1、目 录第1章质点运动学第2章牛顿运动定律第3章动 量 守 恒第4章能 量 守 恒第5章刚体的定轴转动目 录第一节刚体运动的描述第二节刚体的定轴转动定律第三节刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律第四节刚体定轴转动的动能定理第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的.质点的运动只代表物体的平动.物体是有形状和大小的，它可以做平动、转动，甚至更为复杂的运动；而且在运动中，物体的形状也可能发生变化.本章讨论的刚体，只考虑其形状和大小，不考虑其形变，仍然是一个理想模型.第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动前面介绍了力学的基本概念和原理，如质点、位
2、矢、位移、速度和加速度、牛顿定律、动量和冲量、功和能，以及动量、角动量和能量守恒定律.这些概念和定理、定律，不仅适用于质点，也适用于质点系.本章将介绍一种特殊的质点系刚体及刚体所遵从的力学规律.这些规律实际上是前面的基本概念和原理在刚体上的应用.本章重点讨论刚体的定轴转动.重要的概念有转动惯量、力矩、角速度和角动量等，守恒定律同样适用于包括刚体的系统.角动量定理和角动量守恒定律在现代物理学和航天科技中有着特别重要的意义.第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述一般物体在外力作用下，其形状和大小都要发生变化.但如果在外力作用下，物体的形状和大小保持不变，即物体内任意两点之间的距离不因外力而改变
3、，这样的物体称为刚体.刚体可以看成由无数个连续分布的质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元，这样刚体的每个质量元都服从质点力学规律.不同于质点，刚体这个特殊的质点系的力学规律有自己特殊的表现形式.第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述 刚体的平动和转动 一、一、刚体的平动刚体的平动1.刚体在运动过程中,如果其上任意两点间所连的直线始终保持平行,那么这种运动称为刚体的平动.例如,汽缸中活塞的运动、车床上车刀的运动、升降机运动等,都属于平动.显然,刚体做平动时,刚体上任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行,如图5-1所示.直线上所有的点应有完全相同的位移、速度和加速度.在平动过程中,
4、刚体上所有点的运动是完全相同的，它们都具有相同的位移、速度和加速度.因此，可以用刚体上任意一点的运动来代表整个刚体的平动.前面质点运动的描述和质点力学的规律，实际上是刚体的平动规律.第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述图5-1 刚体的平动第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述刚体的转动刚体的转动2.刚体在运动过程中，如果其上所有的点都绕同一条直线做圆周运动，那么这种运动称为转动，这条直线称为转轴.如果转轴的位置或方向随时间变化，那么这种转动称为非定轴转动；如果转轴的位置或方向是固定不动的，那么这种转动称为定轴转动.图5-2 车轮的滚动第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述刚体的平
5、动和转动是刚体运动中两种基本的形式，无论刚体做多么复杂的运动，都可以把它看成平动和转动的叠加.例如，车轮的滚动，如图5-2所示.不难看出，轮子的中心O（质心）是在平动，而整个轮子绕通过质心O平行地面的转轴在转动.可见，车轮的滚动可看成车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动的叠加.因此，刚体的平动和转动的规律是研究刚体复杂运动的基础.第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述 刚体的定轴转动 二、二、定轴转动是刚体转动中最简单的运动形式.刚体做定轴转动时，刚体上各点都绕同一转轴做圆周运动，而转轴本身在空间的位置不动，轴上各点始终静止不动.例如，门的开或关、机器上飞轮的转动等都是定轴转动.如图5
6、-3所示，刚体上P点处任意一个质元都将在通过该点且与转轴垂直的平面内做圆周运动，该平面称为转动平面，圆心O点是转轴与转动平面的交点.显然，这种转动平面可以有无数个，对于刚体的转动而言，它们是等价的，在研究刚体转动时可任选一个.因此可以看出，刚体的定轴转动实质上就是刚体上各个质元在垂直于转轴的转动平面内的圆周运动.第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述由于刚体是个特殊的质点系，各个质元之间没有相对位移.因此，在相同的一段时间内，各质元的半径扫过的角度相同，它们的角量，即角位移、角速度、角加速度都相同，但各质元到轴的距离不同.因此，各质元的线量，即位移、线速度、线加速度不同.这样在描述刚体的定
