1、第三讲“怪”到美主讲教师：孙淑娥目录目录一、莫比乌斯带二、莫比乌斯圈与克莱因瓶三、莫比乌斯与艺术和科技四、反常思维与中西哲学思想三、数学与数学教育 德国莱比锡市的数学家 奥古斯特莫比乌斯（August Ferdinand Mobius）。1790 年11月17日生于瑙姆堡附近的舒尔普福塔，1868年9月26日卒于莱比锡。麦比乌斯最为人知的数学发现，是1858年在法国巴黎科学协会举办的一次数学论文比赛中，所论述的一种奇异的曲面，后来以他的名字命名的单侧曲面-麦比乌斯带。一、莫比乌斯带 莫比乌斯三、数学与数学教育1979年GEB:一条永恒的金带的书轰动美国，作者道格拉斯霍夫施塔特（Douglas
2、Hofstadrer）从数学、逻辑学、生命遗传、大脑思维、人工智能、甚至音乐、绘画等许多不同领域对莫比乌斯带进行了探讨，使人们发现怪圈有着丰富的内蕴，它与自然、人类、科学、艺术等都有深刻的联系。莫比乌斯带是一种变异的系统结构：系统不同层次的相互渗透、纠缠，如将“内”与“外”、“高”与“低”、“二维”与“三维”、“有限”与“无限”、“部分”与“整体”等不同层次纠缠在一起。一、莫比乌斯带 莫比乌斯三、数学与数学教育莫比乌斯带的实验：试验一如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成莫比乌斯带，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。试验二如果在纸条上划两条线，
3、把纸条三等分，再粘成莫比乌斯带，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈?还是三个圈儿?都不是。它究竟是什么呢?一、莫比乌斯带 莫比乌斯带三、数学与数学教育麦比乌斯环的奇妙之处：1.麦比乌斯环只存在一个面。2.如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、把纸带的端头扭转了四次再结合的环(并不是莫比乌斯带，在此将之编号为:环0)，而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。3.如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的(在本文中将之编号为:环1和环2)，从此以
4、后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。手套移位问题告诉我们:左、右手系物体可以通过扭曲实现转换。一、莫比乌斯带 莫比乌斯环（单侧曲面）三、数学与数学教育1.如果宇宙时空的任何空间之处只存在一个面？2.宇宙时空中的任何一个点都可以通过裂变的方式无中生有地生成一个对立的阴阳两性。3.只要存在裂变就会使原来的麦比乌斯环不再以本来面目存在，或者说，原来的麦比乌斯环已经不存在了。4.从麦比乌斯环生成为环0的过程，还使环0具
5、有了因相互转换而最终呈现为同一个方向上的、性质不同的四个拧劲。一、莫比乌斯带 奇妙的启示三、数学与数学教育5.从环0生成环1和环2以及再裂变直至环n和环n+1后，所生成的所有的环n和环n+1都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。这说明宇宙万物之间存在普遍联系的法则，而且任何一点或一个事物都与其他所有的宇宙万物相通相连，是不可分割的、不可遗漏的。6.宇宙万物从最终起源上来讲是没有任何差异的，均起源于只有一个面的空间或者说没有任何面的状态。因此也可以说宇宙万物都是从无中生有中而来，只不过是在演变的过程中呈现出差异而已。一、莫比乌斯带 奇妙的启示三、数学与数学教育7
6、.在麦比乌斯环生成为环0的裂变过程中，无中生有的增加生成原有拧劲中的1倍的新的能量，也就是说在新产生的一对阴阳两性关系体的过程中的裂变不遵循能量守恒原则;而之后的所有的宇宙万物的再裂变只能使宇宙的时空增大，不再生成新的能量，而且在裂变中必然遵循能量守恒原则。8.宇宙时空中的任何一个点都可以通过无中生有的方式第一次生成阴阳两性，然后再分别以刚生成的阴阳两性为基础生成第一次的阴阳两性的两个物质，第二次、第三次直至永无穷尽。一、莫比乌斯带 奇妙的启示三、数学与文化素质教育麦比乌斯圈具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882年，另一位德国数学家费力克斯克莱茵(Felix Klein，1
