1、 对称性和叠加性对称性和叠加性 奇偶虚实性奇偶虚实性 尺度变换特性尺度变换特性 时移特性和频移特性时移特性和频移特性 微分和积分特性微分和积分特性 卷积定理卷积定理 PasevalPaseval定理定理4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质一、对称性一、对称性 若已知若已知 则则dejFtftj)(21)(,)(21)(dejFtftjdtejtFftj)(21)()(2)(fjtFFT证明：证明：)()(tfFTjF)(2)(fjtFFT4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)(tf)(jF2222)(tf)(jFc2c22c2ctt12c100004.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 若
2、若f(t)f(t)为偶函数，则时域和频域完全对为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子)(2)(t111)(tf)(jF)(jFtt4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质atetf)(FTjajF1)(?1)(1jtaFTjF对称性aefjF2)(2)(1 t 换成0,1taf 换成1F 换成t1F4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质二、线性（叠加性）二、线性（叠加性）若若 则则)()(jFtfFTiiniiiniiijFatfaFT11)()(4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质例例1：求：求：)(tf的傅立叶变换的傅立叶变
3、换)(tf2212t)()()()()(22tttttf)(2)2/()(SaSajF24.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质三、三、奇偶虚实性奇偶虚实性 无论无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均是实函数还是复函数，下面两式均成立成立)()(*jFtfFT)()(*jFtfFT)()(jFtfFT)()(jFtfFT时域反摺时域反摺频域也反摺频域也反摺时域共轭时域共轭频域共轭频域共轭并且反摺并且反摺4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质1 1、f(t)f(t)是实函数是实函数tdttfjtdttfjFsin)(cos)()()(R)(X)()(RR)()(*jFjF 偶函数偶函数 奇函数
4、奇函数实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，而相位谱为奇函数而相位谱为奇函数)()()()(*jFtfFTjFtfFT)()(XX4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质2 2、f(t)=jg(tf(t)=jg(t)是虚函数是虚函数tdttgjtdttgjFcos)(sin)()()(R)(X)()(RR)()(*jFjF虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数相位谱仍为奇函数相位谱仍为奇函数)()()()(*jFtfFTjFtfFT 奇函数奇函数 偶函数偶函数)()(XX4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质实偶函数的傅立叶变换
5、仍为实偶函数实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数)()(tetft222)(jF0)(f(t)(jF0t04.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数)0()0()(tetetfatat222)(jjF)0(2)0(2)(f(t)0222)(jF22)(jF)(jFjt4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质四、尺度变换特性四、尺度变换特性 若若 则则)()(jFtfFT)(1)(ajFaatfFT)(1)()(01ajFadxexfatfFTaaxja)(1)(1)(0ajFadxexfaatfFTaaxj4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的
6、性质时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)0t)2(2jF20)2(tf04/4/t)2(21jF244压缩压缩扩展扩展1104.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质等效脉宽与等效频带宽度等效脉宽与等效频带宽度)0()()()(FdttfdtetfjFtj)(jfF)0(F0ffB等效带宽等效带宽fB)0()()(21)(fdfjfFdejFtftj)(tf)0(f等效脉宽等效脉宽t1)0().0()0().0(ffBfBFFf4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质求下列时域函数的频谱的带宽求下列时域函数的频谱的带宽111)(1tft
7、1)(2tft212)(3tf4t1).0(1fBf1).0(2fBf时移不影响带宽1).0(3fBf时域重复影响幅频高度不影响频谱带宽12121)0(F1)0()0(1fBFf14.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质五、时移特性五、时移特性 若若 则则 证明证明：)()()()(000)(0jFedxexfedxexfxfFTttxtjxjtjtxj)()(00jFettfFTtj)()(FtfFT0)()(0tjejFttfFT4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性atjeajFatatfFT0)(1)(0)(1)(1/)()(10)()(000
8、)(0/)(000ajFeadxexfeaatxtdxexfatatxadtetatftatfFTatjtjatjatxjtja若若a 0,则有绝对值则有绝对值4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)(0tf)2()(0SaEjF)()()()(000TtfTtftftf)cos21)(2()cos21)()1)()(00TSaETjFeejFjFTjTj例例2 2：求三脉冲信号的频谱：求三脉冲信号的频谱 单矩形脉冲单矩形脉冲 的频谱为的频谱为 有如下三脉冲信号有如下三脉冲信号 其频谱为其频谱为4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质E22E3T2T222)(0jF)(jFt4.5傅立叶变换的性
9、质傅立叶变换的性质六、频移特性六、频移特性 若若 则则 证明证明 同理同理)()(jFtfFT)()(00jFetfFTtj)()()(000jFdteetfetfFTtjtjtj)()(00jFetfFTtj4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质调幅信号的频谱（载波技术）调幅信号的频谱（载波技术）)(21cos000tjtjeet)(21)(21cos)(000jFjFttfFT)(21sin000tjtjeejt)(21)(21sin)(000jFjjFjttfFT例例3：求求ttf0cos)(的频谱？的频谱？4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)(21cos000tjtjeet)(tf