7、轴转动时，用角量较为方便.图5-3 刚体的定轴转动图示第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述 描述刚体定轴转动的物理量 三、三、用角量来描述刚体的定轴转动比较方便，那么以前讨论过的角位移、角速度和角加速度及有关公式，角量和线量的关系，对刚体的定轴转动都适用.设一刚体绕z轴做定轴转动，取轴的指向为正方向，如图5-4所示.刚体做定轴转动时，刚体上到转轴的距离为r的一点的速度、切向加速度和法向加速度的大小与角速度、角加速度的关系为第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述为了充分反映刚体转动的情况，常用矢量表示角速度及角加速度.在第一章中，人们把角速度的大小定义为角速度的方向是这样规定的：让右手
8、四指螺旋转动的方向与刚体的转动方向一致,那么拇指所指的方向就是角速度矢量的方向.同样地，把角加速度的大小定义为角加速度的方向应当根据角速度的方向及刚体转动的情况共同决定，当刚体加速转动时，的方向与角速度方向相同；当刚体减速转动时，的方向与角速度方向相反.第一节第一节 刚体运动的描述刚体运动的描述图5-4 刚体的角量描述第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 力对转轴的力矩 一、一、对于刚体的定轴转动而言，若作用在刚体上p点的力F在转动平面内，力的作用点p相对于转轴的位矢为r，力臂为d，则力F对转轴的力矩为 M=rF其中，力矩的大小M=Frsin 如图5-5所示.图5-5 力在转动平
9、面内第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律如果作用在刚体上p点的力F不在转动平面内，如图5-6所示，设p点在转动平面内的位矢为r，将力分解为垂直于转轴z的分量F和平行于转轴z的分量F，F只能使刚体翻转，不能使刚体绕定轴转动，因此，F不能改变刚体的转动状态，对转轴不产生力矩.使刚体绕定轴转动的力只能是在转动平面内，力F垂直于转轴的分量F，它产生的力矩与图5-5所示的情况相同，即 M=rF （5-1）图5-6 力不在转动平面内第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律由分析可知，在讨论刚体的定轴转动中力矩的作用时，用到的只是F这个分量，因此，只需考虑垂直于转轴的作用力或分力.既
10、然如此，可以约定：以下所涉及的外力都认为是位于转动平面内的.第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律可以证明，一对相互作用力对同一转轴的力矩之和为零.如图5-7所示，设刚体上任意两质元m1和m2的相互作用力分别为f12和f21，f12=-f21，它们对转轴的力矩大小分别为 M1=f12d，M2=f21d而M1=r1f12，方向沿转轴向下；M2=r2f21，方向沿转轴向上.所以，它们对同一转轴的合力矩为零.第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律图5-7 一对内力的力矩第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的转动定律 二、二、刚体的质量可以是连续分布
11、的质点系，也可以是离散分布的质点系.对于质量连续分布的质点系，可将其看成由无数多个质元组成的，其中每个质元都服从牛顿运动定律.把构成刚体的全部质点的运动加以综合，就可以得出刚体的整个运动所服从的规律.下面从牛顿第二定律出发推导出刚体做定轴转动的规律.第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律如图5-9所示，假设一个刚体绕固定轴Oz轴转动，将此刚体分成许多质元，每个质元都在各自的转动平面上做圆周运动，它们各自的转动平面不尽相同，各自做圆周运动的圆心也不相同.但是，这些圆心都在z轴上.在刚体中取一质元i，其质量为mi，离转轴的距离为ri，设该质元受到的合外力为Fi，来自刚体内其他质元对它的
12、合内力为fi，并假设合外力Fi和合内力fi都位于质元i所在的转动平面内（都与转轴垂直）.设质元的加速度为ai，则有 Fi+fi=(mi)ai第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律图5-9 转动定律第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律将Fi和fi分别分解为切向分力和法向分力，由于法向分力通过转轴，不产生力矩，因此，我们只考虑切向分力，由牛顿第二定律得 Fi+fi=(mi)ai设刚体绕定轴转动的角速度为，角加速度为，因为ai=ri，所以上式变为 Fi+fi=miri 两边同乘以ri，得 riFi+rifi=mir2i第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律式中，
