1、l1 1第一章 光的粒子性和 电子的波动性1.1 黑体辐射与普朗克的量子化假设1.1.1 黑体辐射的实验规律：l热辐射是物体的一种电磁辐射现象，所有物体都能发射热辐射，例如炽热物体的发光就是一种热辐射现象。由于分子热运动导致物体辐射电磁波由于分子热运动导致物体辐射电磁波温度不同时温度不同时 辐射的波长分布不同辐射的波长分布不同l2 2l物体不仅有热辐射现象，对光也会有吸收现象。通常用吸收系数 l(，T T)来表示物体的吸收本领。l它定义为物体在温度T时，有波长为的光入射，被物体吸收的该波长的光能量与入射的该波长的光能量之比。l如果 (，T)=1，我们就称这种物体叫黑体.l黑体能够吸收射到它表面
2、的全部电磁辐射l3 3图图1.1.1 1.1.1 空腔小孔空腔小孔向远处观察向远处观察打开的窗子打开的窗子近似黑体近似黑体l4 4红外夜视仪红外夜视仪l5 5l6 61859年基尔霍夫(GRKirchhoff)指出：任何物体在同一温度T下的辐射本领r(，T)与吸收本领(，T)成正比，其比值只与和T有关：l7 7l(，T)也表示物体在也表示物体在 附附近近+d 单位频率间隔单位频率间隔辐射的能量辐射的能量l8 8l对吸收本领(，T T)=1)=1的绝对黑体，只要测出其发射本领r(，T)，就得到热辐射能量谱(，T)，。有时将热辐射能量谱表示成波长和温度的函数(，T)。如图1.1.2给出了不同温度下
3、黑体辐射的能谱分布曲线。l对吸收本领(，T T)=1)=1的绝对黑体，l9 9l图图1.1.21.1.2黑黑 体体 辐辐 射射 谱谱 l1010l(1)(1)每条曲线都只由温度决定，与腔壁的材料无关。每条曲线都只由温度决定，与腔壁的材料无关。l(2)(2)每条曲线都有一个极大值，其相应的波长设为，每条曲线都有一个极大值，其相应的波长设为，maxmax，随着温度，随着温度T T的增加，的增加，maxmax的值减小，与绝对温的值减小，与绝对温度度T T成反比：成反比：mamax xT T=b=b (1.1.2)(1.1.2)l其中其中b b是一个常数是一个常数b=2897.756mkb=2897.
4、756mk。18931893年维恩年维恩(WWien)(WWien)曾在理论上推导出这一结果，因此式曾在理论上推导出这一结果，因此式(1.1.2)(1.1.2)称为维恩定律。称为维恩定律。l(3)(3)黑体辐射的总辐射本领与它的绝对温度的四次方成黑体辐射的总辐射本领与它的绝对温度的四次方成正比正比dl上式称为斯忒藩玻耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律。l黑体辐射谱的几点结论l11111.1.2黑体辐射的经典理论公式l维恩黑体辐射的能量分布经验关系式:l瑞利与金斯利用经典电动力学和统计物理学得到黑体辐射公式l l(1.1.5)(1.1.5)l1212l瑞利和金斯首先认为空腔内的电磁辐射
5、形成一切可能形成的驻波，其节点在空腔壁处，由此得到辐射场中单位体积内频率 附近单位频率间隔内电磁辐射的振动模数：l(1.1.6)(1.1.6)根据经典的能量均分定理，当系统处于热平衡时，经典的玻尔兹曼分布律仍可应用，每一个简谐振子的能量可以在O到之间连续取值，则一个振动自由度的平均能量为：l1313l(1.1.7)(1.1.7)由此得到瑞利与金斯公式由此得到瑞利与金斯公式,当频率较低时，瑞利金斯定律的理论值与实验结果符合较好，频率较高时，就与实验结果有很大差异，在紫外端发散，这就是当时物理学界所称的“紫外灾难”,见图1.1.3各黑体辐射公式与试验的比较.l(1.1.8)l1414l1.1.3
6、普朗克公式以及能量子假设l1900年普朗克(MPlanck)在德国物理学会年会上提出一个黑体辐射能量分布公式l(1.1.9)(1.1.9)普朗克提出了能量量子化的假设：(1)黑体的腔壁是由无数个带电的谐振子组成的，这些谐振子不断地吸收和辐射电磁波，与腔内的辐射场交换能量；(2)这些谐振子所具有的能量是分立的，它的能量与其振动频率成正比：0=h .式中h即为普朗克常数h=6.621810-34(JS),振子与辐射场交换的能量只能取基本单元能量子0的整数倍n=n0n=0,1,2l1515l由于能量取离散值，因此利用统计理论求平均值时采用求和得：l利用等比级数求利用等比级数求和公式和公式:l带入上式
