1、2.4.1 反函数1、函数的概念（近代定义）：、函数的概念（近代定义）：如果如果A、B都是非空的数集，那么都是非空的数集，那么A到到B的映射的映射 就叫做就叫做A到到B的函数，记作的函数，记作 y=f（x）.其中其中 ，原象的集合，原象的集合A叫做叫做函数函数y=f（x）的定义的定义 域，象的集合域，象的集合C（）叫做函数叫做函数y=f（x）的值域。的值域。BAf:ByAx,BC引入新课引入新课2、设、设 是集合是集合A到集合到集合B的映射，如果在这个映射下，对于的映射，如果在这个映射下，对于集合集合A中的不同元素，在集合中的不同元素，在集合B中有中有不不 同同 的象，而且的象，而且B中每一个
2、元素都有中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做原象，那么这个映射叫做A到到B上的上的一一映射。一一映射。BAf:1234f：乘以乘以2再减去再减去11357AB如：如：映射映射 是是A到到B上的一一映射上的一一映射BAf:我们知道我们知道,物体做匀速直线运动的位移物体做匀速直线运动的位移s是时间是时间t的函数的函数,即即s=vt.其中速度其中速度v是常量是常量.讲授新课讲授新课 反过来反过来,也可以由位移也可以由位移s和速度和速度v(常量常量)确定物体做确定物体做匀速直线运动的时间匀速直线运动的时间,即即 stv 这时这时,位移位移s是自变量是自变量,时间时间t是位移是位移s的函数的函数,在这
3、种在这种情况下情况下,我们说我们说 是函数是函数s=vt的反函数的反函数.stv在函数在函数y=2x+6(xR)中中,x是自变量是自变量,y是是x的函数的函数 从函数从函数y=2x+6中解出中解出x,就可以得到式子就可以得到式子 (yR)32yx 这时我们就说这时我们就说 (yR)是函数是函数y=2x+6(xR)的反函数的反函数.32yx 对于对于y在在R中任何一个值中任何一个值,通过式子通过式子 ,x在在R中都中都有唯一的值和它对应有唯一的值和它对应,也就是说也就是说,可以把可以把y作为自变量作为自变量(yR),x作为作为y的函数的函数.32yx 记作：记作：x=f-1(y)一般地，函数一般
4、地，函数y=f(x)(x A)中中,设它的值域为设它的值域为C,我们根据我们根据这个函数中这个函数中x,y的关系，用的关系，用y把把x表示出，得到表示出，得到x=(y),如果如果对于对于 y在在 C中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过x=(y),x在在A中都有唯一中都有唯一的值和它对应，那么，的值和它对应，那么，x=(y)就表示就表示y是自变量，是自变量，x是自变是自变量量y的函数，这样的函数的函数，这样的函数x=(y)（y C)叫做函数叫做函数y=f(x)(x A)的反函数。的反函数。在函数在函数x=f-1（y）中，中，y是自变量，是自变量，x表示函数。表示函数。反函数定义：反函数定义：
5、反函数的定义着重强调了两点反函数的定义着重强调了两点:1.1.根据根据y=f（x）(xA,yC)(xA,yC)中中x x与与y y的关系的关系,用用y y把把x x表示出来表示出来,得到得到x=gx=g（y y）.2.2.对于对于y y在在C C中的任一个值中的任一个值,通过通过x=gx=g（y y）,x,x在在A A中都有惟一的值和它对应中都有惟一的值和它对应.满足了上述两点满足了上述两点,x=gx=g（y y）(yC)(yC)就叫做就叫做y=f（x）的反函数的反函数.例如函数例如函数y=2xy=2x的反函数为的反函数为 (xR),xR),函数函数y=2x+6的反函数为的反函数为 (xR)x
6、R)等等.2xy 32xy 在函数在函数 中中,y y表示自变量表示自变量,x x表示函数表示函数.但在但在习惯上习惯上,我们一般用我们一般用x x表示自变量表示自变量,y y表示函数表示函数,为此我们为此我们常常对调函数常常对调函数 中的字母中的字母x,y,x,y,把它改写成把它改写成 .今后凡不特别说明函数今后凡不特别说明函数y=f（x）的反函数都采用这种的反函数都采用这种经过改写的形式经过改写的形式,这种改写的形式称为习惯记法这种改写的形式称为习惯记法.1()xfy1()yfx1()xfy请注意请注意:在在y=f（x）与与 中的中的x,yx,y所表示的量相同所表示的量相同(前者中的前者中
7、的x x与后者中的与后者中的x x都属于同一个集合都属于同一个集合,y y也是如也是如此此),),但地位不同但地位不同(前者前者x x是自变量是自变量,y y是函数值是函数值;后者后者y y是自变量是自变量,x x是函数值是函数值).).1()xfy在在y=f（x）与与 中的中的x x都是自变量都是自变量,y y都是函数值都是函数值,即即x,yx,y在两式中所处的地位相同在两式中所处的地位相同,但表示的量不同但表示的量不同(前前者中的者中的x x是后者中的是后者中的y,y,前者中的前者中的y y是后者中的是后者中的x).x).1()yfx 函数函数y=f（x）与它的反函数与它的反函数y=f 1