13、riFi和rifi分别为合外力Fi和合内力fi对转轴的力矩，对组成刚体的每个质元都可以列出这样的方程,把它们相加后得到 (riFi+rifi)=mir2i式中，rifi=0,M=riFi为刚体内所有质元受到的外力对转轴的力矩之和.于是，可得到M=mir2i令J=mir2i(5-2)称为刚体对转轴的转动惯量，于是有 M=J (5-3)第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律式（5-3）表明，刚体做定轴转动时，在合外力矩M的作用下，所获得的角加速度与合外力矩M成正比，与刚体的转动惯量J成反比.这一结论称为刚体定轴转动的转动定律.刚体定轴转动的转动定律M=J与牛顿第二定律F=ma在数学形式
14、上是相似的，合外力矩M与合外力F相对应，转动惯量J与质量m相对应，角加速度与加速度a相对应.可见，转动定律在刚体定轴转动中的地位与牛顿第二定律的地位是相当的，也是瞬时性的规律.外力矩与外力、角量与线量、转动惯量与质量这三对对应关系，贯穿了整个刚体的定轴转动.转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本定律.第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 转动惯量 三、三、由转动定律的表达式M=J可以看出，在相同的外力矩作用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度越小，则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获得的角加速度越大，刚体的转动状态容易发生变化.转动惯量J是和质量m相对
15、应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度.第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律由转动惯量的定义式J=mir2i可知，刚体相对于某转轴的转动惯量，是组成刚体的各部分质元与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和，即J=mir2i=m1r21+m2r22+mnr2n (5-4)式(5-4)是刚体的质量离散分布时的转动惯量.如果刚体的质量是连续分布的，只需要将上式的求和号改为积分形式即可，即 J=r2dm(5-5)在国际单位制中，转动惯量的单位是千克米2(kgm2).第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 转动定律的应用举例 四、四、
16、应用刚体定轴转动的转动定律解题要特别注意以下问题：（1）首先，定轴转动定律是合外力矩对刚体的瞬时作用规律，表达式M=J中各个物理量均是同一时刻对同一刚体和同一转轴而言.（2）其次，在定轴转动中，由于力矩和角加速度包括角速度在内，它们的方向均沿转轴，通常用代数量表示.在实际应用中，对一个力学系统而言，有的物体做平动，有的物体做转动，处理此类问题仍然采用隔离法.对于平动的物体利用牛顿第二定律列出动力学方程，对于定轴转动的物体利用定轴转动的转动定律列出动力学方程，然后对这些方程综合求解.第二节第二节 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律【例例5-55-5】图5-15 例5-5图第二节第二节 刚体的定
17、轴转动定律刚体的定轴转动定律解：取垂直于纸面向里为转轴的正方向，则当棒释放至角时，棒所受重力对O轴的力矩为第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律前面介绍用动量来量度物体的机械运动量.当把这种量度方法用于物体的转动问题，如研究匀质飞轮绕通过其中心并垂直于飞轮平面的定轴转动时，人们发现，虽然飞轮在转动，但它的质心保持静止.按质点系动量的定义，飞轮的总动量为零.这说明用动量来量度物体的转动运动量是不恰当的.因此，与在描述转动运动时引入与速度和加速度相对应的角量(角速度和角加速度)相类似，人们引入与动量相对应的角量角动量，也称动量矩.第三节第三节
18、刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量的概念提出较晚，18世纪才定义，19世纪人们才把它视为力学中最基本的概念之一.由于大到星系，小到电子、中微子都有旋转运动，发现微观粒子的角动量具有量子化的重要特征，角动量遵循守恒定律，20世纪以来，角动量在物理学中的地位日益重要.角动量及其守恒定律已经成为物理学中最重要的概念和定律之一.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量及角动量定理 一、一、角动量角动量1.（1）质点的角动量.设质量为m的质点某一时刻的运动速度为v，该时刻相对于参考点O的位置矢量