7、带入上式可得可得:l1616l利用公式利用公式:l得到得到(1.1.9)(1.1.9)普朗克公式普朗克公式.用波长表示即用波长表示即:l(1.1.10)(1.1.10)l1717l1.1.3 1.1.3 各黑体辐射公式与实验的比较各黑体辐射公式与实验的比较l1818l1919 普朗克普朗克(18581947)德国人德国人 (60岁获诺贝尔奖岁获诺贝尔奖)l 核心思想：核心思想：能量量子化能量量子化 (不连续不连续)!l能量不连续的概念与经典物理学是完能量不连续的概念与经典物理学是完l 全不相容的！全不相容的！lMax PlanckMax Planck荣获荣获19181918年年 Nobel P
8、rizeNobel Prize l20201.2光电效应与爱因斯坦光量子理论l1.2.1光电效应实验规律l1.2.1 1.2.1 光电效应装置图光电效应装置图l当光束照射在金属表面上时，使电子从金属中脱出的现象，叫做光电效应。l截止电压与电子的动能满足关系 l(1.2.1)l2121l2222l实验发现，对于一定的阴极材料，截止电压V0与入射光的强度无关而与光的频率成正比.当 减小时V0线性地减小，当小到某一数值 0时，V0=0，这时即使不加负电压也不会有光电子发射了。0称为光电效应的截止频 率 或 相 应 的 波 长0=c/0称为光电效应的红限。l图1.2.2 截止电压与频率的关系l2323
9、l1.2.2 爱因斯坦光子假说l(1.2.2)l(1.2.3)l2424l将(1.2.3)式代入(1.2.1)式，可得：l(1.2.4)如果作出eV0随变化的直线，该直线的斜率便是h。1916年密立根(RAMilikan)用这一方法求得普朗克常数的值，它与现代值十分相近。由式(1.2.4)将V0=0代 入，便 可 得 到 截 止 频 率 0=w/h,因而它只与材料性质w有关l2525l1.2.3 光电效应的应用光电效应的研究不仅在理论上有着重要的意义，在生产、科研、国防等方面也有重要的应用价值。一类是通过光电效应对光信号进行测量，另一类是利用光电效应实现自动控制。例如在电视、有声电影和无线电传
10、真技术中把光信号转化成电信号的光电管或光电池；在光度测量、计数测量中把光信号变为电信号并进行放大的光电倍增管等等，它们都有广泛的应用。通过光电效应进行自动控制的例子更是屡见不鲜。例如公共场所楼房大门的自动开合以及机床上自动安全装置等都可以用光电效应来实现，它们的基本原理都是光波被遮挡后便产生相应的电信号以实现所需要的控制。l2626l能量为h的光子的质量和动量是多大呢?爱因斯坦回答了这个问题。l可得P与波长的关系为l光压的概念:l2727 爱因斯坦在讲课爱因斯坦在讲课爱因斯坦爱因斯坦(1879 1955)德国人德国人 在普朗克获博士学在普朗克获博士学位五十周年纪念会位五十周年纪念会上普朗克向爱
11、因斯上普朗克向爱因斯坦颁发普朗克奖章坦颁发普朗克奖章l28281.3 康普顿散射l图1.3.1康普顿散射实验简图l2929l1.3.1 实验结果(1)不同的散射角方向上，除有原波长外，都出现了波长变化的谱线。(2)波长差=-随散射角而变化，与原波长无关。如图1.3.2所示。(3)若用不同元素作散射物质，则在同一散射角下与散射物质无关；原波长谱线的强度随散射物质原子序数的增加而增加，波长的谱线强度随原子序数的增加而减小。如图1.3.3。以上现象叫做康普顿效应，康普顿因发现此效应而获得1923年诺贝尔物理奖。l3030图1.3.2康普顿散射与角度的关系l图1.3.2 康普顿散射与原子序数的关系l3
