1、2003-4-51 第第5 5章章 单自由度系统的自激振动单自由度系统的自激振动学习要点学习要点 自激振动的定义和研究内容 极限环及其物理意义 范德波尔方程2003-4-51 第第5 5章章 自主学习指导自主学习指导 1 什么是自激振动？它的特征有哪些？2 举一实例说明自激振动系统是如何组成的？3 自激振动“常能源”中的“常”的含义是什么？4 具有干摩擦力矩的弗洛凯摆？5 离心式风机管道脉动式振动问题（喘振）?2003-4-51 第第5 5章章 自主学习指导自主学习指导 6 何谓“极限环”？极限环的存在条件是什么?7 闭轨道与极限环是一回事吗？8 庞加莱指数的内涵是什么?9 如何用庞加莱指数定
2、理判别极限环的存在性？10 范德波尔方程描述了什么物理现象？2003-4-51 第第5 5章章 单自由度系统的自激振动单自由度系统的自激振动 对线性阻尼振动系统对线性阻尼振动系统,周期运动只能由周期周期运动只能由周期性驱动力产生性驱动力产生;而对非线性自激振动系统而对非线性自激振动系统,即使即使在非周期性变化的能源供给下在非周期性变化的能源供给下,它亦能产生严格它亦能产生严格的周期运动的周期运动.自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统,在运动过程中伴随有能量损耗在运动过程中伴随有能量损耗,但系统存在一种但系统存在一种机制机制,使能量能够使能量能够由非振动的能源
3、由非振动的能源通过系统本身通过系统本身的反馈调节的反馈调节,及时适量地得到补充及时适量地得到补充,从而产生一从而产生一个个稳定的不衰减的周期运动稳定的不衰减的周期运动.这样的振动称为自这样的振动称为自激振动激振动.2003-4-51 第第5 5章章 单自由度系统的自激振动单自由度系统的自激振动三极管振荡系统的范三极管振荡系统的范德德波尔方程波尔方程 0)(20220 xxxxx xyxxyyx20220)(相轨道方程相轨道方程yxyxxxy20220)(dd2003-4-51 第第5 5章章 单自由度系统的自激振动单自由度系统的自激振动 给出任一初始条给出任一初始条件件,通过计算机数值通过计算
4、机数值求解求解,可以证明它的可以证明它的相轨道都将趋向于一相轨道都将趋向于一条闭合曲线条闭合曲线,这一条这一条闭合曲线闭合曲线,称为极限称为极限环。环。2003-4-51第第6 6章章 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动1 1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动2.2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动3.3.庞加莱截面庞加莱截面 4.4.单摆的复杂运动单摆的复杂运动主要内容主要内容2003-6-1 驱动单摆方程驱动力写成指数这是非齐次非齐次线性微分方程,其通解是它的齐次线性方程的通解和它一个特解之和。1.齐次方程的通解齐次方程的通解:类似线性阻尼单摆，得：n2.非齐次方程的特解非
5、齐次方程的特解:设求导：消去公因子 tcos2222Fxdtdxdtxdm2/mlfF/)tcos()(t0eAtx220ti2222Fexdtdxdtxd)()()(txtxtxti)(AetxtiiAedtdxti222AedtxdtieFAAiA222iFA2)(22222224)(2212tgieFA小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解ti2222Fexdtdxdtxd代入1线性有阻尼单摆的受迫振动线性有阻尼单摆的受迫振动2003-6-1代入、以后特解为：非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分：衰减过程常称
6、为过渡过程。过渡过程。)2tgtcos(4)()(22122222Ftx)2tgtcos(4)()tcos()(22122222t0FeAxxtx1线性有阻尼单摆的受迫振动线性有阻尼单摆的受迫振动小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解)ti(i)(eeFtxti)(AetxieFA)2tgtcos(4)()(22122222Fxxtx2003-6-1谐振特性谐振特性1线性有阻尼单摆的受迫振动线性有阻尼单摆的受迫振动研究幅频特性幅频特性：将分母根号下对频率求导并令其等于零：共振频率共振频率 r小于系统自振频率小于系统自振频率，共振时的最大振幅共振时的最大振幅为：共振时最大振幅与阻尼有关2222
7、24)(FA04)()(22222dddvdf2222)(22r2共振共振频率频率22r2FA222arctg2003-6-11.受驱杜芬方程受驱杜芬方程 （F cost 驱动力）由单摆方程 2.方程解方程解 设一次近似解 （A,为待定常数）A,由下述方程组求出：其中2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动杜芬方程解杜芬方程解tFxxdtdxdtxdcos322tcossin222Fxdtdxdtxdtcos)6(3222Fxxdtdxdtxd622)tcos()(AtxdtdtdxxfAdtddtdtdxxfdtdAcos),(21sin),(212020tFxdtdxtdtdxxfcos+
8、61+),(32tcos6132222Fxdtdxxdtxd改写改写2003-6-12.方程解方程解(续续)讨论稳态稳态2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动杜芬方程解杜芬方程解dtdtdxxfAdtddtdtdxxfdtdAcos),(21sin),(212020sin)+(161cos22AFAdtdFAdtdA0sin)+(16110cos22AFAFA积分0/dtdA0/dtd2003-6-12.方程解方程解(续续)考虑近共振：2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动杜芬方程解杜芬方程解0sin)+(16110cos22AFAFA0sin)+(0cos2AFFAe21611Aesin
9、)(cos22eFAFA2e)(+)(=2222eFA1cossin22等效自等效自振频率振频率2003-6-1222224)(FA2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动谐振特性谐振特性)(+)(=2222eFA 单摆单摆 杜芬方程杜芬方程 等效自振频率随振幅增加而减小等效自振频率随振幅增加而减小自振频率是常数自振频率是常数由于自振频率随振幅增加而减小，由于自振频率随振幅增加而减小，共振峰共振峰发生发生“倾倒倾倒”现象，现象，形成了向左的形成了向左的S形曲线。形曲线。21611Ae222224)(FA2003-6-1/=FA21eee 驱动频率由小到大增加，共振点由1移至2。到达2后，振幅向
10、上跳变到3。值时到达点4后，振幅又发生一次跳变，由4一下跳到最低值。一些异常谐振特性谐振特性现象：(1)自动限幅现象自动限幅现象 共振振幅 A 为一有限值：(2)多值共振解现象多值共振解现象 在 区域，一个 值对应着三个A值，即共振解有三个 q，r，s。(3)跳跃反相现象跳跃反相现象 当 时，=0，共振解在共振线上；当 时，0。2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动谐振特性谐振特性2003-6-121e0/ddA0/ddAe 杜芬方程杜芬方程有异常频率特性，在 间有3个解。它们的稳定性如何？稳定性判据为：在 区域，解稳定性条件为：，否则解是不稳定的；在 区域，解稳定性条件为：，否则解是不稳定