19、为r,如图5-16所示.质点的动量为p=mv，我们定义质点相对于参考点O的角动量为 L=rp=rmv (5-7）上式表明，一个质点相对于参考点O的角动量等于质点的位置矢量与其动量的矢积.质点的角动量L是一个矢量，其大小为 L=rmvsin (5-8）第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律图5-16 质点的角动量第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律式中，为位矢r与动量p之间的夹角，L的方向由右手螺旋定则确定，把右手大拇指伸直，其余四指由位矢r通过小于180的角转到矢量p的方向，大拇指所指
20、的方向就是角动量L的方向，如图5-17所示.显然，角动量L的方向垂直于由位矢r和动量p所决定的平面.图5-17 角动量的方向确定第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律在国际单位制中，角动量的单位是千克米2/秒(kgm2/s).从角动量的定义式可以看出，质点的角动量L与位矢r有关，即与参考点O的选择有关.同一质点对不同参考点的位矢不同，因而角动量也不同.因此在表示质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量.为了表示角动量L是相对于参考点O的，一般总把角动量L画在参考点O上.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量
21、守恒定律角动量守恒定律若质量为m的质点做半径为r的圆周运动，如图5-18所示.某一时刻质点位于a点，速度为v.若以圆心O为参考点，那么r与v总是相垂直的，则质点对圆心O的角动量L的大小为 L=rmv=mr2式中，为质点绕O点转动的角速度.L的方向平行于Oz轴.如果质点以恒定速度v做直线运动，对空间某一给定点也可能有角动量.如图5-19所示，当选取参考点O时，质点对O点的角动量大小为 a点La=mvrasin 1 b点Lb=mvrbsin2第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律图5-18 质点做圆周运动的角动量因为 rasin 1=rbsin
22、 2=r所以 La=Lb这说明质点在匀速直线运动过程中对某一定点的角动量是恒定的，其方向始终垂直纸面向内.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律但当参考点选在该质点运动的直线上时，由于sin=0，因此质点在运动过程中的角动量就是零.所以，这些做直线运动的质点，只有对不在此直线上的参考点才有角动量.图5-19 匀速直线运动的质点对参考点O的角动量第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律（2）刚体对定轴的角动量.刚体是一个质点系，刚体对定轴的角动量就是所有质点对轴角动量的矢量和.如图5-20所
23、示，设刚体绕定轴Oz轴以角速度转动，刚体上每个质元都以相同的角速度绕Oz轴在各自的转动平面内做圆周运动.设刚体中第i个质元的质量为mi，该质元到转轴的距离为ri,根据质点对参考点的角动量的大小的定义式，该质元对定轴的角动量为 Li=mir2i第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律由于组成刚体的每个质元对转轴的角动量都可以用上式表示，并且每个质点的角动量的方向都沿Oz轴.因此，整个刚体对转轴的角动量应是刚体中所有质元对转轴的角动量大小之和，即 L=mir2i式中，mir2i为刚体绕Oz轴的转动惯量J，于是刚体对定轴Oz轴的角动量为 L=J (
24、5-9)第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律其方向沿Oz轴.式(5-9)表明，刚体绕定轴转动的角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积,其方向与角速度的方向相同.在刚体定轴转动中，角动量的方向可用正负号表示.刚体的角动量L=J与质点的动量p=mv在形式上相互对应.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律力矩力矩2.对于一个静止的质点来说，当它受到外力作用时，将开始运动；但对于一个能够转动的物体而言，当它受到外力作用时，可能转动也可能不转动，这取决于此力是否产生力矩.外力对物体产生力矩，物体
25、就会转动；外力对物体不产生力矩，物体就不会转动.因此，力矩反映了力对物体的转动效果.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律力矩是相对于一个参考点定义的.如图5-21所示，设在某一时刻质点m对某一参考点的位矢为r，作用在质点上的力为F，则位矢r与作用力F的矢积定义为力对参考点O的力矩M,即 M=rF (5-10）图5-21 力对参考点O的力矩第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律力矩是矢量，其大小为M=Frsin=Fd,其中，是r与F之间的夹角，d为力对参考点的力臂.力矩M的方向用右手螺旋