12、131l1.3.2 理论解释l经典理论解释-康普顿视X射线为光子流，把X射线与自由电子间的作用看作是两种粒子相互碰撞发生散射的过程，因此应满足能量守恒和动量守恒。式中和分别是碰撞前后光子的频率，P P和PP分别是碰撞前后光子的动量。M0为电子静质量,电子碰前的动量是零，碰后的动量是mv。l3232l把(1.3.2)改成标量式得l而且l3333lc称为电子的康普顿波长，具有长度的量纲0.0024nm0.0024nml3434l讨论l(1)由(1.3.5)式可以看出，只与有关，与入射光的波长以及散射的物质无关。l(2)为什么散射光里总存在原波长这条谱线?l(3)波长和的两条谱线强度随原子序数消长的
13、 原因是什么?l(4)为什么实验观察到波长改变的谱线有一个较宽的强度分布轮廓，只是最高峰落在理论值上?(5)为什么进行康普顿散射实验需用波长很小的X光线?l3535康普顿在做康普顿散射实验康普顿在做康普顿散射实验l3636 康普顿康普顿 (1892-1962)美国人美国人吴有训吴有训(18971977)物理学家、教育家物理学家、教育家中国科学院副院长中国科学院副院长清华大学物理系主任、清华大学物理系主任、理学院院长理学院院长1928年被叶企孙聘为清华大学物理年被叶企孙聘为清华大学物理系教授系教授对证实康普顿效应作出了重要贡献对证实康普顿效应作出了重要贡献，在康普顿的一本著作中曾在康普顿的一本著
14、作中曾19处提处提到吴的工作到吴的工作l37371.4德布罗意波与电子衍射l1.4.1光的波粒二象性l3838l1.4.2 德布罗意假设受光的波粒两象性的启发，一直被当作粒子的实物粒子(如电子、质子)，会不会也具有波动性呢?1924年，法国青年学者德布罗意(LVde Broglie)在他的博士论文量子理论的研究中大胆提出实物粒子具有波长也同样满足关系式l(1.4.1)l(1.4.2)l3939法国青年物理学家法国青年物理学家德布罗意德布罗意 (18921986)l19241924年年1111月向巴黎大学月向巴黎大学理学院提交理学院提交 博士论文博士论文l 量子理论的研究量子理论的研究l 192
15、4.11.291924.11.29德布罗意德布罗意把题为把题为“量子理论的量子理论的l 研究研究”的博士论文的博士论文提交巴黎大学，获得评提交巴黎大学，获得评l 委会的高度评价和委会的高度评价和爱因斯坦的爱因斯坦的称赞：称赞：l “揭开了自然界巨大帷幕的一角揭开了自然界巨大帷幕的一角”l L.V.de Broglie L.V.de Broglie 荣获荣获19291929年年Nobel Nobel l Prize Prize l4040l例题1.4.1求电子经100V电压加速后的德 布罗意波长。l解:电子经加速后动能为Ek=100eV,Ekmoc2,用非相对论公式：将 h=6.6 3 1 0-
16、3 4J.S,m0=9.1 1 1 0-3 1k g，Ek=1001.610-19J,代入得到=0.123nm由式(1.4.3)可以看出，Ek 相同时，m0质量越大波长越短。因此，对于具有相同动能的粒子，质子的波长比电子的小很多。l4141l1.4.3 电子衍射实验l射线在晶体中的衍射服从布拉格公式上面的例题已经指出，动能为100eV的电子波长约为0.1nm,，即与X光波相近，因此，需要像X光一样，观察它们在晶体中的衍射。而晶体中原子间的距离正好是0.1nm的量级，所以可以用晶体中规则排列的原子来作为电子衍射的光栅。l图1.4.1布拉格条件l42421 9 2 6 年 戴 维 逊(C J D
17、a v i s s o n)和 革 末(LHGevmer)第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性。图1.4.2 戴维逊和革末实验装置示意图l4343他们将经过电场加速的电子束射到镍单晶他们将经过电场加速的电子束射到镍单晶上，镍单晶的原子间距是上，镍单晶的原子间距是0.215nm0.215nm。实验中。实验中他们测量了散射电子强度随散射角变化的他们测量了散射电子强度随散射角变化的函数关系。例如当加速电压函数关系。例如当加速电压U=54VU=54V时，探时，探测器在散射角测器在散射角 =50=50方向上有一个明显方向上有一个明显的峰值，如图的峰值，如图1.4.2(c)1.4.
