1、1第二次课21.引言系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其他变量之间关系的数学表达式。控制系统中常见的二种数学模型形式：34 对控制系统的研究，一般都是建立在模型基础上进行的。常见的模型：数学模型数学模型 ：微分方程、传递函数、频率特性 研究系统的动态特性 物理模型物理模型：化学中的分子结构模型 物理学中的力电模型 研究系统的内部结构 图模型：方块图、信号流程图、树图等 两者皆有 5 工程上常用的数学模型工程上常用的数学模型：l微分方程自变量为时间 t控制系统在时间域时间域的数学模型l传递函数自变量为复数 s控制系统在复数域复数域的数学模型l频率特性自变量为频率 w控制系统在频域频域
2、的数学模型6“三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj7 微分方程微分方程、传递函数传递函数和频率特性频率特性分别是系统在时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称为工程分析法。一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。8第一节 建立系统微分方程一、建立系统微分方程步骤（
3、四步）1.明确系统的输入输出量；2.列些每个元件的输入输出的微分方程；3.各元件方程叠加，消中间量，求得系统输出输入方程；4.与输出量有关项列左侧，与输入量有关项列右侧。9二、举例例2-1 R-L-C电路 (P13)rcccuudtduRCdtudLC22二阶微分方程RLCi+-ur(t)uc(t)(t)10例2-3 阻尼器系统 (P15)二阶微分方程 tFtkydttdyfdttydm2211l控制系统微分方程的建立的方法控制系统微分方程的建立的方法l两种典型控制系统微分方程的建立两种典型控制系统微分方程的建立。12拉普拉斯变换13本节主要内容：l传递函数的定义l传递函数的基本性质l 典型环
4、节函数的数学模型典型环节函数的数学模型第三次课第二节 控制系统的传递函数14 传递函数是经典控制理论中最重要经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：不必求解微分方程不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数对传递函数的要求-综合传递函数的基本概念15一、传递函数的基本概念一、传递函数的基本概念传递函数的传递函数的定义定义：线性定常系统在零初始条件下零初始条件下系统（或元件）输出量输出量的拉氏变换与输入量输入量的拉氏变换之比。)()()(sRsCsG设
5、系统输入r（t），输出c（t）则系统传递函数为16例如例如 求RC电路传递函数。r(t)输入量 c(t)输出量RC()i t()r t()c t11R(s)C(s)G(s)Ts复域复域:传递函数传递函数(t)(dtdC(t)TrtC时域时域：（RC=T）微分方程微分方程17将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn当传递函数和输入已知时C(s)=G(s)R(s)。通过反变换可求出时域表达式c(t)。传递函数的基本概念nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(称为环节的传递函数
6、)()()()()()()1(1)(0)1(1)(0trbtrbtrbtcatcatcammmnnn)0,0(,mjnibaji式中：r（t）为输入信号，c（t）为输出信号为常系数设系统或元件的微分方程为：18 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 l 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。l 传递函数不能反映系统或元件的物理性质。物理性质截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。l 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映
7、中间变量的关系。19l 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。l 传递函数忽略了初始条件的影响。l 传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。20传递函数的基本概念 例1例1 求下图的传递函数：TsTssUsUsGi111)()()(01RC2iiu1i2ROu2121RRCRRT221RRR 21电阻 电容 电感 R时域 复数域 RCCs1LLs22传递函数的基本概念 例2例2 求下图的传递函数：2121RRCRRT221RRR 1RCs1iu2ROu21211
8、RRCsRUUio21121212112)1()1()1(RRCsRRCsRRCsRRRCsRRTsTssRRCRRRRRsRRCRRRRR111)1)()1(2112221211222123 1 1、比例环节（又叫放大环节）、比例环节（又叫放大环节）特特 点：点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现 象。象。运动方程运动方程:c(t)=Kr(t)K放大系数，通常都是有量纲的。放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：KR(s)C(s)G(s)K)R(j)C(j)G(j242526 例例：输入：输入：n1(t)转速转速