26、法则来判定：把右手大拇指伸直，其余四指由位矢r通过小于180的角转到矢量F的方向，这时大拇指所指的方向就是力矩M的方向.由此可以判定,M的方向垂直于位矢r与F所决定的平面.在国际单位制中,力矩的单位是牛顿米(Nm）.由式(5-10）可知，力矩M与位矢r有关，即与参考点O的选取有关.对于同样的作用力F，选择不同的参考点，力矩M的大小和方向都会不同.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量定理角动量定理3.（1）质点的角动量定理.以上定义了角动量和力矩这两个物理量，现在就来导出它们之间的定量关系，从而说明力矩的作用效果.设质量为m的质点，在
27、合力F的作用下，某一时刻的动量为P=mv,该质点相对于某参考点O的位置矢量为r，那么此时质点相对于参考点O的角动量为 L=rmv第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律(5-11)第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律式(5-11）和式(5-12）称为质点角动量定理的微分形式，式(5-13）称为角动量定理的积分形式.质点的角动量定理告诉人们，力矩使物体的角动量发生改变.关于质点的角动量定理，需要注意以下几个问题：角动量定理中的角动量L和力矩M必须是相对于同一参考点的.角动量定理与牛顿第二定
28、律在数学形式上相互对应，即可见，力矩M和角动量L是描述转动的物理量.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律（2）刚体对定轴的角动量定理.当刚体绕固定轴做定轴转动时，刚体对轴的转动惯量不随时间变化.所以，由刚体定轴转动的转动定律可得引入刚体的角动量后，可得 (5-14)第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律即刚体所受到的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率.将上式变形可得 M外dt=dL=d(J)如果刚体从t0到t的时间内受到外力矩的作用，使它绕定轴转动的角速度由0变为，那么可对上式积分
29、得到 (5-15)式（5-15）表示，作用在刚体上的合外力矩的时间积累称为t0到t时间间隔内的冲量矩.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律式（5-15）表明，作用于刚体上的合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量.这个结论称为刚体定轴转动的角动量定理.不难看出，这个定理与质点的动量定理非常相似，它把过程量(冲量矩)和状态量(角动量)联系了起来.另外，与刚体定轴转动的转动定律M外=J相比，是转动定律的另一表达式，其适用范围更为广泛.在刚体的转动惯量发生变化时，M外=J已不再适用，仍然是成立的.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的
30、角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量守恒定律 二、二、质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律1.如果作用于质点的合外力对参考点的力矩等于零，即M=0,那么有或者说L=vmv=常矢量(5-16）式(5-16）表明，相对于某一参考点，如果质点所受的合外力矩等于零，那么质点的角动量保持不变.这个结论称为质点的角动量守恒定律.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律必须明确，质点的角动量守恒条件是合外力矩为零，即 M=0力矩为零有以下三种情况：（1）F=0,即质点不受外力作用时，质点的角动量守恒.（2）r=0,表示质点处于参考点而静止不
31、动时，质点的角动量守恒.（3）r与F都不为零，但是rF=0，即sin=0，也就是r与F平行，这时力的作用线通过参考点，那么质点的角动量也是守恒的.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律在第（3）种情况中，质点并非不受外力，而是力的作用线始终通过参考点而已.这样的力称为有心力，参考点称为力心.所以不能笼统地认为，凡是受力作用的质点其角动量都不守恒，而是要看此力是否是有心力.只要作用于质点的力是有心力，那么此力对力心的力矩总等于零.所以，在有心力作用下，质点对力心的角动量都是守恒的.例如，行星绕太阳转动时，太阳对它们的引力指向太阳的中心；原子核
32、对核外电子的静电力总是指向原子核.在这里，行星受到的引力、核外电子受到的静电力都属于有心力，因此，在绕太阳转动的过程中，行星对太阳的角动量守恒，同样的道理，在绕核转动过程中，核外电子对核的角动量守恒.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律从以上的分析可以得出，质点的角动量守恒定律是物理学的一条很重要的基本规律，在研究天体及微观粒子的运动时，角动量守恒定律起着极为重要的作用.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律2.在刚体的定轴转动中
