1、18.1.1 勾股定理勾股定理 相传相传25002500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了答案，同学们从朋友家的地砖铺成的地面上找到了答案，同学们看看图中有没有等腰直角三角形，从中你能找到答看看图中有没有等腰直角三角形，从中你能找到答案吗？案吗？ABCABC等腰直角三角形三边有什么等腰直角三角形三边有什么特殊关系？特殊关系？以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和的和,等于以斜边为边长的正方形的面积等于以斜边为边长的正方形的面积.即即S SA A+S+SB B=S=SC C两直
2、边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方A A、B B、C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？同学们，我们也来同学们，我们也来观察图中的地面，观察图中的地面，看看你能发现什么？看看你能发现什么？是否和大哲学家有是否和大哲学家有同样的发现呢？同样的发现呢？ABC你能发你能发现图中现图中的等腰的等腰直角三直角三角形有角形有什么性什么性质吗？质吗？（1）观察图形）观察图形 正方形正方形A中含有中含有 _个小方格即个小方格即A的的面积是位面积面积是位面积-正方形正方形B中含有中含有 个小方格，即个小方格，即B的的面积是面积是_ 个单位个单位面积面积-正方形正方形C中含中含有有 个小方格
3、，个小方格，即即C的面积是的面积是_个单位面积。个单位面积。99181899CABABCABCA A的面的面积积(单位单位长度长度)B B的面积的面积(单位长单位长度度)C C的面的面积积(单位单位长度长度)图图2 2图图3 3A A、B B、C C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系图图2 2图图3 3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方是不是所有的直角三角形都有两直边的平方和等于斜边的平方是不是所有的直角三角形都有两直边的平方和等于斜边的平方在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角
4、的手臂的上半部分称为 勾勾，下半部分称为，下半部分称为 股股。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”.勾勾股股 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边，斜边为为c，那么，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理cab勾勾股股弦弦在西方又称毕达哥拉斯定理！在西方又称毕达哥拉斯定理！a2+b2c2-b2c2-a2=c2 =a2=b2 abc如果直角三角形的两直角边长分
5、如果直角三角形的两直角边长分别为别为、，、，斜边为斜边为，那么，那么2 2+b+b2 2=c=c2 2.通过探究我们得到这样的结论通过探究我们得到这样的结论这个命题如何证明呢这个命题如何证明呢?试一试试一试,用直角边分别为用直角边分别为a b,a b,斜边为斜边为c c的直角三角的直角三角形能拼成哪些图形形能拼成哪些图形?abcaaabbccabcabc我们用下面的图形的来证明直角三角形的三边关系我们用下面的图形的来证明直角三角形的三边关系 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2证明：证明：S大正方形大正方形=a2+b2+2abS大正方形大正方形=S大正方形大正方形a2+b2+2ab=2ab
6、+c2a2+b2=c2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法经过证明被确认为正确的命题叫做经过证明被确认为正确的命题叫做定理定理.我们把它称为我们把它称为勾股定理勾股定理.S大正方形大正方形=2ab+c2证明：如图证明：如图S大正方形大正方形=2ab+c2S大正方形大正方形=(a+b)2=2ab+c2即即(a+b)2a2+b2=c2第二种证法第二种证法abc图图图图cab证明：如图证明：如图S大正方形大正方形=c2S大正方形大正方形=2ab+(ab)22ab+(ab)2=c2a2+b2=c2赵爽证法赵爽证法ABCDcbaa+b22c2用赵爽弦图证明勾股定理用赵爽弦图证明勾股定理=ba(a+b)(b+a)
7、=c2+2(ab)a2+ab+b2=c2+aba2+b2=c2aabbcc伽菲尔德的证明方法伽菲尔德的证明方法1881年，年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理的证明，人们为了纪念他对勾股定理的证明，就称这一证法称为就称这一证法称为“总统总统”证法。证法。你还有其他证明你还有其他证明方法吗？方法吗？cab1、已知：已知：a a3 3，b b4 4，求，求c c2、已知：已知：c c 1010，a a6 6，求，求b b3 3、已知：、已知：c c 1313，a a5 5，求阴影总分面积，求阴影总分面积ac4、小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部
8、2929英寸英寸（7474厘米）的电视机厘米）的电视机.小明量了电小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有视机的屏幕后，发现屏幕只有5858厘米长和厘米长和4646厘米宽，他觉得一定厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了是售货员搞错了.你同意他的想法你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？吗？你能解释这是为什么吗？58厘米厘米46厘米厘米74厘米厘米想一想：想一想：5、如图将长为、如图将长为5.41米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上斜靠在墙上,BC长长为为2.16米米,求梯子上端求梯子上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离AB(精确精确到到0.01米米)分析：先把实际问题转化成数学问题。分析：先把实际问题
9、转化成数学问题。已知：已知：AC=5.41,BC=2.16 且且 B =90求：求：AB的长。的长。解：在解：在RtABCRtABC中，中，ABC=90 ABC=90，BC=2.16 BC=2.16，CA=5.41 CA=5.41 根据勾股定理得：根据勾股定理得：AB=答：梯子上端答：梯子上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离AB长约长约4.96米。米。22ACBC225.412.16（米）4.96、如图、如图:一个高一个高3 米米,宽宽4 米的大门米的大门,需在相对角需在相对角的顶点间加一个加固木板的顶点间加一个加固木板,则木板的长为则木板的长为 ()A.3 米米 B.4 米米 C.5米米
10、 D.6米米C试一试试一试:、隔湖有两点、隔湖有两点A、，从与、，从与A方向成直方向成直角角 的的BC方向上的点方向上的点C测得测得CA=13米米,CB=12米米,则则AB为为 ()ABCA.5米米 B.12米米 C.10米米 D.13米米1312?A试一试试一试:、一个直角三角形的三边长为三个连续、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数偶数,则它的三边长分别为则它的三边长分别为 ()A 2、4、6 4、6、8B试一试试一试:6、8、10 8、10、12b=2a=1c=？b=?c=17a=154、求下列、求下列2个三角形中的第三条边的长。个三角形中的第三条边的长。试一试试一试:已知已知ABC中，
11、中，C=Rt,AB=c,BC=a,AC=b.如果如果a=12，c=13，求，求b;如果如果c=34,a b=8 15，求求a,b.acbCAB考一考：考一考：1、在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道中记载了一道有趣的问题，这个问题的意有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是思是：有一个水池，水面是一个边长为一个边长为10尺的正方形，尺的正方形，在水池的中央有一根新生的在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面芦苇，它高出水面1尺，如果尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和
12、面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？DABCDABC 2 2、蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为爬了多少厘米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米）GFE、本节课我们经历了怎样的过程？、本节课我们经历了怎样的过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。验证数学结论的数形结合思想。、学了本节课后我们有什么感想？、学了本节课后我们有什么感想？很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。辉煌历史的教育。回顾与思考回顾与思考作业：作业：