18、2(c)所示。所示。l4444=50=50时，时，=(180-50)/2=65=(180-50)/2=65，对这一组如，对这一组如图图1.4.2(a)1.4.2(a)虚线平行晶面来说虚线平行晶面来说,d d=0.091nm=0.091nm，由布，由布拉格公式取拉格公式取n=1n=1则则=2=2d dsinsin=2=20.091nm0.091nmsin65sin65=0.165nm=0.165nm。再根据德布罗意关系式求出电子的波长。再根据德布罗意关系式求出电子的波长,这与由布拉格公式算得的结果符合得很好，这与由布拉格公式算得的结果符合得很好，从而证明了电子的波动性质从而证明了电子的波动性质。
19、l4545l图1.4.3是电子在Au多晶的衍射图样l4646l图1.4.4 量子围栏l47471993年美国科年美国科学家移动铁原学家移动铁原子，铁原子距子，铁原子距离离0.9纳米纳米“量子围栏量子围栏”48个铁原子排列在个铁原子排列在铜表面铜表面证明电子的波动性证明电子的波动性l48481993年MFCrommie等人把蒸发到铜(111)晶面的铁原子用扫描隧道显微镜的探针排列成半径为7.13nm的园环，称为量子围栏(quantum corral),在这些铁原子形成的园环内，铜的表面态电子波受到铁原子的强散射作用，与入射电子波发生干涉，形成驻波。实验观测到了在围栏内同心园状的驻波，直观地证实了
20、电子的波动性l4949例题1.4.2一个质量是0.01kg的小球，以10ms-1的速度运动时，试求出它的德布罗意波长。解 根据德布罗意关系式 =h/P小球的动量P=mv=0.0110=0.1(kgms-1)=h/p=6.6310-34JS/0.1kgms-1=6.6310-33(m)如果要想观测小球的德布罗意波，须采用大小可与比拟的孔径进行干涉、衍射实验。而在现实世界中我们无法找到这个数量级的小孔，故无法观测。由此可见，德布罗意关系在宏观物体上被它的粒子性掩盖了，它只有在微观粒子中才显示出来。l5050l1.4.4 对电子波粒二象性的理解l1.4.5 (a)l5151l1.4.5(b)l525
21、2l1.4.5(c)l5353l对图1.4.5(a):l对图1.4.5(b)l对图1.4.5(c)l P12(X)=P1(x)+P2(x)+干涉项l5454l图1.4.6 电子双缝干涉图l5555 实验上我们可以做到让入射的电子流强度很弱，比如让电子一个一个地入射，再重复大量电子一次入射实验，开始屏上得到的分布似乎毫无规律，时间长了，我们仍然得到了双缝干涉图象(如图1.4.6)。可以看出，大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行为表现出同样的波动性。l5656这些结果充分表明，干涉图象的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。总之，粒子
22、的波粒二象性，是指微观粒子从量子观点看，它即是粒子，又是波，所谓粒子性是它具有质量、能量、动量等粒子属性。所谓波动性是指其具有频率、波长，在一定条件下，可观察出干涉和衍射l5757少女？少女？老妇？老妇？两种图像不会两种图像不会同时出现在你同时出现在你的视觉中的视觉中l58581.5 波函数及玻恩解释l不论光子、电子还是其它粒子，都具有波粒二象性。为了描绘这种二象性，1927年玻恩(M.Born)提出，粒子的行为是由几率波支配的，波的强度代表粒子的出现几率。也就是说，我们可以选用波函数来对微观粒子的运动状态作数学上的描述，它的形式必须使得所描述的物质粒子运动能够显示出它的波动特性。l5959l
23、1.5.1 自由粒子的波函数 对于自由粒子，例如阴极射线，反应堆中子束和加速器质子束，它们的动量不变，德布罗意波长和动量由关系式联系着，动量不变，波长不变，相当于单色波。对于一维自由空间远离光源的单色波，它的电场强度可以写为式中，为电磁波的频率；为波长。l(1.5.1)l(1.5.2)l(1.5.3)l6060与此类似对一维自由粒子的德布罗意波可相应地写l式中h/p为与动量P相联系的德布罗意物质波长；为与自由粒子能量(Eh )相联系的德布罗意物质波的频率。l6161推广到三维空间，写成更一般的复数形式式中k k(k k2)为波矢量；2为角频率。由德布罗意关系式：l上面的波函数还可以写成l(1.