33、，如果刚体所受的外力对定轴的合力矩为零，即 M外=0那么由式(5-15)，可得 J=J0或 J=常量 (5-17)式(5-17)表明，如果刚体所受的合外力矩等于零，那么刚体的角动量保持不变，这一结论称为刚体的角动量守恒定律.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律必须指出，在推导角动量守恒定律的过程中，虽然受到了刚体、定轴等条件的限制，但是它的适用范围远远地超过了这些限制.关于刚体的角动量守恒定律，需要说明以下几点：（1）对于绕固定轴转动的刚体，由于转动惯量J为一常数，因此，在角动量守恒的情况下，刚体将以恒定的角速度绕定轴转动.第三节第三节
34、刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律（2）对于转动惯量可变的物体(如非刚体)，在角动量守恒的情况下，若使转动惯量减小，则角速度增加；相反，若使转动惯量增大，则角速度减小，转动惯量和角速度的乘积保持不变,即J00=J.利用改变转动惯量来达到改变旋转角速度的例子很多.例如，花样滑冰运动员(非刚体)做旋转动作时，往往先把两臂张开旋转(改变质量分布)以增大转动惯量，由于没有外力矩的作用，角动量守恒，这时的角速度较小；当运动员迅速收拢两臂靠近身体时，相对身体中心的转动惯量减小，结果使旋转角速度增大.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理
35、角动量守恒定律角动量守恒定律又如，跳水运动员为在空中实现快速翻转，在起跳后，就必须将手和腿尽量蜷缩起来，以改变质量分布，减小转动惯量，从而增大翻转的角速度；入水前，为了能竖直进入水中减小水的阻力，使水花最小，又必须把手臂和腿逐渐展开，以增大转动惯量，减小角速度，如图5-23所示.图5-23 运用角动量守恒的跳水运动员第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 以上结论还可通过站在转台上、双手握哑铃的人的表演给予定性证明，如图5-24所示，若忽略转台轴间的摩擦力矩和空气阻力矩等，则人和转台组成的系统对转轴的角动量守恒.开始时，先使人和转台一起转动
36、，当人将握哑铃的手逐渐收回时，对转轴的转动惯量减小，角速度变大；当人伸平双臂时，转动惯量增大，转动的角速度变小.图5-24 角动量守恒图示第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律（3）对于由多个物体组成的系统，系统内既有平动也有转动的现象，若对某一定轴的合外力矩为零，则此系统对该轴的角动量守恒，即 J+rmv=常矢量若此系统由两个物体组成，则有 J11+J22=常矢量也就是说，当系统内的一个物体的角动量发生变化时，另一个物体的角动量必须等值异号地改变，从而使总的角动量保持不变.第三节第三节 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角
37、动量守恒定律角动量守恒定律除了日常生活中有许多现象可用角动量守恒定律解释外，无数事实已经证明，在宏观领域可利用角动量守恒定律来研究天体的演化；在微观领域也可利用角动量守恒定律研究微观粒子的运动特征.可见，角动量守恒定律不仅适用于刚体，还适用于非刚体；不仅适用于天体运动，还适用于微观粒子的运动.因此，角动量守恒定律与动量守恒定律、能量守恒定律一样，是自然界中的普遍规律，虽然它们都是在经典牛顿力学的基础上导出的，但适用范围远远超出了原有条件的限制，它们不仅适用于牛顿力学所研究的宏观、低速领域，而且适用于牛顿力学失效的微观、高速领域.这三条守恒定律是比牛顿运动定律更基本、更普遍的物理定律.第四节第四
38、节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 刚体的转动动能 一、一、刚体绕定轴转动时，其每个质元都绕转轴做圆周运动，都具有一定的动能.那么，所有质元的动能之和就是刚体的转动动能.设刚体以角速率绕定轴转动,其中每个质元都在各自的转动平面内以角速率做圆周运动,若第i个质元的质量为mi,它到转轴的距离为ri,其线速率vi=ri,那么第i个质元的动能为第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 刚体的重力势能 二、二、如果刚体受到保守力的作用也可以引入势能的概念.例如，在重力场中，刚体就具有一定的重力势能.一个质量为m的刚
39、体，它的重力势能应当是组成刚体的所有质元的重力势能之和.如图5-25所示，若取地面坐标系来计算重力势能，则刚体的重力势能为Ep=mihig图5-25 刚体的重力势能第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理因此，上式改写为 Ep=mghC(5-19)上述结果表明，刚体的重力势能相当于它的全部质量m集中在质心处的质点的重力势能.无论刚体如何放置，都能得出式(5-19)，也就是说，刚体的重力势能仅取决于质心的高度，与刚体的方位无关.这也体现了质心的概念在刚体力学中的重要性.第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 力矩做的功 三、三、在质点力学中，当质点在合力作用