11、的；以这两个判据来衡量，图中的 q，r，s 三个解中解 q，s 是稳定的，解 r 是不稳定的。无阻尼杜芬振子的轨线 阻尼杜芬振子的轨线相图相图2.杜芬方程的受迫振动杜芬方程的受迫振动2003-6-1庞加莱截面与庞加莱映射庞加莱截面与庞加莱映射 相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单摆-杜芬方程，相图已复杂多了。n庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面庞加莱截面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。n在n 维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。n
12、人们将时间上的连续运动转变为n离散的图象处理方法称为庞加莱庞加莱n映射映射。3.庞加莱映射庞加莱映射2003-6-1 单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四四周期运动周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。3.庞加莱映射庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动2003-6-13.庞加莱映射庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动单周期运动单周期运动，轨线
13、每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点;无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。2003-6-1单摆的三维相空间单摆的三维相空间3.庞加莱映射庞加莱映射阻尼单摆的运动方程可化成三个方程：用三个变量q,组成三维相空间相角有周期性，把2 n 和2(n+1)平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来园形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。tFdtddtdqqq
14、cossin2222qdtdtFdtddtdqqcossin2dtd2003-6-1它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不仃地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。受驱转子运动受驱转子运动3.庞加莱映射庞加莱映射2003-6-14.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小驱动力单摆小驱动力单摆 阻尼单摆方程为：小驱动力作用 作小幅度振动 由线性受驱单摆
15、知解为：微分 后得由这两式得轨线方程tFdtddtdqqqcossin2222tFdtddtdqqqcos222)tcos(4)()(22222qFt)tsin(4)()(22222qFdttd222222224)(/qqFdtd2003-6-14.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动 小驱动力单摆的相轨线方程是椭圆方程。说明：1.在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线2.说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。3.驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力
16、矩 F 增大而增大增大而增大，(即摆角在增大)。222222224)(/qqFdtd小驱动力单摆小驱动力单摆2003-6-14.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动当小摆角近似已不再适用时,相轨线要用数值计算求得。取1/4，2/3为定值，F 由小到大取一系列数值。1.附近的对称性破缺附近的对称性破缺 a.小摆角的对称椭圆在小摆角的对称椭圆在 附近变为蛋形，说明这里发生了对称性破缺；附近变为蛋形，说明这里发生了对称性破缺；b.蛋形的朝向与相角的取值有关；蛋形的朝向与相角的取值有关；c.这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。数值计算结果
17、数值计算结果1F1FtFdtddtdqqqcossin22222003-6-14.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果2 F=1.093 附近的附近的准周期运动准周期运动：a.当驱动力继续上升时,相轨线偏离闭合的单周期轨道，复杂化起来。b.在F=1.093时相图上，相轨线虽在-,的单摆势谷来回环绕，但始终无法达到周期重复状态。c.在庞加莱截面上，相点处一条曲线上，可以认定系统处于准周期状准周期状态态（接近正确的周期运动）。d.庞加莱截面上的图形与所取截面的位置(即相角)有关。2003-6-14.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.F=1.15
18、 附近的混沌状态附近的混沌状态 a.运动已扩展到势谷 两侧的势谷内。b.运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的势谷内再绕上 几圈，往复不已。c.在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。,2003-6-14.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动结论结论 综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：(1)在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某临界临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为混沌混沌。(2)混沌状态并不是混乱一片混沌状态并不是混乱一片。从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，。从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着。在庞加来截面上，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着。在庞加来截面上，起始时相点虽然随机地分布着，然而在足够长的时间以后，一种由相点描绘起始时相点虽然随机地分布着，然而在足够长的时间以后，一种由相点描绘的内部结构逐步地显露出来。的内部结构逐步地显露出来。(3)这些情况说明，这些情况说明，混沌具有非常丰富的内部结构层次混沌具有非常丰富的内部结构层次。