24、5.3)l(1.5.4)tkP hEE EtK rK rl6262l63631.5.2 玻恩对波函数的解释首先考察光的双缝干涉图样。由波动图像，屏幕上某点的强度I由下式给出：l由光子图像，屏幕上一点的强度为式中h是一个光子的能量；N为打在屏幕上该点的光子通量。l6464虽然单个光子到达屏幕什么地方无法预测，但亮带光子到达的几率大，暗带光子到达的几率小，在屏幕上一点的光子通量N，便是该点附近发现光子几率的一个量度。因为l6565上式说明，在某处发现一个光子的几率与光波的电场强度的平方成正比。这就是爱因斯坦早在1907年对光辐射的量子统计解释。与爱因斯坦把 解释为“光子密度的几率量度”相似，玻恩把
25、 解释为给定时间，在一定空间间隔内发现一个粒子的几率。玻恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率。”玻恩由此获得了1954年诺贝尔物理奖。2l6666经典的波振幅如电场强度E都是可以测量的，而(x,t)却一般不能被测量。在量子理论中，测量与描述不是一回事。如果硬要说(x,t)的物理意义，只能说t时刻，测量粒子处在xx+dx空间中的几率正比 dx。由此可见，只有 才有测量上的意义，它的含义是几率。而对于几率分布来说，重要的是相对几率分布，显而易见，(x,t)与c(x,t)(c为一常数)所描述的相对几率分布是完全相同的，而经典波不同，若振幅增加了一倍，则相应的波动能量
26、将为原来的4倍，完全代表了不同的波动状态。)t,x)t,x)t,x)t,x2)t,x2)t,xl6767l1.5.3 波函数具备的标准条件(1)由于 描述的是粒子在x处dx范围内的几率，而粒子在任何地方出现的几率是确定的，因此在任何地方的波函数(x)必须是单值函数单值函数。(2)由于几率不能在某处发生突变，所以波函数必须处处连续连续。(3)由于在某处发现粒子的几率不可能无限大，所以(x)必须是有限有限的。波函数的单值，连续和有限通常被称之为波函数必须具备的标准条件。这些标准条件在应用量子力学解实际问题时(第三章)非常有用。l6868l粒子在空间各点出现的几率总和等于1l69691.6 海森伯不
27、确定关系l由于微观粒子具有波动性，因而粒子状态不能用位矢r r(t)和动量P P(t)来描述。它的空间位置需要用概率波来描述，而概率波只能给出粒子在各处出现的概率，所以在任一时刻粒子不具有确定的位置，与此相联系，粒子在各时刻也不具有确定的动量。l7070l这也可以说，由于波粒二象性，在任意时刻粒子的位置和动量都有一个不确定量。量子力学理论证明，在某一方向，例如x方向上，粒子的位置不确定量x和在该方向上的动量的不确定量Px有一个简单的关系，这一关系叫做不确定关系(也曾叫做测不准关系)l7171l图1.6.1 电子单缝衍射说明l7272l考虑到衍射条纹的次级极大:l根据德布罗意公式l单缝衍射公式，
28、第一级暗纹中心的角位置1由下式决定l所以有l(1.6.1)l7373l对于其他的分量，类似地有l更一般的理论给出l将此式代入上面(1.6.1)的表示式得l(1.6.2)l7474粒子的能量和时间还存在着不确定关系。上面三个公式可写成l引入常量l(1.6.3)l(1.6.4)l(1.6.5)l(1.6.6)l以上各式称为不确定关系l757522142022mccmcpE )(ppccmcpE 22142022221)(pmcppcEppc222 tptE 2 pq海森伯海森伯(1901-1976)德国人德国人lW.HeisenbergW.Heisenberg荣获荣获19321932年年 Nobe