10、tje021)(tftje021)(210jF)(210jF)(21)(2100jFjF 载波频率 04.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质cos)(0ttfFT)(21)(210000jFjF)()(0FtfFT)(2100tjtjeetf0)(0jF)(021jF)(jF00频移特性)(021jF4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质调幅信号都可看成乘积信号调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅矩形调幅 指数衰减振荡指数衰减振荡 三角调幅三角调幅ttf0cos)(ttG0cos)(teat0costt0cos21求它们的频谱求它们的频谱=？（略）？（略）4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质七
11、、微分特性七、微分特性 若若 则则)()(jFtfFT)()(jFjdttdfFT)()()(jFjdttfdFTnnn4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)(tf220tdttdf)(E2E222E2E2E422)(jFE24422)(dttfdtt000 三角脉冲三角脉冲4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质三角脉冲 的频谱 方法一：代入定义计算（如前面所述）方法二：利用二阶导数的FT)(0)()1()(222tttEtf)(2)()(2)(2222tttEdttfd)4(24sin8)2(2)()(222222SaEEeeEjFjjj)4(2)(2SaEjFFT4.5傅立叶变换的性质傅
12、立叶变换的性质八、积分特性八、积分特性(一）一）若若 则则)()(jFtfFT0)0()(,0ForFjjFdfFTt)()(4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质八、积分特性（二）八、积分特性（二）若若 则则)()(jFtfFT0)0(F)()0()()(FjjFdfFTt4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质积分特性的证明积分特性的证明dfty)()()()(tfdttdy)()(jFjYjjjFdfFT)()(令令 两边求导两边求导 FT 微分特性微分特性 FT 积分特性积分特性4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质斜平信号的频谱斜平信号的频谱 看成高看成高 ，宽，宽 的矩形脉冲的矩形脉
13、冲 的积分的积分)(0)0(1)0(0)(000tttf)(1)0()0(0)(000ttttttttytdfty)()(01t0t)(f)()2(1)()0()(1)()(200tjetSajFjFjtyFTjYF(0)不为010t0t01t)(f4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质tdfty)()(00t1t)()(tfdttdy10t0tFT)(jF02t02t0t0200)2()(tjetSajFFT1)0(FFT)()2(1)()0()(1)()(200tjetSajFjFjtyFTY20t用用FTFT积分特性求阶跃信号的积分特性求阶跃信号的FTFTtdtty)()()()()(f
14、)(1)()(jtFTjY00t01)0(1)(FFT)()2(1200tjetSaj1t4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质九、九、卷积特性卷积特性 若若 则则)()(11jFtfFT)()(22jFtfFT)()()(*)(2121jFjFtftfFT1.时域 卷积定理4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质例例4：求三角脉冲的频谱求三角脉冲的频谱 三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积积)(tG)(tG)(*)(tGtG卷)(jG)(jG42)(2SaEjF乘4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质卷乘ttt-/4/4E2E-/2/2-/4/4E244442
15、E4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质时域卷积定理的应用时域卷积定理的应用 求系统的输出求系统的输出h(t)H(j)(t)h(t)e(t)r(t)=e(t)*h(t)E()R(j)=E(j)H(j)4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质2.频域卷积定理频域卷积定理 若若 则则)()(11jFtfFT)()(22jFtfFT)(*)(21)()(2121jFjFtftfFT4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质例例5：求余弦脉冲的频谱求余弦脉冲的频谱tcos)(tG1EE)(tf222222相乘costFTFT)(jFT)(jG22)(jF卷积4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)2()(S
16、aEjG)()()(tGtcos2)(1)2)cos(2)(EjF卷乘ttGtfcos).()(4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质cos)(0ttfFT)(21)(2100jFjF)(tfFTcos0tFT0000 卷积12121利用卷积证明:004.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质例6：求图中所示的三角调幅波信号的频谱t0cos1122t)(21cos000tjtjeetttf21)(042)(20SaEjF4)(4)(4)(0202SaSaEjF三角波1E4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)(0jF)(210jF)(210jF)(jF004.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质思考
17、？思考？（1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。（2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？已知：求：jttf)(?)(jF4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 十、能量谱和功率谱十、能量谱和功率谱dttftfR)()()(*dttfR2)()0(dejFRj.)(21)(2djFR2)(21)0(djFdttfR22)(21)()0(帕斯瓦尔定理相关定理逆运算4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质能量谱帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理dttf2)(0tdjF2)(2102)(tf2)(jF两块阴影的面积 相等能量密度谱能量有限信号R(0)4.5傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质