7、8491925)，终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，后来以他的名字命名为克莱因瓶。这种怪瓶实际上可以看作是由一对麦比乌斯圈，沿边界粘合而成。(当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点)。二、麦比乌斯圈克莱因瓶 麦比乌斯圈三、数学与文化素质教育 二、麦比乌斯圈与克莱因瓶 三、数学与文化素质教育如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条麦比乌斯带。8字形克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面-克莱因瓶。实际上，可以说克莱因瓶是一个三度的麦比乌斯带。二、麦比乌斯圈与克莱因瓶 克莱因瓶三、数学与文
8、化素质教育在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。但在三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。在我们的三度空间中，不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄，但在四度空间里却可以。附:克莱因瓶在三维空间中是破裂的，最少要有一个裂缝，如果有两个裂缝的话，它必然是两条部分相和连的麦比乌斯带，同样n条麦比乌斯带也可以组合成一个有n个裂缝克莱因瓶。二、麦比乌斯圈与克莱因瓶 三、数学与文化素质教育数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地
9、应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。二、麦比乌斯圈与克莱因瓶 麦比乌斯圈的应用三、数学与文化素质教育麦比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家毛瑞特斯柯奈利斯艾雪就是一个利用这个结构在他木刻画作品里面的人，最著名的就是麦比乌斯二代，图画中表现一些蚂蚁在麦比乌斯带上面爬行。科幻小说常常想象我们的宇宙就是一个麦比乌斯带。比如亚瑟克拉克的黑暗之墙。由A.J.Deutsch创作的短篇小说一个叫麦比乌斯的地铁站为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线路按照麦比乌斯方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。三、莫比乌斯艺术和科技 创作和艺术三
10、、数学与文化素质教育 一种从麦比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。1988年在日本上映的动画电影机动战士高达 逆袭的夏亚以麦比乌斯带作为对命运的隐喻:人类就好比行走在麦比乌斯带上的蚂蚁一般，永远逃不出这个怪圈，不断重复着相同的错误，类同的悲剧也在不断地上演。三、莫比乌斯艺术和科技 用于工业制造三、数学与文化素质教育三、莫比乌斯艺术和科技 用于工业制造三、数学与文化素质教育三、莫比乌斯艺术和科技 用于工业制造三、数学与文化素质教育三、莫比乌斯艺术和科技 用于编制三、数学与文化素质教育“莫比乌斯带”是反常思维的结果，在常规思
11、维看来不可能的事，对反常思维却是轻而易举的事。反常思维是常规思维的悖论，是违背习以为常的逆向思维。拓扑学就是一种反常思维，它能变换空间的位置，使一个密闭的空间内外想通。分不开里面和外面（如克莱因瓶）。比如，传真邮件和电子邮件你能说不是真的吗？世俗观点认为，人生是为了享乐；而绝大多数宗教，特别是佛教认为，人生就是受苦。四、反常思维与中西哲学思想反常思维三、数学与文化素质教育 莫比乌斯带和克莱因瓶作为几何图形的性质是清晰、简单甚至是优美的，但从人们对它所表达的事物性质却迷惑不解，难于理解这种简单的几何体所表达的神秘性。其实莫比乌斯带和克莱因瓶是从形式的流变中揭示了几何哲学思想，用几何的方法表现了最
12、深刻的哲学思想。这种西方哲学和几何学所未能充分了解的神秘性，却在古代中国思想家那里得到了充分的领悟。就是进行抽象综合，去掉空间性质，得到更加抽象的数学图式，即中国太极图。四、反常思维与中西哲学思想中西哲学三、数学与文化素质教育 这种抽象表达了存在于一切事物之中的绝对性质阴与阳和它们的统一。这就是古老的中国理念“道”和“易”。老子的“知其白，守其黑，为天下式，常德不忒，复归于极。”太极图与老子的这段话是理念的一致。借助于莫比乌斯带和克莱因瓶，太极图所包含的哲学思想可以被更形象地表示出来；而借助于中国的思想观念，几何的原理可以得到更深刻的认识。四、反常思维与中西哲学思想中西哲学三、数学与文化素质教育 四、反常思维与中西哲学思想中西哲学三、数学与文化素质教育 以上分析表明中西方哲学思想理念的一致。只有在这种更高的层次上，我们才能够更深刻地领会整个人类文化的意义。莫比乌斯带，简单而又极度深刻，有工业、技术上的美妙应用，同时又给科学家、哲学家、艺术家、文学家那么多新奇的想象。因此我们说，莫比乌斯带是科学的艺术形象，也是艺术形象的科学。四、反常思维与中西哲学思想启发和领悟1请借助莫比乌斯带和克莱因瓶，说明中国太极图所包含的哲学思想。思考题谢谢聆听！
