沿各个方向运动着的，而且气体系统包含的分子数目是十分巨大的，这些数目巨大的做无规则热运动的分子之间必然要产生极其频繁的碰撞.由于分子间的频繁碰撞，分子的速度大小和方向时刻不停地发生变化.对某一个分子而言，其他分子对它的碰撞是偶然的，因而它的速度如何变化也是无法预言的，它的速率
42、可以取零到无穷大之间的任意可能值.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律然而由式(6-9)可以看出，在给定温度T的情况下，气体分子的方均根速率是确定的.这就意味着，在给定温度下，处于平衡态的气体，虽然个别分子的速率是偶然的，但是，对大量分子的整体来说，分子的速率分布却遵循着一定的统计规律.气体分子速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦在1859年应用概率统计理论导出的，后来于1877年由玻尔兹曼从经典统计力学中导出.由于受当时技术条件(如高真空技术、测量技术等)的限制，气体分子速率分布的实验工作直到1920年才由斯特恩首次实现.我国物理学家葛正权在1934年也用实验验证了这条规
43、律.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验1.继斯特恩之后，测定分子速率分布的实验装置有了不少改进，图6-4所示为其中一种比较典型的装置，整个装置放在高真空的容器中.图中A是产生金属蒸气分子的气源(金属蒸气可用电炉将金属加热而得到)，蒸气分子(如Hg蒸气)从A侧面的小孔射出，通过狭缝S后形成一束很窄的分子射线.B和C是两个相距为l的共轴圆盘，盘上各开一个很窄的狭缝，两狭缝成一个很小的夹角，约为2.P是一个接收分子的显示屏.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律图6-4 测定气体分子速率的实验装置第二节第
44、二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律当圆盘以角速度转动时，圆盘每转一周，分子射线通过B的狭缝一次.由于分子的速度大小不同，分子从B到C所需的时间也不一样，因此并非所有通过B盘狭缝的分子都能通过C盘狭缝而射到显示屏P上.假设分子的速率为v，分子从B到C所需的时间为t，则只有满足vt=l和t=的分子才能通过C的狭缝，最终射到显示屏P上.消去以上两个关系式中的t，可得第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律实验时，令圆盘以不同的角速度1、2、3、转动，用光度学的方法可以测量出每次沉积在屏上的金属层的厚度，这些厚度对应于不同速率区间内的分子数.分析比较这些厚度，就可以知
45、道在分子射线中，不同速率区间内的分子数N占总分子数N的百分比，这个比值就是气体分子出现在速率区间vv+v内的概率.图6-5所示为分析实验结果做出的分子速率分布的情况，图中一块块小长方形面积表示分子在各速率区间内出现的概率.例如，阴影部分的面积S就表示分子在速率区间vv+v内出现的概率.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律图6-5 分子速率分布情况实验表明，分子分布在不同速率区间内的概率是不同的，但在实验条件(如分子射线强度、温度等)不变的情况下，分布在给定速率区间内的概率却是完全确定的.这说明虽然个别分子的速率等于多少是偶然的，但对大量分子的整体而言，其速率分布却遵循一定
46、的规律，即统计分布规律.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律麦克斯韦速率分布律的内容麦克斯韦速率分布律的内容2.麦克斯韦根据气体在平衡态下分子热运动具有各向同性的特点，应用概率论的方法，导出了在平衡态下气体分子按速率分布的统计规律.为了描述气体分子按速率分布的情况，需要引入速率分布函数的概念.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律 式(6-15)中的函数f(v)称为速率分布函数.它的物理意义是：在速率v附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比(比率)，也常表述为分子在速率v附近单位速率区间
47、内出现的概率，故f(v)也称为分子速率分布的概率密度.对于任意一个分子来说，它的速率是多少完全是偶然的，但从整体上来说却具有一定的概率分布.只要给出了速率分布函数，整个系统分子的速率分布就完全确定了.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律（2）麦克斯韦速率分布函数.式(6-15)是速率分布函数的物理意义.1859年，麦克斯韦经过理论研究指出，在平衡状态下，理想气体分子分布在任一速率区间vv+dv内的分子数占总分子数的百分比为 (6-16)结合式(6-15)，可得麦克斯韦速率分布函数为 (6-17)式中，T为气体的热力学温度；m为分子的质量；k为玻尔兹曼常数.以上结论称为麦克
48、斯韦速率分布律.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律由麦克斯韦速率分布函数可以看出，对给定的气体，速率分布函数只与温度有关.以速率v为横坐标，f(v)为纵坐标画出的曲线称为麦克斯韦速率分布曲线，如图6-6所示.它能形象地表示出气体分子按速率分布的情况.由式(6-15)可知，图中任一速率区间vv+dv内曲线下的窄条面积为图6-6 速率分布曲线第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律 上式表示该区间内的分子数占总分子数的百分比，即分子在速率区间vv+dv内出现的概率.而且在不同的区间内，窄条的面积不相同，这说明，不同区间内的分子数占总分子数的百分比是不相同的
49、.而在任一有限速率区间v1v2内曲线下的面积可用积分法求出，即第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律上式表示速率在v1v2区间内的分子数占总分子数的百分比.显然，整个曲线下的面积就表示分布在0整个速率区间内的分子数占总分子数的百分比，因为全部分子都分布在0整个速率区间内，所以这个百分比应等于1，即 (6-18)上式是由速率分布函数f(v)本身的物理意义所决定的，它是速率分布函数必须满足的条件，通常称为速率分布函数的归一化条件.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律（3）三种统计速率.从麦克斯韦速率分布曲线可以看出，气体分子的速率可以取零到无穷大之间的任一
50、数值，但在速率区间大小相同的情况下，速率很大和速率很小的分子所占的百分比都很小，具有中等速率的分子所占的百分比却很大.下面讨论三种具有代表性的分子速率，它们是分子速率的三种统计平均值.第二节第二节 描述理想气体的统计规律描述理想气体的统计规律最概然速率vp.由速率分布函数f(v)与v的关系曲线可以看出，曲线从原点出发，开始时，f(v)随v的增大而增大，经过一个极大值之后，随着v的继续增大，f(v)减小并逐渐趋于零.与f(v)的极大值相对应的速率称为最概然速率，通常用vp表示(见图6-6).vp的物理意义是：如果把气体分子的速率分成许多相等的速率间隔，那么在一定温度下，分布在最概然速率vp附近单
