1、六方最紧密堆积结构的空间利用率在六面体的上表面，短对角线与相邻两边构成了一个等边三角形，边长为a。这个等边三角形与体内球相切，4个球的中心连成了一个边长为a的正四面体，这个正四面体的高为：(2/3)1/2a。平行六面体的高度即为2(2/3)1/2a。第一章如果球的半径为 r，则 a=2r。平行六面体的体积为 328)2(322)2(23)2(23rrrrcaaV两个圆球的体积为 3338342rrVB故空间利用率为VB/V=74%。这是理论上圆球紧密堆积所能达到的最大堆积密度。可以证明：立方最紧密堆积结构的空间利用率也是 74%。(证明过程留作课外作业自己完成)在各类晶体结构中，六方最紧密堆积
2、和立方最紧密堆积是空间利用率最高的两种结构。体心立方堆积，空间利用率为 68%。简单立方堆积，空间利用率为 52%。小结一下小结一下 六方最紧密堆积的晶体结构图形与空间点阵图形是不一样的，而三种立方堆积的晶体结构图形与空间点阵图形则是一样的 六方最紧密堆积结构的基元由两个圆球构成，是导致晶体结构与空间点阵图形不一样的原因 三种立方堆积中的基元均由一个圆球构成，因此晶体结构图形与空间点阵图形是一样的7 大晶系大晶系v根据相应的平行六面体的几个特征，14 种布拉维格子可以分为 7 类，称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序分别为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三方晶系、四方晶系、六方
3、晶系、立方晶系。7 大晶系的几何特征大晶系的几何特征(1)立方晶系：a=b=c;=90(2)四方晶系：a=b c;=90(3)正交晶系：a b c;=90(4)单斜晶系：a b c;=90；90(5)三斜晶系：a b c;90(6)六方晶系：a=b c;=90;=120(7)三方晶系：a=b=c;=90高级晶族高级晶族立方晶系中级晶族中级晶族六方晶系四方晶系三方晶系低级晶族低级晶族正交晶系单斜晶系三斜晶系有 4 条 3 次旋转轴或 3 次倒转轴 唯一的 6 次旋转轴或 6 次倒转轴 唯一的 4 次旋转轴或 4 次倒转轴 唯一的 3 次旋转轴或 3 次倒转轴 有 3 个 2 次旋转轴或 2 次倒
4、转轴 唯一的 2 次旋转轴或 2 次倒转轴 只有 1 次旋转轴或1 次倒转轴 (1)立方格子 3 个：简单、体心、面心(2)四方格子 2 个：简单、体心(3)正交格子 4 个：简单、体心、底心、面心(4)单斜格子 2 个：简单、底心(5)三斜格子 1 个：简单(6)六方格子 1 个：简单(7)三方格子 1 个：简单14 种布拉维格子种布拉维格子习 题试作图分析为什么不存在有面心四方格子和底心立方格子。说明你的分析并不违背划分布拉维格子的四条基本原则。习 题7 大晶系都有各自的基本对称要素 对称轴。试给出各晶系所含有的最高次对称轴所在晶向的米勒指数。画出一个面心立方布拉维格子，标出其中的 111
5、、121 及 晶向。011 习 题等大球体六方最紧密堆积结构中，密堆方向是哪个晶向？密堆面是哪个面？试作图表示之。等大球体立方最紧密堆积结构中，密堆方向是哪个晶向？密堆面是哪个面？试作图表示之。找出面心立方格子中的一些对称面，写出其晶面米勒指数。习 题1 1、金属晶体的形成是因为晶体中存在、金属晶体的形成是因为晶体中存在 （）A.A.金属离子间的相互作用金属离子间的相互作用B B金属原子间的相互作用金属原子间的相互作用 C.C.金属离子与自由电子间的相互作用金属离子与自由电子间的相互作用 D.D.金属原子与自由电子间的相互作用金属原子与自由电子间的相互作用 C第二章2 2金属能导电的原因是（金