40、下沿力的方向发生位移时，力就对质点做了功，并且功可由作用力与质点沿力的方向移动的位移的乘积来表示.与之相似，当刚体在外力矩作用下转动时，力矩也对刚体做了功，做功的结果是使刚体的角速度发生了变化.图5-26 力矩做功图示第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理由于刚体是个特殊的质点系，质点之间的相对位置保持不变，因此内力是不做功的，只需考虑外力的功.如图5-26所示，刚体绕固定轴Oz轴转动，设在转动平面内的外力作用在刚体上的p点.p点相对于O点的位矢是r，当刚体绕Oz轴转过一个微小的角位移d时，p点的位移就是dr，dr的大小dr=ds=rd,在这个过程中，力F做的功为 dW=F
41、dr=Fds=Frd第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理式中，F为力F在位移dr方向上的分量，它与位矢r垂直，所以Fr是力F对转轴的力矩M，因此，上式可以写成 dW=Md (5-20)式（5-20）表明，定轴转动的刚体在转过d角的过程中，外力对刚体做的元功等于相应的力矩与角位移元的乘积，称为力矩的功.如果刚体在力矩M的作用下绕固定轴从0位置转到位置，那么力矩对刚体做的功为如果刚体受到几个力的共同作用，那么式中的外力矩应表示为合力矩.(5-21)第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 定轴转动的动能定理 四、四、当外力矩对刚体做功时，力矩的空间累积效应就
42、是刚体的转动动能会发生变化.下面讨论力矩做的功与刚体的转动动能之间的变化关系.设刚体做定轴转动，在合外力作用下绕定轴转过角位移d，合外力矩对刚体所做的元功为 dW=Md第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理式（5-22）表明，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.这就是刚体定轴转动的动能定理.刚体绕定轴转动的动能定理在工程上有很多应用.在工程上，很多机器都配有飞轮，转动的飞轮可以把能量以转动动能的形式储存起来，在需要做功时又释放出来.例如，冲床在冲孔时，冲力是很大的，如果由电动机直接带动冲头，电动机将无法承受
43、如此大的负荷.因此，在电动机与冲头中间要装上减速箱和飞轮储能装置，电动机通过减速箱带动飞轮转动，可以大大减少电动机的负荷.第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 定轴转动的机械能守恒定律 五、五、比较刚体定轴转动的动能定理 与质点的动能定理 可以看出，它们在形式上非常相似，转动惯量J与质量m相对应，用角速率与线速率v相对应.这就是说，刚体定轴转动的功和能的特点与质点系统的功和能的特点在形式上是完全相同的，下面就来讨论关于刚体定轴转动的功和能的问题.第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能原理刚体定轴转动的动能原理1.如果刚体在定轴转动中除
44、受到外力矩外，还受到保守力矩的作用，那么，涉及的势能主要是重力势能.所以，保守力只考虑重力，当系统取地球和刚体时，式(5-22)可写为 (5-23)第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理在质点系动力学中，保守力的功等于势能增量的负值，在刚体定轴转动中，保守力矩的功就是保守力的功，即第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理式（5-24）表明，在刚体定轴转动中，合外力矩的功与非保守力矩做功的代数和等于刚体系统机械能的增量，这个结论称为刚体定轴转动的功能原理.第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体定轴转动的机械
45、能守恒定律2.由式(5-24)可以看出，若式（5-25）表明，在只有保守力矩做功的情况下，系统的转动动能和重力势能相互转化，而总的机械能保持不变.这就是刚体定轴转动的机械能守恒定律.第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理对于包含刚体在内的系统，如果在运动过程中只有保守内力做功，那么该系统的机械能守恒，这样，既要考虑质点的动能、重力势能、弹性势能，还要考虑刚体定轴转动的转动动能及重力势能.第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理【例例5-75-7】第四节第四节 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理滑轮的重力势能不变，可以不考虑.取物体的初始位置为零势能点，则系统始态的机械能为零，末态的机械能为本本 章章 提提 要要