8、1(x)两者之两者之间间,定义域定义域,值域存在什么关系值域存在什么关系?函数的定义域函数的定义域,值域分别是它的反函数的值域值域分别是它的反函数的值域,定义域定义域.从反函数的概念可知从反函数的概念可知,如果函数如果函数y=f（x）有反函数有反函数y=f 11(x),),那么函数那么函数y=f 11(x)的反函数就是的反函数就是y=f（x）,即函数即函数y=f（x）与与y=f 11(x)互为反函数互为反函数.互为反函数的函数之间的关系互为反函数的函数之间的关系:函数函数 y=f(x)y=f 1(x)互反互反 定义域定义域AC互换互换 值域值域CA互换互换 对应法则对应法则f:ACC(f(a)
9、=b)f1:CACA(f1(b)=a)互逆互逆（1）不是每一个函数都有反函数；不是每一个函数都有反函数；一个函数有反函数的充要条件是它一个函数有反函数的充要条件是它相应的映射是一一映射；相应的映射是一一映射；（2）原函数与反函数的法则互逆；它原函数与反函数的法则互逆；它们互为反函数；们互为反函数；（4）原函数与反函数的定义域与值域互换。）原函数与反函数的定义域与值域互换。（3）反函数也是函数，因为它是符合函）反函数也是函数，因为它是符合函数定义的；数定义的；对反函数定义的理解对反函数定义的理解 从反函数的概念我们还可以知道从反函数的概念我们还可以知道,求反函求反函数的方法步骤为数的方法步骤为:
10、1.1.由由y=f（x）解出解出x=f-1-1(y),),即把即把x x用用y y表示出表示出来来.2.2.将将x=f-1-1(y)改写成改写成y=f 11(x),),即对调即对调x=f-1-1(y)中的中的x,y.x,y.3.3.指出反函数的定义域指出反函数的定义域.求下列函数的反函数求下列函数的反函数:y=3x-1(xR)y=3x-1(xR)解解:由由y=3x-1,y=3x-1,得得 13yx 所以所以,函数函数y=3x-1(xR)y=3x-1(xR)的反函数是的反函数是 (xR)xR)13xy求下列函数的反函数求下列函数的反函数:y=xy=x3 3+1(xR)+1(xR)解解:由由y=x
11、y=x3 3+1(xR),+1(xR),得得 31xy所以所以,函数函数y=xy=x3 3+1(xR)+1(xR)的反函数是的反函数是 (xR)xR)31yx求下列函数的反函数求下列函数的反函数:1yx(x0)x0)解解:由由 ,得得 1yx2(1)xy所以所以,函数函数 (x0)x0)的反函数的反函数是是 (x1)x1)1yx2(1)yx求下列函数的反函数求下列函数的反函数:231xyx(xR,xR,且且x1)x1)解解:由由 ,得得 231xyx32yxy所以所以,函数函数 (xR,xR,且且x1)x1)的反函数的反函数是是 (xR,xR,且且x2).x2).231xyx32xyx课堂练习
12、课堂练习课本课本P P63 练习练习1,2,3,4.1,2,3,4.课时小结课时小结 本节课我们学习了反函数的概念本节课我们学习了反函数的概念,从中知道了怎样求函数的反函数的方从中知道了怎样求函数的反函数的方法步骤法步骤,大家要熟练掌握大家要熟练掌握.课后作业课后作业课本课本P64 习题习题2.4 1,2.10-10.5A8764B8764B10-10.5Axy=2x+63yx=-y2x=(y)x=(y)y=f（x）只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时
13、陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是
14、观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开
15、了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了
16、沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要
17、烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨
18、曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法
19、挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的
20、生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作
21、深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，