6、属能导电的原因是（）A.A.金属晶体中金属阳离子与自由电子间的金属晶体中金属阳离子与自由电子间的 相互相互作用较弱作用较弱 B B金属晶体中的自由电子在外加电场作用下可发金属晶体中的自由电子在外加电场作用下可发生定向移动生定向移动 C C金属晶体中的金属阳离子在外加电场作用下可金属晶体中的金属阳离子在外加电场作用下可发生定向移动发生定向移动 D D金属晶体在外加电场作用下可失去电子金属晶体在外加电场作用下可失去电子 BFeFe和和CsClCsCl晶体的结构类型和空间点阵型式晶体的结构类型和空间点阵型式一致么？为什么？一致么？为什么？思考金属晶体的有效原子半径一般可以借助于 X 射线衍射分析确定
7、晶体的结构并测定晶体的晶格常数而加以确定。例如，金属铝的晶格常数为 a=b=c=0.40496 nm，具有A1结构(面心立方)。Rcba22面心立方结构可以得到铝的原子半径为nm143.0)22/(40496.0RRba2633.1/ca简单六方结构在晶格常数的测量不是很方便的情况下，也可以通过测定金属晶体的密度来估算金属原子的半径。例如金属钨(W)的晶体具有体心立方结构；通过实验测得钨晶体的密度为 19.30 g/cm3，而钨的原子量为 183.9。根据这些信息就可以通过简单的计算得到钨原子的金属半径。首先可以算出在一个体心立方晶胞中钨原子的质量W。1 个晶胞中含有 2 个钨原子，因此有 g
8、1011.61002.69.18322223W然后根据晶体的密度计算出晶胞体积 V：332322nm03166.0cm10166.330.191011.6WV进而得到晶胞常数 nm316.03Va最后得到原子半径Ra)3/3(4R=0.137 nm习 题 纯铁在912C 由bcc 结构转变为fcc结构，体积减少1.06%，根据fcc 形态的原子半径计算bcc 形态的原子半径。它们的相对变化为多少?如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。这些结果说明了什么?设bcc 结构的点阵常数为ab，fcc 结构的点阵常数为af，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06%，因bcc 晶
9、胞含2 个原子，fcc 晶胞4 个原子，所以2 个bcc 晶胞转变为一个fcc 晶胞。故bcc 原子半径rb=3ab/4，fcc 原子半径rf=2a f/4，把上面计算的af 和ab 的关系代入，并以rf 表示rb：它们的相对变化为如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为从上面计算的结果看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。同一种金属，不同结构的原子半径应该改变，尽量使其体积变化最少。习 题 MgO 具有 NaCl 结构。O2的半径为 0.140 nm，Mg2+的半径为0.070 nm。试计算：(1)圆球形 Mg2+所占据
10、的空间体积分数；(2)MgO 的密度。因正负电荷数要中和，所以负离子电价要等于它周围每个正离子分给它的电价之和。例：MgO晶体，NaCl型结构，Mg2+，CN=6，S=2/6=1/3，即Mg2+给每个周围O2-1/3价，因为O2-与6个Mg2+形成静电价，所以 2163OZ2习 题 以萤石(CaF2)晶胞为例，说明面心立方紧密堆积中的八面体和四面体空隙的位置和数量。计算萤石(CaF2)晶体的理论密度。根据Pauling第一规则r+/r-=0.744 0.732CN+=8所以Ca2+配位多面体形状是立方体，F-位于顶角，Ca2+位于体心萤石萤石(CaF2)结构结构萤石萤石(CaF2)结构结构根据