9、Z1主动轮的齿数主动轮的齿数 输出：输出：n2(t)转速转速 Z2从动轮的齿数从动轮的齿数运动方程运动方程：传递函数传递函数：频率特性频率特性：(t)nzz(t)n1212Kzz(s)N(s)NG(s)2112Kzz)(jN)(jN)G(j211227特特 点点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：dtdr(t)KC(t)KSR(s)C(s)G(s)jK)R(j)C(j)G(j28 2930例例 RC电路电路 设：输入ur(t)输出uc(t)消去i(t)，得到：运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：（Tc=RC）当Tc1时，又
10、可表示成：频率特性频率特性：G（j）=jTc此时可近似为纯微分环节。i(t)Ri(t)dtc1(t)ur(t)u(t)dtuRC1(t)uccr1sTsT(s)U(s)UG(s)ccrcsT(s)U(s)UG(s)crcRtutic)()(31特特 点：点：输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性频率特性：)Kr(tdtdc(t)sKG(s)jK)G(j32输入为r(t)，输出为c(t)运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：（T=R1C）频率特性：频率特性：r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)
11、11cRr(t)(t)i(t)ijTK)R(j)C(j)G(j3334其它其它举例举例35特点特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：Kr(t)c(t)dtdc(t)T1TsKG(s)1jTK)G(j36例如例如 求RC电路传递函数。r(t)输入量 c(t)输出量RC()i t()r t()c t11R(s)C(s)G(s)Ts复域复域:传递函数传递函数(t)(dtdC(t)TrtC时域时域：（RC=T）微分方程微分方程37输入量:ud 电枢电压输出量：id 电枢电流动态方程如
12、下：运动方程：运动方程：传递函数传递函数:式中 Ld 电枢回路电感；Rd 电枢回路电阻；d 电枢绕组的时间常数；ddddduiRidtdLddddRuidtd11)()(G(s)sRsUsIdddddddRL38一阶水箱，水银温度计等39特点：特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：式中：阻尼比，T振荡环节的时间常数。频率特性：频率特性：Kr(t)c(t)dtdc(t)T2dtc(t)dT222TjTjRjCjG2)1(1)()()(2240jRC)LC-(111)RC(j)LC(j1)G(j
13、22i(t)dtC1c(t)i(t)dtC1ri(t)dtdi(t)Lr(t)解：解：消去中间变量i(t)得到运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：r(t)c(t)dtdc(t)RCdtc(t)dLC221RCsLCs1G(s)241 输入-力：f(t)，输出-位移：x(t)。微分方程式中：K弹簧弹性系数；M物体的质量，B粘性摩擦系数。传递函数：传递函数：M()f t()x tB图2-16 机械振荡K)()()()(22tKxdttdxBdttxdMtf1sKBsKMK1F(s)X(s)G(s)242 特特 点：点：此环节的输出量不仅与输入量本身 有关，而且与输入量的变化率有关运动
14、方程运动方程：传递函数：传递函数：G(s)=Ts+1频率特性：频率特性：G(j)=j T+1 r(t)dtdr(t)Tc(t)43输入：输入：u(t)，输出：输出：i(t)，则 传递函数：传递函数：（R=1 RC=）频率特性：频率特性：一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。u(t)dtdu(t)u(t)dtdu(t)RCR1Ru(t)dtdu(t)c(t)i(t)ii(t)211sU(s)I(s)j1jG44 特点：特点：输出与输入及输入一阶、二阶导数都
15、有关运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：可以看出，二阶微分环节的传递函数和频率特性是振荡环节的倒数。r(t)dtdr(t)T2dtr(t)dTc(t)2221Ts2sTR(s)C(s)G(s)22TjTjTjTjG2)1(1)(2)()(22224546（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。递函数。例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。（2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。时，就可能得到不同形式的传递函数。例如：电容：输入例如：电容：输入电流，输出电流，输出电压，则是积分环节。电压，则是积分环节。反之，输入反之，输入电压，输出电压，输出电流，则为微分环节。电流，则为微分环节。