29、l PrizeNobel Prize Xl7676不确定关系是海森伯于1927年给出的，因此常被称为海森伯不确定关系或不确定原理。它的根源是波粒二象性。(1)由坐标和动量的不确定关系可以说明粒子的位置坐标不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大；同样，某方向上动量不确定量越小，则此方向上粒子位置的不确定量越大。总之，这个不确定关系告诉我们，在表明或测量粒子的位置和动量时，它们的精度存在着一个终极的不可逾越的限制.,0,/xPPxxxl讨论：xxPxxP,0;/l7777l(2)不确定关系不是由测量仪器或测量技术造成的，而是微观粒子本身的属性所决定的。在双缝干涉实验中，虽然电子在某时刻落在何处
30、不能确定，但电子落入给定区域的概率是完全确定的。轨道的概念在经典力学中是以坐标和动量有同时确定值为前提的，因而轨道的概念不适用于微观粒子。ll7878海森伯不确定关系 对于受激原子体系有非常重要的意义。处于激发态的原子是不稳定的，它或迟或早地会跃迁到低能级直至基态。平均地说，受激原子只能存在一段有限时间，这段时间叫做平均寿命。因此，根据不确定关系，系统的能量将有一个自然的最小不确定量，即分布宽度E，满足关系(4)这个关系式有很重要的实际用途。在理论上通过计算不稳定状态的平均寿命，来估计能量的变化范围。在实验上可根据测得的能谱宽度，来估计不稳定状态的平均寿命，或根据测得的粒子的寿命，来估算粒子的
31、能量宽度。l7979l例1.6.1 在原子内部，可以算出电子的速度应在106 m.s-1范围内，否则电子就会从原子中逃出，求电子的位置不确定量。l解:由于 由不确定关系可得 l 由此可以看到，位置的不确定性同整个原子一样大了。电子在原子中的“轨道”便弥散了，l因而必须抛弃轨道概念而代之说明电子在空间的概率分布的电子云图象。l l8080l例题例题1.6.21.6.2一质量为一质量为5 5 1010-3-3 kg kg的小球，以速度的小球，以速度2ms-2ms-1 1运动，运动，其动量测量可精确到其动量测量可精确到11，试确定这个小球位置的最小不确定量，试确定这个小球位置的最小不确定量.l解解:
32、因为因为PPP P 1010-3-3，PP1010-3-3P P1010-3-3mVmV，由不确定关系，由不确定关系l 有有l 代入题中己知条件得到代入题中己知条件得到l8181l对一个对一个10103030米数量级位置不确定量来米数量级位置不确定量来说，目前无法被任何精确的实验所察觉说，目前无法被任何精确的实验所察觉。因此对小球这种宏观物体，它的波动。因此对小球这种宏观物体，它的波动性不会对它的性不会对它的“经典式经典式”运动带来任何运动带来任何实际的影响。在不确定关系中，一个关实际的影响。在不确定关系中，一个关键的量是普朗克常数键的量是普朗克常数h h，它是一个小量，它是一个小量，因而，不
33、确定关系在宏观世界里不能，因而，不确定关系在宏观世界里不能直接体现出来，但在微观世界里，它的直接体现出来，但在微观世界里，它的效应却非常明显。效应却非常明显。l8282本章主要内容小结：l1黑体辐射与普朗克的量子化假设l（1）维恩与瑞利金斯经典理论公式l（2）普朗克公式与能量子假设：E=h;l 118/33kThechl8383l2光电效应与爱因斯坦光量子论l（1）爱因斯坦光子假说：E=h:l(2)光电效应的爱因斯坦公式：whmv021l（3）光电效应的应用3 康普顿散射l康普顿散射的实验结果三条：l理论解释：用光的粒子性来解释：l8484)cos1(0cmhl4 德布罗意波与电子衍射l（1）
34、由光的波粒两象性到德布罗意假设：phl（2）电子衍射试验的证明：戴维孙与革末衍射试验。l(3)对电子波粒二象性的理解l8585l5 波函数与波恩解释l(1)自由粒子的平面波方程（波函数）l（2）波恩对波函数的解释l波恩把 解释为在一定空间内发现一个粒子的几率2l（3）波函数具备的标准条件：单值，连续，有限。满足归一化。l8686l6 海森伯不确定关系l对海森伯不确定关系的讨论及其物理意义l8787l相对论公式：,_2202220211cvvmmvpcvcmmcE=42022cmcpE+=l以上两式两边分别平方再联立，得到动量和能量之间的关系：()()420222242022222cmcpmccmcvmmc+=+=