11、Pauling第二规则Ca2+:S=2/8=1/4故每个F-必须与4个Ca2+形成静电键即F-应该位于Ca2+的四面体中 为了便于把CaF2晶体的结构与对称特点显露出来 通常将Ca2+看成“立方紧密堆积”F-占据全部四面体空隙5种最常见类型离子晶体的空间结构特征种最常见类型离子晶体的空间结构特征类型类型阴离子晶阴离子晶格格阳离子占据空隙阳离子占据空隙CN每个晶胞含有每个晶胞含有CsCl简单立方简单立方 立方体空隙立方体空隙（也是简单立方晶格）（也是简单立方晶格）Cs+8Cl-8Cs+:Cl-=1:1NaCl面心立方面心立方 八面体空隙八面体空隙（也是面心立方晶格）（也是面心立方晶格）Na+6C
12、l-6Na+:Cl-=4:4立方立方ZnS（闪锌矿）（闪锌矿）面心立方面心立方 1/2的四面体空隙的四面体空隙（也是面心立方晶格）（也是面心立方晶格）Zn2+4S2-4Zn2+:S2-=4:4类型类型阴离子晶格阴离子晶格阳离子占据空隙阳离子占据空隙CN每个晶胞含有每个晶胞含有CaF2萤石萤石简单立方简单立方的立方体空隙的立方体空隙（Ca2+呈面心立方呈面心立方晶格）晶格）Ca2+8 F-4Ca2+:F-=4:8TiO2金红石金红石简单六方简单六方八面体空隙（八面体空隙（Ti4+呈体心四方晶格）呈体心四方晶格）Ti4+6O2-3 Ti4+:O2-=2:45种最常见类型离子晶体的空间结构特征种最常
13、见类型离子晶体的空间结构特征因正负电荷数要中和，所以负离子电价要等于它周围每个正离子分给它的电价之和。例：MgO晶体，NaCl型结构，Mg2+，CN=6，S=2/6=1/3，即Mg2+给每个周围O2-1/3价，因为O2-与6个Mg2+形成静电价，所以 2163OZ2习 题 将一个钠原子从钠晶体内部移到晶体表面所需的能量为 1 ev。试算300 K 下晶体中肖特基缺陷的浓度。第三章习 题275 1.67 10mkg 4Mm15/N m1.光学波频率的最大值和最小值，声学波频率的最大值；2.相应声子的能在一维复式格子中，如果 ，计算 3.在T=300K下，三种声子数目各为多少？第四章特鲁德模型特鲁
14、德模型 当金属原子凝聚在一起形成金属时，原来孤立原子封闭壳层内的电子(芯电子)仍然能够紧紧地被原子核束缚着，它们和原子核一起在金属中构成不可移动的离子实；而原来孤立原子封闭壳层外的电子(价电子)则可以在金属中自由地移动。第五章特鲁德模型的基本假设特鲁德模型的基本假设 I在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与离子之间的相互作用可以忽略。在无外场作用时，电子作匀速直线运动；在外场作用下，电子的运动服从牛顿定律。忽略了电子与电子之间相互作用的近似称为独立电子近似 忽略了电子与离子之间相互作用的近似称为自由电子近似 所以这样假设称为独立自由电子近似特鲁德模型的基本假设特鲁德模型的基本假设 II碰撞是电子
15、突然改变速度的瞬时事件，正如硬橡皮球从固定的物体上反弹回来一样，它是由于运动中的电子碰到不可穿透的离子实而反弹所造成的。运动电子的轨迹特鲁德模型的基本假设特鲁德模型的基本假设 III单位时间内电子发生碰撞的几率是 1/。这里的时间 称为驰豫时间驰豫时间(或平均自由时间)，它意味着一个电子在前后两次碰撞之间平均而言将有 时间的行程。驰豫时间与电子的位置和速度无关。特鲁德模型的基本假设特鲁德模型的基本假设 IV电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的，碰撞前后电子的速度毫无关联，方向是随机的，其速率是和碰撞发生处的温度相适应的。纯铜的电阻率随温度的变化关系曲线v在低温时，电阻率通常很小 v温度
