1、湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一第一学期入学考试数学一选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知且,则的最小值为()A. B. 3C. D. 132. 是锐角三角形的两条高,如果,则等于()A. B. C. D. 3. 关于的方程有两个不相等的实数根,且,那么的取值范围是()A. B. CD. 4. 在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后,得到新的盐水,它的浓度为,又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后,盐的浓度变为,那么原来盐水的浓度为()A. B. C. D. 5. 已知两个连续自然数,且,设,则()A
2、. 总是奇数B. 总是偶数C. 有时是奇数,有时是偶数D. 有时是有理数,有时是无理数6. 为正三角形内部一点,于于于,则()A. 的值不变B. 的值不变C. 的值不变D. 的值不变二填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)7. 若,则_.8. 关于的二次式可以分解为两个一次因式的乘积,则的值是_.9. 如图,在中,平分于,点是的中点,则关于的函数关系式为_.10. 袋中装有3个红球,1个白球,它们除了颜色以外都相同,随机从中摸出一球,记下颜色后放回袋中充分摇匀后,再随机摸出一球,两次都摸到红球的概率为_.11. 光线从如图所示的角度照射到平面镜上,然后在两平面镜之间来回反射,已知,则
3、_.12. 在平面直角坐标系中,已知的坐标为,将其绕着原点按逆时针方向旋转得到,延长到使,再将绕原点按逆时针方向旋转得到,延长到使,如此继续下去,则点的坐标为_.13. 一圆周上有三点,的平分线交边于,交圆于,已知,则_.14. 在锐角中,高,交于点,面积为,则的面积为_.15. 方程的解为_.16下列命题:若,则;若,且,则;若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11,上下两底长都是整数,则该梯形的高为;已知方程的一个根为1,另一个根的取值范围是.其中正确的命题的序号为_.三解答题(本大题共6小题,共50分)17. 设,求的值.18. 已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根,第三边B
4、C长为5(1)为何值时,是以为斜边的直角三角形(2)为何值时,是等腰三角形,并求此时三角形的周长19. 如图,在中,为边上一点,与分别为和的平分线.(1)判断是什么三角形,并证明你的结论;(2)比较与的大小;(3)以为直径的交于点,连接与交于,若,求证:,并求的值.20. 已知是的内接三角形,为的切线,为切点,为直线上一点,过点作的平行线交直线于点,交直线于点.(1)当点线段上时,求证:;(2)当点为线段延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,否则说明理由;(3)若,求的半径.21. 如图所示,已知两点的坐标分别为和,动点从点开始,在线段上以每秒3个长度单位的速度向原点运动
5、,动直线从轴开始,以每秒1个长度单位的速度向上移动(即轴),且分别与轴线段交于点,连接,设动点与动直线同时出发,运动时间为.(1)当时,求梯形的面积.为何值时,梯形的面积最大?最大面积是多少?(2)当梯形的面积等于三角形的面积时,求线段的长.(3)设的值分别取时,所对应的三角形分别为和,判断这两个三角形是否相似,请证明你的结论.22. 如图,已知点,过点的与直线相切于点(在第二象限),点关于轴的对称点是,直线与轴相交点.(1)求证:点在直线上;(2)求以为顶点且过的拋物线的解析式;参考答案一选择题1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】A6. 【答案】C二
6、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)7. 【答案】38. 【答案】9. 【答案】10. 【答案】#0.562511. 【答案】12. 【答案】13.【答案】14. 【答案】15. 【答案】16. 【答案】三解答题(本大题共6小题,共50分)17. 设,求的值.【答案】【详解】解:,18. 【详解】试题分析:(1)由根与系数的关系得到的关系式,由于三角形是直角三角形,因此满足,代入后得到关于的方程,解得值;(2)是等腰三角形有三种情况,分别讨论得到值试题解析:(1)因为是方程的两个实数根,所以又因为是以为斜边的直角三角形,且所以,所以,即,所以所以当时,方程为,解得当时,方程为,解得
7、(不合题意,舍去)所以当时,是以为斜边的直角三角形(2)若是等腰三角形,则有三种情况因为,所以,故第种情况不成立所以当或时,5是的根所以,解得当时,所以,所以等腰的三边长分别为5、5、4,周长是14当时,所以,所以等腰的三边长分别为5、5、6,周长是16考点:1二次方程根与系数的关系;2分情况讨论19. 【答案】(1)为直角三角形,证明见解析(2)(3)证明见解析,【小问1详解】解:是直角三角形,理由如下:,;又与分别平分和,是直角三角形;【小问2详解】解:,同理可证,【小问3详解】证明:是直径,为角平分线,即,过点作,交于点,因为为等腰三角形,所以为的中点,因为,所以,所以,所以,又,所以,
8、20. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)3【小问1详解】点在线段上时,因为为的切线,为切点,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,所以;【小问2详解】当点为线段延长线上一点时,第(1)题的结论仍然成立,理由如下,因为为的切线,为切点,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,所以;【小问3详解】做直径,连接,所以,因为为的切线,为切点,所以,因为,所以,因为,为锐角,所以,在中,因为, ,所以,所以半径为3.21. 【答案】(1)当秒时,梯形的面积最大,最大值为28(2)(3)答案见解析【小问1详解】,设运动时间为秒,梯形的面积为,则,所以当秒时,梯形的面积最大,最大值为2
9、8;【小问2详解】当时,解得,(舍去),当秒时,做轴于点,此时为等腰直角三角形,所以,所以;【小问3详解】是相似,理由如下:由且,可得.22. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)答案见解析【小问1详解】由题意,因为与相切与,是圆的割线,所以即,因为在第二象限,关于轴的对称点是,所以,可得,设直线的解析式是,代入得,解得,直线的解析式是,当时,即点直线上;【小问2详解】因为所求抛物线以为顶点,所以抛物线的解析式可设为,将坐标代入,可得,所以抛物线解析式为,以为顶点且过的拋物线的解析式为;【小问3详解】过点且平行于轴的直线为,由和联立解得,所以,以点为圆心且与相切的圆有两种情况:外切和内切,当圆与外切时,所以圆半径为2 ,点就是切点,