1、函函 数数 的的 单单 调调 性性如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间上内某个区间上的的任意两个自变量任意两个自变量x1、x2的值，当的值，当x1x2时，时，都有都有f(f(x1)f()f(x2)，那么就说，那么就说f(xf(x)在这在这个区间上是个区间上是增增函数。函数。如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间内某个区间的的任任意两个自变量意两个自变量x1、x2的值，当的值，当x1f()f(x2)，那么就说，那么就说f(xf(x)在这在这个区间上是个区间上是减减函数。函数。1.1.函数的单调性是对函数的单调性是对定义域内的某个区间定义域内的某个区间而言的，如果函数
2、而言的，如果函数y=f(xy=f(x)在某个区间是在某个区间是增函数或减函数增函数或减函数，就说函数，就说函数y=f(xy=f(x)在这个区间具有在这个区间具有(严格的严格的)单调性单调性。这个区间就叫做函数。这个区间就叫做函数y=f(xy=f(x)的的单调区间单调区间。2.2.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。3.3.有没有非单调函数？有没有非单调函数？4.4.单调区间的书写时，区间的端点的开闭没有严格的规定。单调区间的书写时，区间的端点的开闭没有严格的规定。例1判断下列函数的单调性：上单调递减。，在上单调递增；，
3、函数在)1 1(上单调递减，函数在)0(),0(上单调递增，函数在)(32.1 xyxy 5.xyxxxyxxy1.44,1,52.352.2226.讨论函数讨论函数 的单调性。的单调性。2yxxyx22),2,2,(2,0(),0,2函数函数 的单调性呢？的单调性呢？)0(axaxy例例2、函数、函数 f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，上的偶函数，,32)(,02 xxxfx时时当当1.用分段函数写出用分段函数写出 f(x)的函数解析式；的函数解析式；2.作出作出 f(x)的图象，并指出其单调区间。的图象，并指出其单调区间。31-1-3-3Oxy 03203222xxxxxxy上上单单调
4、调递递减减；、在在区区间间1,0(1,()(xf.),1 0,1(上单调递增、在区间例例3、函数、函数 f(x)在在(0,+)上是减函数，求上是减函数，求f()与与f()的大小的大小.12aa430434321122)(aaa解解:又又 f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数)()(4312faaf例例4（1）二次函数二次函数y=f(x)的图象是一条的图象是一条开口向上的且对称轴为直线开口向上的且对称轴为直线 抛物线抛物线,试比较大试比较大小小:)(Rx3x)()(46ff与1.2.)()(152ff与二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是
5、对称轴；三是顶点坐标轴；三是顶点坐标.是减函数是减函数2 21)1)2(b2(b,f(x)在(f(x)在(由图象知,由图象知,2是开口向上的抛物线2是开口向上的抛物线1)x1)x2(b2(bx xf(x)f(x)2 2解解:3412124bbb)()(,(,(2 2例例4(2)4(2)若若函函数数f(x)x2(b1)x2f(x)x2(b1)x2在在(,4(,4上上是是减减函函数数,求求b b的取的取值值范范围围.二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称轴；三是顶点坐标轴；三是顶点坐标.求m的取值范围求m的取值范围)上是增函数,)上是增函数,2
6、,2,5在区间5在区间mxmx4x4x若函数f(x)若函数f(x)2 2练练习习解：如图所示解：如图所示函数有最大值函数有最大值 5。-7-3-5挑战极限375xy0例例5、已知奇函数、已知奇函数 f(x)在区间在区间3,7上上是增函数，且有最小值是增函数，且有最小值5，则，则f(x)在区在区间间-7,-3上是上是 函数，且函数，且有最有最 值值 。奇函数奇函数f(x)，在对称区间上单调性，在对称区间上单调性相同相同，最值，最值相反相反;偶函数偶函数f(x)，在对称区间上单调性，在对称区间上单调性相反相反，最值最值相同相同。增增大大-21.定义在定义在(-1,1)上的奇函数上的奇函数f(x)为
7、减函数，且为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)0，求，求实数实数a的取值范围；的取值范围；（2）定义在）定义在-2,2上的偶函数上的偶函数g(x)，当，当x0时，时，g(x)为减函数，为减函数，若若g(1-m)g(m)成立，求成立，求m的取值范围的取值范围.（1）f(1-a)+f(1-a2)0,f(1-a)-f(1-a2),f(x)为奇函数为奇函数,f(1-a)a2-1 -11-a1 -1a2-11,解得解得0a1.（2）因为函数因为函数g(x)在在-2,2上是偶函数，则由上是偶函数，则由g(1-m)g(m)，可得，可得g(|1-m|)g(|m|),又当又当x0时，时，g(x)为减函数，得
8、到为减函数，得到|1-m|2|m|2 解之得解之得-1m|m|,.21例例6 6 奇偶性在求变量范围中的应用奇偶性在求变量范围中的应用例例6 6 奇偶性在求变量范围中的应用奇偶性在求变量范围中的应用设设f(x)在在R上是偶函数，在区间上是偶函数，在区间(-,0)上递增，且有上递增，且有f(2a2+a+1)0,2a2-2a+3=2（a-）2+0,且且f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即即3a-20,解之得解之得a .a的取值范围是的取值范围是a .418721323225【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题义的逆命题.例例
9、7.函数函数y=f(x)是定义在是定义在(0，+)上的增上的增 函数，且满足函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 (1)求证：求证：f(8)=3 (2)解不等式解不等式f(x)-f(x-2)3 练习练习、函数、函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，满足上是增函数，满足.解解:3338)()(,)(),()()(xfxffyfxfxyf解不等式)()()()(8238fxfxff)()()()()(82fxxfyfxfxyf又4820200 xxxxxxf)(),()(上是增函数在又分析分析：函数是由函数是由uy 复合而成的和322xxu上是增函数在因为),0 uy的单调递
10、减区间。、讨论函数例3222xxy322xxu单调递减区间是单调递减区间是)1,()1,(7.已知已知f(x)、g(x)都是都是R上的奇函数，上的奇函数，且且x0时，时，f(x)0、g(x)0,当当 x0时，时，f(x)0的解集是的解集是(1，3)，g(x)0的解集是的解集是(，)，那么，那么 f(x)g(x)0的解集是的解集是_12321.函数单调性的定义：函数单调性的定义：1.图象图象法法2.定义法定义法3.复合函数判定法复合函数判定法复习复习:2.函数单调性的判定：函数单调性的判定：3.函数单调性的应用：函数单调性的应用：返回一般步骤：一般步骤：1.设任意设任意x1、x2在给定区间内在给
11、定区间内,且且 x1x22.作差作差变形变形3.判断符号判断符号4.下下结论结论1.函数单调性的定义：函数单调性的定义：1.图象图象法法2.定义法定义法3.复合函数判定法复合函数判定法复习复习:2.函数单调性的判定：函数单调性的判定：3.函数单调性的应用：函数单调性的应用：返回一般步骤：一般步骤：1.设任意设任意x1、x2在给定区间内在给定区间内,且且 x10时，要使时，要使f(x)在在1,+)上是增函数，上是增函数，a0 1 （3）当当a0时，函数时，函数y=1f(x)与与y=f(x)的单调性相反的单调性相反.对于对于f(x)0也成立也成立.在公共区域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去在公共区域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得函数为增函数一个减函数所得函数为增函数.（3）图象法）图象法.通过函数图象直接判断通过函数图象直接判断.数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离.华罗庚华罗庚