16、升高后，电阻率随温度的变化基本上呈线性：温度越高，电阻率越大 v当然，对这一现象的解释不是特鲁德模型能够完成的。lvnem2电子运动的薛定锷方程为)()(8222rErmh(r)为电子的波函数E 为电子的动能我们直接给出这个方程的解ikrAer)(考虑到势箱的深度应该大大超过电子的动能，因此电子在边界以外出现的几率为零。这一边界条件可以写成)()(XLX于是可以得到：1ikLeikrAer)()()(XLXnLk2(n 为整数)相应地，电子的能量可以写成222222228nmLhLnmhE222222228nmLhLnmhE这时电子的动能与波矢之间仍然呈抛物线关系，但是能量不再是连续的，而是量
17、子化的。电子的最低能态的能量为：2212mLhE 其它能级的能量为：2222nmLhEn将上述讨论推广到三维情况将上述讨论推广到三维情况 对于一个三维的边界为 L 的立方体金属试样而言，其中自由电子的允许能级可以表示为)(2)(82222222222zyxzyxnnnmLhkkkmhE波矢在三个方向上的分量布洛赫函数定理布洛赫函数定理因为晶体中的电子并非在一个恒定的均匀的势场中运动，而是在由离子晶格点阵所形成的周期势场中运动，因此电子的势能不是常数，而是位置的函数，随晶体的点阵发生周期性的变化。布洛赫指出：对于含周期性势场的薛定锷方程，周期场中的电子的波函数是一个调幅的平面波，即：ikrkeU
18、r)(Uk 是一个与波矢 k 有关且随坐标而变化的函数 半导体的性能是由导带中的电子数和价带中的空穴数决定的 电子和空穴可以借助于热、电、磁等形式的能量激发产生，称为本征激发；相应形成本征半导体 电子和空穴也可以借助于引进杂质元素而激发，称为非本征激发；相应形成非本征半导体 (杂质半导体)导导 体体 纯金属的电阻率在108 107 m 金属合金的电阻率为107 105 m半导体半导体 电阻率为103 10+5 m绝缘体绝缘体 电阻率为10+9 10+17 m电阻率的大小取决于材料的结构。3/12F3VNkvkF 是在基态下波矢的最大值，称为费米波矢v以 kF 为半径构筑的 k 空间中的球体称为
19、费米球。在基态下，费米球内的所有状态都被电子占据，而球外的状态则全部未被电子占据v与 kF 相对应的电子动能是基态下电子动能的最大值，称为费米能量。3/222F22F388VNmhkmhE能带的填充与导电性能带的填充与导电性 所有能级全部被电子所填充的能带称为满带；部分能级被电子填充的能带称为不满带。在外电场作用下，满带不起导电作用，而不满带则可以导电。在绝缘体中，电子刚好填满最低的一系列能带，最上面的满带称为价带；再高的各能带全部是空的，称为空带。由于没有不满带，所以尽管晶体中存在有很多电子，却不能导电。n 在导体中，除去满带和空带外，存在有不满带。一部分价电子在不满带中，这样的能带称为导带
20、。导带以下的第一个满带称为价带。n 在半导体中，0K 下能带的填充情况与绝缘体是相同的，差别仅在于禁带的宽度。由于禁带宽度比较小，半导体可以依靠热激发，把满带上的电子激发到本来是空的能带，从而具备了导电能力。n 在半导体中，少数电子受热或光的激发从满带跃迁到空带中，原来的满带就变成了近满带，出现了空穴。在外电场作用下，空穴也会发生定向迁移，从而导电。思考题：1.晶体的宏观特性、微观特性联系？2如何区分单晶体和多晶体？证明：立方最紧密堆积结构的空间利用率是74%。证明：在晶体的宏观对称中，n 的数值不能是任意的。不可能出现五次以及高于六次的旋转轴。5P579 2.4 2.7 P580 3.1 3.2
